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棱台的体积公式

棱台的体积公式

棱台的体积公式

张鸿云

棱台的体积等于三个棱锥的体积的和,这三个棱锥的高都等于棱台的高,而它们的底面积分别等于:①棱台的下底面面积;②棱台的上底面面积;③棱台的上、下底面面积的比例中项.设棱台的上、下两底面面积分别为s 和s 1,高是h ,体积是v ,则棱台的体积公式是:v =)(31

11ss s s h ++

选自《中国小学教学百科全书》

四棱台体积计算公式

四棱台体积公式: ①、[S上+S下+√(S上×S下)]*h /3 (可以用于四棱锥) [上面面积+下面面积+根号(上面面积×下面面积)]×高÷2 ②、(S上+S下)*h/2 (不能用于四棱锥) (上面面积+下面面积)x高÷2 第②个最简便的公式,可以把正方体当作四棱台验证。 注意:如果把四棱锥可以看成上面面积为0的四棱台,第①个公式仍然可以用,但是四棱锥不能用第②个公式,切记!!!!!!!!。 拟棱台: 对于一个多面体,如果有两个面互相平行,而其余的面均为顶点全在这两个平行面上的三角形、平行四边形或梯形,这样的多面体叫拟棱台。 若上下底面和中截面的面积分别是S1、S2、S0,高为H,则体积V=1/6(s1+s2+4s0)H 正四棱台体积V=底面积S×高H 圆锥体体积=底×高÷3 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C=4a S=a2 长方形a和b-边长C=2(a+b)

四棱台的体积公式

四棱台的体积公式 V=(1/3)H(S上+S下+√[S上×S下])

平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C=4a S=a2 长方形a和b-边长C=2(a+b) S=ab 三角形a,b,c-三边长 h-a边上的高

s-周长的一半 A,B,C-内角 其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC =[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 =a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长 α-对角线夹角S=dD/2·sinα 平行四边形a,b-边长 h-a边的高 α-两边夹角S=ah =absinα 菱形a-边长 α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长S=Dd/2 =a2sinα 梯形a和b-上、下底长 h-高 m-中位线长S=(a+b)h/2 =mh 圆r-半径 d-直径C=πd=2πr S=πr2 =πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360) 弓形l-弧长 b-弦长 h-矢高 r-半径 α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 =r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R-外圆半径 r-内圆半径 D-外圆直径 d-内圆直径S=π(R2-r2) =π(D2-d2)/4

椭圆D-长轴 d-短轴S=πDd/4 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体a-边长S=6a2 V=a3 长方体a-长 b-宽 c-高S=2(ab+ac+bc) V=abc 棱柱S-底面积 h-高V=Sh 棱锥S-底面积 h-高V=Sh/3 棱台S1和S2-上、下底面积 h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1-上底面积 S2-下底面积 S0-中截面积 h-高V=h(S1+S2+4S0)/6 圆柱r-底半径 h-高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C=2πr S底=πr2 S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =πr2h 空心圆柱R-外圆半径 r-内圆半径 h-高V=πh(R2-r2) 直圆锥r-底半径 h-高V=πr2h/3 圆台r-上底半径 R-下底半径 h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球r-半径 d-直径V=4/3πr3=πd2/6 球缺h-球缺高 r-球半径

各种构件体积的计算公式资料

(一)基础 1.带形基础 (1)外墙基础体积=外墙基础中心线长度×基础断面面积 (2)内墙基础体积=内墙基础底净长度×基础断面面积+T形接头搭接体积 其中T形接头搭接部分如图示。 V=V1+V2=(L搭×b×H)+ L搭〔bh1/2+2(B-b/2×h1/2×1/3)〕=L搭〔b× H+h1(2b+B)/6〕 式中:V——内外墙T形接头搭接部分的体积; V1——长方形体积,如T形接头搭接示意图上部所示,无梁式时V1=0; V2——由两个三棱锥加半个长方形体积,如T形接头搭接示意图下部所示,无梁式时V= V2 ; H——长方体厚度,无梁式时H=0; 2.独立基础(砼独立基础与柱在基础上表面分界) (1)矩形基础: V=长×宽×高 (2)阶梯形基础: V=∑各阶(长×宽×高) (3)截头方锥形基础: V=V1+V2=H1/6×[A×B+(A+a)(B+b)+a×b]+A×B×h2 截头方锥形基础图示 式中:V1——基础上部棱台部分的体积( m3 ) V2——基础下部矩形部分的体积( m3 ) A,B——棱台下底两边或V2矩形部分的两边边长(m) a,b——棱台上底两边边长(m) h1——棱台部分的高(m) h2——基座底部矩形部分的高(m) (4)杯形基础 基础杯颈部分体积( m3 ) V3=abh3 式中:h3——杯颈高度 V3_——杯口槽体积( m3 ) V4= h4/6+[A×B+(A+a)(B+b)+a×b] 式中:h4—杯口槽深度(m)。 杯形基础体积如图7—6所示: V=V1+V2+V3-V4 式中:V1,V2,V3,V4为以上计算公式所得。 3. 满堂基础(筏形基础) 有梁式满堂基础体积=(基础板面积×板厚)+(梁截面面积×梁长) 无梁式满堂基础体积=底板长×底板宽×板厚 4. 箱形基础 箱形基础体积=顶板体积+底板体积+墙体体积 5.砼基础垫层 基础垫层工程量=垫层长度×垫层宽度×垫层厚度 (二)柱

正四棱台体积公式

一 基于数学史的教学案例:正四棱台体积公式※ 朱哲 张维忠(浙江师范大学数理与信息科学学院 321004) 对中西古代数学文化的深入研究,特别是这种历史的挖掘,目的还是为了指向现实、着眼于未来。本文给出的一则基于数学史的教学案例,正是笔者设想的在数学教育中通过数学史的渗透,在传统与现代之间架起一座桥梁,从而实现数学教育的现代化。 1 教学案例:正四棱台体积公式 1.1提出问题 师:我们已经学过了棱锥,我手上拿着的是一个正四棱锥的模型。如果我们在它顶部截去一个小的正四棱锥,就得到一个正四棱台(模型演示)。假如这个正四棱台下底面正方形边长为a ,上底面边长为b ,高为h ,那么它的体积该如何表示呢?今天我们就来研究这个问题。 生1:既然正四棱台可以由一个大的正四棱锥截去一个小的正四棱锥得到,我就可以通过大正四棱锥体积减去小正四棱锥体积来求(演算:设小正四棱锥高为x ,则V V =大正四棱锥 V -小正四棱锥 = =-+ = - +x b a h a x b x h a )(3 13 13 1)(3 12 22 2 2 ……) 。我做不下去了。 1.2类比、猜想、实验 师:这位同学的思路非常好,只是暂时遇到了困难。我们把这一问题放一边,先来猜想一下 正四棱台体积的公式。大家回忆一下一些图形的面积和体积公式(与学生一起填写下表)。 生2:我想()h b a V 2 2 2 1+= ,因为梯形面积公式为()h b a S +=2 1。 生3:我觉得应该是()h b a V 2 2 3 1+= ,因为正四棱锥体积公式中有系数3 1 ,且当0=b 时, ()h b a V 2 2 3 1+= h a 2 3 1= ,即为正四棱锥体积公式。 师:这些公式对不对呢?我们来做个实验。我这里有个空心的正四棱台容器,上底边长2.0米,下底边长3.0米,高2.0米,里面装满沙子。由生2的公式得沙子体积为()013.02.009.004.02 1=+=V 立方 米,由生3的公式得()00867.02.009.004.03 1≈+= V 立方米。我们再把沙子倒入底面边长为2.0米的柱 形容器,量一下,高为多少?约为315.0米,体积约为0126.0立方米。看来上面两个公式都不是很准确。 ——————— ※本文为全国教育科学“十五”规划教育部重点课题“文化传统与数学教育现代化”(DHA010276)阶段成果。

棱台体体积公式推导

正棱台体公式推导(1)将正四棱台切割成九部分(如下图) C A G H B F E D I (鸟瞰图)(立体切面图) E在棱台体中间位置,是一个方形体; B、D、H、F是四个三棱柱,分别位于在方形体的四周位置; A、C、G、I 是四个四棱锥,分别位于棱台体的四个角的位置。 (2)用字母表示图形部位 顶面棱长为,底面棱长为a,棱台体高为h。 (3)体积的计算 (1)一个方形体E,其底面是边长为b、高为h的方形体,体积为h b2; (图V1) (2)四个四棱锥A、C、G、I,用其中三个可以拼合成一个底边两直角边都是为 2 b a- 、高为h的方形体。 (四棱锥)(三个四棱锥拼合图形)(多出一个四棱锥) 方形体的体积为( 2 b a- )2h。其中一个四棱锥的体积就是 3 1 ( 2 b a- )2 h。四个四棱锥的体积和则 为 3 4 ( 2 b a- )2 h。 化简可得: 3 1 (b a-)2 h (3)四个直角三棱柱B、D、F、H,可以拼成两个长、宽、高分别为b、 2 ) (b a- 、h的长方体,体积和为 b(a-b)h。

(三棱柱) (拼合图形) (4)四棱台的体积 四棱台的体积等于上述三项(九个部分)之和 V=h b 2+3 1(b a -)2h+ b (a-b )h 解:V= [b 2 +31(b a -)2+ b (a-b )] h 截面积组成: 方形体的截面积:顶面的边长乘以边长; 字母表示 b 2 四个三棱柱截面积和: 字母表示b(a-b) 一个三棱柱截面积等于方形体底面积一半。 四个四棱锥截面积和: 字母表示3 1(b a -)2 一个四棱锥截面积等于方形体底面积的三分之一。 化简可得 h b ab a V )(3122++=

各形状物体体积计算公式

一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形 名称符号面积S和体积V

正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积 h-高 V=Sh/3 棱台 S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3 正棱台 拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积 S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C=2πr S底=πr2 S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h=πr2h 空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径 h-高 V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高 V=πr2h/3 圆台 r-上底半径 R-下底半径 h-高 V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径 d-直径 V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径 a-球缺底半径 V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3

a2=h(2r-h) 球台 r1和r2-球台上、下底半径 h-高 V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/4 桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高 V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛物

、、 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2

棱台体体积计算公式及拟柱体的计算

棱台体体积计算公式: V=(1/3)H(S上+S下+√[S上×S下])H是高,S上和S下分别是上下底面的面积拟柱体的计算实例: 1.按下图计算基坑的挖方量 解:由拟柱体公式得: 上口面积 上口面积 坑底面积 中间截面积 代入上列基坑挖方量计算公式得: 或用公式

2.某建筑外墙采用毛石基础,其断面尺寸如下图所示,地基为粘土,已知 土的可松性系数,。试计算每100m长基槽的挖方量;若留下回填土后,余土要求全部运走,计算预留填土量及弃土量。 解:基槽开挖截面积按梯形计算,即: 每100m长基槽的挖方量: 基础所占的体积: 预留填方量(按原土计算): 弃土量(按松散体积计算): 3.上节例题的基础上算出该场地平整的总挖方量和填方量 解:土方量计算(-为挖方,+为填方): 方格(9)与方格(6)全是挖方,其挖方量为: 方格(9) 方格(6)

方格(1)与方格(4)全是填方,其填方量为: 方格(1) 方格(4) 方格(2)、(3)、(5)、(7)、(8)均为部分挖方部分填方,用近似公式计算,其挖填方量分别为: 方格(2) 方格(3) 方格(5) 方格(7) 方格(8)

总挖方量: 总填方量: 两者相比较,填方比挖方多4m3,基本平衡。 4.某建筑场地地形图和方格网(边长a=20.0m)布置如图所示。土壤为二类 土,场地地面泄水坡度,。试确定场地设计标高(不考虑土的可松性影响,余土加宽边坡),计算各方格挖、填土方工程量。 解:1) 计算场地设计标高

2) 根据泄水坡度计算各方格角点的设计标高 以场地中心点(几何中心o)为,由式得各角点设计标高为: 其余各角点设计标高均可求出,详见图2.12。 3) 计算各角点的施工高度 得各角点的施工高度(以“+”为填方,“-”为挖方): 各角点施工高度见图2.12。 4) 确定“零线”,即挖、填方的分界线 确定零点的位置,将相邻边线上的零点相连,即为“零线” 。如1-5线上: ,即零点距角点1的距离为0.67m。 5) 计算各方格土方工程量(以“+”为填方,“-”为挖方) ①全填或全挖方格: (+) (+) (+) (-) ②三填一挖或三挖一填方格,由式(2.13): (+) (-) (-) (+) (+) (-) 将计算出的各方格土方工程量按挖、填方分别相加,得场地土方工程量总计: 挖方:503.92m3

各种图形体积计算公式_

土建工程工程量计算规则公 式汇总 平整场地: 建筑物场地厚度在± 30cm以内的挖、填、 运、找平. 1、平整场地计算规则 (1)清单规则:按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 (2)定额规则:按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、平整场地计算方法 (1)清单规则的平整场地面积:清单规则的平整场地面积=首层建筑面积 (2)定额规则的平整场地面积:定额规则的平整场地面积=首层建筑面积 3、注意事项 (1)、有的地区定额规则的平整场地面积:按外墙外皮线外放2 米计算。计算时按外墙外边线外放2 米的图形分块计算,然后与底层建筑面积合并计算;或者按“外放2 米的中心线× 2=外放2 米面积” 与底层建筑面积合并计算。这样的话计算时会出现如下难点:

①、划分块比较麻烦,弧线部分不好处理,容易出现误差。 ②、2 米的中心线计算起来较麻烦,不好计算。 ③、外放2 米后可能出现重叠部分,到底应该扣除多少不好计算。 (2)、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量,每边外放的长度不一样。 大开挖土方 1、开挖土方计算规则 (1)、清单规则:挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。 (2)、定额规则:人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽,槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面,如有排水沟者应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时,应将放坡的土方量合并于总土方量中。 2、开挖土方计算方法 1)、清单规则: ①、计算挖土方底面积:

方法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。外墙外边线到垫层外边线的面积计算(按外墙外边线外放图形分块计算或者按“外放图形的中心线 ×外放长度”计算。) 方法二、分块计算垫层外边线的面积(同分块计算建筑面积)。 ②、计算挖土方的体积:土方体积=挖土方的底面积*挖土深度。 (2)、定额规则: ①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。 V=1/6×H×(S 上+ 4×S中+ S下)计算土方体积(其中,S 上为上底面积,S中为中截面面积,S 下为下底面面积)。如下图 S 下=底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积(包括工作面、排水沟、放坡等)。 用同样的方法计算S 中和S下 3、挖土方计算的难点 ⑴、计算挖土方上中下底面积时候需要计算“各自边线到外墙外边线图” 部分的中心线,中心线计算起来比较麻烦(同平整场地)。 ⑵、中截面面积不好计算。

(甘志国)刍甍羡除刍童及楔形四棱台的体积公式

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大出版社,2014)第48-52页 高考题1 (2013·湖北·文·20)如图1,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<.过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所 得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中. (I)证明:中截面DEFG 是梯形; (II)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =?估中来估 算. 已知1231 ()3 V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明. 请问,该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢?这由下面 推导的羨除体积公式立得. 《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式, 这些公式秦汉时人都已掌握,下面来推导它们. 1.刍甍 刍甍是图2中的五面体ABCDEF ,其中EF DC AB ////,底面ABCD 是平行四边形.设a AB =,直线CD AB 、之间的距离是h ,直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ,则其体积)2(6 c a Hh V += . 图2 图3 证明 如图3.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',. 图 1

圆锥体积计算

圆锥的体积是圆柱的体积的1/3 棱台体体积计算公式: V=(1/3)H(S上+S下+√[S上×S下]) H是高,S上和S下分别是上下底面的面积。 棱台体积:V=〔S1+S2+开根号(S1*S2)〕/3*h 注:V:体积;S1:上表面积;S2:下表面积;h:高。 关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因 鲁班算量2006在计算独立基础时,发现所有的正四棱台计算正确,而计算有长边与短边的四棱台时,就不对了,量都偏大的原因: 独立基础体积正确的计算公式为: 四棱台计算公式为(s1+s2+sqr(s1*s2))*h/3,sqr(x)对x求根 或 A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))其中A、B、H分别为独立基础下部长方体的长、宽、高;a、b、h分别为四棱台的长、宽、高,当然, A与a、B与b相对应。 用A*B*H+h/6*(AB+ab+(A+a)(B+b))是偏小 实际工作中,这两种公式都有人用,结果有时是不一样. 而使用鲁班算量计算结果偏大,计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法,而鲁班用的是微积分算法,结果相差很小

另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别,其实我们算构造柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算,鲁班算量考虑了层高的不同与马牙槎的高度位也考虑了(马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小,但其实鲁班算的是实际的量)。 圆台体积计算圆台体积计算公式是: 设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V=(1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2) V=πh(R2+Rr+r2)/3 r-上底半径 R-下底半径 h-高 圆台吧……V=1/3(s+√ss' +s')h 其中s'为台体的上底面面积,s为台体的下面面积,h为台体的高。(P S.√是根号啦,不过我不懂得打。)三棱锥体积计算公式:底面积×高/2 各种台体,都有它自己的体积计算公式。 我给你一个通式: 台身体积=(上底面积+下底面积+4×中位面积)×高度÷6

4刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式 题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1,某地质队自水平地面A ,B ,C 三处垂直向地下钻探,自A 点向下钻到A 1处发现矿藏,再继续下钻到A 2处后下面已无矿,从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =.同样可得在B ,C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =,123C C d =,且123d d d <<. 过AB ,AC 的中点M ,N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面D E F G 为该多面体的一个中截面,其面积记为S 中. 图1 (1)证明:中截面D EFG 是梯形; (2)在△ABC 中,记BC a =,BC 边上的高为h ,面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体111222A B C A B C -的体积V )时,可用近似公式V S h =?估中来估算. 已知1231 ()3 V d d d S =++,试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明. 笔者关心的是:该题中的1231 ()3V d d d S =++即)(6 1321d d d ah V ++=是怎么来的呢? 这由下面推导的羨除体积公式立得. 题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2,在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,上、下底 面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,上、下底面矩形的长、宽分别为c ,d 与a ,b 且a >c ,b >d ,两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值; (2)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6 h V = (S 上底面+4S 中截面+S 下底面),试判断V 估与V 的大小关系,并加以证明. (注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.) 图2 题3 (2002年高考北京卷理科第18题)如图3,在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,上、

四棱台的体积公式

V=()H(S上+S下+√[S上×S下]) 公式分类 平方差 和差的平方 和差的立方3常用数学公式表: 公式表达式 a-b=(a+b)(a-b) (a+b)=a+b+2ab a+b=(a+b)(a-ab+b) |a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b| -|a|≤a≤|a| -b-b+√(b-4ac)/2a X1*X2=c/a 常用数学公式表: 三角函数公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) tan2A=2tanA/(1-tanA)222 3223

22 22 (a-b)=a+b-2aba-b=(a-b)(a+ab+b)|a|≤b<=>-b≤a≤b注:xx定理注: 方程有相等的两实根 注: 方程有一个实根注: 方程有共轭复数根322三角不等式 |a-b|≥|a|-|b| 一元二次方程的解 根与系数的关系-b+√(b-4ac)/2a X1+X2=-b/a b-4a=0 判别式b-4ac>0 b-4ac<02222 两角和公式 tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) sin2a=2sinacosa 倍角公式 cos2a=cosa-sina=2cosa-1=1-2sina

土方开挖计算公式

1、基坑开挖:V=(a+2c+kh)(b+2c+kh)×h+1/3k2h3 式中:a、b———分别为基底的长和宽; k———坡度系数; c———加宽工作面宽度; h———基坑深度。 2、基槽开挖:V=(A+2C+K×H)H×L。 式中:V———基槽土方量; A———槽底宽度; C———工作面宽度; H———基槽深度; L———基槽长度; k———坡度系数。 3、基坑开挖:V=1/6H[A×B+a×b+(A+a)×(B+b)+a×b]。式中:V———基坑体积; A—基坑上口长度; B———基坑上口宽度; a———基坑底面长度; b———基坑底面宽度; H———基坑深度。 仅用于正四棱台V=1/3(S1+S2+√(S1S2))h, 任何立体的体积V=1/6H(A1+4A+A2), 四棱台通用V=h/6[AB+(A+a)*(B+b)+ab], 知道坡度V=(a+2c+kh)(b+2c+kh)h+1/3k2h3,

公式:V=1/3h(S上+√(S下*S上)+S下) S上=140 S下=60 V=1/3*3*(140+60+√140*60)=291.65m2 基坑下底长10m,下底宽6m 基坑上底长14m ,上底宽10m 开挖深度3m ,开挖坡率1:0.5 求基坑开挖土方量、 圆柱体:体积=底面积×高 长方体:体积=长×宽×高 正方体:体积=棱长×棱长×棱长. 锥体: 底面面积×高÷3 台体: V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 球缺体积公式=πh2(3R-h)÷3 球体积公式:V=4πR3/3 棱柱体积公式:V=S底面×h=S直截面×l (l为侧棱长,h为高) 棱台体积:V=〔S1+S2+开根号(S1*S2)〕/3*h 注:V:体积;S1:上表面积;S2:下表面积;h:高。 几何体的表面积计算公式 圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形 名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C=4a S=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a+b) S=ab 三角形 a,b,c -三边长h-a边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中 s=(a+b+c)/2 S=ah/2=ab/2?sinC=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2=a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D-对角线长α-对角线夹角 S=dD/2?sinα平行四边形 a,b-边长h-a边的高α-两边夹角 S=ah=absinα菱形 a-边长α-夹角D-长对角线长d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα梯形 a和b-上、下底长h-高m-中位线长 S =(a+b)h/2=mh 圆 r-半径 d-直径 C=πd=2πr S=πr2=πd2/4扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)弓形 l-弧长 S=r2/2?(πα/180-sinα) b-弦长=r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h-矢高=παr2/360 - b/2?[r2-(b/2)2]1/2 r-半径=r(l-b)/2 + bh/2 α-圆心角的度数≈2bh/3圆环 R-外圆半径 S=π(R2-r2) r-内圆半径=π(D2-d2)/4 D-外圆直径 d-内圆直径椭圆 D-长轴 S=πDd/4 d-短轴 平整场地: 建筑物场地厚度在±30cm以内的挖、填、运、找平. 1、平整场地计算规则 (1)清单规则:按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 (2)定额规则:按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、平整场地计算方法

各形状物体体积计算公式

常用体积及表面积计算公式

一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形 名称符号面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc) V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积 h-高 V=Sh/3 棱台 S1和S2-上、下底面积 h-高 V=h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3 正棱台 拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积 S0 -中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6 圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长 S底 —底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C=

S底=πr2 S侧=Ch S表=Ch+2S底V=S底h=πr2h 空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径 h -高 V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高 V=πr2h/3 圆台 r-上底半径 R-下底半径 h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径 d-直径 V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径 a-球缺底半径 V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台 r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径 D-环体直径 r-环体截面半径 d-环体截面直径 V=2π2Rr2=π2Dd2/4 桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-

V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆 心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15 (母线是抛 物 我用拟柱体公式来解决一下,至于公式本身证 明需要用到积分知识(需要同时推广牛顿-莱 布尼茨公式),不详谈: 任何立体的体积均可以归纳成: V=1/6×h×(S1+S2+4S) S1指上表面 S2指下表面 S指高线垂直平分面 柱体: V=1/6×h×(S1+S2+4S) V=1/6×h×(S1+S1+4S1) V=1/6×h×6S V=Sh 锥体: V=1/6×h×(S1+S2+4S) V=1/6×h×(S2/4×4+S2)

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