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高等数学函数的极限与连续习题精选及答案之欧阳语创编

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案之欧阳语创编
高等数学函数的极限与连续习题精选及答案之欧阳语创编

1、函数()12

++=x x x f 与函数

()113--=

x x x g 相同.

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。

∴()12

++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同,但定

义域不同,所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。

3、如果数列有界,则极限存在.

错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在

4、a a n n =∞

→lim ,a a n n =∞

→lim .

错误 如:数列()n n a 1-=,1)1(lim

=-∞

→n n ,但n n )1(lim -∞

→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。

6、如果α~β,则()α=β-αo . 正确 ∵1lim

β

,是 ∴01lim lim =??

?

??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时,x cos 1-与2x 是同阶无穷小.

正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2

02

2

020=?????

? ??

??==-→→→x x x x x x x x x

8、01

sin lim lim 1sin lim 0

00=?=→→→x

x x

x x x x .

错误 ∵x

x 1sin lim 0

→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、e x x

x =??? ??+→11lim 0

错误 ∵e x x

x =??

?

??+∞

→11lim

10、点0=x 是函数x

x y =

的无穷间断点.

错误 =-→x x

x 00lim 1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x

x

x ∴点0=x 是函数x

x

y =的第一类间断点.

11、函数()x f x

1

=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值.

错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,()x f x

1

=在0=x 处

不连续

∴函数()

x f x

1=

在闭区间[]b a ,内不一定取得最大

值、最小值 二、填空题:

1、设()x f y =的定义域是()1,0,则 (1)()x e f 的定义域是( (,0)-∞

);

(2

()

x

f 2sin 1-的定

,()2x x k x k k Z πππ?

?≠≠+∈???

? );

(3)()x f lg 的定义域是( (1,10) ).

答案:(1)∵10<

e

(2)∵1sin 102<-

(3)∵1lg 0<

2、函数

()??

???≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是(

(]4,2- ).

3、设()2sin x x f =,()12+=?x x ,则()[]=?x f ( ()2

21sin +x ). 4、n

x

n n sin lim ∞

→=( x

).

∵x x n

x n x n n x n x n n n n =?==∞→∞→∞→sin

lim 1

sin

lim sin lim

5、设()11cos 1121

1x

x x

f x x x x π-<-???=-≤≤??

->??,则()10lim x f x →--=( 2 ),()=

+→x f x 0

1lim ( 0 ).

∵()1010lim lim (1)2x x f x x →-

-→--=-=,()()01lim lim 0

101=-=+→+→x x f x x 6、设()???

??=≠-=0

0cos 12

x a

x x x

x f ,如果()x f 在0=x 处连续,则=

a (

2

1

). ∵21cos 1lim 20=-→x

x x ,如果()x f 在0=x 处连续,则()a f x x x ===-→021cos 1lim 2

0 7、设0

x 是初等函数()x f 定义区间内的点,则()=

→x f x

x 0

lim (

()0x f

).

∵初等函数()x f 在定义区间内连续,∴()=→x f x

x 0

lim ()0x f

8、函数()

2

11

-=x y 当x →( 1 )时为无穷大,当x

( ∞

)时为无穷小.

∵()

∞=-→2

1

11

lim x x ,()

011

lim

2

=-∞

→x x

9、若(

)

01lim

2=--+-+∞

→b ax x x x ,则=a (

1 ),=

b ( 2

1

- ). ∵(

)

b

ax x x x --+-+∞

→1lim

2

()(

)

(

)

b

ax x x b

ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞

→111lim

222

欲使上式成立,令

012

=-a ,∴1a =

±, 上式化简为

()

()()2

211212112lim lim lim

1x x x b

ab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =,021=+ab ,1

2

b =-

10、函数()x

x f 111

+=的间断点是(

1,0-==x x ). 11

()3

42

2

2+--+=x x x x x f 的

续区

( ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ). 12、若2sin 2lim

=+∞

→x

x

ax x ,则=a ( 2 ).

()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=??? ?

?

+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim ( 0 ),=∞→x

x x 1

sin lim ( 1 ), ()=-→x x x 101lim ( 1

-e ),=??? ?

?+∞→kx

x x 11lim ( k e ). ∵0sin 1lim sin lim =?=∞→∞→x x x

x x x 111sin

lim

1sin lim ==∞→∞→x

x x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞

=( 不存在 ),lim sin(arccot )x x →+∞

=( 0 )

三、选择填空:

1、如果a x n n =∞

→lim ,则数列n x 是( b )

a.单调递增数列 b .有界数列 c .发散数列

2、函数()()

1log 2++=x x x f a 是( a )

a .奇函数

b .偶函数

c .非奇非偶函数 ∵()()

1

1log 1)(log 22

++=+-+-=-x x x x x f a

a

3、当0→x 时,1-x e 是x 的( c )

a .高阶无穷小

b .低阶无穷小

c .等价无穷小 4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤(M 是正

数),则函数()x f 在该邻域内( c )

a .极限存在

b .连续

c .有界 5、函数()x f x -=

11

在( c )条件下趋于∞+.

a .1→x

b .01+→x

c .01-→x 6、设函数()x f x

x sin =

,则()=→x f x 0

lim ( c )

a .1

b .-1

c .不存在 ∵1sin lim sin lim

sin lim 00000

0-=-=-=-→-→-→x

x

x x x

x x x x

根据极限存在定理知:()x f x 0

lim →不存在。

7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在,则函数()x f 在0x 点( c )

a .有定义

b .无定义

c .不一定有定义

∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。

8、数列1,1,2

1

,2,3

1,3,…,n

1,n ,…当∞→n 时为( c )

a .无穷大

b .无穷小

c .发散但不是无穷大 9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的( b )

a .充分条件

b .必要条件

c .充分必要条件

10、点0=x 是函数1arctan x

的( b )

a .连续点

b .第一类间断点

c .第二类间断点

∵00

1lim arctan 2

x x

π

→-=-00

1lim arctan

2

x x π→+= 根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点0=x 是函数x

1sin 的( c )

a .连续点

b .第一类间断点

c .第二类间断点 四、计算下列极限:

1、()n

n n

n 31lim -+∞

→ 解 ()3

1))1(3131(lim 31lim =-?+=-+∞→∞→n n n n n n

n

2、0

tan 3lim

sin 2x x

x

解 0tan 3lim sin 2x x x →2

323lim 0==→x x x (∵x x 2sin ,0→~2,tan3x x ~x 3)

3、??

? ??+--+∞

→x x x x x lim 4、()

n n n n

n --++∞→22

1lim

()()()

n

n n n n

n n n

n

n n n

n n

n n

n n -+++-+++--++=--++∞

→∞

→2222

22

2

2

111lim

1lim

5、x

x x x x sin lim 2

300+++→

6、11sin lim 20

-+→x x

x x

7、1

1

lim 0

--→x x x

8、1lim 1

--→x x

x x

9、30tan sin lim x x x

x

→-

(∵

2

10,1cos 2

x x x →-,sin x )

10、x

x x 2cos 1lim 0

0--→

()2

122

1lim

2cos 1lim

20

00

0-

==--→-→x x x

x x x

(∵x x cos 1,0-→~

22

1x ) 11、1lim 1x

x x x →∞-??

?+??

1

21111lim lim 111x

x x x x x e x x e e x -→∞→∞??

- ?-????=== ?+????+ ???

12、??

? ?

?+∞

→x x x 11ln lim 解

??? ?

?+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =???

?

?+=??? ??+=∞→∞→x

x x x x x

13、x

x x

x x cos cos lim +-∞

解 cos 1cos lim lim

1cos cos 1x x x x x x x x x x

→∞→∞-

-==++

14、??

?

??

---→1112lim 2

1

x x x

221112

1111lim lim lim 11112x x x x x x x x →→→-??-==-=- ?---+?

?

15

、x

lim lim 1x x →∞→∞==16、x

x x cos 1sin lim 0

0-+→

00

0000sin sin lim

lim lim x x x x x

x →+→+→+===

17

()???

?

??++

+?+?∞→11321211lim n n n 解

()??

?

??+++?+?∞→11321211lim n n n

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