浙江大学数学分析试题答案
2003年浙江大学数学分析试题答案
一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,,
证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列
}{k n a ，a a k
n k =∞
→lim ，
所以，
ε
2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n
二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时，
ε<-)''()'(x f x f
对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x
ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g
当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时
ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在
],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?== 1 0,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -= ?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--= 1 111)(2)(2])1[(])1[(! !21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2) (2 ])1[(])1[(] )1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(1 1 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =? -+---- 1 1 ) 1(21 2] )1[(] )1[(dx x x m m m m =? ----=1 1 )2(22])1][()1[() 1(dx x x m m m m = ?---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ εξ<--∑=-n i i i i J x x f 1 1))(( ?∑=??? ??-=∞ →101 01lim dx x n n i s s n i n ，当 1->s 时，该积分收敛。 七、∑=-n k k 1 )1(有界，2 1 x n +在),(+∞-∞上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，∑∞ =+-12)1(n n x n 在),(+∞-∞上一致收敛，∑∞ =+12 1n x n 与∑∞ =11 n n 同敛散，所以发散； 当0=x 时，∑∞ =+122)1(n n x x 绝对收敛，当0≠x 时，∑∞ =+1 22 )1(n n x x 绝对收敛； e n n x x x R n n n 1 )11(11)1(1)(22→+= += 取，所以不一致收敛 八、1. ???????---=----=-+-=-=s s s s s s tdt tdt dt s t dt t s dt s t dt t s dt t s s I 0 10 1 1 10 ln ln )ln()ln()ln()ln(ln )( 11 1)(''),1ln(ln )('<---=-+-=s s s I s s s I ，当2 1 = s 时， ??+=--=-=21021 12ln )21ln 21(2ln 2)(dt tdt s I 2. v x y x y x y y x v u x y v xy u 32, ,),(),(,,222=-=??==,??==31313ln 3231dv v du J 3. y x xy y x dxdyD y x y x J D +=++-----=??22222:])1(1[3 ????? ---++-+- +=++=++=-+=44032 32434344 34 2cos sin 1cos sin 0 )) 4 (2sin 2())4 (2sin 1(338)2sin 2()2sin 1(338)cos sin 1()cos (sin 33)cos sin sin cos (34π π π ππππθθθθππ θθθθθθθθθθθθθdx x x d d dr r r r r d J ?--=π03 2)2cos 2()2cos 1(338dx x x =--? π 3 2 ) 2cos 2()2cos 1(dx x x ??? +=+=+203222032240 324) cot 3(sin 8)cos sin 3(sin 42)sin 21(sin 4π ππ x x dx x x xdx dx x x ?????=+==+=+=+-=∞∞202 204003232203218 )2cos 1(272cos 278)1(278)3(8)cot 3(cot 8π πππdx x xdx x dx x dx x x d J= π27 3 4 （注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）