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三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换

一、知识要点:

三角函数图像及其变换

ππ

ππ

?ω2,2

3,

,2

,

0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。

3.研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整

体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ

=T

4.图象变换

(1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n

??????????????→

?<<>倍

到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A

(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→

?<<>倍

到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω

ωω1

1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n

????????????→

?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ?

??

????????????→?<<>倍

到原来的

或伸长所有点的横坐标缩短ω

ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→

?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω

5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图

象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二.基础练习

1. 函数1π2sin()23

y x =+的最小正周期T = . 2.函数sin

2x

y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____.

3.函数]),0[)(26

sin(

2ππ

∈-=x x y 为增函数的区间是

4.函数2

2cos()()363

y x x ππ

π=-

≤≤的最小值是 5.将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4

y x π

=-的图像?

6.已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ?????

?=+<

???????

的图象经过点(01),

,则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为

7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.

8.给出下列命题: ①存在实数x ,使sin cos 1x x =成立; ②函数5sin 22y x π??

=- ???是偶函数; ③直线8x π=是函数5sin 24y x π?

?=+ ???

的图象的一条对称轴;

④若α和β都是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>.

⑤R x x x f ∈+

=),32sin(3)(π

的图象关于点)0,6

-

对称;

其中结论是正确的序号是 (把你认为是真命题的序号都填上). 三、例题分析:

题型1:三角函数图像变换

例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数1

cos 2

y x =的图象怎样变换?

式1:将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向

左平移3

π

个单位,所得图象的解析式是 .

题型2:三角函数图像性质

例2、已知函数 y=log 2

1)4

x π

-

)

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⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ;⑷判断它的周期性.

变式1:求函数34sin(2)23

y x ππ=

+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合.;

变式2:函数y =2sin x 的单调增区间是

题型3:图像性质的简单应用

例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ??

=+>><

??

?

的图象与y 轴交于点30,2?? ???

,它在y 轴右

侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ,()02,3x π+-,

(1)求函数()y f x =的解析式;

(2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。

变式1:如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin (ωx +?)+b . (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.

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变式2:已知函数π?ω?ω≤≤>+=0,0),sin()(x x f 是R 上的偶函数,其图象关于点

)0,4

3(

π

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M 对称,求?和ω的值。

题型4:三角函数综合应用 例4、求下列函数的定义域

(1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1

cos 2)1lg(tan -+=x x y .

例5、求下列函数的值域

(1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x

x

y cos 2cos 2-+=

例6 若()2

122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ,

(1)求()g a 的表达式;

(2)求使()1g a =的a 的值,并求当a 取此值时()f x 的最大值。

能力检测题

1.(2007年福建).已知函数()sin (0)f x x ωωπ?

?

=+

> ?3??

的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A .关于点0π

?? ?3??

,对称 B .关于直线x π=4对称 C .关于点0π?? ?4??

,对称 D .关于直线x π=3对称 2.(2007年江苏卷1).下列函数中,周期为

2

π

的是( ) A .sin

2x y = B .sin 2y x = C .cos 4

x

y = D .cos 4y x = 3.(07年山东卷文4).要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π?

?

=- ?3??

的图象( ) A .向右平移

π6个单位 B .向右平移π3个单位C .向左平移π

3

个单位 D .向左平移

π

6

个单位 4.如果m

m x 44cos +=有意义,则m 的取值范围是

5.(2007年江西卷文2).函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6.要得到sin

2x y =的图象,只需将函数cos 24x y π??

=- ???

的图象 7.对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于,

?ω?ω+=x A y ,有下列说法: ①最大值为A ; ②最小正周期为|2|ω

π

; ③

在],0[π至少有一个x ,使得0=y ; ④由)( 2

222Z k k x k ∈+≤+≤-

π

π?ωπ

π解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是

8.函数)4

2tan(π

-

=x y 的单调增区间为 .

9.已知]0,2[π-∈x ,且,01cos sin 22=--x x 求角x 的集合. 10.函数π2

1

sin

-=x y 的单调递增区间是 . 11.函数(),f x x R ∈是奇函数,且当0x ≥时,()2

sin f x x x =+,则当0x <时,()f x 等于 .

12.如果α、β、γ均为锐角,1sin 3α=,tan β=3

cos 4

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γ=,则,,αβγ从小到大的顺序为 . 13. 函数2

225)

tan 1(log x

x y -+=

的定义域是

14.(07年浙江卷理2)若函数()2sin()f x x ω?=+,x ∈R (其中0ω>,2

<)的最小正周期是π,

且(0)f =,则

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