高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换
一、知识要点:
ππ
ππ
?ω2,2
3,
,2
,
0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。
3.研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整
体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ
=T
4.图象变换
(1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n
??????????????→
?<<>倍
到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A
(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→
?<<>倍
到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω1
1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n
????????????→
?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ?
??
????????????→?<<>倍
到原来的
或伸长所有点的横坐标缩短ω
ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→
?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω
5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图
象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二.基础练习
1. 函数1π2sin()23
y x =+的最小正周期T = . 2.函数sin
2x
y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____.
3.函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是
4.函数2
2cos()()363
y x x ππ
π=-
≤≤的最小值是 5.将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4
y x π
=-的图像?
6.已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ?????
?=+<
???????
的图象经过点(01),
,则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为
7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______.
8.给出下列命题: ①存在实数x ,使sin cos 1x x =成立; ②函数5sin 22y x π??
=- ???是偶函数; ③直线8x π=是函数5sin 24y x π?
?=+ ???
的图象的一条对称轴;
④若α和β都是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>.
⑤R x x x f ∈+
=),32sin(3)(π
的图象关于点)0,6
(π
-
对称;
其中结论是正确的序号是 (把你认为是真命题的序号都填上). 三、例题分析:
题型1:三角函数图像变换
例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数1
cos 2
y x =的图象怎样变换?
式1:将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向
左平移3
π
个单位,所得图象的解析式是 .
题型2:三角函数图像性质
例2、已知函数 y=log 2
1)4
x π
-
)
⑴求它的定义域和值域; ⑵求它的单调区间;⑶判断它的奇偶性; ;⑷判断它的周期性.
变式1:求函数34sin(2)23
y x ππ=
+的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合.;
变式2:函数y =2sin x 的单调增区间是
题型3:图像性质的简单应用
例3、已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ??
=+>><
??
?
的图象与y 轴交于点30,2?? ???
,它在y 轴右
侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ,()02,3x π+-,
(1)求函数()y f x =的解析式;
(2)用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象,并说明它是由函数sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的。
变式1:如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin (ωx +?)+b . (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.
变式2:已知函数π?ω?ω≤≤>+=0,0),sin()(x x f 是R 上的偶函数,其图象关于点
)0,4
3(
π
M 对称,求?和ω的值。
题型4:三角函数综合应用 例4、求下列函数的定义域
(1)x x y sin 21tan 1--+-= (2))sin(cos x y = (3) 1
cos 2)1lg(tan -+=x x y .
例5、求下列函数的值域
(1)R x x y ∈-= ,2cos 23 (2)R x x x y ∈-+= ,2sin 2cos 2 (3)x
x
y cos 2cos 2-+=
例6 若()2
122cos sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ,
(1)求()g a 的表达式;
(2)求使()1g a =的a 的值,并求当a 取此值时()f x 的最大值。
能力检测题
1.(2007年福建).已知函数()sin (0)f x x ωωπ?
?
=+
> ?3??
的最小正周期为π,则该函数的图象( ) A .关于点0π
?? ?3??
,对称 B .关于直线x π=4对称 C .关于点0π?? ?4??
,对称 D .关于直线x π=3对称 2.(2007年江苏卷1).下列函数中,周期为
2
π
的是( ) A .sin
2x y = B .sin 2y x = C .cos 4
x
y = D .cos 4y x = 3.(07年山东卷文4).要得到函数sin y x =的图象,只需将函数cos y x π?
?
=- ?3??
的图象( ) A .向右平移
π6个单位 B .向右平移π3个单位C .向左平移π
3
个单位 D .向左平移
π
6
个单位 4.如果m
m x 44cos +=有意义,则m 的取值范围是
5.(2007年江西卷文2).函数5tan(21)y x =+的最小正周期为 6.要得到sin
2x y =的图象,只需将函数cos 24x y π??
=- ???
的图象 7.对于函数)0,(A, )sin(的常数均为不等于,
?ω?ω+=x A y ,有下列说法: ①最大值为A ; ②最小正周期为|2|ω
π
; ③
在],0[π至少有一个x ,使得0=y ; ④由)( 2
222Z k k x k ∈+≤+≤-
π
π?ωπ
π解得x 的区间范围即为原函数的单调增区间。其中正确的说法是
8.函数)4
2tan(π
-
=x y 的单调增区间为 .
9.已知]0,2[π-∈x ,且,01cos sin 22=--x x 求角x 的集合. 10.函数π2
1
sin
-=x y 的单调递增区间是 . 11.函数(),f x x R ∈是奇函数,且当0x ≥时,()2
sin f x x x =+,则当0x <时,()f x 等于 .
12.如果α、β、γ均为锐角,1sin 3α=,tan β=3
cos 4
γ=,则,,αβγ从小到大的顺序为 . 13. 函数2
225)
tan 1(log x
x y -+=
的定义域是
14.(07年浙江卷理2)若函数()2sin()f x x ω?=+,x ∈R (其中0ω>,2
?π
<)的最小正周期是π,
且(0)f =,则