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河南省中原名校平面向量及其应用单元测试题百度文库

一、多选题

1．下列说法中正确的是（）

A ．对于向量,,a b c ，有()()

a b c a b c ??=??

B ．向量()11,2e =-，()25,7e =能作为所在平面内的一组基底

C ．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0m n ?<”的充分而不必要条件

D ．在ABC 中，设D 是BC 边上一点，且满足2CD DB =，CD AB AC λμ=+，则

0λμ+=

2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ?≤

B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =

C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列

ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +>

B ．若a b >，则cos2cos2A B <

C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径

D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 4．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ?=，则0b =

B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22

()a b a b ?=? C ．若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，则a 与b 垂直

D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2

5．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6

A a c π

===则角C 的大小

是( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

6．在ABC 中，AB =1AC =，6

B π

=，则角A 的可能取值为（）

A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）

A ．10,45,70b A C ==?=?

B ．45,48,60b c B ===?

C ．14,16,45a b A ===?

D ．7,5,80a b A ===?

8．下列结论正确的是（）

A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ?=?，则a ⊥（-b c ）

B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为

b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形

9．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（） A ．30° B ．60°

C ．120°

D ．150°

10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是

（）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形

11．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（） A ．BD AD AB -= B ．1

()2

AD AB AC =

+ C ．8BA BC ?=

D ．AB AC AB AC +=-

12．下列命题中，正确的有（）

A ．向量A

B 与CD 是共线向量，则点A 、B 、

C 、

D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα?>且cos tan 0αα?<，则角2

为第二或第四象限角 C ．函数1

cos 2

y x =+

是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ?中，若tan tan 1A B ?<，则ABC ?为钝角三角形 13．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同

B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反

C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模

D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同 14．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+

D ．NQ QP MN MP ++-

15．下列命题中正确的是( )

A ．对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-

B ．对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-

C ．若()ma mb m =∈R ,则有a b =

D ．若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =

二、平面向量及其应用选择题

16．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若

(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（）

A ．316

- B ．

316 C ．

D ．12

17．O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

0a OA b OB c OC ?+?+?=，且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=，若3a =边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为（） A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 18．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

19．ABC ?内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ?与ABC ?的面积之比为（） A ．1:4

B ．4:5

C ．2:3

D ．3:5

20．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ?===，点D 在边BC 上，且

sin BAD ∠=

，则CD 等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．

21．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则（）

A ．33A

B A

C HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+

D ．24AB AC HM MO +=-

22．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（） A ．4

B ．

C ．

258

D ．

259

23．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =?，

cos 5

A =

，则b 等于（） A ．

35 B ．

107

C ．

D ．

24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则

::PAB PAC PBC S S S =△△△（）

A ．1∶2∶3

B ．1∶2∶1

C ．2∶1∶1

D ．1∶1∶2

25．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若

AB AF 3→→=，则AE BF

→→的值为（） A ．0

B 83

C ．-4

D ．4

26．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ，若cos 2a

B c

=，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

27．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

28．已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

???PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的( )

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心

D ．外心重心内心

29．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3

C π

∠=

，且

sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：

①2a b =

②ABC ?

③ABC ?的周长为4+

④ABC ?外接圆半径3

R =

这四个结论中一定成立的个数是（） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

30．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，ABC S ?，则2sin 2sin sin a b c

A B C

++=++（）

A ．

B ．

C ．

D ．31．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2

A A

C C A B +-+=--+

，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（）

A ．()8bc b c +>

B ．()ab a b +>

C ．612abc ≤≤

D ．1224abc ≤≤

32．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=

33．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且

a b =，则cos B 等于（）

A ．

15 B ．

C ．

3 D ．

3 34．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形

D ．等边三角形

35．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且

2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（）

A ．

B ．

C ．38

D ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．BCD 【分析】

．向量数量积不满足结合律进行判断．判断两个向量是否共线即可．结合向量数量积与夹角关系进行判断．根据向量线性运算进行判断

解：．向量数量积不满足结合律，故错误，．，解析：BCD 【分析】

A ．向量数量积不满足结合律进行判断

B ．判断两个向量是否共线即可

C ．结合向量数量积与夹角关系进行判断

D ．根据向量线性运算进行判断【详解】

解：A ．向量数量积不满足结合律，故A 错误，

B ．

-≠，∴向量1(1,2)e =-，2(5,7)e =不共线，能作为所在平面内的一组基底，故B 正确，

C ．存在负数λ，使得m n λ=，则m 与n 反向共线，夹角为180?，此时0m n <成立，

当0m n <成立时，则m 与n 夹角满足90180θ?

D ．由23CD CB =

得22

33CD AB AC =-，则23λ=，23

μ=-，则22

033λμ+=-=，故D 正确

故正确的是BCD ，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．

2．AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知

解析：AC 【分析】

对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A

对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，

对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即

22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，

则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53

λ>-

，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5

λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】

本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.

3．ABD 【分析】

对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【

解析：ABD 【分析】

对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得

sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1

s S ab C =和正弦定

理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】

对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得

()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；

对于B ，若sin sin a b A B >?>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即

cos2cos2A B <，故B 正确；

对于C ，2

11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22

S ab C R A R B C R A B C ==???=，故C 错

误；

对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C

A B C B C

+=-+=--?，则

tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．

4．CD 【分析】

对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解

解析：CD 【分析】

对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出

(

)

()()

a b

a b ?≠?，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题

是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 【详解】

对于A ，若0a ≠，0a b ?=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()

cos cos a b

a b a b αα?==，而()()

a b

a b ?=，

由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以(

)

()()

a b a b ?≠?，

所以该命题是假命题；

对于C ，若非零向量a 、b 满足2

a b

a b +=+，22222a b a b a b ++?=+，所以

0a b ?=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；

对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2

，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】

本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.

5．BD 【分析】

由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】

由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握

解析：BD 【分析】

由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin 2

c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】由正弦定理可得

sin sin a c

A C

∴ sin sin 2

c C A a ==,而a c <,

∴ A C <, ∴

566

C π

π<<, 故3C π

或

π. 故选:BD. 【点睛】

本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.

6．AD 【分析】

由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得，即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以；当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】

本题考查余弦

解析：AD 【分析】

由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】

由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，

即21322

BC BC =+-，解得1BC =或2BC =. 当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6

A B π

；

当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2

π. 故选：AD 【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

7．BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为，且，所以角有两

解析：BC 【分析】

根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】

对于选项A 中：由45,70A C =?=?，所以18065B A C =--=?，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；

对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =

=<，且c b >，所以角C 有两解；

对于选项C 中：因为sin sin 17

b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解；对于选项D 中：因为sin sin 1b A

B a

=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】

本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8．ABD

【分析】

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】

对：因为，又，故可得，故，故选项正确；

对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为

解析：ABD 【分析】

利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】

对A ：因为()a b c a b a c ?-=?-?，又a b a c ?=?，故可得()

0a b c ?-=，故()

a b c ⊥-，故A 选项正确；

对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1

212

a b ?=?

=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ??

?= ???

，故B 选项正确；对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，

故C 选项错误；

对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，

则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形；又()14220AB AD ?=?+?-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；

综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】

本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.

9．BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】

由正弦定理可得，所以，

又，所以，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈??即可得解. 【详解】

由正弦定理可得sin sin AB AC C B =

，所以1

sin 2sin 2AB B C AC ?===，又30B =?，所以()0,150C ∈??，所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

10．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

11．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：，故A 错；

对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，

()

111

++++()222

AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；

对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA

?=??∠=??

=?=，故正确；

对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

12．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C 选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1

cos 2

y x =+

的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ?<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；

对于B 选项，2sin sin tan 0cos α

ααα?=>，cos tan sin 0ααα?=<，所以sin 0cos 0αα

，则角α为第四象限角，如下图所示：

则

为第二或第四象限角，B 选项正确；

对于C 选项，作出函数1

cos 2

y x =+

的图象如下图所示：

由图象可知，函数1

cos 2

y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确；对于D 选项，

tan tan 1A B <，

()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A B

π+--∴-=-===cos 0cos cos C

A B

>，cos cos cos 0A B C ∴<，

对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ?的三个内角余弦值必有一个为负数，则ABC ?为钝角三角形，D 选项正确.

故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

13．ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时

解析：ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-

故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.

14．ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】 ; ;

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD 【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可. 【详解】

0AB BC CA AC CA ++=+=;

()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;

()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=; 0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.

故选：ABCD 【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

15．ABD 【详解】

解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．

对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故正确．对于：若，当时，无法得到，故不正确．对

解析：ABD 【详解】

解：对于A ：对于实数m 和向量a 、b ，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：

()m a b ma mb -=-，故A 正确．

对于B ：对于实数m ，n 和向量a ，根据向量的数乘运算律，恒有()m n a ma na -=-，故 B 正确．

对于C ：若()ma mb m =∈R ，当 0m =时，无法得到a b =，故C 不正确．对于D ：若(,,0)ma na m n a =∈≠R ，则m n =成立，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】

本题考查相等的向量，相反的向量的定义，向量的数乘法则以及其几何意义，注意考虑零向量的情况．

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

利用平面向量的线性运算，将DE 用AB 和AD 表示，可得出λ和μ的值，由此可计算出

λμ?的值.

【详解】

E 为AO 的中点，且O 为AC 的中点，所以，()

111

244

AE AO AC AB AD ===+， ()

113444DE AE AD AB AD AD AB AD ∴=-=

+-=-，1

4λ∴=，34

μ=-.

因此，133

4416

λμ???=?-=- ???，故选：A. 【点睛】

本题考查利用基底表示向量，要充分利用平面向量的加减法法则，考查运算求解能力，属于中等题. 17．A 【分析】根据题意得出

tan tan tan A B C

a b c

==，利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==，从而可得知ABC ?为等边三角形，进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧

长. 【详解】

0a OA b OB c OC ?+?+?=，a b

OC OA OB c c

∴=--，

同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--，tan tan tan tan a A c C

b B

c C ?-=-??∴??-=-??，

tan tan tan A B C

a b c

∴

==，由正弦定理得

tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==，所以，111

cos cos cos A B C

==， cos cos cos A B C ∴==，

由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，所以，3

A B C π

===

，设ABC ?的外接圆半径为R

，则

sin a

R A

==，1R ∴=，

所以，边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133

R A ππ?=?=. 故选：A. 【点睛】

本题考查弧长的计算，涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 18．C 【分析】取,a b 夹角为3

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 19．A 【解析】

分析：由题意，在ABC ?内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．

详解：由题意，在ABC ?内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，

由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ???=，所以:3:121:4BOC ABC S S ??==，故选A ．

点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 20．A 【分析】

首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值. 【详解】

222cos AB AC BC AC BC C =+-??

312232332

=+-??

=， 2223

cos 22323

AB BC AC B AB BC +-∴===

???

又因为角B 是三角形的内角，所以6

B π

，

90BAC ∴∠=，

27sin BAD ∠=

，221

cos 1sin 7

BAD BAD ∴∠=-∠=， 21

sin cos 7

DAC BAD ∴∠=∠=

，在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD B

AD BAD ?=∠，

在ADC 中，由正弦定理可得sin sin DC C

AD DAC

∠，

()

32227217

DC DC -??

∴

=，解得：233DC =

. 故选：A 【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型. 21．D 【分析】

构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．【详解】

解：如图所示的Rt ABC ?，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，

O 为ABC ?的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，

又

M 为BC 中点，∴2AH OM =，

M 为BC 中点，

∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．

4224OM HM HM MO =+=-

故选：D ．【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和

河南省中原名校平面向量及其应用单元测试题百度文库

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