搜档网
当前位置:搜档网 › 勾股定理回顾与思考

勾股定理回顾与思考

勾股定理回顾与思考
勾股定理回顾与思考

第一章勾股定理

回顾与思考

一、学生起点分析

通过前面三节的学习,学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识,并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力.

八年级学生已初步具有几何图形的观察,几何证明的理论思维能力.他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境,给他们发表自己见解和表现自己才华的机会,希望老师满足他们的创造愿望,让他们实际操作,使他们获得施展自己创造才能的机会.但对于勾股定理的综合应用,还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟,可能部分同学会有一些困难.

二、教学任务分析

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位,它有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用,勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础,具有学科的基础性与广泛的应用.

本课时教学是复习课,强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索,感受数学的美,以提高学习兴趣.

为此,本节课的教学目标是:

①让学生回顾本章的知识,同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.

②在回顾与思考的过程中,提高解决问题,反思问题的能力.

③在反思和交流的过程中,体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识,培养爱国主义精神,体验科学给人来带来的力量.

三、教学过程设计

本节课设计了六个环节.第一环节:情境引入;第二环节:知识结构梳理;第三环节:合作探究;第四环节:拓展提升;第五环节:交流小结;第六环节:布置作业.

第一环节情境引入

勾股定理,我们把它称为世界第一定理.它的重要性,通过这一章的学习已深有体验,首先,勾股定理是数形结合的最典型的代表;其次,了解勾股定理历史的同学知道,正是由于勾股定理得发现,导致无理数的发现,引发了数学的第一次危机,这一点,我们将在《实数》一章里讲到,第三,勾股定理中的公式是第一个不定方程,有许许多多的数满足这个方程,也是有完整的解答的最早的不定方程,最为著名的就是费马大定理,直到1995年,数学家怀尔斯才将它证明.勾股定理是我们数学史的奇迹,我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富,这节课,我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史,勾股定理的应用.

目的:

通过对勾股定理历史及地位的解读,让学生了解知识脉络及前后联系,激发学习探究热情.

效果:

从历史的深度提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基础.第二环节:知识结构梳理

本章知识要点及结构:

(第1—6题由学生独立思考完成,小组代表展示)

1.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,如果用,a b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边,那么__________2c .

2.勾股定理各种表达式:

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边也分别为,,

a b c,则

c =_________,b =_________,c =_________.

3.勾股定理的逆定理:

在△ABC 中,若,,a b c 三边满足___________,则△ABC 为___________.

4.勾股数:

满足___________的三个___________,称为勾股数.

5.几何体上的最短路程是将立体图形的________展开,转化为_________上的路程问题,再利用___________两点之间,___________解决最短线路问题.

6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系?

(教师引导,小组讨论、总结)

从边的关系来说,当然就是勾股定理;从角度的关系来说,由于直角三角形中有一个特殊的角即直角,所以直角三角形的两个锐角互余.

直角三角形作为一个特殊的三角形.如果又有一个锐角是30?,那么30?的角所对的直角边时斜边的一半.

7.举例说明,如何判断一个三角形是直角三角形.

判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断.

(1)从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形.

例如:①在△ABC 中,7515B C ∠=?∠=?,,根据三角形的内角和定理,可得90A ∠=?,根据定义可判断△ABC 是直角三角形.

②在△ABC 中,1123

A B C ∠=∠=∠,由三角形的内角和定理可知,A 30∠=?,260B A ∠=∠=?,390C A ∠=∠=?,△ABC 是直角三角形.

(2)从边出发来判断一个三角形是直角三角形.其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件(即勾股定理的逆定理).

例如:①△ABC 的三条边分别为72524a b c ===,,,而2222262572524a c b +=+===,根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角形,但这里要注意的是b 所对的角90B ∠=?.

②在△ABC 三条边的比为::5:12:13a b c =,△ABC 是直角三角形.

8.通过回顾与思考中的问题的交流,由同学们自己建立本章的知识结构图. (小组内展示自己总结的知识框图,相互交流完善知识框图;每个小组选取

一名代表,展示本组的知识框图.)

三边的关系--勾股定理→历史、应用 直角三角形

直角三角形的判别→应用

目的:

复习与直角三有形有关的知识,加强知识的前后联系,把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中,把以前的零散的知识形成知识体系.通过学生相互交流,整理知识框图复习本章知识点,自觉内化到自身的知识体系中.

效果:

学生有独立思考的空间,与有合作交流的舞台,动静结合,相得益彰. 第三环节:合作探究

内容:

探究一:利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长的平方.

解:(1)当两直角边为3和4时,第三边长的平方为25;

(2)当斜边为4,一直角边为3时,第三边长的平方为7.

注意事项:

因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为3和4时,斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,但也可能为直角边.

探究二:利用勾股定理求图形面积:

1.求出下列各图中阴影部分的面积.

0.64

0.36(1)225

144(2)

图(1)阴影部分的面积为____;(答案:1) _( 3 )

2 1

图(2)阴影部分的面积为____;(答案:81)

图(3)阴影部分的面积为____;(答案:5)

2. 已知Rt △ABC 中,90C ∠=?,若1410a b cm c cm +==,,求Rt △ABC 的面积.

ABC 222222211S 2241()()4

1()4

1(1410)4

24.ab ab a b a b a b c ?=

=???=+-+????=+-??=?-=解:

探究三:利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度

1. 在△ABC 中,A B C ∠∠∠,,的对边分别为a b c ,,,且2()()a b a b c +-=,则( ).

(A )A ∠为直角 (B )C ∠为直角 (C )B ∠为直角 (D )不是直角三角形

解:222a b c -=,∴222a b c =+.故选(A ).

注意事项:

因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为C ∠,因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=,即222a b c =+,因根据这一公式进行判断.

2.已知△ABC 的三边为a ,b ,c ,有下列各组条件,判定△ABC 的形状.

(1)41409a b c ===,,;

(2))(,,0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=.

解:(1)(2)均为直角三角形.

探究四:勾股定理及逆定理的综合应用:

B 港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60?方向以每小时8 n mile 的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进,2小时后,甲船到M 岛,乙船到P 岛,两岛相距34 n mile ,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?

解:甲船航行的距离为BM=8216?=(n mile ),

乙船航行的距离为BP=15230?=(n mile ).

∵22216301156,341156+==,∴222BM BP MP +=,

∴△MBP 为直角三角形,∴90MBP ∠=?,∴乙船是沿着南偏东30?方向航行的.

注意事项:

勾股定理的使用前提是直角三角形,而本题需对三角形做出判断,判断的依据是勾定理的逆定理,其形式为“若222a b c +=,则90C ∠=?.学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算.

目的:

通过对四大问题的探究,培养同学们归纳知识的能力,并将各种数学基本思想方法渗透其中,如对数形结合思想的渗透,鼓励学生由代数表示联想到几何图形,由几何图形联想到有关代数表示,从而认识数学的内在联系.如对分类讨论的渗透,培养学生严谨的数学态度.

效果:

探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题,这种贴近生活的实例,训练学生解决实际问题的能力,通过学生的解答和讨论,让学生自我解决疑难,既是对所学知识的巩固应用,又让学生体验成功的喜悦.

第四环节:拓展提升

内容: 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由“弦图”变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3,若S 1+S 2+S 3=10,则S 2的值是 .

(答案为10

3

目的:

学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用,了解我国古代人民的聪明才智,在我们的数学史上,好多结论的发现都是这样一个过程,都是从几个或大量的特例中发现规律,大胆猜想出结论,然后以前面的理论作为基础,证明猜想,一个伟大的成果就诞生了,掌握这种研究数学的方法,大胆创新,刻苦钻研,说不一定你就是未来的商高,第二个赵爽.

效果:

运用勾股定理和方程思想解决实际问题,让学生体会生活中处处皆数学,并且使新知得到了巩固,能力得到了训练,认识得到了升华.

第五环节:交流小结

内容:

师生相互交流总结:

1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法?

2.你在学习过程中是否积极参与?是否与同伴进行了有效的合作交流?

目的:

鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史.

效果:

学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获,总结解决问题的思路与方法,并

赞叹我国古代数学的成就.

第六环节:布置作业

1.课本《复习题》.

2.思考题:一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2 m ,坡角A 30B 90BC 6∠=?∠=?=,,m .当正方形DEFH 运动到什么位置,即当AE = 错误!未找到引用源。m 时,有222DC AE BC =+.

(答案为:3

14错误!未找到引用源。.) 四、教学设计反思

本节课是复习课,利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题.勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的,它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系,而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.针对我班学生的知识结构和心理特征,本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”,先由浅入深,在学生的自主探究与合作交流中解决问题,这样既遵循了学生的认知规律,又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入,归纳知识--综合练习,应用知识—课堂小结三部分,发展学生应用数学的意识与能力,增强了学生学好数学的愿望和信心.让学生自己绘制知识网络图,进一步体会本章所学知识之间的前后联系,并培养了学生这方面的能力.设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况,又注重了综合课的特点,注重对所学知识的综合利用.设计的问题尽量与实际问题有联系,体现了数学来源于实际,又应用于生活实际,这一点符合新课标的要求.

附:板书设计

回顾与思考

一情境引入

二本章知识结构

三边的关系--勾股定理→历史、应用

直角三角形

直角三角形的判别→应用

三合作探究

探究一:利用勾股定理求边长

探究二:利用勾股定理求图形面积

探究三:利用勾股定理及逆定理判定△ABC的形状或求角度探究四:勾股定理及逆定理的综合应用

四拓展与提升

五交流小结

六布置作业

勾股定理全章复习与小结

第17章勾股定理小结与复习 一、课件说明 本课是对全章知识的回顾和复习,通过知识整理,进一步理解勾股定理及其逆定理,体会勾股定理在距离(线段长度)计算中的作用,理解勾股定理与它的逆定理之间的关系,并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题. 二、学习目标: 知识与技能: 1、进一步理解勾股定理入其逆定理,弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识,在回顾过程中主动构建起本章知识结构; 过程与方法: 1、} 2、复习直角三角形的有关知识,形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程,体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观: 通过运用勾股定理及其逆定理解决问题,体会到数学来源于生活,应用于生活。 三、学习重点: 勾股定理及其逆定理的应用. 四、教学过程: (一)创设情境引出课题 ;

问题1 如图,这是矗立在萨摩斯岛上的雕像,这个雕像给你怎样的数学联想(出示图形) (背景介绍:我们知道,古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理.在西方,勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.人们为了纪念这位伟大的科学家,在他的家乡建了这个雕像.) (二)层层提问,讲练相融 追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理,你能叙述这个定理吗 如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2 知识点一:勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中,已知a=1,b=3,∠B=90°,则第三边c 的长为. ' 变式在Rt△ABC中,已知a=1,b=3,则第三边c的长为. 温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。 基础练习2 小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为(). A.8 m B.10 m C.12 m D.14 m

勾股定理知识点总结

第18章 勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A 方法二: b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证

a b c c b a E D C B A 3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长,求第三边 在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b = ,a ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是,类似地可作 。 作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, , 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。

勾股定理典型题总结(较难)

勾股定理 一.勾股定理证明与拓展 模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考:如下图,以直角三角形a 、b 、c 为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积有和关系? 例1、有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”;在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式1:在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,1. 21,1. 44,正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ,,,,则41S S =______.

变式2:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC +∠DCB =90°,且BC =2AD ,以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形,其面积分别为S 1、S 2、S 3,若S 1=3,S 3=9,求S 2. (变式2) (变式3) 变式3:如图,Rt △ABC 的面积为10cm 2 ,在AB 的同侧,分别以AB ,BC ,AC 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 . (难题)如图,是小明为学校举办的数学文化节设计的标志,在△ABC 中,∠ACB = 90°,以△ABC 的各边为边作三个正方形,点 G 落在 HI 上,若 AC +BC =6,空白部分面积为 10.5,则阴影部分面积 模型二 外弦图 D C B A 内弦图 G F E H 例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为 13,每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________;

勾股定理思维导图题型总结

(一)勾股定理 1:勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ,斜边长为c,那么a 2+b 2=c 2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”. 要点诠释: 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90C ∠=? ,则c ,b , a ) (2)已知直角三角形的一边及另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一: 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,22 14()2ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为22 1 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形, 2 112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b 弦 股 勾

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90 ∠=?,则c, C b,a=) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a、b、c,则有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c; (2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 (若c2>a2+b2,则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2

区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. c b a H G F E D C B A

勾股定理回顾与思考教学设计

第一章勾股定理 回顾与思考 一、学生起点分析 通过前面三节的学习,学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识,并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力. 八年级学生已初步具有几何图形的观察,几何证明的理论思维能力.他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境,给他们发表自己见解和表现自己才华的机会,希望老师满足他们的创造愿望,让他们实际操作,使他们获得施展自己创造才能的机会.但对于勾股定理的综合应用,还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟,可能部分同学会有一些困难. 二、教学任务分析 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位,它有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用,勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础,具有学科的基础性与广泛的应用.

本课时教学是复习课,强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索,感受数学的美,以提高学习兴趣.为此,本节课的教学目标是: ①让学生回顾本章的知识,同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用. ②在回顾与思考的过程中,提高解决问题,反思问题的能力. ③在反思和交流的过程中,体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识,培养爱国主义精神,体验科学给人来带来的力量. 三、教学过程设计 本节课设计了六个环节.第一环节:情境引入;第二环节:知识结构梳理;第三环节:合作探究;第四环节:拓展提升;第五环节:交流小结;第六环节:布置作业. 第一环节情境引入 勾股定理,我们把它称为世界第一定理.它的重要性,通过这一章的学习已深有体验。首先,勾股定理是数形结合的最典型的代表;其次,了解勾股定理历史的同学知道,正是由于勾股定理得发现,导致无理数的发现,引发了数学的第一次危机,这一点,我们将在《实数》一章里讲到,第三,勾股定理中的公式是第一个不定方程,有许许多多的数满足这个方程,也是有完整的解答的最早的不定方程,最

勾股定理教学设计与教学反思

勾股定理教学设计 富裕县逸夫学校任晓娟 【教学目标】 一、知识目标 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程. 2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 二、数学思考 在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想. 三、解决问题 1.通过探究勾股定理(正方形方格中)的过程,体验数学思维的严谨性。 2.在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 四、情感态度目标 1.学生通过适当训练,养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性,逐 步体验数学说理的重要性。 2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识 和探究精神。 【重点难点】 重点:探索和证明勾股定理。 难点:应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 【设计思路】 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生探究与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索,感受到“无出不在的数学”与数学的美,以提高学习兴趣,进一步体会数学的地位与作用。 【教学流程安排】 活动一:了解历史,探索勾股定理 活动二:拼图验证并证明勾股定理 活动三:例题讲解,巩固练习

活动四:反思小结,布置作业 活动内容及目的:①通过多勾股定理的发现,(国外、国内)了解历史,激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图,得到指教三角形的性质——勾股定理,发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理,体会数学的严谨性,培养学生的数形结合思想,激发探究精神,回顾、反思、交流。布置作业,巩固、发展提高。 【教学过程设计】 【活动一】 (一)问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗? (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的, 西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三, 股修四,径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前,他在朋友家做客时,发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 (1)现在请你一观察一下,你能发现什么? (2)一般直角三角形是否也有这样的特点吗? (二)师生行为 教师讲故事(勾股定理的发现)、展示图片,参与小组活动,指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生,引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。 学生听故事发表见解,分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位,采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 (三)设计意图 ①通过讲故事,让学生了解历史,培育学生爱国主义情操,激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想,为学生提供参与数学活动的时间与空间, 发挥学生的主体作用;培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力,使学生在相 图 A B C A B C B C A

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/539484910.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一.基础知识点: 1:勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2) 要点诠释: 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在A B C ?中,90C ∠=? ,则22 c a b = +, 2 2 b c a = -,22 a c b = -) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/539484910.html, 3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a ,b ,c 有下列关系:a 2+b 2=c 2,?那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法. 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例:勾股定理与勾股定理逆定理) 5:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ,22 14()2 ab b a c ? +-=,化简可证. c b a H G F E D C B A

勾股定理的应用的教学反思

勾股定理的应用的教学反思 勾股定理的应用的教学反思 本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容,是学生在学习了三角形的有关知识,了解了直角三角形的概念,掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件的基础上学习勾股定理,加深对勾股定理的理解,提高学生对数形结合的应用与理解。本节第一课时安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程;第二课时是通过例题分析与讲解,让学生感受勾股定理在实际生活中的应用,通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型,强化转化思想,培养学生解决问题的意识和应用能力。 针对本班学生的特点,学生知识水平、学习能力的差距,本节课安排了如下几个环节: 一、复习引入 对上节课勾股定理内容进行回顾,强调易错点。由于学生的注意力集中时间较短,学生知识水平低,引入内容简短明了,花费时间短。 二、例题讲解,巩固练习,总结数学思想方法 活动一:用对媒体展示搬运工搬木板的问题,让学生以小组交流合作,如何将木板运进门内?需要知道们的宽、高,还是其他的条件?学生展示交流结果,之后教师引导学生书写板书。整个活动以学生为主体,教师及时的引导和强调。 活动二:解决例二梯子滑落的问题。学生自主讨论解决问题,书写过程,之后投影学生书写过程,教师与学生一起合作修改解题过程。 活动三:学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题,然后利用勾股定理解决问题。利用勾股定理的前提是什么?如何作辅助线构造这一前提条件?在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯;体会勾股定理的应用价值,让学生体会到数学来源于生活,又应用到生活中去,在学习的过程中体会获得成功的喜悦,提高了学生学习数学的兴趣和信心。 二、巩固练习,熟练新知 通过测量旗杆活动,发展学生的探究意识,培养学生动手操作的能力,增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。 在教学设计的实施中,也存在着一些问题:

勾股定理思维导图题型总结归纳

(一)勾股定理 2 2 2 1:勾股定理如果直角三角形的两条直角边长 分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” 要点诠释: 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关 系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应 用: 1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC 中, C 90 ,则 c a2 b2,b c2 a2,a c2 b2) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关 系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的 问题 3:勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方 法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股 定理 常见方法如下:b 方法 1 4S S S 4 ab (b a) 4S S正方形EFGH S正方形ABCD,2 22 c ,化简可证. 方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积. a 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c 2 2 2 2ab c 2 2 2 2 2 2 大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以 a2 b2 c2 S梯形 2(a b) (a b),S梯形2S ADE S ABE 1 2 ab 12 c 较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”

4:勾股数

B C ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即 时,称 a ,b , c 为一组勾股数 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25 ; 8,15,17 ; 9,40,41 等 22 2n 1,2n 2n,2n 2n 1( n 为正整数) 5、注意: (1)勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 (2)勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的 题目。 3)勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个知识在应用过程中易犯的主 要错误 (4)推理格式:∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. (或 a 2+b 2=c 2) 二)勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为: a 、 b 、 c ,且满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法, 它通过“数转化为形” 来 确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为: c ; (2)验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系,若 c2=a2+b2,则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形 (若 c2>a2+b2,则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形;若 c2

勾股定理题型总结83533

勾股定理知识技能和题型归纳(一)——知识技能 一、本章知识内容归纳 1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 (1)重视勾股定理的叙述形式: ①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看,有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 (2)定理的作用: ①已知直角三角形的两边,求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为n 的线段。(利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法,并在数轴上将这些点表示出来,进一步反映了数与形的互相表示,加深对无理数概念的认识。) 2、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理的证明方法,通过构造一个三角形与直角三角形全等,达到证明某个角为直角的目的。 (2)逆定理的作用:判定一个三角形是否为直角三角形。 (3)勾股定理的逆定理是把数转化为形,是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下: ①首先确定最大的边(如c ) ②验证2 2 b a +与2 c 是否具有相等关系: 若2 2 2 c b a =+,则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2 2 2 c b a ≠+,则△ABC 不是直角三角形。 补充知识: 当222c b a >+时,则是锐角三角形;当2 22c b a <+时,则是钝角三角形。 (4)通过总结归纳,记住一些常用的勾股数。如:3,4,5;5,12,13;6,8,10;8,15,17;9,40,41;……以及这些数组的倍数组成的数组。 勾股数组的一般规律: ① 丢番图发现的:式子n m n m mn n m >+-(,2,2 2 2 2 的正整数) ② 毕达哥拉斯发现的:122,22,122 2 ++++n n n n n (1>n 的整数) ③ 柏拉图发现的:1,1,222 +-n n n (1>n 的整数)

勾股定理回顾与思考教学设计

2013年北师大版数学八年级上 第一章勾股定理 回顾与思考 一、学生起点分析 通过前面三节的学习,学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识,并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力. 八年级学生已初步具有几何图形的观察,几何证明的理论思维能力.他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境,给他们发表自己见解和表现自己才华的机会,希望老师满足他们的创造愿望,让他们实际操作,使他们获得施展自己创造才能的机会.但对于勾股定理的综合应用,还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟,可能部分同学会有一些困难. 二、教学任务分析 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位,它有着悠久的历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用,勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础,具有学科的基础性与广泛的应用. 本课时教学是复习课,强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流,强化应用意识,培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索,

感受数学的美,以提高学习兴趣. 为此,本节课的教学目标是: ①让学生回顾本章的知识,同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用. ②在回顾与思考的过程中,提高解决问题,反思问题的能力. ③在反思和交流的过程中,体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识,培养爱国主义精神,体验科学给人来带来的力量. 三、教学过程设计 本节课设计了六个环节.第一环节:情境引入;第二环节:知识结构梳理;第三环节:合作探究;第四环节:拓展提升;第五环节:交流小结;第六环节:布置作业. 第一环节情境引入 勾股定理,我们把它称为世界第一定理.它的重要性,通过这一章的学习已深有体验,首先,勾股定理是数形结合的最典型的代表;其次,了解勾股定理历史的同学知道,正是由于勾股定理得发现,导致无理数的发现,引发了数学的第一次危机,这一点,我们将在《实数》一章里讲到,第三,勾股定理中的公式是第一个不定方程,有许许多多的数满足这个方程,也是有完整的解答的最早的不定方程,最为著名的就是费马大定理,直到1995年,数学家怀尔斯才将它证明.勾股定理是我们数学史的奇迹,我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富,这节课,我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史,勾股定理的应用. 目的: 通过对勾股定理历史及地位的解读,让学生了解知识脉络及前后联系,激发学习探究热情. 效果: 从历史的深度提出问题,学生探究热情高涨,为下一环节奠定了良好基础.第二环节:知识结构梳理 本章知识要点及结构:

勾股定理知识点总结归纳

精心整理 第18章勾股定理复习 一.知识归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222 a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① ② 定理 常见方法如下: 方法一:4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ,1 4( 2 ab b ?+- 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S= 大正方形面积为22 () S a b a =+=+ 所以222 a b c += 方法三:1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形 ,2 2 22 ab c ?+,化简得 证 3. 它只适用于直角三角形,对于锐角三角 因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4. ① 在ABC ?中,90 C ∠=?,则c,b=,a= ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。 b a

作法:如图所示 (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB ,使AB 为斜边; (2)以AB 为一条直角边,作另一直角边为1的直角。斜边为 ; (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形 ,这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1 作法:如图所示在数轴上找到A 点,使OA=3,作以O 为圆心做弧,弧与数轴的交点B 即为 。 注:逆命题与勾股定理逆定理 可以判断真假的陈述句叫做命题, 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1.原命题:猫有四只脚. 23(正确) 4(正确) 思路点拨:解析:1. 2. 3.?(正确) 4.(正确) 总结升华: 6.74页 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 要点诠释: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ; (2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 (若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

2019年勾股定理回顾与思考教学设计.doc.doc

第一章勾股定理 回顾与思考 成都市石室联合中学林武 一、学生起点分析 通过前面三节的学习,学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识,并能 应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题,因而学生已经具备解决本课问 题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多 合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能 力. 八年级学生已初步具有几何图形的观察,几何证明的理论思维能力.他们希 望老师创设便于他们进行观察的几何环境,给他们发表自己见解和表现自己才华的 机会,希望老师满足他们的创造愿望,让他们实际操作,使他们获得施展自己创造 才能的机会.但对于勾股定理的综合应用,还需要学生具备一定的分析、归纳的 思维方法和运用数学的思想意识,但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不 是很成熟,可能部分同学会有一些困难. 二、教学任务分析 勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论,它揭示了直角三角形三边之 间的数量关系,将形与数密切联系起来,理论上占有重要的地位,它有着悠久的 历史,在数学发展中起过重要的作用,在现实世界中也有着广泛的应用,勾股定理 的应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必 要的基础,具有学科的基础性与广泛的应用. 本课时教学是复习课,强调让学生经历数学知识的形成与应用过程,鼓励学 生自主探索与合作交流,以学生自主探索为主,并强调同桌之间的合作与交流, 强化应用意识,培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索,感受数学的美,以提高学习兴趣. 为此,本节课的教学目标是: ①让学生回顾本章的知识,同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证

勾股定理及教学反思

19.9勾股定理(1) 吴淞实验学校徐琳教学设计说明 本节课是义务教育课程标准上教版教科书八年级(上)第十九章《几何证明》第九节第1课时. 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力.在小学,他们已学习了一些几何图形面积的计算方法(包括割补法),但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够.部分学生听说过“勾三股四弦五”,但并没有真正认识什么是“勾股定理”.此外,学生普遍学习积极性较高,探究意识较强,课堂活动参与较主动,但合作交流能力和探究能力有待加强.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系,将形与数密切联系起来,在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用.本节是直角三角形相关知识的延续,同时也是学生认识无理数的基础,充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外,历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧,其中蕴涵着丰富的科学与人文价值. 教学目标 1.理解用面积割补方法证明勾股定理的思路; 2.在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想,激励学生发奋学习. 3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力;进一步体会数学与现实生活的紧密联系. 教学重点及难点 面积割补法证明勾股定理 教学过程设计 一.创设情境,引入新课 内容:2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大

会的会标: 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.(板书课题) 意图:紧扣课题,自然引入,同时渗透爱国主义教育. 效果:激发起学生的求知欲和爱国热情. 二.探索发现勾股定理 1.探究活动一: 内容:(1)投影显示如下地板砖示意图,让学生初步观察: (2)引导学生从面积角度观察图形: 问:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察,归纳发现: 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和,等于以斜边为边长的正方形的面积. 意图:从观察实际生活中常见的地板砖入手,让学生感受到数学就在我们身边.通过对特殊情形的探究得到结论1,为探究活动二作铺垫. 效果:1.探究活动一让学生独立观察,自主探究,培养独立思考的习惯和能力; 2.通过探索发现,让学生得到成功体验,激发进一步探究的热情和愿望. 2.探究活动二:

第十七章 勾股定理 小结 教案

勾股定理复习小结 一、 二. 1、 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有:(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、 如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2c 与22b a +是否具有相等关系 (3) 若2c =22b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2c ≠22b a + 则△ABC 不是直角三角形。 3、 勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数,称为勾股数 如(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)6,8,10;(4)8,15,17 (5)7,24,25 (6)9, 40, 41 二、 练习题 1.一个直角三角形,有两边长分别为6和8,下列说法中正确的是( ) A. 第三边一定为10 B.三角形的周长为24 C.三角形的面积为24 D.第三边有可能为10 2.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3.下列各组数中,以a ,b ,c 为边的三角形不是Rt △的是( ) A 、a=1.5,b=2, c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6, b=8, c=10 D 、a=3,b=4,c=5 3.三角形的三边长为(a+b )2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 4、一个三角形的三边的长分别是3,4,5,则这个三角形最长边上的高是( ) A .4 B .310 C.25 D .5 12 5.已知Rt △ABC 中,∠C=90°,若a+b=14cm ,c=10cm ,则Rt △ABC 的面积是( ) A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2

勾股定理的回顾与思考

《勾股定理的回顾与思考》教学设计 教学目标: 1.理解勾股定理及其逆定理的含义,能够解决一些简单的实际问题; 2.进一步掌握与勾股定理相关的技能,会运用数形结合、分类讨论等的数学思想解决实际问题,培养数学思维能力。 教学重点:勾股定理及其逆定理的简单运用 难点:应用技能和数学思维的培养 教学过程: ㈠ 课前热身 1.由下列条件不能判别△ABC 为直角三角形的是( ). A .1=a ,2=b ,3=c B .3:2:1::=∠∠∠ C B A C .c b a 222-= D .6:4:3::=c b a 2.在Rt △ABC 中, ①若∠C=90°,a =5,b =12,则c =___________; ②若∠C=90°,a =15,c =25,则b =___________; ③若∠C=90°,a b :=3∶4,c=10则S Rt △ABC =________; ④若a =5,b =12,则c =___________。 ㈡ 本章知识结构 ????? ??????????????????????????-=?-=-=?-=+==+路线等勾股定理的应用:最短 的多样性)角三角形的判定(方法勾股定理的逆定理:直 ,,,,,,,,常见的勾股数:的三种变形种基本图形”证明(等积法):“三勾股定理.3.2171582524713125543c c b c b c b c b .12222222222 22222a b a b a a a c a

2 x 3x 2x x 30? 基本知识点: (1)勾股定理: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)勾股定理逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系:c b a 2 22=+,那么这个三角形是直角三角形. (3)勾股数: 满足c b a 2 22=+的三个正整数,称为勾股数。 如常用的勾股数有: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41 (4)特殊直角三角形的三边关系 ㈢ 综合运用 1.已知Rt △ABC 两直角边分别为4cm 、3cm,则斜边为____cm,斜边上的高为____cm. 2.一艘帆船由于风向的原因,先向西南方向航行了7千米,然后向西北方向航行了24千米,这时帆船离出发地_____千米. 3.左图由4个等腰直角三角形组成,其中第1个直角三角形腰长为1cm ,第4个直角三角形斜边长度为_______. 那么,按照此种方式下去,第n 个直角三角形斜边长度为_______.

相关主题