Bessel函数应用例
《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例
组别：第十三组
小组成员：唐文岐、高成振、
林慧平、邹三泳、
郭凯
目录
封面 (1)
目录 (2)
文章说明 (3)
摘要 (3)
关键词 (3)
正文 (4)
Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4)
一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4)
二，衍射的分类 (5)
三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6)
四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6)
五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8)
六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11)
Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14)
一，单音信号的调频 (15)
二，贝塞尔函数的渐进公式 (16)
三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17)
四，卡森公式的推导 (20)
五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21)
总结 (22)
参考文献 (23)
文章说明：
本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。
摘要：
物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。
关键词：
Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数
正文
Section 1 Bessel函数在衍射中的应用
一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式
衍射可由惠更斯-菲涅尔原理解释：惠更斯提出，媒介上波阵面的各点，都可以看成是发射子波的波源，其后任意时刻这些子波的包迹，就是该时刻新的波阵面。菲涅尔完善了惠更斯原理，他提出波前上每个面元都可以视为子波的波源，在空间某点P的振动是所有这些子波在该点产生的相干振动的叠加，称为惠更斯-菲涅尔原理，即
U P=K U0Q F(θ0,θ)e ikr r
∑
d∑
其中，U P为P点(振动点)的复振幅，K为比例常数，U0Q为Q点
(点光源)的复振幅，F(θ0,θ)为倾斜因子，e ikr
r
为球面波因子，为次波中心周围面元的面积，θ0和θ分别是场源S和场点P相对于次波面元的方向角。
取一个封闭的波前(连续分布的曲面)，则所有次波中心发出的次波在P点的复振幅就是以下的曲面积分：
U P=K?
∑U0Q F(θ0,θ)
e ikr
r
d∑
基尔霍夫导出K=?i
λ=e?i
π
2
λ
，倾斜因子Fθ0,θ=1
2
cosθ0+
cosθ ，因此得到：
U P=e?iπ
2λ
?
∑
U0Q(cosθ0+cosθ)
e ikr
r
d∑
称为菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式，可以用来处理光的衍射问题。
二，衍射的分类
光的衍射主要分为2种：菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射。光源和观察点距障碍物为有限远的衍射称为菲涅尔衍射；光源和观察点距障碍物为无限远的衍射，即平行光衍射为夫琅禾费衍射。
三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立：
Q点发出沿任意方向光线r，与光轴夹角为θ。过中心O点作与r同方向的光线r0，取坐标如下：r0与轴线所在平面为xOz平面，z为光轴。过Q作与r，r0垂直的平面，与r0和x轴分别交于B，A点，则A，B与r0垂直。r0与yOz平面交角为θ。A，Q两点发出的次波是等光程的，则任一点Q 点发出的次波与中心店O发出的次波间的光程差为OA在r0上的投影，即
Δr=?AOsinθ=?OQcosφsinθ=?ρcosφsinθ
U P=K?U0ρ,φFθ0,θe ik(r0?ρcosφsinθ)
r
d
=KU00,0e ikr0
f
e?ikρcosφsinθρdφdρ（取实部）
=KU00,0e ikr0
ρdρ
R
cos?(
2π
ρcosφsinθ)dφ
2π
四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导上面已经得到：
U P = KU 0 0,0 e ikr 0f ρdρR 0 cos ?(2πλρcosφsinθ)dφ2π0
令m =2πRsinθλ=kRsinθ，则有：
U P = KU 0 0,0 e ikr 0f ρdρR 0 co s m R
ρcosφ dφ2π0 下面证明： cos ?(m R ρcosφ)dφ2π0=2πJ 0 m R ρ
令y = cos ?(xcosφ)dφ2π
0，即x =m R ρ,则
y ′= ?cosφsin (xcosφ)dφ2π
y ′′= ?cos 2φcos (xcosφ)dφ2π
代入方程x 2y ′′+xy ′+x 2y ，得到：
[x 2sin 2φcos xcosφ ?xcosφsin?(xcosφ)]dφ2π
=?xsinφsin (xcosφ)|02π=0
故y 满足0阶Bessel 方程，其解的形式应该为：
y =αJ 0 x +βY 0(x )
此时，x =m R ρ，当x =0时，y = 1dφ=2π2π
0，
因为J 0 0 =1，lim x→0Y 0(x )=∞，所以α=2π，β=0。所以：
y =2πJ 0 x ，x =m ρ
则
U P = KU 0 0,0 e ikr 0f ρdρR 0 cos?(m R
ρcosφ)dφ2π0
=2πR m KU 0 0,0 e ikr 0f m R
ρJ 0 m R ρ dρR
在这里用Bessel 函数的递推公式：
dJ n(m) dm +
nJ n(m)
m
=J n?1(m)
在上式中不妨取x=m
R
ρ，则
U P=2πR
m
KU00,0
e ikr0
f
xJ0x d
x
m
R
m
=2πR2
KU00,0
e ikr0
xJ0x dx
m
=2πR2
KU00,0
e ikr0
x
dJ1x
+
J1x
dx
m
=2πR
m
2
KU00,0
e ikr0
f
xJ1x|0m
=2πR2
KU00,0
e ikr0
J1m
其中m=kRsinθ，k=2π
λ
为波数，R为光源到前波面的距离，θ为场点P相对于次波面元的方向角。
则得到夫琅禾费圆孔衍射P点光强公式为I P=I0[2J1m
m
]2，I0为m=0时（中心）的光强，即θ=0。
五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导：
1，中央亮斑，同心圆环,明暗交错,不等间距：
由光强公式在Mathematics上作得图样为：
当光强为零时，出现暗纹；反之，则是明纹；
所以可以看出，其衍射图样在中心为一亮圆斑，外侧为明暗相间的环状条纹。
2，光强分布
前三个最大和最小的位置及相对光强度
被第一极小（暗纹）所包围的中央亮斑为爱里斑，衍射光的弥散程度可以用爱里斑半径的张角θ表示，由于当θ很小时，sinθ≈θ，所以有艾里斑的角半径
λ
δθ=1.22
其中，λ是入射光的波长，D为衍射屏上的圆孔直径。
令I(P)=0；即第一条暗纹出现的位置。
可解得：m=3.83171
m=2ПR SINθ
Л
于是得到艾里斑半角宽度公式
δθ=sinθ=0.609836λ
R
=1.22
λ
D
3.各亮纹光强能量分布：
在半径为r~r+dr、面积为2πrdr的环带内的能量正比于I(r)2πrdr;半径为r的圆内的相对光能为
通过积分，容易求得上述的能量分布表达式。
六，弗朗禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导：
AB表示半径为R的圆孔，设平行光垂直于圆孔的平面入射时，现在来计算光通过该孔后的夫琅禾费衍射，先讨论圆孔形波阵面沿着与法线成θ角方向传播的所有次波在观察点P叠加所产生的振动的振幅，在圆孔边缘A附近处的波阵面ds在考察点P引起的振动，由惠更斯－
菲涅尔原理有
dy A=
A0
πR2
dScos(wt?kr0)
式中，为A点到P点的距离，k=2π
λ
.
圆孔波阵面上任一面元dS，它在P点引起的振动可以写成
dy=
A0
πR2
dScos[wt?k(r0+δ)]
式中，δ为该面元与A点的面元到A点的光程差，即该面元在直径AB上的投影点C与A在θ方向的光程差，由图可得此值为
δ=(R+ρcosφ)sinθ
式中，ρ为该面元到圆孔中心的距离；φ为该面元的半径对AB的夹角
dS=ρdφdρ
故
dy =A 0πR 2cos ?[wt ?k (r 0+(R +ρcosφ)sinθ)]ρdφdρ =A 0πR 2
cos ?[k (r 0+(R +ρcosφ)sinθ)?wt ]ρdφdρ 用复数表达则为
dy =A 0πR 2 ρdφdρe i k (r 0+Rsinθ ?wt ]e ikρcosφsinθ 将圆孔波阵面上所有面元在P 点的作用叠加起来，可得到P 点的振动为
y = dy S
= A 0πR 2 ρ2π0R
0e i k (r 0+Rsinθ ?wt ]e ikρcosφsinθdφdρ =A 0πR 2e i k (r 0+Rsinθ ?wt ] ρ2π0
R 0e ikρcosφsinθ dφdρ 由此可知，所考察点的和振幅A 决定于上式的积分部分，记为A p
A p =A 0πR 2 ρ2π0
R 0e ikρcosφsinθ dφdρ 将其中的e ikρcosφsinθ用贝塞尔函数展开有：
e ikρcosφsinθ=J 0 kρsinθ +2 i n J n kρsinθ ∞
n =1
cosnφ
代入原方程有
A p =A 0πR 2 ρ2π0R 0 J 0 kρsinθ +2 i n J n kρsinθ ∞
n =1cosnφ dφdρ 第二项由于存在 cosnφ2π
dφ，故积分为0，因此
A p=
A0
πR2
ρ
2π
R
J0kρsinθdφdρ=
2A0
R2
ρ
R
J0kρsinθdρ
将其中的零阶贝塞尔函数展开有
J0kρsinθ=
?1n
n!2
∞
n=0
kρsinθ
2
2n
代入可得
A p=2A0
R2
ρ
R
?1n
n!2
∞
n=0
kρsinθ
2
2n
dρ
=2A0
R2
R
?1n
n!2
∞
n=0
ksinθ
2
2n
ρ2n+1dρ
=2A0
2
?1n
2
∞
n=0
ksinθ2n1
ρ2n+2|0R
=2A0
?1n
2
∞
n=0
ksinθ2n1
R2n
=A0
2
kRsinθ
?1n
n!2
∞
n=0
1
2
2n1
2n+2
(kRsinθ)2n+1 =A0
2
kRsinθ
J1kRsinθ
最后得到P点的光强公式为
I=A022J1kRsinθkRsinθ
2
令x=kRsinθ，得到
I=A022J1x
x
2
这里得到的结果与之前的结果一致，殊途同归！
Section 2．Bessel函数在通信电路中的应用
在第一部分我们讨论了bessel函数在光学衍射中的应用。同时，结合电子专业的实际，我们又研究了在通信电路中信号调频时贝塞尔函数的应用情况。
一，单音信号的调频
由贝塞尔函数的渐进公式，当z>>0时：
Jn z~2
πz cos?(z?π
4
?n?π
2
),z->∞
对于单音信号:v f t=VΩm cosΩt;
调制出的瞬时频率为:
ωF t=ωc+k FM v f t=ωc+k FM VΩm cosΩt=ωc+Δωm cosΩt 其中，Δωm=k FM VΩm为最大频偏。
对频率积分可得调频波的相位为：
φF t=ωF t dt
t
0+φ0=ωc t+
Δωm
sinΩt+φ0
其中，定义调制指数：
m F=Δωm
Ω
=
Δf m
F
则得到单音调频波的公式：
v FM t=V cm cos(ωc t+m F sinΩt+φ0)
复数形式表示单音调频波：
v FM t =V cm e j (ωc t +m F sin Ωt +φ0)=V cm e
j ωc t e jφ0e jm F sin Ωt 其中的周期信号e jm F sin Ωt 可以通过Fourier 级数分解，分解成nΩ频率分量的叠加，结果如下：
e jm F sin Ωt =∑J n (m F )e
jn Ωt ∞n =?∞（具体如何展开见附页） 于是可得到调频波复数形式的Fourier 级数展开： v FM t =V cm e j ωc t e jφ0e jm F sin Ωt =V cm J n (m F )e
j ωc t e jφ0e jn Ωt ∞
n =?∞
=V cm J n (m F )∞n =?∞
e
j (ωc t +m F sin Ωt +φ0) 对它取实部，可得调频波实数形式的Fourier 级数展开：
v FM t =Rev FM t =V cm J n (m F )∞
n =?∞
cos( ωc +nΩ t +φ0)
于是，调节好的信号就带有了贝塞尔函数的项，因而我们可以利用贝塞尔函数的性质来研究单频信号经过调制之后在不同频段的分布。
二，贝塞尔函数的渐进公式：
当n >0，m F ? n 2?1
4 时，Bessel 函数的渐近形式如下：
J n m F → 2F cos(m F ?nπ?π) 其中，振幅
2πm F 随m F 的增大而减小， 2πm F 的导数为? 1
2πm F ?32。由于m F 非常大，所以? 1
2πm F ?32接近于0，因此
振幅的变化已经不明显，因此，当m F 很大时，J n (m F )呈现近似的周期性的变化规律，如下图所示。下图为J 1(m F )的变化规律，从图中易看出，当m F 较大时，振幅的变化越来越小。
三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系
J n
2∞
n =?∞
m F =1 由于调频信号为电压信号，所以可以用信号幅度的平方来
表示功率的大小。因此，Bessel 函数的上述性质表示：调频波的功率被分配到了所有的频率分量上，这些频率分量的功率之
020406080100120140160180200
-0.50
0.5
1
和为调频波的总功率。
接下来，作出常见的0到5阶的贝塞尔函数：
从图中可以看出，当m F=2时，n从0到5的贝塞尔函数取值分别代表频率为：ωc+nΩ的频率分量。
查表可知，当m F为2时，ωc频率分量的幅值为0.2239，ωc+Ω的频率分量最大，为0.5767，同时可以从表中看出，当m F的值一定时，贝塞尔函数只在有限阶有取值，当n较大，即阶数过高时，贝塞尔函数的值可以忽略。又如，当m F取1的时候，根据不同阶贝塞尔函数的取值，频谱分量如下：
因此，虽然从理论上讲，调频波可以有无数多的边频，带宽为无限宽，带由于贝塞尔函数的性质的限制，我们取工程上容许的精度就可以了，通常情况下
四，卡森公式的推导
当n>m F+1时，由关系:
J n(m F)<0.1
∴J n2(m F)<0.01
因此，当n比较大时，ωc±nΩ频率分量分配到的调频波功率J n2m F小于0.01，可以忽略不计。
我们取n 3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 （一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成x的关系式是。 2．A、B 途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h， 那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式 是。 3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式 是；反比例函数关系式是。 （二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm） 之间的函数关系用图象来表示是。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、 B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、 S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3 C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3 x y -1 O 2 x y B A O C （三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C 第一类贝塞尔函数 图2 0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数（贝塞尔J函数）曲线 （在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“J函数”，敬请读者留意。） 第一类α阶贝塞尔函数Jα(x)是贝塞尔方程当α为整数或α非负时的解，须满足在x= 0 时有限。这样选取和处理Jα的原因见本主题下面的性质介绍；另一种定义方法是通过它在x= 0 点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于α为非整数）： 上式中Γ(z)为Γ函数（它可视为阶乘函数向非整型自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的 形状大致与按速率衰减的正弦或余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介 绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着x的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数Jα(x)的曲线（α = 0,1,2）。 如果α不为整数，则Jα(x)和J?α(x)线性无关，可以构成微分方程的一个解系。反之若α是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系： 于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与Jα(x)线性无关的另一解，需要定义第二类贝塞尔函数，定义过程将在后面的小节中给出。 贝塞尔积分 α为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出： （α为任意实数时的表达式见参考文献[2]第360页） 这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，而且他还从该定义中推出了函数的一些性质。另一种积分表达式为： 和超几何级数的关系 贝塞尔函数可以用超几何级数表示成下面的形式： 第二类贝塞尔函数（诺依曼函数） 图3 0阶、1阶和2阶第二类贝塞尔函数（贝塞尔Y函数）曲线图 （在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“Y函数”，敬请读者留意。） 实际问题与反比例函数（1） 1．京沈高速公路全长658km，汽车沿路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）,（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？5．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天, （1）则y与x之间有怎样的函数关系 （2）画函数图象 （3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 实际问题与反比例函数 (二) 达标练习： 1、某蓄水池的排水管每小时排水8米3，6小时可交将满池水全闻排空。 （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果每小时排水量达到Q（米）3，那么将满池水排空所需时间为t(小时)， 写出t 与Q 之间的函数关系。 2、学校锅炉旁建有一个储煤为库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完。若每天耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天。 （1） y 与x 之间有怎样的函数关系？ （2） 请画出函数图象； （3） 若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 巩固提高 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位） （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 实际问题与反比例函数（三） 求反比例有关的面积 1、如图2，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x y 8 于点B ，连结BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，△BOD 面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1 S 2。（选填“>”“<”或“＝”）面积= 。 O x y 图2 A B D P C 贝塞尔函数 当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22222 2222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)() u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得 2 2 2 2 2 ( )V V VT a T x y ??'=+ ?? 或 2 2 2 2 2 (0)V V T x y a T V λλ??+'??= =-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程 2 0T a T λ'+= （5.4） 2 2 2 2 0V V V x y λ??+ +=?? （5.5） 从（5.4）得 2 ()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。为了求出这个方程满足条件 2 2 2 0x y R V +== （5.6） 的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得 22 222 110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=????+++=<≤≤??????=≤≤? 再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ， 代入（5.7）并分离变量可得 ()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9） 2 2 ()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10） 一、选择题 1. （2011?泰州，5，3分）某公司计划新建一个容积V （m 3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S （m 2）与其深度h （m ）之间的函数关系式为错误!未找到引用源。(0)v S h h =≠，这个函数的图象大致是（ ） A 、 B 、. C 、. D 、. 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：几何图形问题；数形结合。 分析：先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性质解答．注意深度h （m ） 的取值范围． 解答：解：根据题意可知：(0)v S h h =≠错误!未找到引用源。， 依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分． 故选C ． 点评：主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解 题．反比例函数y=错误!未找到引用源。的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限； 当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2. （2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x ，y ，它的面积为3，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：图表型。 分析：根据题意有：xy=3；故y 与x 之间的函数图象为反比例函数，且根据x y 实际意义x 、y 应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C ． 解答：解：∵错误!未找到引用源。xy=3， ∴y=错误!未找到引用源。（x＞0，y＞0）． 故选C． 点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．3.（2011黑龙江大庆，4，3分）若一个圆锥的侧面积是10，则下列图象中表示这个圆锥 母线l与底面半径r之间的函数关系的是（） A、B、C、D、 考点：圆锥的计算；反比例函数的图象；反比例函数的应用。 专题：应用题。 分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可．解答：解：由圆锥侧面积公式可得l=错误!未找到引用源。，属于反比例函数． 故选D． 点评：本题考查了圆锥的计算及反比例函数的应用的知识，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系． 4.（2011?南充，7，3分，）小明乘车从南充到成都，行车的平均速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（） A、B、 C、D、 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：数形结合。 分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v=错误!未找到引用源。，则v是t的反比例函数，且t＞0． 解答：解：∵v=错误!未找到引用源。（t＞0）， ∴v是t的反比例函数， 故选B． 点评：本题是一道反比例函数的实际应用题，注：在路程不变的条件下，v是t的反比例函数． 题目：贝塞尔函数及其应用 摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程,并求出贝塞尔方程的解，即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公式，零点性质等,并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶－贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用,一个是在物理光学中的应用，着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式 目录 一、起源.......................................................................................................... 错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出...................................................................... 错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔方程的引出?错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 2. 第二类贝塞尔函数 (6) 3. 第三类贝塞尔函数?错误!未定义书签。 4. 虚宗量的贝塞尔函数................................................................... 错误!未定义书签。 （二）贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 （三）半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 (四) 贝塞尔函数的零点?错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性................................................................ 错误!未定义书签。 三、 Fourｉer－Bｅssｅｌ级数?错误!未定义书签。 (一) 傅里叶－贝塞尔级数的定义?错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开?错误!未定义书签。 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一）贝塞尔函数在光学中的应用...................................................... 错误!未定义书签。 (二）贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 ................................................................................................................... 错误!未定义书签。 反比例函数的实际应用 第一部分：知识点回顾 详解点一、反比例函数在实际问题中的应用 在解决实际问题时主要应用反比例函数的性质：在 中，当0k >时，在每个象限内，y 随x 的 增大而减小；当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 说明：（1）在实际问题中，k 都取大于零的值。 （2）实际问题中的自变量一般为正数，因此图象一般只在第一象限内。 详解点二、利用反比例函数解决实际问题 反比例函数的性质在实际生活中应用广泛，在运用时要看清问题中的数量关系，充分利用数形结合来解决。主要考点有： 考点1、对实际问题的反比例函数图象的考查 考点2、反比例关系的确定及其应用 考点3、反比例函数与一次函数在实际问题中的综合应用 第二部分：例题剖析 例1．（2009年青岛市）一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图4所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么此用电器的可变电阻应（ A ） A ．不小于Ω B ．不大于Ω C ．不小于14Ω D ．不大于14Ω 分析：本题是与物理学中的有关知识相结合，必须借助物理知识，建立数学模型，从而使问题获解．解这类题的一般步骤是：（1）由图象可知，是一支双曲线，因而可判断该函数为反比例函数， 故可设m I R = ，问题便可解决；2）将数字代入，解方程即可；（3）解简单的不等式即可． 解：由图象可知，是一支双曲线，故可设m I R =，将（6，8）代入得：m=48，所以， 48I R =，又由题意得：48R ≤10，所以I≥，故选A ． 6 O R /Ω I /A 8 图4 n阶第一类贝塞尔函数() J x n 第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数() Y x n 第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)() H x n 第一类变形的贝塞尔函数() I x n 开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数 在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所 以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。 §5.1 贝塞尔方程的引出 下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。 这个问题可以归结为求解下述定解问题： 2222 22222 22222 0(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ?=+=???=++<>???=+≤= (5.3)?????? ??? 用分离变量法解这个问题，先令 (,,)(,)()u x y t V x y T t = 代入方程（5.1）得 222 22()V V VT a T x y ??'=+?? 或 《复变函数与数理方程》Project 名称：Bessel函数应用例 组别：第十三组 小组成员：唐文岐、高成振、 林慧平、邹三泳、 郭凯 目录 封面 (1) 目录 (2) 文章说明 (3) 摘要 (3) 关键词 (3) 正文 (4) Section 1Bessel函数在衍射中的应用 (4) 一，菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式 (4) 二，衍射的分类 (5) 三，夫琅禾费圆孔衍射数学模型的建立 (6) 四，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的推导 (6) 五，夫琅禾费圆孔衍射常见结论的推导 (8) 六，夫琅禾费圆孔衍射光强公式的另一种推导 (11) Section 2 Bessel函数在通信电路中的应用 (14) 一，单音信号的调频 (15) 二，贝塞尔函数的渐进公式 (16) 三，贝塞尔函数图像与调制频率的关系 (17) 四，卡森公式的推导 (20) 五，贝塞尔函数级数展开的理论说明 (21) 总结 (22) 参考文献 (23) 文章说明： 本学期我们在数理方程的课堂上学习了贝塞尔函数的相关内容，贝塞尔函数性质很特殊，它在物理和工程中的广泛应用更是引起我们强烈的兴趣。而学以致用，这是我们学习应用数学的目的之一。联想到在之前的课程中曾经遇到过Bessel函数，但是老师只是直接给出结论，并没有说明原因。因此，我们小组主要从《大学物理》课程中遇到的夫琅禾费圆孔衍射和《电子电路与系统基础》课程中遇到的单音信号调频两个例子对Bessel函数的应用进行讨论，希望能对Bessel 函数的魅力有更深一些的理解。 摘要： 物理学中我们熟知的夫琅禾费圆孔衍射的振幅和电路系统中单音信号调频的幅度都可以用Bessel函数来表示。因此，利用Bessel 函数对夫琅禾费圆孔衍射的振幅和单音信号调频的幅度的表达式进行推导很有必要，同时也可以根据推导得到的公式进行理论的分析和现有结果的解释。另外，根据得到的函数表达式，还可以利用数学软件进行模拟，以期得到更直观的结果，也可以加深对于Bessel函数以及夫琅禾费圆孔衍射、单音信号调频的理解。 关键词： Bessel函数，夫琅禾费圆孔衍射，振幅，光强，调频，频率，幅度，调制指数 反比例函数在实际生活中的运用 反比例函数和其它函数一样，在我们的日常生活中有着广泛的应用.那么如何才能正确在利用反比例函数的关系来解决实际问题呢？具体地说应从以下两个方面入手： 一、正确地探求两个变量之间的关系 和利用其它函数解决实际问题一样，要利用反比例函数的关系解决实际问题，只要求能够正确地探求两个变量之间的关系.探索反比例函数中的两个变量之间的关系同样和列方程解应用题一样，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.常见的表示数量之间的关系有以下几种情形： （1）和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数. （2）行程类问题，即路程=速度×时间. （3）工程类问题，即工作量=工作效率×工作时间. （4）浓度类问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度. （5）分配类问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系. （6）等积类问题，即变形前后的质量（或体积）不变. （7）数字类问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等. （8）经济类问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价 商品的利润×100％. （9）增长（或降低）率问题，即实际生产数＝计划数×［1+增长率（或－减少率）］，增长率＝计划数 增长数×100％. （10）图形类问题，即根据图形的特征，结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等. 贝塞尔函数 基本概念编辑 是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数： 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。 贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数变化而变化（相应地，被称为其对应贝塞尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为n阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 基本内容编辑 贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为'''贝塞尔方程'''）的标准解函数。 这类方程的解无法用初等函数系统地表示。但是可以运用自动控制理论中的相平面法对其进行定性分析。 这里，被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为是整数，对应解称为阶贝塞尔函数。 尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对和定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来 好处，比如消除了函数在点的不光滑性）。 定义 贝塞尔方程是一个二阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。针对各种具体情况，人们提出了这些解的不同形式。下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。 历史 几个正整数阶的贝塞尔函数早在18世纪中叶被瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出，当时引起了数学界的轰动。雅各布·伯努利，莱昂哈德·欧拉|欧拉、约瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家弗里德里希·威廉·贝塞尔在研究约翰内斯·开普勒提出的三体万有引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。 现实背景和应用范围 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； * 圆柱体中的热传导定律|热传导问题； 20.3.1 贝塞尔函数的递推公式 由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出 1J () J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d v v v v x x x x x -= (20.3.2) 以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足 上述递推关系． 若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x -= (20.3.3) 1d [()]()d v v v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4) 把两式左端展开, 又可改写为 1()()() v v v Z x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()() v v v Z Z x Z x x ν-'+= (20.3.6) 从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得 11()()2()v v v Z x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v v Z x Z x Z x x +-=-+ 即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式. 上式也可以写成为 11()()2() v v v v Z x Z x Z x x -++= （20.3.7） 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8） 任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数． 例 20.3.1 求 2 J ()d x x x ? 【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有 201 J ()J ()2J ()x x x '=- 2 1 1 1 1 1 1 1 J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c '=-=--'=-+=--+????? 20.3.2贝塞尔函数正交性和模 1．正交性 对应不同本征值的本征函数分别满足 2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9) 2013中考全国100份试卷分类汇编 反比例函数应用题 1.（13曲靖模拟）某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图像是（） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象． 【分析】根据题意有：x=Q n ；故y与x之间的函数图象双曲线，且根据x，n的实际意义x， n应大于0；其图象在第一象限．【解答】解：∵由题意，得Q=x n， ∴x=Q n ， ∵Q为一定值， ∴x是n的反比例函数，其图象为双曲线， 又∵x＞0，n＞0， ∴图象在第一象限． 故选B． 【点评】此题考查了反比例函数在实际生活中的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 【已用书目】 2.（13绍兴模拟）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例 关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（） 第2题图 A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50 【考点】反比例函数的应用． 【分析】第1步：求出两个函数的解析式； 第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间； 第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段； 第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论． 【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟， 设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30 ∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2； 设反比例函数关系式为：y=k x ，将（7，100）代入y= k x 得k=700，∴y= 700 x ， 将y=30代入y=700 x ，解得x= 70 3 ； ∴y=700 x （7≤x≤ 70 3 ），令y=50，解得x=14． 所以，饮水机的一个循环周期为70 3 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤ 70 3 时 间段内，水温不超过50℃．逐一分析如下： 选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣70 3 ×3=15，位于14≤x≤ 70 3 时间段内，故可 行； 选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣70 3 ×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤ 70 3 时间 段内，故不可行； 选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣70 3 ×2= 40 3 ≈，不在0≤x≤2及14≤x≤ 70 3 时间段内，故不可行； 选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣70 3 ×2= 25 3 ≈，不在0≤x≤2及14≤x≤ 70 3 时间段内，故不可行． 综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意． 2011全国中考真题解析120考点汇编 反比例函数的实际应用 一、选择题 1. （2011?泰州，5，3分）某公司计划新建一个容积V （m 3）一定的长方体污水处理池，池的底面积S （m 2）与其深度h （m ）之间的函数关系式为(0)v S h h =≠，这个函数的图象大致是（ ） A 、 B 、. C 、. D 、. 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：几何图形问题；数形结合。 分析：先根据长方体的体积公式列出解析式，再根据反比例函数的性 质解答．注意深度h （m ）的取值范围． 解答：解：根据题意可知：(0)v S h h =≠， 依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在 第一象限内的部分． 故选C ． 点评：主要考查了反比例函数的应用和反比例函数的图象性质，要掌 的图象是双曲线，握它的性质才能灵活解题．反比例函数y=k x 当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限； 当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2.（2011湖北咸宁，5，3分）直角三角形两直角边的长分别为x， y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（） A、B、C、D、 考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象。 专题：图表型。 分析：根据题意有：xy=3；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；故可判断答案为C． 解答：解：∵xy=3， ∴y=（x＞0，y＞0）． 故选C． 点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 3.（2011黑龙江大庆，4，3分）若一个圆锥的侧面积是10，则下 列图象中表示这个圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系的是（） A、B、C、D、 考点：圆锥的计算；反比例函数的图象；反比例函数的应用。 专题：应用题。 分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求得圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系，看属于哪类函数，找到相应的函数图象即可． 解答：解：由圆锥侧面积公式可得l=，属于反比例函数． 故选D． 点评：本题考查了圆锥的计算及反比例函数的应用的知识，解决本题的关键是利用圆锥的侧面积公式得到圆锥母线长l与底面半径r之间函数关系． 貝塞爾函數（Bessel Function），它們的數值可由查有關貝塞爾函數曲線或查表得出，貝塞爾函數值與m f的關係如圖4-6所示。 表4-1載頻、邊頻振幅與關係表 圖4-1第一類貝塞爾函數 根據式（4-18），可以得出如下結論︰ 1.一個調頻波除了載波頻率外，還包含無窮多的邊頻，相鄰邊頻之間的頻率間隔仍是。第 條譜線與載頻之差為。 2.每一個分量的最大振幅等於。而由貝塞爾函數決定。 理論上，相角調變信號的邊頻分量是無限多的，也就是說，它的頻譜是無限寬的。一路信號要佔用無限寬的頻帶，是我們不希望的。實際上，已調信號的能量絕大部分是集中在載頻附近的一些邊頻分量上，從某一邊頻起，它的幅度便非常小（工程上習慣，凡是振幅小於未調變載波振幅的10% 的邊頻分量可以忽略不計）。根據貝塞爾函數的特點，當階數時，貝塞爾函數的數值隨著n的增加而迅速減小。所以，實際上我們可以認為，也即高低邊頻的總數等於 個，因此調頻波的頻譜有效寬度為，即頻帶寬度可以方便地算出，為 (4-19） 由於，所以式(4-19)也可寫成下列形式，即 (4-20) 這與調變頻率相同的調幅波比起來，調角波的頻帶要寬。通常，所以相角調變的頻帶要比調幅波寬得多。因此，在同樣的波段中，能容納相角調變信號的數目，要少於調幅信號的數目。因此，調頻只宜用於頻率較高的、甚高頻和超高頻段中。 關於頻帶寬度區分以下兩點說明： 3.當，也就是寬頻帶FM（WBFM）情況，式(4-19)及式(4-20)適用之。 4.當，為窄頻帶FM（NBFM），此時式（4-19）及（4-20）不再適用，由表6-1可以看出， 邊頻只取一對就夠了，即窄頻帶調頻頻譜寬度為 题目: 贝塞尔函数及其应用 摘要 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程时得到的,因此它在波动问题以及各种涉及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。它在物理和工程中,有着十分广泛的应用。 本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解,即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论,如递推公式,零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了傅里叶-贝塞尔级数，通过m ａtlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数展开之后的图像进行分析,得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用,着重分析了贝塞尔函数近似公式的误差;一个是在信号处理中调频制的应用,得到了特殊情况下的公式算法。 关键词:贝塞尔函数,傅里叶-贝塞尔级数,渐近公式 目录 一、起源?错误!未定义书签。 （一）贝塞尔函数的提出?错误!未定义书签。 （二）贝塞尔方程的引出.................................................................... 错误!未定义书签。 二、贝塞尔函数的基本概念.......................................................................... 错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数的定义........................................................................ 错误!未定义书签。 1. 第一类贝塞尔函数....................................................................... 错误!未定义书签。 ２．第二类贝塞尔函数.................................................................. 错误!未定义书签。 ３. 第三类贝塞尔函数 (9) 4. 虚宗量的贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数的递推公式?错误!未定义书签。 (三) 半奇数阶贝塞尔函数?错误!未定义书签。 （四）贝塞尔函数的零点...................................................................... 错误!未定义书签。 （五) 贝塞尔函数的振荡特性?错误!未定义书签。 三、 Fｏurｉeｒ-Bessｅl级数 (16) (一) 傅里叶-贝塞尔级数的定义............................................................ 错误!未定义书签。 （二) 将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开 (16) 四、贝塞尔函数的应用?错误!未定义书签。 (一) 贝塞尔函数在光学中的应用?错误!未定义书签。 （二) 贝塞尔函数在调频制中的应用.................................................... 错误!未定义书签。附录 (29) 新疆大学 《数学物理方法》课程教学大纲 英文名称：Methods of Mathematical Physics 课程编号：C0631002 课程类型：专业核心课 总学时：64＋64学分：8 适用对象：物理系各专业民、汉本科生 先修课程：《高等数学》、《线性代数》 使用教材：《高等数学》第四册，四川大学数学系编，高等教育出版社，1985年6月第二版；参考书：《数学物理方法》黄大奎、舒慕曾编，高等教育出版社，Springer 出版社，2001年8月。 《数学物理方程》，谷超豪，李大潜，高等教育出版社，2002年7月第二版。 一、课程性质、目的和任务 《数学物理方法》是为物理专业篇写的。它包含三个部分：复变函数论、数学物理方程和特殊函数。 对于物理专业来说，我们认为，"数学物理方法"不宜单纯作为数学课程来进行讲授与学习。它是数学课程，又是物理课程。在这样一门课程中，固然不应该将数学的严谨性弃置不顾，另一方面也不宜在数学严谨上作过多的要求。虽然在复变函数、数学物理方程和特殊函数方面有不少著名的优秀专门著作，我们仍然感到，在数学理论上不花过多的力量，以鲜明的思路引导学生掌握这些数学工具并应用与物理问题。本大纲要求学生通过学习，掌握经典数学物理方程的基本知识，以便为今后解决较复杂的数学物理问题打下良好基础，为进一步学好后继科程作一定的准备。 二、教学基本要求 本课程教学中要求学生了解数学物理方程的物理来源与有关概念的物理解释；掌握大纲中出现的概念、方法与主要结果；通过习题对课本的基本内容、基本思想、基本方法进行必要的训练，要求学生较熟练地掌握复变函数的极限、连续、解析函数、柯西定理、柯西积分、留数定理和二阶偏微分方程几种主要的定解问题求解方法。本大纲教学总学时为128学时，其中讲授92－108学时，习题20－36学时。 三、教学内容与要求 第一章：复数与复变函数 教学内容：复数的各种形式及代数运算，复变函数及其极限与连续性。 教学要求：重点掌握复数的各种形式及代数运算和复变函数及其极限与连续性。 第二章：解析函数 教学内容：复变函数的可微性与解析函数概念，初等解析函数及其特性。 教学要求：1．了解初等多值解析函数(对数函数及一般幂指数函数)的定义及计算。 2．一般掌握初等单值解析函数及其特性。 3. 重点掌握复变函数的可微性与解析函数概念。 第三章：Cauchy定理、Cauchy积分 教学内容：复变函数的积分，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。 教学要求：重点掌握柯西积分定理，柯西积分公式；复变函数的积分的计算；解析函数与调和函数的关系。 第四章：解析函数的幂级数表示 第一部分 Bessel 函数 (阶数或自变量趋于0或无穷时，各种Bessel函数的极限值，可以利用 Mathematica试算推得。) 一、Bessel方程及其通解 （1） 上式称为以为宗量的阶Bessel方程。 ●当为整数时，（1）式的通解为 （2） 其中，、为任意实数； 为阶第一类Bessel函数； 为阶第二类Bessel函数（或称为“诺依曼(Neumann)函数”）。 ●当不为整数时，例如，，（1）式的通解可表示为如下两种形式 （3） （4） 其中，、为任意实数； 和分别称为阶和阶第一类Bessel函数； 称为阶第二类Bessel函数。 另外，Bessel方程的通解还可以表示为 其中，，分别称为称为第一类和第二类汉克尔（Hankel）函数，或统称为第三类Bessel函数。 ●值得注意的是，，，，当所研究的问题的区域包含时，由于要求Bessel方程的解在处取有限值，所以，此时对（2）、（3）、（4）式而言，必有。此条件称为“Bessel方程的自然边界条件”。 例1：（） 此式为以为宗量的0阶Bessel方程，其通解为 另外，由于所求解问题的区域包含，根据Bessel方程的自然边界条件，必然有，通解最后简化为 例2：为以为宗量的阶Bessel方程，其通解为 或 例3： 上式两边同乘以，可将其化为如下的以为宗量的阶Bessel方程（） 例4： 上式两边同乘以，可将其化为如下的以为宗量的0阶Bessel方程 （） 即：（） 例5： 令，，则可以将上式化为如下的阶Bessel方程 二、虚宗量Bessel方程及其通解 （5） 上式称为“n阶虚宗量的Bessel方程”或“n阶修正的Bessel方程”，其通解为 （6） 其中，、为任意实数； 为“阶第一类修正的Bessel函数”，或称为“阶第一类虚宗量Bessel 函数”； 为“阶第二类修正的Bessel函数”，或称为“阶第二类虚宗量Bessel 函数”。 n阶虚宗量的Bessel方程也常常写为 （7） （7）式与（5）式的区别仅在于。 三、Bessel函数 1．第一类Bessel函数 1.1 第一类Bessel函数的定义式 Bessel函数的定义式为 （8） 当不为整数时，例如，，非整数阶Bessel函数为 （9） 注：求的方法 方法1）先求的数值解，再用（9）式求。 方法2）非整数阶Bessel函数也可以通过后文的递推关系得出。 当为正整数或零时，，整数阶Bessel函数的表达式为 （10） 注：求的方法 方法1）直接用（10）式求。 方法2）整数阶Bessel函数也可以通过后文的递推关系得出。注：奇数阶Bessel函数为奇函数；偶数（包括零）阶Bessel函数为偶函数；——可以在Mathematica中作图来观察。(完整版)《反比例函数的应用》综合练习及答案
Bessel函数介绍
反比例函数与实际应用 应用题
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[中考数学]反比例函数的实际应用
贝塞尔函数及其应用
反比例函数的实际应用
第五章_贝塞尔函数
Bessel函数应用例
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贝塞尔函数
贝塞尔函数
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中考数学真题解析反比例函数的实际应用(含答案)
贝塞尔函数表
贝塞尔函数及其应用
bessel函数
Bessel方程及Bessel函数