由三角函数的图像求解析式

由B x A y ++=)sin(?ω的图像求解析式

知识点归纳:

1. 利用“五点法”作sin()y A x ω?=+图像，设X x ω?=+，令X =30,,,

,2

2

2

π

π

ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象

特 征

图像上升时与x 轴的交点

图像上的“峰点”

图像下降时与x 轴的交点

图像上的“谷点”

图像上升时与x 轴的交点

x

1x

2x 3x

4x 5x

?ω+x

0 2π

π 2

3π

π2

sin()A x ω?+

A

A -

注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和?ω+x 之间的对应系

2．函数B x A y ++=)sin(?ω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点（上面的关键点）确定

①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T

π

ω2=

，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期

2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4

T

.】 ③?的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+?ωx ，2

2π

?ω=

+x ，π?ω=+3x ，2

34π

?ω=

+x ，从而根据以上等式，解出

?

考点 确定函数解析式问题

例1.⑴若函数sin()y A x ω?=+的图像（部分）如下图所示，则ω和?的取值是（ ） A 、1,3

π

ω?== B 、1,3

π

ω?==-

C 、1,26πω?==

D 、1,6

πω?==-

⑵已知函数sin(),y A x x R ω?=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为()

2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 .

⑶若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2

?π

<

）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ）

A ．126

ω?π

==， B ．123

ω?π=

=， C ．26

ω?π

==，

D ．23

ω?π

==，

例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m

经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 .

⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ω?=++,0t =时端

点P 在点0P 处,则()h m 与()min t 之间的函数关系式是 .

练习：

1. 函数)0,0)(sin(π??ω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6

(π

-

和

(,0)2

π

，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ） A 、)4

23sin(2π

+=x y B 、)42sin(2π+=x y

C 、)623sin(2π+=x y

D 、)6

2sin(2π

+=x y

2.

()()??? ??

<>>∈+=200π?ω?ω，

，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所()x f 的解析式是

A ．()()R x x sin x f ∈??? ??+=62ππ

Ｂ．()()R x x sin x f ∈???

??+=622ππ

Ｃ．()()R x x sin x f ∈???

??+=32ππ

Ｄ．()()R x x sin x f ∈???

?

?+=322ππ

3. 已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02

A π

ω?>><<）的图象与x 轴的

交点中，相邻两个交点之间的距离为

2

π

，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.

则()f x 的解析式 . 4. 函数sin()y x ω?=+(,0x R ω∈>,

02?π≤<)的部分图象如图，则

.A 4

,2

π

?π

ω=

=

.B 6

,3

π

?π

ω=

=

.C 4,4π?πω== .D 4

5,4π

?πω=

=

5.已知函数sin()y A x ω?=+（0,||A ?π><） 的一段图象如下图所示.

则()f x 的解析式 .

6. 函数sin()

y A x

ω?=+()2

0,,x R πω?><∈

的部分图象如图所示，则函数表达式为 .A )4

8

sin(

4π

π

+

-=x y .B )4

8

sin(

4π

π

-

=x y

.C )48sin(4π

π--=x y .D )4

8sin(4ππ+=x y

7. 已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>)在区间

[]02π，

的图像如图所示：那么ω＝（ ） A ．1

B ．2

C ．

2

1

D ．

3

1 8. 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712

f π??

=

???

.

9. 动点),(y x A 在圆12

2

=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已

知定时t =0时，点A 的坐标是)2

3

,

21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数关系式是()sin y t ω?=+,0,02

π

ω?><<,则y 关于t 的函数解

析式是 .

三角函数的图像和性质(第一课时)

【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？

再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？L L ． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，L 及2π-，4π-，L 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，L ，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的

三角函数公式及其图像

初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数μx y=，μ是常数； 1.当u为正整数时，函数的定义域为区间 ) , (+∞ -∞ ∈ x，他们的图形都经过原点，并当u>1时 在原点处与X轴相切。且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称； 2.当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3.当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n图形于x轴相切,如果m

(2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.

(3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区 间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.

三角函数公式及图像

锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π??=- ?? ? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π??=- ?? ? 解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6 π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6 π个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解

三角函数图像求解析式

： 已知sin()cos()y A x B y A x B ω?ω?=++=++或图像求解析式 1. 利用最值求A ，B . 当 A>0时 =最大值=A+B 最小值-A+B 当 A<0时 =最大值=-A+B 最小值A+B 2. 利用最高点、最低点、零点中的两个点的横坐标之差求出周期，再利用2|| T π ω= 求ω。 3. 利用五个特殊点求?,或代入y 轴上的点求?. 例1、如图，直线 2230x y +-=经过函数 si ()()n f x x ω?=+（0ω>，||?π<）图象的最高点 M 和最低点 N ，则（ ） A 、2 π ω= ，4 π ω= B 、ωπ=， 0?= C 、2 π ω=，4 π ?=- D 、ωπ=， 2 π ?= 例2、 1.【2015新课标1】8、函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图 所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ- +∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ 2.(2016·全国卷2文)3函数y=Asin (ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( ) A.y=2sin π2x 6? ?- ??? B.y=2sin π2x 3?? - ?? ? C.y=2sin πx+6?? ?? ? D.y=2sin πx+3 ?? ?? ? 3．（2013 年高考大纲卷（文））若函数 ()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 4. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 5.已知函数 ()()() 2sin 0,f x x ω?ω?π=+><的部分图象如图所示， 已知点 ( A ， ,06B π?? ? ??，若将它的图象向右平移6 π个单位长度，得到函数 () g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为 ( )

三角函数公式大全

三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

由三角函数图象求解析式

已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 2π 3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为 ＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称， 所以f(2π3 ) ＝－f(π2)＝23. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6 π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。

【解析】由图象知最小正周期T ＝ 32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移 4π B.向左平移4 π

五点法作图正弦函数

正弦函数图象 梁翠琼 一、教学目标： 1．知识与技能的掌握 (1)学会用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象； (2)掌握五点法作正弦函数的简图； (3)掌握形如sin y k x b =+的函数图象简图的画法。 2．过程与方法的思考 (1)学会画图的一般步骤，培养动手能力； (2)会用“五点法”画正弦函数。 3．情感态度与价值观的培养 通过本节课的学习学会善于寻找,观察数学知识之间的内在联系.培养学生从特殊到一般与从一般到特殊的辩证思想方法。 二、重点和难点： 1．用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象以及利用五点法画正弦函数的简图为本节课的教学重点； 2．用五点法画形如sin y k x b =+的函数图象简图。 三、学习过程 1. 情境导入 问题一：如何画一般函数的图象？ 学生思考回答作图步骤：(Ⅰ)列表； (Ⅱ)描点 (Ⅲ)连线。 问题二：那我们能否通过描点法画正弦函数在[0,2]π内的图像, 教师与学生一起尝试描点法画图. 描点法在取函数值时，取得点越多，画出的函数图象就会越准确。 2．学导结合 (1)描点法画图： 列表------- 描点---- 连线 6 π 3 π2 π 3 2π6 5ππ 67π34π23π35π6 11ππ 20 2 12 30 1 2 1-2 3 - 2 12 30 2 1-23 -1-x y [] π2,0,sin ∈=x x y

（2）如何作正弦函数y ＝Sinx, x ∈R 的图象呢？ 学生思考,老师点拨. 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 sin ,[2,2(1)),,0y x x k k k Z k ππ=∈+∈≠的图像,与函数 sin ,[0,2)y x x π=∈一致.于是我们 只要将sin ,[0,2)y x x π=∈的图像像左向右平行移动(每次2π个单位长度)就可以得到正弦函数y ＝Sinx ，x ∈R 的图象 （3）探究深化 ①“五点法”作简图： 教师提出问题：观察y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？ 引导学生得到五个关键点。 学生回答：关键五点：（0，0）、（2 π ，1）、（π，0）、 （32π ，-1）、（2π，0）。 教师总结：事实上，只要指出这五个点，y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。 注：五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标即相应函数值； 画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。

五点法画正弦交流电波形图

五点法画正弦交流电波 形图 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

“五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Ims in(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、u-ωt波形图？ （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： ？ 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为: ？

三角函数的图像和性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为 y ＝A sin( ω x ＋φ)或y ＝A cos( ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据 y ＝ sin x ，y ＝ cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin (x )(0≤ < )是R 上的偶函数，则 等于( ) B ． C ． D ． 42 A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 变式 3.设f (x) sin( x )，其中 0，则 f (x)是偶函数的充要条件是( ) A. f (0) 1 B ． f (0) 0 C ． f '(0) 1 D ． f '(0) 0 例2.设f (x) sin(2 x )(x R)，则 f(x)是( ) 2 A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为 的奇函数 D ． 最小正周期为 的偶函数 22 结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则 k (k Z); (2) 若 y Asin( x )是偶函数，则 k + (k 2 Z); (3) 若 y Acos(x )是奇函数，则 k 2(k Z); (4) 若 y Acos( x )是偶函数，则 k (k Z); (5) 若 y A tan(x )是奇函数，则 k 2 (k Z). 变式 1.已知 a R ， 函数 f (x) sin x | a | 为奇函数， 则 a 等 于 B ． 1 C ． 1 D ． 1 【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要 变式 2.设 R ，则 “ 0”是“f(x) cos(x )(x R)为偶函数 ” 的( ) D ．无关条件

由三角函数的图像求解析式

由B x A y ++=)sin(?ω的图像求解析式 知识点归纳: 1. 利用“五点法”作sin()y A x ω?=+图像，设X x ω?=+，令X =30,,, ,2 2 2 π π ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象 特 征 图像上升时与x 轴的交点 图像上的“峰点” 图像下降时与x 轴的交点 图像上的“谷点” 图像上升时与x 轴的交点 x 1x 2x 3x 4x 5x ?ω+x 0 2π π 2 3π π2 sin()A x ω?+ A A - 注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和?ω+x 之间的对应系 2．函数B x A y ++=)sin(?ω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点（上面的关键点）确定 ①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T π ω2= ，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期 2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4 T .】 ③?的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+?ωx ，2 2π ?ω= +x ，π?ω=+3x ，2 34π ?ω= +x ，从而根据以上等式，解出

? 考点 确定函数解析式问题 例1.⑴若函数sin()y A x ω?=+的图像（部分）如下图所示，则ω和?的取值是（ ） A 、1,3 π ω?== B 、1,3 π ω?==- C 、1,26πω?== D 、1,6 πω?==- ⑵已知函数sin(),y A x x R ω?=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为() 2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 . ⑶若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2 ?π < ）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126 ω?π ==， B ．123 ω?π= =， C ．26 ω?π ==， D ．23 ω?π ==， 例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 . ⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ω?=++,0t =时端

“五点法”画正弦交流电波形图

“五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t 值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Imsin(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、 u-ωt波形图 （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为:

根据三角函数图像求解析式经典题型分析

根据三角函数图像求解析式经典20题 1是函数π 2sin()2 y x ω???? =+< ?? ?的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π 116ω?==， Ｂ．10π116 ω?= =-， Ｃ．π 26 ω?==， Ｄ．π 26 ω?==-， 2、若函数k x A y ++=)sin(?ω的最大值为5，最小值为－1，则函数A =____k =_______。 3、下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) （A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π =- （D ）sin(2)6y x π=- 4、已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右上图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω== B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω== D. 6 ,2π ?ω- == 5、将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移 6 π 个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6 y x π =+ B ．sin()6 y x π =- C ．sin(2)3y x π =+ D ．sin(2)3 y x π =- .6、设函数)(x f = )2sin(?+x （0<<-?π），)(x f 图像的一条对称轴是直线8 π = x ， 则? 的值为（ ）A ．2π B ．π C ．2π D ．4 π 7、函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则

A ．4 ,2 π ?π ω= = B ．6 ,3 π ?π ω= = C ．4,4π?πω== D ．4 5,4π ?πω== 8、函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图 所示，则函数表达式为） （A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π -π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)4 8sin(4π +π=x y 9、函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。（其中 π?πω<<->>,0,0A ） 10、已知函数k x A y ++=)sin(?ω (A >0，ω>0，|?|<π)在同一周期内，当9 π =x 时取 得最大值1，当9 4π =x 时，取得最小值0，求函数的表达式。 11、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0，ω>0，|?|<π) 的图象的一段如图，求它的解析式。 12、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0，ω>0，|?|< 2 π )的图象如图，求函数的解析式。 y x π 6 - 2 3 π 3 2 y x 2 1 -1 -2 π 12 11 O

三角函数图像公式大全

幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号 sin α·csc α cosα·secα tan α·cot α 三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且 x≠kπ+ ,k ∈Z ｝ 2 ｛x ｜x ∈R 且 x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2k π+ 时 2 y max =1 x=2kπ- 时 y min =-1 2 ［-1,1］ x=2kπ 时 y max =1 x=2kπ+π 时 y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数

在［2kπ - 2 ,2kπ+ 2 ］在(kπ- 2 ，kπ+ 2 )内都 上都是增函数；在是增函数(k∈Z) ［2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 3 π］上 都是减函数(k∈Z) 反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈〔- , 22 〕的反函数，叫做反 正弦函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数，叫做反 余弦函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- , ) 22 的反函数，叫做反正切 函数，记作x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的 反函数，叫做反余 切函数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于［- , ］ 22 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于 ［0，π］，且余弦 值等于x的角 arctanx表示属于(- , 2 )，且正切值等于x 2 的角 arccotx表示属于 (0，π)且余切值等于 x 的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- ，］ 22 ［0，π］(- ，) 22 (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函 数 在［-1，1］上是减 函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减 函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π- arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 周期性都不是同期函数 单调性 在［2kπ-π，2kπ］上都是 增函数；在 ［2kπ，2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都 是减函数(k∈Z)

由图像或性质求三角函数解析式的方法

求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6 π 353 46124 T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2 122 ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π +x 点评：由图像确定解析式，观察图像的 特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π? ?=- ??? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π? ?=- ??? 解：从图象看出， 41T =1264 πππ +=，所以函数的最小正周期为π，函数应为

y=sin 2x 向左平移了 6π个单位，即 sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236 x x x πππ π +=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6π 个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象 的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解 例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8 π = x 。求()y f x =的解析式。 解：对称性特殊赋值切入，8 x π = 是函数()y f x =的图像的对称轴， ()()88 f x f x ππ ∴+=- 令8x π = ，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2 π ???+=，tan 1?∴=。 0π?-<< ， 34π?∴=- 故3()sin(2)4 y f x x π ===- 点评：特殊赋值这是演绎推理的具体表现，特别是利用对称性待定系数时， 更显示出它的价值 4 利用方程组求解 例4：已知函数()cos()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的奇函数，其图象关于点)0,4 3( πM 对称，且在区间]3,0[π 上是单调函数。求函数()y f x =的解析式。 解：由图像过原点和其对称性构建方程组切入，由函数()f x 是R 上的奇函数得(0)cos 0(1)f ?== ； 由函数()f x 图象关于点)0,43( πM 对称得：33()cos()0(2)44 f ππω?=+= ； 在()f x 区间[0,]3 π 上是单调函数得：(3)342||T ππω≤= ；

已知三角函数图象求解析式方法例析

已知三角函数图象求解析式方法例析 已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下． 一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半． 二、 ω值的确定方法： 方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝T π2求得ω 的值． 方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值． 三、 φ值的确定方法： 方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2 π、π、2 3π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对 应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1 +φ＝

0、 ωx 2 +φ＝2 π、ωx 3+φ＝π、ωx 4 +φ＝2 3π、ωx 5 +φ＝ 2π,由此可求出φ的值。 方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值． 方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）． 四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值． 另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2 π) 的图象，那么正确的是（ ） Ａ.ω＝11 10, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6 π Ｃ．ω＝２，φ＝6 π Ｄ．ω＝２，φ＝－6 π , 解：可用“筛选选项法”． 题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0 排除B 和D ，由A,C 知φ＝6 π； ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1 因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω〃12 11π+6 π＝2π 解得ω＝２， 故选C ． 例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段, （A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2 π））,求该函数的解析式． 12 11π1211π x y 0 2 -2

三角函数,反三角函数公式大全

三角函数公式 倍角公式 2ta nA tan 2A = 2 Sin 2A=2Si nA?CosA 1-ta n 1 2A 2 2 2 2 Cos2A = CoS 2A-Si n 2A=2Cos 2 A-1=1-2si n 2A 三倍角公式 3 3 sin3A = 3sinA-4(sinA) cos3A = 4(cosA) -3cosA π π tan3a = tana? tan(—+a) ? tan(--a) 3 3 半角公式 积化和差 SinaSinb = 1 1 -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 一 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 2 1 COSA tan(A)=^°^=^n ^ Sina=— 两角和公式 sin( A+B) = Sin AcosB+cosAs inB cos(A+B) = cosAcosB-si nAsinB sin( A-B) = Sin ACOSB-COSAS inB COS(A-B) = cosAcosB+si nAsinB tan( A+B)= tanA tanB 1- ta nAta nB tan( A-B)= tanA 「tanB 1 tan Ata nB cot(A+B)= cotAcotB -1 cotB cotA COt(A-B)= cotAcotB 1 COtB-COtA .z A * -cos A Sin(I ) ^ 2 A cos()= 2 1 cos A tan 自 =J≡≡ A COt q ) = Sin a+s in b=2s in a 「b cos — 2 Sin a-s in b=2cos Sin a 「 b 2 cosa+cosb = 2co a —b cos — 2 COSa-COSb = -2sin Sin tan A+ta nB=si n(A+B)∕cosAcosB tan A-ta nB=si n(A-B)∕cosAcosB ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB -ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB a b