三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换

一、知识要点：

ππ

ππ

?ω2,2

3,

,2

,

0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。

3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整

体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ

=T

4．图象变换

(1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n

??????????????→

?<<>倍

到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A

(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→

?<<>倍

到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω

ωω1

1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n

????????????→

?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ?

??

????????????→?<<>倍

到原来的

或伸长所有点的横坐标缩短ω

ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→

?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω

5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图

象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习

1． 函数1π2sin()23

y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin

2x

y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____.

3．函数]),0[)(26

sin(

2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是

4．函数2

2cos()()363

y x x ππ

π=-

≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4

y x π

=-的图像？

6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ?????

?=+<

???????

的图象经过点(01)，

，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为

7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.

8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π??

=- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π?

?=+ ???

的图象的一条对称轴；

④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．

⑤R x x x f ∈+

=),32sin(3)(π

的图象关于点)0,6

(π

-

对称；

其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析：

题型1：三角函数图像变换

例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1

cos 2

y x =的图象怎样变换？

式1：将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向

左平移3

π

个单位，所得图象的解析式是 .

题型2：三角函数图像性质

例2、已知函数 y=log 2

1)4

x π

-

)

⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；⑶判断它的奇偶性； ;⑷判断它的周期性.

变式1：求函数34sin(2)23

y x ππ=

+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合．；

变式2：函数y =2sin x 的单调增区间是

题型3：图像性质的简单应用

例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ??

=+>><

??

?

的图象与y 轴交于点30,2?? ???

，它在y 轴右

侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-，

（1）求函数()y f x =的解析式；

（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。

变式1：如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin （ωx ＋?）＋b . （Ⅰ）求这段时间的最大温差； （Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式．

变式2：已知函数π?ω?ω≤≤>+=0,0),sin()(x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点

)0,4

3(

π

M 对称，求?和ω的值。

题型4：三角函数综合应用 例4、求下列函数的定义域

(1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1

cos 2)1lg(tan -+=x x y .

例5、求下列函数的值域

(1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x

x

y cos 2cos 2-+=

例6 若()2

122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ，

（1）求()g a 的表达式；

（2）求使()1g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。

能力检测题

1．（2007年福建）．已知函数()sin (0)f x x ωωπ?

?

=+

> ?3??

的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π

?? ?3??

，对称 B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π?? ?4??

，对称 D ．关于直线x π=3对称 2．（2007年江苏卷1）．下列函数中，周期为

2

π

的是（ ） A ．sin

2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4

x

y = D ．cos 4y x = 3．（07年山东卷文4）．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?

?

=- ?3??

的图象（ ） A ．向右平移

π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π

3

个单位 D ．向左平移

π

6

个单位 4．如果m

m x 44cos +=有意义，则m 的取值范围是

5．（2007年江西卷文2）．函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6．要得到sin

2x y =的图象，只需将函数cos 24x y π??

=- ???

的图象 7．对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于，

?ω?ω+=x A y ，有下列说法： ①最大值为A ； ②最小正周期为|2|ω

π

； ③

在],0[π至少有一个x ，使得0=y ； ④由)( 2

222Z k k x k ∈+≤+≤-

π

π?ωπ

π解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是

8．函数)4

2tan(π

-

=x y 的单调增区间为 .

9．已知]0,2[π-∈x ,且,01cos sin 22=--x x 求角x 的集合. 10．函数π2

1

sin

-=x y 的单调递增区间是 . 11．函数(),f x x R ∈是奇函数，且当0x ≥时，()2

sin f x x x =+，则当0x <时，()f x 等于 ．

12.如果α、β、γ均为锐角，1sin 3α=，tan β=3

cos 4

γ=，则,,αβγ从小到大的顺序为 ． 13. 函数2

225)

tan 1(log x

x y -+=

的定义域是

14．（07年浙江卷理2）若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2

?π

<）的最小正周期是π，

且(0)f =，则