2007年CMO第4题的别证

(1996年上海市高中理科实验班招生试题)

解　由x ,y ,z 的对称性,不妨假设x ≤y ≤z ,由 得x +1≥x +x 2

,所以x 2

≤1,因为x >0,所以0

由 得　x =

z +1

y +1

.因为y ≤z ,所以y +1≤z +1,所以x ≥1,所以x 只能是1.

代入 , 得

2=y +y z ,

y +1=2z , 由 得　z =1

2

(y +1),

代入 ,得y 1=-4(舍去),y 2= 1.

所以z =1,所以x =y =z = 1.

2007年CM O 第4题的别证

沈　毅　(重庆市合川太和中学　401555)

题目　设O 和I 分别是△A B C 的外心和内心,△AB C 的内切圆与边BC ,CA ,A B 分别相切于点D ,E ,F ,直线FD 与CA 相交于点P ,直线DE 与A B 相交于点Q ,点M ,N

分别是线段PE ,QF 的中点.求证:OI ⊥MN .

(2007年中国数学奥林匹克题)本文给出该题的一种纯几何证法.

图1 图2

证明　(1)先考虑点M 的情形.如图1,设IA 与EF 交于点K ,IC 与ED 交于点L ,连结K M ,K L ,I E ,易得K ,L 分别是EF ,ED 的中点.

由中位线定理知K M ∥P D ,K L ∥P D .

所以M ,K ,L 三点共线.∠ML E =

∠P DE =∠ME K .

易证△M EL ∽△MK E .即得ME 2=MK ML .

而由∠I K E =∠I L E =90°,知K ,I ,L ,E 四点共圆.

因此∠MK A =∠I K L =∠I EL =∠I CE .

所以△M A K ∽△M LC ,即M K ML =MA MC .

所以ME 2=M A MC .同样可得　N F 2=N A N B .

(2)如图2,设△A B C 的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r .连结I M ,I N ,OM ,ON .

则I M 2=ME 2+r 2,I N 2=N F 2+r 2.由圆幂定理得OM 2=MA MC +R 2,

ON 2=N A N B +R 2.

结合(1)中结论知　I M 2-I N 2=OM 2

-ON 2

.

所以OI ⊥M N .

这种解法真的错了吗

邹振兴　(江苏省兴化市实验中学　225700)

问题　为了了解某户家庭每天用电情况,抽查了某个月10天该户用电情况如下:

每天用电度数

0.51 1.52 2.53天数

1

1

2

3

1

2

(1)求该户10天用电的众数和平均数;

(2)根据获得的数据,估计该户本月的用电数量(按30天计算);如果每度电的价格

为0.5元,估计该户家庭本月的电费支出是多少?

这是一道典型的表式信息题,主要考查众数、平均数以及用样本去估计总体等数学知识,是目前有关统计方面的热门试题.该问题的标准答案如下:

解　(1)因为每天用电度数为2度的天

?41?2007年第10期 中学数学月刊