四升五培优数学暑假班讲义.doc

汉中睿智教育

四年级培优数学

2014 暑假班

汉中睿智教育

第1讲算式谜

专题简析：

解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：

1．认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；

2．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；

3．试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；

4．算式谜解出后，要验算一遍。

□7 6

×□ □

18 □ □

□□ □ □

31□□0

分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与 5 相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376 与积为 31□□ 0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。

练习一

在□里填上适当的数。

（1）6□（2）□2 □ □（3）285

× 3 5 ×□ 6 × □ □

3 3□□□0

4 1 □ 2 □

1 □ 8 □ □ 7 0 □ □ □

□□ □□□□□□□□9 □□

分析：由商的十位是 1，以及 1 与除数的乘积的最高位是 1 可推知除数的十位是 1。由第一次除后余下的数是 1，可推知被除数的十位只可能是 7、8、9。如果是 7，除数的个位是 0，那么最后必有余数；如果被除数是 8，除数的个位就是 1，也不能除尽；只有当被除数的十位是 9 时，除数的个位是 2 时，商的个位为 6，正好除尽。

完整的竖式是：

练习二

在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。

例 3：下面算式中的 a、b、c、d 这四个字母各代表什么数字？

a b c d

×9

d c b a

分析：因为四位数 abcd 乘 9 的积是四位数，可知 a 是 1；d 和 9 相乘的积的个位是 1，可知 d 只能是 9；因为第二个因数 9 与第一个因数百位上的数 b 相乘的积不能进位，所以 b 只能是 0（ 1 已经用过）；再由 b=0，可推知 c=8。

练习三

求下列各题中每个汉字所代表的数字。

（1）1华罗庚金杯

×3华=罗=庚=

华罗庚金杯1金=杯=

（2）盼望祖国早日统一

×一盼=望=祖=国= 盼盼盼盼盼盼盼盼盼早=日=统=一=

例 4：在 1、2、3、4、5、 6、 7、 8、 9 这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，

使其结果等于 100（数字的顺序不能改变）。

1 23456789=100

分析：先凑出与100 比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。

比如： 123 与100 比较接近，所以把前三个数字组成123，后面的数字凑出23 就行。因为45 与 67 相差 22， 8 与 9 相差 1，所以得到一种解法： 123＋45－67＋ 8－ 9=100 再比如： 89 与 100 比较接近， 78 与 67 正好相差 11，所此可得另一种解法：123＋45 － 67＋8－9=100

练习四

（ 1）一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。

123456789=100

（2）添上适当的运算符号和括号，使下列等式成立。

12345=100

例 5：在下面的式子里添上括号，使等式成立。

7×9＋12÷3－2 = 23

分析：采用逆推法，从最后一步运算开始考虑。假如最后一步是用前面计算的结果

减 2，那么前面式子的运算结果应等25，又因为 25×3=75，而前面 7×9＋12 又正好等于

75，所以，应给前面两步运算加括号。

（7×9＋12）÷ 3－2 = 23

练习五

在下面的式子里添上括号，使等式成立。

88＋ 33－11÷ 11×2 = 5

第 2讲变化规律

例 1：两数相减，被减数减少 8，要使差减少 12，减数应有什么变化？

分析与解答：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加 12－ 8=4。

练习一

1、两数相减，如果被减数增加20，要使差减少 12，减数应有什么变化？

2、两数相减，减数减少9，要使差增加 16，被减数应有什么变化？

例 2：两个数相除，商是 8，余数是 20，如果被除数和除数同时扩大 10 倍，商是多少？余数是多少？

分析与解答：两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍

数。所以商是 8，余数是 20×10=200。

练习二

1、两个数相除，商是9，余数是 3。如果被除数和除数同时扩大120 倍，商是多少？余

数是多少？

2、两个数相除，商是8，余数是 600。如果被除数和除数同时缩小100 倍，商是多少？余数是多少？

例 3：两数相乘，积是 48。如果一个因数扩大 2 倍，另一个因数缩小 3 倍，那么积是多少？分析与解答：一个因数扩大 2 倍，积扩大 2 倍；另一个因数缩小 3 倍，积缩小 3 倍。所以最后的积是 48× 2÷ 3=32。

练习三

1、两数相除，商是19。如果被除数扩大20 倍，除数缩小 4 倍，那么商是多少？

2、两数相除，商是27。如果被除数扩大12 倍，除数扩大 6 倍，那么商是多少？

例 4：小华在计算两个数相加时，把一个加数个位上的 1 错误地写成 7，把另一个加数十位上

的 3 错误地写成 8，所得的和是 1996。原来两个数相加的正确答案是多少？

分析与解答：根据题意，一个加数个位上的 1 被写成了 7，这样错写一个加数比原来增加

了 6；另一个加数十位上的 3 写成 8，增加了 50。这样，所得的结果就比原来增加了 6+50=56。所以，原来两数相加的正确答案是： 1996－（ 6＋56）=1940。

练习四

1、小强在计算加法时，把一个加数十位上的7 错写成 1，把个位上的 8 错写成 0，所得

的和是 285。正确的和是多少？

2、小亮在计算加法时，把一个加数个位上的 5 错写成 3，把另一个加数十位上的 3 错写成 8，所得的和是 650。正确的和是多少？

例 5：王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的 3 错写成 5，把十位上的 6 错写成 0，这样算得差是 189。正确的差是多少？

分析与解答：根据题意，被减数个位上的 3 写成 5，因此增加了 2；十位上的 6 写成 0，因此减少 60。这样错写的被减数比原来减少了 60－ 2=58。因为减数不变，根据差的变化规律，正确的差要比错误的差多 50。正确的差是： 189＋ 58=247。

练习五

1、小刚在做题时，把减数个位上的9 错写成 6，把十位上的 3 错写成 8，这样算得的差

是 268。正确的差是多少？

2、小红在做题时，把被减数十位上的0 错写成 8，把减数个位上的8 错写成 3，这样算得的差是 632。正确的差是多少？

第 3 讲较复杂的和差倍问题

专题简析：

前面我们学习了和倍、差倍、和差三种应用题，有的题目需要通过转化而成为和倍、

差倍、和差问题，这类问题叫做复杂的和差倍问题。

解答较复杂的和差倍问题，需要我们从整体上把握住问题的本质，将题目进行合理的

转化，从而将较复杂的问题转化为一般和倍、差倍、和差应用题来解决。

例 1：两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱

的 3 倍。两箱原来各有茶叶多少千克？

分析与解答：由“两箱茶叶共重 96 千克，如果从甲箱取出 12 千克放入乙箱，那么乙箱的千克数是甲箱的 3 倍”可求出现在甲箱中有茶叶 96÷（ 1＋3）=24 千克。由此可求出甲箱原来有茶叶 24＋ 12=36千克，乙箱原来有茶叶 96－36=60 千克。

练习一

1、甲、乙两人共储蓄 2000 元，甲取出 160 元，乙又存入 240 元，这时甲储蓄的钱数比乙的 2 倍少 20 元。甲、乙两人原来各储蓄多少元？

2、某畜牧场共有绵羊和山羊3561 只，后来卖了 60 只绵羊，又买来山羊100 只，现在绵羊的只数比山羊的 2 倍多 1 只。原来绵羊和山羊各有多少只？

例 2：甲、乙、丙三个同学做数学题，已知甲比乙多做 5 道，丙做的是甲的 2 倍，比乙多做 20 道。他们一共做了多少道数学题？

分析与解答：甲比乙多 5 道，丙比乙多 20 道，丙做的是甲的 2 倍，因此， 20－5=15 道是丙的一半，也就是甲做的道数。丙做了 15× 2=30 道，乙做了 15－5=10 道。他们共做了：

（20－5）×（ 1＋ 2）＋ [ （20－ 5）－ 5]=55 道。

练习二

1、甲、乙、丙三个人合做一批零件，甲比乙多做 12 个，丙做的比甲的 2 倍少 20 个，比乙做的多 38 个。这批零件共有多少个？

2、果园里的苹果树是桃树的 3 倍，管理员每天能给 25 棵苹果树和 15 棵桃树洒农药。几天后，当桃树喷完农药时，苹果树还有 140 棵没有喷药。果园里共有多少棵树？

例 3：某工厂一、二、三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间多 10 人，第二车间比第三车间多 15 人。三个车间各有工人多少人？

分析与解答：这是多量的和差问题，解题的时候确定的标准不同，解法也就不同。如果以

第二车间的人数为标准，第一车间减少10 人，第三车间增加15 人，那么280－10＋15=285 人是第二车间人数的 3 倍，由此可以求出第二车间有 285÷3=95 人，第一车间有 95＋ 10=105 人，第三车间有 95－15=80 人。

练习三

1、一个三层柜台共放皮鞋120 双，第一层比第二层多放 4 双，第二层比第三层多7 双，三

层各多皮鞋多少双？

2、四个数的和是152，第一个数比第二个数多16，比第三个数多20，比第四个数少12。

第一个数和第四个数是多少？

例 4：两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是多少？

分析与解答：从 124 里去掉商，是 124－4=120，它是除数的 1＋4=5 倍，除数是 120÷5=24，被除数是 24×4=94。

练习四

1、两个数相除，商是5，余数是 7，被除数、除数、商、余数的和是187，求被除数。

2、两个数相除，商是17，余数是 8，被除数、除数、商和余数的和是501，求被除数

和除数是多少。

例 5：甲的存款是乙的 4 倍，如果甲取出 110 元，乙存入 110 元，那么乙的存款是甲的 3

倍。甲、乙原来各有存款多少元？

分析与解答：由“乙存入110 元，甲取出 110 元”，可知乙存入110 元后相当于甲存款数

的 3 倍，取出 110× 3=330 元；而由甲的存款是乙的 4 倍，可知甲原有存款的 3 倍相当于乙原有存款的 4×3=12 倍，乙现在存入 110 元后相当于甲原有的 12 倍，取 110×3=330 元，所以，330＋110=440元，相当于乙原有的 12－ 1=11 倍。所以，乙原有存款 440÷11=40 元，甲原有存款 40× 4=160元。

练习五

1、刘叔叔的存款是李叔叔的 6 倍，如果刘叔叔取出1100 元，李叔叔存入1100 元，那

么刘叔叔的存款是李叔叔的 2 倍。刘叔叔和李叔叔原来各有存款多少元？

2、有大、中、小三筐菠萝，小筐装的是中筐的一半，中筐比大筐少装16 千克，大筐装的是小筐的 4 倍。大、中、小三筐各装菠萝多少千克？

第 4讲错中求解

专题简析：

在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会

导致计算结果发生错误。这一周，我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

例 1：小玲在计算除法时，把除数65 写成56，结果得到的商是13，还余52。正确的商是多少？

分析与解答：要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，

求出被除数： 13× 56＋52=780。所以，正确的商是： 780÷ 65=12。

练习一

1、甜甜和蜜蜜在用同一个数做被除数。甜甜用12 去除，蜜蜜用 15 去除，甜甜得到的

商是 32 还余 6，蜜蜜计算的结果应该是多少？

2、小虎在计算除法时，把被除数1250 写成 1205，结果得到的商是48，余数是 5。正确的商应该是多少？

例 2：小芳在计算除法时，把除数 32 错写成 320，结果得到商是 48。正确的商应该是多少？

分析与解答：根据题意，把除数 32 改成 320 扩大到原来的 10 倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的 10 倍。所以正确的商应该是 48× 10=480。

练习二

1、2、小马在计算除法时，把被除数1280 误写成 12800，得到的商是 32。正确的商应该是多少？

小欣在计算除法时，把被除数 420 错写成 240，结果得到商是 48。正确的商应该是多少？

例 3：小冬在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 173，这样商比原来多了 3，而余数正好相同。正确的商和余数是多少？

分析与解答：因为被除数 137 被错写成了 173，被除数比原来多了 173－137=36，又因为商比原来多了 3，而且余数相同，所以除数是 36÷3=12。又由 137÷ 12=11 5，所以余数

是 5。

练习三

1、李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来少了3，而余

数正好相同。求这道除法算式正确的商和余数。

2、刘强在计算有余数的除法时，把被除数 137 错写成 174，结果商比原来多 3，余数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。

例 4：小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 4 错当作1，乘得的结果是525，实际应为 600。这两个两位数各是多少？

分析与解答：一个因数的个位 4 错当作 1，所得的结果比原来少了（ 4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差 600－525=75，75÷ 3=25，600÷ 25=24。所以一个因数是 24，另一个因数是 25。

练习四

1、小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字 1 误写成 7，结果得 646，

实际应为 418。这两个两位数各是多少？

2、李晓在计算两位数乘两位数的题目时，把一个因数十位上的 3 误当作 8，结果得2150，这道题的正确积应是 900。这两个两位数各是多少？

例 5：方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加 14，计算的积增加了 84，圆圆误将另一个因数增加 14，积增加了 168。那么，正确的积应是多少？

分析与解答：由“方方将一个因数增加 14，计算结果增加了 84”可知另一个因数是 84÷

14=6；又由“圆圆误将另一个因数增加 14，积增加了 168”可知，这个因数是 168÷ 14=12。所以正确的积应是 12× 6=72。

练习五

1、两个数相乘，如果一个因数增加3，另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数

不变，另一个因数减少 4，那么积减少 200。原来的积是多少？

2、小敏在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字 5 误写成 3，得出的乘积是 552；另一个学生却把这个 5 写成 8，得出的乘积是672。正确的乘积是多少？

第 5讲图形问题

专题简析：

解答有关“图形面积”问题时，应注意以下几点：

1、细心观察，把握图形特点，合理地进行切拼，从而使问题得以顺利地解决；

2、从整体上观察图形特征，掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数

量关系明朗化。

例 1：人民路小学操场长 90 米，宽 45 米。改造后，长增加 10 米，宽增加 5 米。现在操场面

积比原来增加了多少平方米？

分析与解答：用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。操场现在的面

90× 45=4050 平方米。所以，积是（ 90+10）×（ 45+5）=5000 平方米，操场原来的面积

是现在的面积比原来增加 5000－ 4050=950平方米。

练习一

1、一块长方形铁板，长18 分米，宽 13 分米。如果长和宽各减少 2 分米，面积比原来减少多少平方分米？

2、一块长方形地，长是80 米，宽是 45 米。如果把宽增加 5 米，要使面积不变，长应

减少多少米？

例 2：一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54 平方米；如果长不变，宽

减少 3 米，那么它的面积减少 36 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？

分析与解答：由“宽不变，长增加 6 米，面积增加 54 平方米” 可知，它的宽为 54÷6=9 米；由“长不变，宽减少 3 米，面积减少 36 平方米”可知，它的长为 36÷3=12 米。所以，这个长方形原来的面积是 12×9=108 平方米。

练习二

1、一个长方形，如果宽不变，长增加 5 米，那么它的面积增加 30 平方米；如果长不

变，宽增加 3 米，那么它的面积增加 48 平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？

2、一个长方形，如果它的长减少 3 米，或它的宽减少 2 米，那么它的面积都减少36 平方米。求这个长方形原来的面积。

例 3：下图是一个养禽专业户用一段 16 米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求它的占地面

积。

分析与解答：根据题意，因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于 16 米。而宽是 4 米，那么长是（ 16－4）÷ 2=6 米，占地面积是 6×4=24 平方米。

练习三

1、用56米长的木栏围成长或宽是20 米的长方形，其中一边利用围墙，怎样才能使围

成的面积最大？

2、用15米长的栅栏沿着围墙围一个种植花草的长方形苗圃，其中一面利用着墙。如果

每边的长度都是整数，怎样才能使围成的面积最大？

例 4：街心花园中一个正方形的花坛四周有 1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 12 平方米，中间花坛的面积是多少平方米？

分析与解答：把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方形的面积

是 12÷ 4=3 平方米。因为水泥路宽 1 米，所以小长方形的长是 3÷ 1=3 米。从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以小正方形的边长是3－1=2 米。中间花坛的面积是 2× 2=4 平方米。

练习一

1、四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如上图），大正方形

的面积是 64 平方米，小正方形的面积是 4 平方米，长方形的短边是多少米？

2、已知大正方形比小正方形的边长多 4 厘米，大正方形的面积比小正方形面积大96 平方厘米（如下图）。问大小正方形的面积各是多少？