绝对值不等式的推导与应用
绝对值不等式的推导与应用
一、 绝对值不等式
|b ||a |b||a +≤- （当且仅当0≤ab 时“=”成立）
二、 证明
()成立）
时（当且仅当成立）时（当且仅当即有""00|)|(22-2)||||(""00||,||,22
=≤+≤-∴≤+-=-=+--∴=≤≥+-≥∈?ab |b||a|b||a ab ab |a||b|ab b a b a x x x x x R x 证毕。
三、 应用
的最小值求|1||2|-++x x
解：3|)1()2(|12=--+≥++x x ||x-||x
当且仅当12≤≤-x 时，“=”成立
所以最小值为3.
绝对值不等式教学设计
含有绝对值的不等式 教学目标 （1）掌握绝对值不等式的基本性质，在学会一般不等式的证明的基础上，学会含有绝对值符号的不等式的证明方法； （2）通过含有绝对值符号的不等式的证明，进一步巩固不等式的证明中的由因导果、执要溯因等数学思想方法； （3）通过证明方法的探求，培养学生勤于思考，全面思考方法； （4）通过含有绝对值符号的不等式的证明，可培养学生辩证思维的方法和能力，以及严谨的治学精神。 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 ①本节重点是性质定理及推论的证明．一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过证明过程的探求，使学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神． ②教学难点一是性质定理的推导与运用；一是证明含有绝对值的不等式的方法选择．在推导定理中进行的恒等变换与不等变换，相对学生的思维水平是有一定难度的；证明含有绝对值的不等式的方法不外是比较法、分析法、综合法以及简单的放缩变换，根据要证明的不等式选择适当的证明方法是无疑学生学习上的难点． 三、教学建议
（1）本节内容分为两课时，第一课时为含有绝对值的不等式性质定理的证明及简单运用，第二课时为含有绝对值的不等式的证明举例． （2）课前复习应充分．建议复习：当时 ； ； 以及绝对值的性质： ，为证明例1做准备． （3）可先不给出含有绝对值的不等式性质定理，提出问题让学生研究：是否等于？ 大小关系如何？是否等于？等等．提示学生用一些数代入计算、比较，以便归纳猜想一般结论． （4）不等式的证明方法较多，也应放手让学生去探讨． （5）用向量加减法的三角形法则记忆不等式及推论． （6）本节教学既要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神． 教学设计示例 含有绝对值的不等式 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝对值不等式的证明问题。 教学重点难点
绝对值不等式例题解析
典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤
当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1高考含绝对值不等式的解法
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ，
所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本 1.绝对值不等式的性质：(a ∈R ) (1)|a |≥0(当且仅当a ＝0时取“＝”)； (2)|a |≥±a ； (3)－|a |≤a ≤|a |； (4)|a 2|＝|a |2＝a 2； (5)|ab |＝|a ||b |，|a b |＝|a ||b | . 2．两数和差的绝对值的性质： |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a ＋b |＝|a |＋|b |?ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |?ab ≤0； |a |－|b |＝|a ＋b |?(a ＋b )b ≤0； |a |－|b |＝|a －b |?(a －b )b ≥0. 3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f (x )|＜a (a >0)?－a ＜f (x )＜a ； (2)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＜－a 或f (x )＞a ； (3)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )； (4)|f (x )|＞g (x )?f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )； (5)|f (x )|＜|g (x )|?[f (x )]2＜[g (x )]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 考点陪练 1.设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |； ④|a ＋b |>|a |－|b |. 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab ≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a 与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 不等式的性质与绝对值不等式 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 教学重点：掌握基本不等式的概念、性质；绝对值不等式及其解法； 教学难点： 理解绝对值不等式的解法 1、基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． 2、几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3、算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为 2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4、利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． 5、若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=” ） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 6、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =） () ()()?? ? ??<-=>=0,0,00,a a a a a a 7、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）； （4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即 ()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0 ()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 不等式的性质及绝对值不等式 1．求不等式|x＋1|＋|2x－1|>4的解集． 2．已知a，b∈R＋，且a3－b3＝a2－b2，求a＋b的取值范围．3．[2013·邯郸一模] 已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x＋2|－a)． (1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域； (2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求a的取值范围． 4．[2013·辽宁卷] 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值； (2)若??? ?f （x ）－2f ????x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 不等式的性质及绝对值不等式 1．[2013·浙大附中月考] 解不等式|log 2x －3|＋|2x －8|≥9. 2．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝????1a －1????1b －1????1c －1，求M 的取值范围． 3．[2013·长春调研] 已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 4．[2013·课程标准卷] 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围． 1．(1)x ≤－1时，原不等式可化为－x －1－2x ＋1>4，解得x <－43，此时解为x <－43 ；(2)－1 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 不等式和基本不等式 一．知识梳理 1.实数大小的比较方法 (1)作差法：a>b ?a-b>0，a>>?>b,那么b 第三十一讲 含绝对值的不等式 回归课本 1.绝对值不等式的性质：(a ∈R ) (1)|a |≥0(当且仅当a ＝0时取“＝”)； (2)|a |≥±a ； (3)－|a |≤a ≤|a |； (4)|a 2|＝|a |2＝a 2； (5)|ab |＝|a ||b |，|a b |＝|a ||b | . 2．两数和差的绝对值的性质： |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 特别注意此式，它是和差的绝对值与绝对值的和差性质．应用此式求某些函数的最值时一定要注意等号成立的条件． |a ＋b |＝|a |＋|b |?ab ≥0； |a －b |＝|a |＋|b |?ab ≤0； |a |－|b |＝|a ＋b |?(a ＋b )b ≤0； |a |－|b |＝|a －b |?(a －b )b ≥0. 3．解含绝对值不等式的思路：化去绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式．解法如下： (1)|f (x )|＜a (a >0)?－a ＜f (x )＜a ； (2)|f (x )|＞a (a ＞0)?f (x )＜－a 或f (x )＞a ； (3)|f (x )|＜g (x )?－g (x )＜f (x )＜g (x )； (4)|f (x )|＞g (x )?f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )； (5)|f (x )|＜|g (x )|?[f (x )]2＜[g (x )]2. (6)含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)的不等式，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 考点陪练 1.设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |； ④|a ＋b |>|a |－|b |. 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 两个常用绝对值不等式的应用 教学目标 理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝 对值不等式的证明问题。 教学重点难点 重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。 难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。 教学过程 一、复习引入 我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。 当时，则有： 那么与及的大小关系怎样？ 这需要讨论当 当 当 综上可知： 我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？ . 当时，有：或. 二、引入新课 由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。 那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？ 1．定理探索 和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想 . 怎么证明你的结论呢？ 用分析法，要证. 只要证 即证 即证， 而显然成立， 故 那么怎么证？ 同样可用分析法 当时，显然成立， 当时，要证 只要证， 即证 而显然成立。 从而证得. 还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示） 由与得. 当我们把看作一个整体时，上式逆用可得什么结 论？ 。 能用已学过得的证明吗？ 可以表示为. 即（教师有计划地板书学生分析证明的过程） 就是含有绝对值不等式的重要定理，即. 由于定理中对两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？ 个实数和的绝对值呢？ 亦成立 这就是定理的一个推论，由于定理中对没有特殊要求，如果用代换会 有什么结果？（请一名学生到黑板演） ， 用代得， 即。 这就是定理的推论成立的充要条件是什么？ 那么成立的充要条件是什么？ . 例1求证. 证法：（直接利用性质定理）在时，显然成立. 当时，左边 . 三、随堂练习 1．求证. 答案： 与同号 四、小结 1．定理. 把、、看作是三角形三边，很象 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”. 2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理及其 推论。 3．对要特别重视. 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2 x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{} a x a x <<-; 当0的解集是{} R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{} c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{} c b ax c x <+<-; 当0 （二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >?? ==??-++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2 x x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 （三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。 解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---< ?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ? 4 23 x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。 分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2- 不等式的性质与绝对值不等式 典题探究 例1 解不等式2＜｜2x －5｜≤7． 例2 解关于x 的不等式： (1)｜2x ＋3｜－1＜a (a ∈R)； (2)｜2x ＋1｜＞x ＋1． 例3解不等式|x －|2x ＋1||＞1． 例4.求证：221a b ab a b +≥++- 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．下列各式中，最小值等于2的是（ ） A ．x y y x + B ．4 522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+ 2．若,x y R ∈且满足32x y +=，则3271x y ++的最小值是（ ） A ． B ．1+ C ．6 D ．7 3．不等式|8－3x |＞0的解集是( ) A ．? B ．R C ．{x |x ≠ 38，x ∈R} D ．{3 8 } 4．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．｜x ＋2｜＞1 B ．｜x ＋2｜＋1＞1 C ．(x －78)2＞－1 D ．(x ＋78)2 －1＞0 5．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( ) A ．｛x ｜－2＜x ＜2} B ．｛x ｜0＜x ≤2} C ．｛x ｜－2≤x ≤2｝ D ．｛x ｜x ≥2或x ≤－2｝ 6．不等式｜1－2x ｜＜3的解集是( ) A ．｛x ｜x ＜1} B ．｛x ｜－1＜x ＜2} C ．｛x ｜x ＞2｝ D ．｛x ｜x ＜－1或x ＞2｝ 7．若0a b >>，则1 () a b a b + -的最小值是_____________。 8．函数2 12 ()3(0)f x x x x =+ >的最小值为_____________。 9．不等式｜x ＋4｜＞9的解集是__________． 10．当a ＞0时，关于x 的不等式｜b －ax ｜＜a 的解集是________． B 档（提升精练） 1．不等式｜x ＋a ｜＜1的解集是( ) A ．｛x ｜－1＋a ＜x ＜1＋a B ．｛x ｜－1－a ＜x ＜1－a } C ．｛x ｜－1－｜a ｜＜x ＜1－｜a ｜} D ．｛x ｜x ＜－1－｜a ｜或x ＞1－｜a ｜｝ 2．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是( ) A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝ B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝ C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝ D ．｛x ｜4≤x ≤9｝ 3．下列不等式中，解集为｛x ｜x ＜1或x ＞3｝的不等式是( ) A ．｜x －2｜＞5 B ．｜2x －4｜＞3 C ．1－｜ 2x －1｜≤21 D ．1－｜2 x －1｜＜21 4．已知集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{x ||x －1|＞1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．{x |－1＜x ＜0} D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3} 5． 若(,1)x ∈-∞，则函数222 22 x x y x -+=-有（ ） A ．最小值1 B ．最大值1 C ．最大值1- D ．最小值1- 6．设,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c =---，则必有（ ） A ．108M ≤< B ．1 18 M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥ 7．已知不等式｜x －2｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－1＜x ＜b }，则a ＋2b ＝ ． 8．不等式|x ＋2|＞x ＋2的解集是______． 9．解下列不等式： (1)|2－3x |≤2； (2)|3x －2|＞2． 10．求函数y = C 档（跨越导练） 1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ） A ． 2 2 33 B ． C ． D ． 33232333 2 2 解绝对值不等式的几种常用方法以及变形 前提：a 0； 形式：f （x ） =a ； f(x ） ca ； f （x ）∣κa ， f （x) Wa 等价转化为 f(x) >a = f(x ）〉a 或f （x)<—a ； f(x) va= -a 绝对值不等式的证明 知识与技能： 1. 理解绝对值的三角不等式， 2．应用绝对值的三角不等式． 过程方法与能力： 培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观： 让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。 教学重点：理解绝对值的三角不等式 应用绝对值的三角不等式． 教学难点：应用绝对值的三角不等式． 教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4）)0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0 定理（绝对值三角形不等式） 如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当a b 、为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件. 定理推广： 1212≤n n a a a a a a ++++++L L . 当且仅当都12n a a a L ，， ，非正或都非负时取等号. 探究：利用不等式的图形解不等式 1. 111<--+x x ; 2．.12≤+y x 3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34-+-x x
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