数学七年级上册全册单元试卷培优测试卷

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一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）

1．如图 1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，且∠EAC＋∠ACE=90°．

（1）请判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，若∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，当直角顶点E 移动时，写出∠BAE 与∠ECD 的数量关系，并说明理由；

（3）如图 3，P 为线段 AC 上一定点，点 Q 为直线 CD 上一动点，且 AB 与 CD 的位置关系保持不变，当点 Q 在射线 CD 上运动时(不与点 C 重合)，∠PQD，∠APQ 与∠ BAC 有何数量关系？写出结论，并说明理由．

【答案】（1），理由如下：

CE 平分，AE 平分，

；

（2），理由如下：

如图，延长AE交CD于点F，则

由三角形的外角性质得：

；

（3），理由如下：

，即

由三角形的外角性质得：

又，即

即．

【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的判定即可得；（2）根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、三角形的外角性质即可得；（3）根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）、三角形的外角性质、邻补角的定义即可得．

2．如图，线段AB=20cm．

（1）点P沿线段AB自A点向B点以2cm/秒运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以3cm/秒运动，几秒后，点P、Q两点相遇？

（2）如图，AO=PO=2cm，∠POQ=60°，现点P绕着点O以30°/秒的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若P、Q两点也能相遇，求点Q运动的速度．

【答案】（1）解：设x秒点P、Q两点相遇根据题意得：

2x+3x=20，

解得x=4

答：4秒后，点P、Q两点相遇。

（2）解：①当点P.Q在OB与圆的交点处相遇时：P点运动所用的时间为：① （秒），P点的运动速度为：（20-4）÷2=8cm/秒

②当点P,Q在A点处相遇时：P点运动所用的时间为：②（60+180）÷30=8（秒），P点运动的速度为：20÷8-2.5cm/秒

【解析】【分析】（1）此题是一道相遇问题，根据相遇的时候，P点所走的路程+Q点运动的路程等于AB两地之间的距离，列出方程，求解即可；

（2）分①当点P.Q在OB与圆的交点处相遇时，②当点P,Q在A点处相遇时两类讨论，分别根据路程除以速度等于时间算出P点运动的时间，即Q点运动的时间，再根据路程除以时间等于速度即可算出Q点的运动速度。

3．已知：，OB、OC、OM、ON是内的射线.

（1）如图1，若OM平分，ON平分当OB绕点O在内旋转时，则的大小为________；

（2）如图2，若，OM平分，ON平分当绕点O在内旋转时，求的大小；

（3）在的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，和中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍，求t的值

【答案】（1）78°

（2）解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠COM ∠AOC，∠BON

∠BOD，∴∠MON=∠BON+∠COM﹣∠BOC ∠AOC ∠BOD﹣24°

（∠AOC+∠BOD）﹣24°，∴∠MON （∠AOD+∠BOC）﹣24° 180°﹣24°=66°.

（3）解：∵∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠AOC=54°+2t，∠AOM=27+t，∠BOD=126﹣2t，∠DON=63﹣t.

若∠AOM=2∠DON时，即27+t=2（63﹣t），∴t=33；

若2∠AOM=∠DON，即2（27+t）=63﹣t，∴t=3.

综上所述：当t=3或t=33时，∠AOM和∠DON中的一个角的度数恰好是另一个角的度数的两倍.

【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∴∠BOM ∠AOB，∠BON ∠BON.

∵∠MON=∠BOM+∠BON ∠AOD，∴∠MON=78°.

故答案为：78°.

【分析】（1）由角平分线的定义可得∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，然后根据

∠MON=∠BOM+∠BON=∠AOD即可求解；

（2）由角平分线的定义可得∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，

∠MON=∠BON+∠COM-∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣24°=（∠AOC+∠BOD）﹣24°=（∠AOD+∠BOC）﹣24°可求解；

（3）由题意可得∠AOC＝54°＋2t，∠AOM＝27＋t，∠BOD＝126?2t，∠DON＝63?t，分∠AOM＝2∠DON，∠DON＝2∠AOM两种情况讨论，列方程即可求解．

4．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.

（1）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？

（2）如果∠AOE=160°，∠COD=30°，∠AOB那么是多少度？

【答案】（1）解：因为OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.

所以∠AOB=∠BOC=40°，∠COD=∠DOE=30°.

∠BOD=∠BOC＋∠COD=40°＋30°=70°

（2）解：因为∠AOB=∠BOC,∠COD=∠DOE=30°，∠AOE=160°

∠AOE=∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOE

160°=2∠AOB＋30°＋30°，所以∠AOB=50°

【解析】【分析】（1）根据角平分线定义和已知条件可得∠AOB=∠BOC=40°，∠COD=∠DOE=30°，由∠BOD=∠BOC＋∠COD即可求得答案.

（2）根据角平分线定义和已知条件可得∠AOB=∠BOC,∠COD=∠DOE=30°，再由∠AOE=∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠DOE即求得答案.

5．如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上．点P、点Q 是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．

（1）当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ=________厘米；

（2）若AC=6厘米，点P、点Q分别从点C、点B同时出发沿射线BA方向运动，当运动时间为2秒时，求PQ的长；

（3）若AC=4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线AB上运动，则经过多少时间后线段PQ的长为5厘米．

【答案】（1）6

（2）解：如图2，当t=2时，BQ=2×2=4，

则CQ=6-4=2．

因为CP=2×1=2，所以PQ=CP+CQ=2+2=4(厘米)

（3）解：设运动时间为t秒．

①如图3，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P的后面，

得：t+8-2t=5，

解得t=3，

②如图4，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P前面，

得：2t-8-t=5，解得t=13．

③如图5，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇前，

得：t+2t=3，解得t=1．

④如图6，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇后，

得：t+2t=13，解得t= ．

综合可得t=1，3，13， .所以经过1，3，13，秒后PQ的长为5厘米．

【解析】【解答】(1)如图1，因为AB=12厘米，点C在线段AB上，

所以，当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ= AB=6．故答案为：6；

【分析】（1）由线段中点的定义可得CP= AC，CQ= CB，所以PQ= AC+ CB= AB，把AB的值代入计算即可求解；

（2）由路程=速度时间可求出BQ和CQ、CP的值，则PQ=CP+CQ可求解；

（3）由题意可分4种情况求解：

① 当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P的后面，由图可列关于时间的方程求解；

②

当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P前面，由图可列关于时间的方程求解；

③

当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇前，由图可列关于时间的方程求解；

④ 当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇后，由图可列关于时间的方程求解。

6．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，，

（1）图1中 ________

（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：

①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值；

②是否存在？若存在，求此时的的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）75

（2）解：①当OB平分∠AOD时，

∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，

∴∠AOD＝180°?∠AOE?∠COD＝120°?α，

∴∠AOB＝∠AOD＝60°? α＝45°，

∴α＝30°，

当OB平分∠AOC时，

∵∠AOC＝180°?α，

∴∠AOB═90°? α＝45°，

∴α＝90°；

当OB平分∠DOC时，

∵∠DOC＝60°，

∴∠BOC＝30°，

∴α＝180°?45°?30°＝105°，

综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；

②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°?α，∠BOC＝135°?α，

∵∠BOC＝2∠AOD，

∴135°?α＝2（120°?α），

∴α＝105°；

当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α?120°，∠BOC＝135°?α，

∵∠BOC＝2∠AOD，

∴135°?α＝2（α?120），

∴α＝125°，

综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD.

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，

∴∠BOD＝180°?∠AOB?∠COD＝75°，

故答案为：75；

【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论.

7．将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON，，，，，保持三角板OBC不动，

将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒

（1）如图2， ________度用含t的式子表示；

（2）在旋转的过程中，是否存在t的值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O以每秒的速度顺时针旋转.

①当 ________秒时，；

②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系关系式中不能含

.________

【答案】（1）90﹣8t.

（2）解：当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：

90﹣8t=4（45﹣8t）

解得：t ；

当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：

90﹣8t=4（8t﹣45）

解得：t .

综上所述：t 或t .

（3）5或10；解：∵∠NOD=90﹣8t，∠BOM=6t，∴3∠NOD+4∠BOM=3（90﹣8t）+4×6t=270°. 即3∠NOD+4∠BOM=270°.

【解析】【解答】解:（1）∠NOD一开始为90°，然后每秒减少8°，因此∠NOD=90﹣8t.

故答案为：90﹣8t.

（ 3 ）①当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：

8t﹣2t=30

解得：t=5；

当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：

8t﹣2t=60

解得：t=10.

故答案为：5或10.

【分析】（1）把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小.（2）相对MO与CO的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t

的方程即可.（3）①其实是一个追赶问题，分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况，然后分别列方程即可.

②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM，然后消去t即可得出它们的关系.

8．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：

（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在

内部作射线．

①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；

②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求

的度数.

（2）已知点不在同一条直线上，，平分，

平分，用含的式子表示的大小.

【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射线OC表示的方向为北偏东60°

②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON

＝180°﹣90°﹣45°

＝45°

（2）解：①如图1：

∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，

∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；

②如图2，

∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；

③如图3，

∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…

∴∠MON为或或．

【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．

9． O为直线AB上的一点，OC⊥OD，射线OE平分∠AOD．

（1）如图①，判断∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；

（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试问（1）中∠COE和∠BOD之间的数量关系是否发生变化？并说明理由；

（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，探究∠COE和∠BOD之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）解：∠BOD＝2∠COE，

理由如下：∵OC⊥OD

∴∠COD＝90°

∴∠BOD＝90°﹣∠AOC

∵射线OE平分∠AOD．

∴∠AOE＝∠AOD

∵∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝﹣∠AOC＝

∴∠BOD＝2∠COE

（2）解：不发生变化，

理由如下：∵OC⊥OD

∴∠COD＝90°

∵∠COE＝90°﹣∠DOE，且∠BOD＝180°﹣2∠DOE＝2（90°﹣∠DOE）

∴∠BOD＝2∠COE

（3）解：∠BOD+2∠COE＝360°

理由如下：∵OC⊥OD

∴∠COD＝90°

∴∠DOE＝90°﹣∠COE，且∠BOD＝90°+∠BOC＝90°+90°﹣2∠DOE＝180°﹣2∠DOE

∴∠BOD+2∠COE＝360°

【解析】【分析】（1）本题运用统一量的思想求∠COE和∠BOD之间的数量关系。因

为OC⊥OD，则∠BOD＝90°﹣∠AOC，因为OE平分∠AOD，∠AOE＝∠AOD，而∠AOD=∠COD+∠AOC=90°+∠AOC，从而由∠COE＝∠AOE﹣∠AOC，把∠COE 用含∠AOC的代数式表示，经过比较即可求得∠BOD＝2∠COE；

（2）本题也是运用统一量的思想，把∠COE和∠BOD用含∠DOE的代数式表示，即∠COE＝90°﹣∠DOE，∠BOD＝180°﹣2∠DOE＝2（90°﹣∠DOE），两式比较即可得到∠BOD＝2∠COE；

（3）本题依然运用统一量的思想，把∠BOD和∠DOE用含∠COE的代数式表示，即∠DOE＝90°+∠COE，∠BOD＝180°﹣2∠DOE，观察分析即可得出∠BOD+2∠COE＝360°。

10．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM.

（1）求证：∠ABD＝∠C；

（2）如图2，在(1)问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC ＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，

①求证：∠ABF＝∠AFB；

②求∠CBE的度数.

【答案】（1）证明：如图 1，过 B 作 BG∥CN，

∴∠C=∠CBG

∵AB⊥BC，

∴∠CBG=90°﹣∠ABG，

∴∠C=90°﹣∠ABG，

∵BG∥CN，AM∥CN，

∴AM∥BG，

∴∠DBG=90°=∠D，

∴∠ABD=90°﹣∠ABG，

∴∠ABD=∠C；

（2）①证明：如图2，设∠DBE=∠EBA=x，则∠BCN=2x，∠FCB=5x，设∠ABF=y，则∠BFC=1.5y，

∵BF 平分∠DBC，

∴∠FBC=∠DBF=2x+y，

∵∠AFB+∠BCN=∠FBC，

∴∠AFB+2x=2x+y，

∴∠AFB=y=∠ABF；

②解：∵∠CBE=90°，AF∥CN，

∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF=180°，

∴

∴

∴∠CBE=3x+2y=3×30°+2×15°=120°.

【解析】【分析】（1）过B作BG∥CN，根据平行线的性质以及同角的余角相等即可求解；

（2）①设∠DBE=∠EBA=x，∠ABF=y，由角平分线的性质和∠AFB+∠BCN=∠FBC 可求解；

②由平行线的性质可得∠FCN+∠CFA=180°，而∠ABG+∠CBG=∠CBE=90°，根据这两个等式可得关于x、y的方程组，解方程组可求得x、y的值，则∠CBE的度数可求解。

11．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”.如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”

概念理解：如图1，∠MON=60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）

（1）∠ABO的度数为________，△AOB________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；

（2）若∠ACB=80°，求证：△AOC是“和谐三角形”.

（3）应用拓展：如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.若△BCD是“和谐三角形”，求∠B 的度数.

【答案】（1）30；是

（2）证明：∵∠MON=60°，∠ACB=80°，

∵∠ACB=∠OAC+∠MON，

∴∠OAC=80°-60°=20°，

∵∠AOB=60°=3×20°=3∠OAC，

∴△AOC是“和谐三角形”；

（3）解：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，

∴∠EFC=∠ADC，

∴AD∥EF，

∴∠DEF=∠ADE，

∵∠DEF=∠B，

∴∠B=∠ADE，

∴DE∥BC，

∴∠CDE=∠BCD，

∵AE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∴∠B=∠BCD，

∵△BCD是“和谐三角形”，

∴∠BDC=3∠B，或∠B=3∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°，

∴∠B=36°或∠B= .

【解析】【解答】解：（1）∵AB⊥OM，

∴∠OAB=90°，

∴∠ABO=90°-∠MON=30°，

∵∠OAB=3∠ABO，

∴△AOB为“和谐三角形”，

故答案为：30；是；

【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；（2）根据“和谐三角形”的概念证明即可；应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC=∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF=∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE=∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE=∠CDE，求得∠B=∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可.

12．如图，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E，∠ADE+∠BCF=180°．

（1）请说明AB∥EF的理由；

（2）若AF平分∠BAD，判断AF与BE的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE= ∠ABC．

又∵∠ABC=2∠E，

即∠E= ∠ABC，

∴∠E=∠ABE．

∴AB∥EF

（2）解：结论：AF⊥BE．

理由：∵∠ADE+∠ADF=180°，

∠ADE+∠BCF=180°，

∴∠ADF=∠BCF，

∴AD∥BC；

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵∠OAB= DAB，∠OBA= ∠CBA，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠AOB=90°，

∴AF⊥BE

【解析】【分析】（1）由BE平分∠ABC，得∠ABE=∠ABC，结合∠ABC=2∠E，得

∠E=∠ABC，等量代换得∠E=∠ABE，则内错角相等两直线平行，AB平行EF；（2）由同角的补角相等得∠ADF=∠BCF，则同位角相等两直线平行，AD∥BC，由于∠DAB和∠CBA是同旁内角，得∠DAB+∠CBA=180°，由于∠OAB和∠OBA分别是∠DAB和∠CBA的一半，则∠OAB和∠OBA之和为90°，即AF⊥BE。

13．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）

（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：

（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值.

（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN

的值不变；② 的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值.

【答案】（1）解：由题意：BD=2PC

∵PD=2AC，

∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.

∴点P在线段AB上的处

（2）解：如图：

∵AQ-BQ=PQ，

∴AQ=PQ+BQ，

∵AQ=AP+PQ，

∴AP=BQ，

∴PQ= AB，

∴

（3）解：② 的值不变.

理由：如图，

当点C停止运动时，有CD= AB，

∴CM= AB，

∴PM=CM-CP= AB-5，

∵PD= AB-10，

∴PN= AB-10）= AB-5，

∴MN=PN-PM= AB，

当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，

所以

【解析】【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得

PB=2AP，所以点P在线段AB上的处；（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有

CD＝ AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN?PM＝ AB.

14．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）

（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝________；

（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？

【答案】（1）30

（2）解：∵OE平分∠AOC，

∴∠COE＝∠AOE＝∠COA，

∵∠EOD＝90°，

∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，

∴∠COD＝∠DOB，

∴OD所在射线是∠BOC的平分线

（3）解：设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．

∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，

∴5x+90°+x+60°＝180°，

解得x＝5°，

即∠COD＝5°．

∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°

∴∠BOD的度数为65°

【解析】【解答】（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，

又∵∠COB＝60°，

∴∠COE＝30°，

故答案为：30；

【分析】（1）根据角的和差，由∠COE=∠BOE-∠COB即可算出答案；

（2）根据角平分线的定义得出∠COE＝∠AOE＝∠COA，根据角的和差及平角的定义得出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，根据等角的余角相等得出∠COD＝∠DOB，故 OD所在射线是∠BOC的平分线；

（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x ，根据平角的定义得出5x+90°+x+60°＝180°，求解算出x的值，从而求出∠COD的度数，进而根据∠BOD＝∠COD+∠BOC 即可算出答案。

15．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；

（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。

①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；

②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。

【答案】（1）解：如图①

【法1】过点E作直线EK∥AB

因为AB∥CD，所以EK∥CD

所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK

所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD

【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180°

则∠BAC+∠DCA=180°

即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°

所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC

即∠AEC=∠BAE+∠ECD

（2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH

又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD

由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH

= ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE

= （∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45°

【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH

因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x

又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x

又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°

所以∠BAH=∠EAH=45°-x

由(1) 知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°

②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH

又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD

由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH

= ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD

= ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD)

=90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC

【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y

因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-

由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y

∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH

=x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90°

所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)

【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解；

（2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；

②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.