小学数学三升四暑期班

目 录

第一讲 速算与巧算 (2)

第二讲 应用题综合（一） (9)

第三讲 应用题综合（二） (14)

第四讲 行程问题初步 (19)

第五讲 奇数与偶数 (24)

第六讲 计数问题 (29)

第七讲 体育比赛中的数学 (34)

第八讲 期中测试 (38)

第九讲 余数与周期 (40)

第十讲 简单的抽屉原理 (45)

第十一讲 巧求周长 (50)

第十二讲 数字谜 (55)

第十三讲 趣题巧解 (60)

第十四讲 逻辑推理 (64)

第十五讲 期末测试 (68)

第一讲 速算与巧算

亲爱的同学们，你想一见到算式就能张口说出得数吗？你想让自己变得更聪明吗？学了今天的速算技巧后你就可以梦想成真了！还等什么？来吧，一起出发！

1. 计算：378+26+609 分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22） =400+600+9+4 =1013. [拓展] 计算：1998+198+18 分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2）

=2220-6

=2214.

你还记得吗？ 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变. 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变， 即a ×b=b ×a,其中a ，b 为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即a ×b ×c=(a ×b)×c=a ×(b ×c).

1. 商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变.在连除时，可以交换除数的位置，商不变，即a ÷b ÷c=a ÷c ÷b

2. 乘除法混合运算的性质 （1）在乘除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同数字前面的运算符号一起交换位置， 例如a ×b ÷c=a ÷c ×b=b ÷c ×a (2)在乘除混合运算中，去掉括号的规则以及去括号的情形 a ×(b ×c)=a ×b ×c a ×(b ÷c)=a ×b ÷c a ÷(b ÷c)=a ÷b ×c (3)两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘，即 (a ×b)÷(c ×d)=(a ÷c)×(b ÷d)=(a ÷d)×(b ÷c). 2. 计算：1000-90-80-20-10

分析：原式 =1000-（90＋80＋20＋10）

=1000-200

=800.

3. 计算：1）63×11 ； 2） 852×11

分析：在这个数的首尾之间添上相邻两数依次相加的和（和满10要进1）. 即“两边一拉，中间相加”. 1）63×11=693 （其中9是6+3），

2）852×11=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.

4. 计算 ：15×15 ；25×25 ；35×35

分析：建议教师先介绍个位数字为5的数的平方速算规律：首数加1的和乘以首数，尾数相乘，两积连起来即为所求的积.15×15=225 ；25×25=625 ；35×35=1225．

在乘除运算中，要做到既正确又迅速，首先要熟练地掌握乘除的各种运算定律，性质和运算中积商的变化规律，其次要了解题目的特点，创造条件，选用合理，灵活的计算方法，下面我们通过一些例题介绍一些运算的速算和巧算的方法. 【例1】 计算：456×2×125×25×5×4×8 分析：解题关键是观察题目可以发现25×4得100，125×8得1000，将它们分别合并便可达到速算 原式=456×（2×5）×（25×4）×（125×8） =456×10×100×1000 =456000000. [巩固] 计算：19×25×64×125 分析：原式=（25×4）×（125×8）×（19×2） = 100×1000×38 =3800000.

分析：原式=5÷7×11÷11×15÷15×21

=5×（11÷11）×（15÷15）×（21÷7）

=5×3

=15.

[前铺] 计算：5400÷25÷4

分析：根据除法性质知一个数分别除以两个数，等于除以这两个数的积.

原式=5400÷（25×4）

=5400÷100

=54.

【例3】 计算：333333÷37÷3-3625÷125+125×50

分析：运用a ÷b ÷c=a ÷(b ×c) .

原式=333333÷（37×3）-29+6250

=333333÷111+（6250-29）

=3003+6221

=9224.

【例4】 53×46+71×54+82×54

分析：可以把53，199拆分.

原式=（54-1）×46+71×54+82×54

=54×46+71×54+82×54-46

=54×（46+71+82）-46

暑假精讲

=54×199-46

=54×（200-1）-46

=54×200

=54-46

=10800-100

=10700.

【例5】（873×477-198）÷（476×874+199）

分析：观察到873与874，476与477的关系，可以考虑把整数进行拆分.

原式=[873×（476+1）-198] ÷[476×（873+1）+199]

=[873×476+873-198] ÷[476×873+476+199]

=[873×476+675] ÷[476×873+675]

=1.

【例6】1111111111×9999999999

分析：原式=1111111111×（10000000000-1）

=11111111110000000000-1111111111

=11111111108888888889.

【例7】99999×26+33333×24

分析：原式=99999×26+33333×3×8

=99999×26+99999×8

=99999×（26+8）

=（100000-1）×34

=3399966.

【例8】计算：1+1×2×2+l×2×3×3+l×2×3×4×4+l×2×3×4×5×5

分析：原式=1×(2-1)+l×2×(3-1)+1×2×3×(4-1)+1×2×3×4×(5-1)+l×2×3×4×5×(6-1) =l×2-1+l×2×3-1×2+l×2×3×4-1×2×3+l×2×3×4×5-1×2×3×

4+l×2×3×4×5×6-l×2×3×4×5

=l×2×3×4×5×6-l

=720-l

=719．

【例9】计算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+…+5-4-3+2+1

分析：（法1）我们观察可以发现，题目中每4个数一组可以相互抵消，将这些数先分组，简化计算.

原式=2006+（2005-2004-2003+2002）+（2001-2000-1999+1998）+…+（5-4-3+2）+1 =2006+0+0+…+0+1

=2007.

（法2）根据符号规律，可以4个数一组.

原式=（2006+2005-2004-2003）+…+（6+5-4-3）+2+1

=4×（2004÷4）+3

=2007.

[拓展] 计算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-…-1989-1990+1991

分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+…+（4+3-2-1）

=4×（1992÷4）

=1992.

【例10】计算：（11×10×9×…×3×2×1）÷（22×24×25×27）

分析：原式= （11×2÷22）×（10×5÷25）×（9×6÷27）×（8×3÷24）×7×4

=2×2×7×4

=112.

【例11】 计算：9×17+91÷17-5×17+45÷17

分析：[前铺]分配律的逆运算是个难点，建议教师先从简单题讲清楚再讲本题.

计算1： 36×19+64×19

=（36+64）×19

=1900.

计算2： 36×19+64×144

=36×19+64×（19+125）

=（36+64）×19+64×125

=1900+8×8×125

=1900+8000

=9900.

例题原式=9×17-5×17+91÷17+45÷17

=（9-5）×17+（91+45）÷17

=4×17+136÷17

=68+8

=76.

【例12】 计算：765×213÷27+765×327÷27

分析：原式=765×（213+327）÷27

=765×540÷27

=765×20

=15300.

【例13】 计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7

分析：[前铺]建议教师先讲解拆数法：123456=1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+6×1，234561=2×100000+3×10000+4×1000+5×100+6×10+1×1，… 或者观察竖式发现：每个数位上的和=（1+2+3+4++5+6）×相应的数量单位.讲清楚拆数这个问题，题目就迎刃而解了. 原式=（1+2+3+4+5+6）×(100000+10000+1000+100+10+1) ÷7 =21×111111÷7 =3×111111 =333333.

【例14】 计算：12121212÷3030303

分析：[前铺]建议教师先给学生讲清楚周期性数字的规律.如123123=123×1001，123123123=123×1001001，…

分析：原式 =12×1010101÷（3×1010101）

=（12÷3）×（1010101÷1010101）

=4×1=4.

[拓展] 计算：（4545+5353）÷4949

分析：原式=（45×101+53×101）÷（49×101）

=（45+53）×101÷49÷101

=（45+53）÷49

=2.

【例15】 2004×200320032003-2003×200420042004

分析：原式=2004×2003×100010001-2003×2004×100010001=0.

【附1】 计算：99999×22222+33333×33334

分析：原式=99999×22222+33333×（33333+1）

附加内容 １２３４５６ ２３４５６１ ３４５６１２ ４５６１２３ ５６１２３４＋）６１２３４５

=99999×22222+99999×11111+33333

=99999×33333+33333

=33333×（99999+1）

=33333×100000

=3333300000.

【附2】 计算：888×125÷（1000÷73）+999×73

分析：原式=8×125×111÷（1000÷73）+999×73

=1000×111÷1000×73+999×73

=73×（111+999）

=1110×（70+3）

=77700+3330

=81030.

1. 25×17×32×125 分析：原式=（25×4）×17×（8×125）=1700000 .

2. 1）57×99 ；2） 17×999

分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983.

3. 15000÷125÷15

分析：原式=15000÷15÷125=1000÷125=8.

4. 56000÷（14000÷16）

分析：原式= 64.

仔细看看图中有几只猴子？

第二讲 应用题

综合（一） 春季班同学们已经学习了平均

数的应用题，其中包括以两组数的平均数和它们的总平均数间的关系

为内容的问题．求解时应恰当选取基准数并注意权重．暑假我们学习

的平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调

和平均数和基准数求平均数.解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、

份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出

一份数，即平均数.首先，让我们先

回顾一下吧！

1. 小强为了培养自己的数学解题能力，除了认真读一些书外，还规定自己每周(一周为7天)平均每天做4道数学竞赛训练题.星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六两天共做了13道.那么，星

分析：综合列式为4×7-(3×3＋13)＝6(道).

2. 小明家先后买了两批小猪，养到今年10月.第一批的3头每头重66千克，第二批的5头每头重42千克.小明家养的猪平均多重？

分析：两批猪的总重量为66×3＋42×5＝408(千克).两批猪的头数为3＋5＝8(头)，故平均每头猪重408÷8＝51(千克).

3. 中强期末考试，数学92分，语文90分，英语成绩比这三门的平均成绩高4分.问：英语得了多少分？ 分析：英语比平均成绩高的这4分，是“补”给了数学和语文，所以三门功课的平均成绩为(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英语成绩.综合列式为(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分).

4. 有5个数的平均数是26，如果把其中的一个数改为18，则平均数变成22，未改动前的这个数是多少？

大显身手

数学迷宫 你还记得吗？

分析：5个数的平均数从26变成22，平均每个数减少了4，一共减少了4×5=20，说明原来那个数减少20变为18，所以原来的数是38.

暑假精讲

【例1】学而思三升四竞赛班50人考试，全班平均分为85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？

分析：不及格人的平均分是（85×50-93×40）÷（50-40）=53（分）．

【例2】某一幢居民楼里原有3户安装空调，后来又增加一户.这4台空调全部打开时就会烧断保险丝，因此最多同时使用3台空调.这样，在24小时内平均每户最多可使用空调几小时？

分析：平均每户最多可用空调24×3÷4=18（小时）.

【例3】一个房间里有9个人，平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人，平均年龄是45岁．两个房间的人合在一起，他们的平均年龄是几岁？

分析：（25×9+45×11）÷（9+11）=36（岁）.

【例4】某校有100名学生参加第四届小学“祖冲之杯”数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？

分析：参赛女同学人数为：[100×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)，所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）.

下面我们要学习一类新的应用题——盈亏问题.

盈亏问题就是把一定数量的物品分给若干对象，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求被分配的物品数与分配的对象数.解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额(盈数+亏数)，由此得到求解盈亏问题的公式：分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差.需要注意的是，两种分配方案的结果会出现一盈一亏、两盈、两亏等情况，所以我们要灵活把握.

【例5】六一儿童节到了，李老师给同学们准备了一些漂亮的贴画作礼物，如果每人分3张就会多出29张，如果每人分5张则少19张，那么李老师给几个学生发礼物呢？

分析：学生的人数：(29+19)÷(5-3)=24(个).

【例6】杨老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元．这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？

分析：买5本多3元，买7本少1.8元.盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7-5＝2（本）书，因此每本书4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱2.4×5＋3＝15（元）.

【例7】学校组织四年级师生去参观清华、北大，原计划租用45个座位的客车，但这样有5人没座，如果租用同样数量的55个座位的客车，则正好多出1辆车.那么，原计划租用45座客车几辆？

分析：租55个座位的客车，正好多出1辆车，也就是少了一车的人，即55人，所以，原计划租用的客车数量(55+5)÷(55-45)=6(辆).

【例8】兰兰参加暑假的英语夏令营，老师为她们安排住宿，如果每个房间住5人，则多出18人，如果每个房间住7人，则有2个房间空着.那么，参加英语夏令营的同学有几人？

分析：房间数量：(18+7×2)÷(7—5)=16(个)，参加夏令营的人数：16×5+18=98(人).

【例9】海尔兄弟约好在动物园门口见面，弟弟从家去动物园，如果每分钟走30米，就要迟到5分钟，如果每分钟走40米，可以提前2分钟到动物园，那么，海尔兄弟家到动物园的距离是几米？

分析：迟到5分钟相当于少走了：30×5=150(米)，提前2分钟到相当于多走了：40 ×2=80(米)，所以，如果不迟到也不早到，弟弟走的时间为：(150+80)÷(40-30)= 23(分钟)，家到学校的距离为：30×(23+5)=840(米).

【例10】早晨陈奶奶去超市买菜，如果她买6千克鱼肉则还差10元．如果买8千克猪肉则还剩2元．已知每千克鱼肉比猪肉贵5元．那么陈奶奶带了多少钱?

分析：由于每千克鱼肉比猪肉贵5元，6千克鱼肉应该比6千克猪肉贵：6×5=30(元)，这时，买6千克

猪肉应该剩下：30—10=20(元)，所以，每千克猪肉的价钱为：(20—2)÷(8—6)=9(元)，陈奶奶所带钱数：8×9+2=74(元).

【例11】 百货商店委托搬运站运送100只花瓶．双方商定每只运费1元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1元，结果搬运站共得运费92元．问：搬运过程中共打破了几只花瓶?

分析：假设100只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费1×100=100(元)．实际上只得到92元，少得100-92=8(元)．搬运站每打破一只花瓶要损失1+1=2(元)．因此共打破花瓶8÷2=4(只)．

【附1】 100名学生参加数学竞赛，平均分数是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70分，那么该校参赛男同学比女同学多几人？

分析：×(63-60)] ÷(70-60)=30(人)．所以参赛男同学比女同学多100-30-30=40（人）．

【附2】 学而思竞赛班举行歌唱比赛，五位评委打分．计分时，先去掉一个最高分和一个最低分，在算出平均分作为该选手的最后得分．下面是嘟嘟同学的得分：79，83，86，81，■（第五个分数被盖上了），最后得分82．请你算算第五位评委打多少分？

分析：如果第五位评委的分数是最高分获最低分，那么另一个去掉的分数就是79或86，剩下的3个分数的平均分不等于82，不合题意.所以第五位评委的分数是没有被去掉的，去掉的是79和86，第五位评委的分数是82×3-（83+81）=82（分）.

【附3】 乐乐从家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟．于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟．问：乐乐家离学校有多远?

分析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时， 他离学校还有50×8=400(米)；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走(50+10)×5=300(米)．所以盈亏总额，即总的路程相差

400+300=700(米)．两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为700-10=70(分)，也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟．所以乐乐家到学校的距离为50×(2+70+8)=4000(米)．

【附4】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?

分析：如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．

1. 暑假期间，小强每天都坚持游泳，并对所游的距离作了记录．如果他在暑假的最后一天游670米，则平均每天游495米；如果最后一天游778米，则平均每天游498米；如果他想平均每天游500米，那么最分析：（778-670）÷（498-495）=108÷3=36（天），说明小强一共游了36天.要想平均游500米的话，他最后一天应该游670+36×（500-495）=670+180=850米.

2. 甲班51人，乙班49人，某次考试2个班全体同学的平均成绩是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？

分析：甲、乙2班总分为81×（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即为乙班现在的平均分（8100+7×51）÷（51+49）=84.57（分）.

3. 用绳子量一口井的深度，把绳子折两折来量，多50厘米；折三折来量，还差30厘米，求绳长和井深各是多少？

分析：根据题意，（50×2+30×3）÷（3-2）=190（厘米）.（190+50）×2=480（厘米）或（190-30）×30=480附加内容 大显身手