数列应用题

必修 5 数列

数 列 应 用 题 总第13课时

一、【教学目标】掌握等差、等比数列在实际生活中的应用。

二、【教学重点】数列在实际生活中的应用。

三、【教学难点】构建数列模型，分清是等差数列还是等比数列，是求通项还是求和。

四、【展示交流】

水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题。已知西部某地区有批耕地 3000万亩需要退耕还林，国家确定从今年（2010年）起在该地区退耕还林土地面积为300万亩，以后每年退耕还林土地面积比上一年递增20％。请问：

（1）2012年该地区退耕还林土地面积为多少？

（2）到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？（计算时取63log 2.1 ）

五、【典型例题】

某人今年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷。如果10年还清，那么每月应还贷多少元?

六、【反馈练习】

银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结息后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利。现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30％的利润；乙方案：每年初贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元，两种方案，实施期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10％的复利计算，比较两个方案，哪个获利更多？（参考数据：1.110=2.594，1.310=13.786）

七、【小结评价】

1、解实际应用题注意分清求a

n 还是S

n

.

2、有关应用题，关键在于理解题意，建立起函数关系。当函数关系与数列的通项公式相对

应时，考虑这些项是否为特殊的等差，等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项，求和问题。

课外作业

1、一个凸多边形的内角的度数成等差数列，最小的角为800，最大的角为1600，则这个多

边形的边数是。

2、设三角形的三边a ,b , c 成等比数列，则公比q的取值范围是。

3、一个直角三角形三边的长成等比数列，则其较小锐角的正弦值为。

4、某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5

年内还清，则每年应偿还的金额数为万元。

5、一个物体从1960m的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降

落9.80m，那么经过秒钟才能落到地面。

6、某人为了观看2010年5月－10月在上海举办的世博会，从2003年起。每年4月10日

到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2010年4月10日，将所有的存款及利息全部取回，则他取回的钱数为元。

7、我国古代用诗歌形式提出了一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，

共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”此题答案应是。

8、如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连结各边中点得

?A

1B

1

C

1

，再连结?A1B1C1的各边中点得?A2B2C2

……如此继续下去，则数列S

ABC

?，S

1

1

1

C

B

A

?

，S

2

2

2

C

B

A

?

，……

的通项公式是。

9、如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，

并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……这样形成的图形称为分形，则第n个分形的边长是，周长是。

10、如图（1）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三

角形（如图（2）），再分别连结图（2）中间的一个小三角形三边的中点，又可将原三角

形剖分成7个三角形（如图（3））。依次类推，第n个图中原三角形被剖分为a

n

个三角形。

（1）求数列{}n a的通项公式;

（2）第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形？

11、已知α、β、γ成公比为2的等比数列（[]πα2,0∈），且γβαsin ,sin ,sin 也成等比

数列。 求α、β、γ的值。

12、据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类认识总量已达到每三年翻一番，到2020

年甚至要达到每73天翻一番的空前速度。因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习。已知2000年底，人类知识总量为a ，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年是每73天翻一番。试回答：

（1）2009年底人类知识总量是多少？

（2）2019年底人类知识总量是多少？

（3）2020年按365天计算，2020年底人类知识总量是多少？

13、某林场原有木材量为a ，木材每年以25％ 的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量

为x ，为了实现经过20年达到木材总存量翻两番，求每年砍伐量的最大值（取lg2=0.3）。

等差数列应用题.题库

等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?

数列应用题专题训练

数列应用题专题训练 高三数学备课组以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2) 存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r,经过n期，按 单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr) 。 复利是一种计算利率的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起做本金, 再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、(储蓄问题) 某家庭为准备孩子上大学的学费,每年6月30日在银行中存入2000元, 连续 5 年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n 6.5%)计本利(n为年数); ⑵如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是 2000(1+5 X 0.065)+2000(1+4 X 0.065)+ …+2000(1+0.065)=11950 若计复利，则 2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+ …+2000(1+5%)?1186元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、(分期付款问题) 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第

数列应用题中的递推关系

数列应用题中的递推关系 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。 略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：2 )30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列 有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。 例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多

数列应用题专题训练

数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第

五年级奥数等差数列应用题教师版

【例 1】 五年级奥数等差 数列应用题教师版 【考点】等差数列应用题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯,五年级,复赛,第3题,5分 【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0,3,6,9,99共33个,他们的和是()09934179916832 +?=?=,则他们的平均数为1683÷34=49.5。 【答案】49.5 【例 2】一群小猴上山摘野果,第一只小猴摘了一 个野果,第二只小猴摘了2个野果,第三只小猴摘了 3个野果,依次类推,后面的小猴都比它前面的小猴 多摘一个野果。最后,每只小猴分得8个野果。这 群小猴一共有_________只。 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,二试,第7题 【解析】 平均每只猴分8个野果,所以最后一只猴摘了821=15?-只果,共有15只猴. 【答案】15只猴子 【例 3】15位同学排成一队报数,从左边报起思思 报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中 间排着有 位同学． 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,1年级 【解析】因为从左边起思思报10,所以,思思的右边还有15105-=（个）；又因为从右边起学学报12,所以,学学的左边还有15123-=（个）,15645--=（个）学学和思思中间排着5位同学． <考点> 排队问题 【答案】5位 【例 4】体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站 排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17,阿奇报150,每位同学报的数都比前一位多 7,那么队伍里一共有多少人? 【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】首项=17,末项=150,公差=7,项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20 例题精讲 等差数列应用题

数列解题技巧

第四讲数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是

学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.

数列应用题

数列应用题 课时28数列应用题 【教学目标】 1．综合运用等差、等比数列的知识解决有关一些实际应用问题，其中函数的观点，化归的方法常常在解题过程中起重要作用。 2．培养学生分析问题和解决问题的能力。 【教学难点】 难点是解决数列应用题的建摸 【教学过程】 例1填空题： ⑴一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排比前一排多2个座位，这个剧场共有个座位。 ⑵某厂产值的月平均增长率为P，则年平均增长率为。 ⑶某种汽车购车时费用为10万元，每年的保险、养路、汽油费共9千元，汽车的年维修费逐年以等差数列递增，第一年为2千元，第2年为4千元，第3年为6千元，……问这种汽车使用年后报废合算？（即汽车的年平均费用最底） (4)一幢大楼共有n层，现每层指定一人到第k层去开会，问k为______________时，使n层楼的开会人员上、下楼梯所走的台阶和最小？（假设每层楼梯的台阶数都相同） 例2某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，

月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷，如果10年还清，那么每月应还贷多少元？ 例3某地现有耕地面积10000公顷，计划10年后粮食单产比现在提高22%，人均粮食占有量比现在提高10%。如果人口的年增长率为1%，那么平均每年最多只能减少耕地面积多少公顷（精确到1公顷）？(注：粮食单产=，人均粮食占有量=) 【课后作业】 1、某林场年初有森林木材存量Sm3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为xm3。为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是。 2、1991年，某内河可供船只航行的河段长为1000千米，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从1992年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的，则到2000年，该内河可行驶的河段长度为。 3、如图（图见课本P.56第4题）设正三角形△ABC的边长为20cm，取BC边的中点E，作正三角形BDE；取边DE的中点G，作正三角形DFG；如此继续下去，可得到一列三角形△ABC，△BDE，△DFG，…，求前20个正三角形的面积和。 4、李刚从2011年1月开始，用零存整取的方式每月在10日发工资时存入银行200元，按银行规定，这种储蓄用单利计算利息，年利率为1.98%，且在取息时需扣除20%的利息税，则到2012年1月10日，李刚由这些存款可以到银行取出多少钱？

数列应用题

必修 5 数列 数 列 应 用 题 总第13课时 一、【教学目标】掌握等差、等比数列在实际生活中的应用。 二、【教学重点】数列在实际生活中的应用。 三、【教学难点】构建数列模型，分清是等差数列还是等比数列，是求通项还是求和。 四、【展示交流】 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题。已知西部某地区有批耕地 3000万亩需要退耕还林，国家确定从今年（2010年）起在该地区退耕还林土地面积为300万亩，以后每年退耕还林土地面积比上一年递增20％。请问： （1）2012年该地区退耕还林土地面积为多少？ （2）到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？（计算时取63log 2.1 ） 五、【典型例题】 某人今年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元用于购买住房，月利率3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷。如果10年还清，那么每月应还贷多少元?

六、【反馈练习】 银行按规定每经过一定时间(贷款利率中的时间间隔)结算贷款的利息一次，结息后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利。现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30％的利润；乙方案：每年初贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元，两种方案，实施期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10％的复利计算，比较两个方案，哪个获利更多？（参考数据：1.110=2.594，1.310=13.786） 七、【小结评价】 1、解实际应用题注意分清求a n 还是S n . 2、有关应用题，关键在于理解题意，建立起函数关系。当函数关系与数列的通项公式相对 应时，考虑这些项是否为特殊的等差，等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项，求和问题。 课外作业 1、一个凸多边形的内角的度数成等差数列，最小的角为800，最大的角为1600，则这个多 边形的边数是。 2、设三角形的三边a ,b , c 成等比数列，则公比q的取值范围是。 3、一个直角三角形三边的长成等比数列，则其较小锐角的正弦值为。 4、某企业今年初贷款a万元，年利率为r，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5 年内还清，则每年应偿还的金额数为万元。 5、一个物体从1960m的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降 落9.80m，那么经过秒钟才能落到地面。

数列应用题(分期付款)

课 题：分期付款中的有关计算（二） 教学目的： 通过“分期付款中的有关计算“的教学，使学生学会从数学角度对某些日常生活中的问题进行研究 教学重点：分期付款问题进行独立探究的基本步骤 教学难点：将实际问题转化为数学问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： ?? ?研究性课题的教学有两个特点：一是不仅仅局限于书本知识，更有很多课外内容，如利率、复利计息、分期付款等专业术语的含义，以及现代网络技术的运用等，这样就使探究成败不决定于数学成绩的好坏，每一位学生都可以通过自己的思考与实践获得成功；其次，不仅仅拘泥于教师主演，也不仅仅注重研究的结果，更关注的是学生在学习过程中提出问题、分析问题、解决问题的能力和心理体验,这就为学生个性的发展，能力的提高，创新精神的培养提供了广阔的空间而正因有这样的特点，就导致了不仅仅该课题本身是开放的（具有解法和结论的不确定性），其教学本身也是开放性的，这就有可能出现教师事先没预料到的问题，从而也为促进教学相长提供了好机会 研究性课题是应教改需要在新教材中新加的一个专题性栏目，为突出研究性课题的实践性，课前和课后都安排学生进行社会调查实践；为突出研究性课题的探究性，对学生适当启发引导，大胆放手，让学生独立分析和解决问题另外以突出学生主体地位为根本去设计教学环节；以面向全体学生为原则而采取分层次的教学方式，并且采用了现代网络技术等多媒体教学手段辅助教学，提高了课堂效率和教学效果 教学过程： 一、复习引入： 1．研究性课题的基本过程： 生活实际中的问题→存在的可行方案→启迪思维留有余地 →搜集整理信息→独立探究个案→提出解答并给答辩 →创建数学模型→验证并使用模型→结论分析 2．分期付款使用模型：分期付款购买售价为a 的商品,分n 次经过m 个年（月）还清贷款,每年（月）还款x,年（月）利率为p,则每次应付款： 1 )1(1)1()1(-+? ?????-++=m n m m p p p a x

数列应用题中的地推关系

数列应用题中的递推关系 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。 分析：设11月n 日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。 略解：由题意，11月1日到n 日，每天新感染者人数构成一等差数列a n ，a 1=20,d 1=50,11月n 日新感染者人数a n =50n —30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列b n ,b 1=50n-60,d 2=—30，b n =(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b 30-n =20(30-n)-30=-20n+570. 故共感染者人数为：2 )30)](57020(6050[2)305020(n n n n n -+-+-+-+=8670，化简得：n 2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。 二、a n - a n-1=f(n),f(n)为等差或等比数列 有的应用题中的数列递推关系，a n 与a n-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。 例2、某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件。若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出n b 2 件，（n ∈N *）。

等差、等比数列的应用题作业

2013级高一数学作业（2014年3月14日） 等差、等比数列的应用问题 一、填空题： 1. 若121,,,4a a 成等差数列，又1231,,,,4b b b 成等比数列，则122 ______a a b += 2.已知等差数列{}n a 的公差不为零，若5915,,a a a 成等比数列，那么公比为_____ 3. 某种商品投产后，计划两年后使成本降低36%，则平均每年应降低成本_____ 4. 每次用相同体积的清水洗一件衣物，每次能洗去污垢的75%，若清洗n 次后，存留的污垢在1%以下，则n 的最小值为_____ 5．一家工厂的生产总值月平均增长率是p ，那么年平均增长率为_________ 6.一个各项均为正数的等比数列，其任一项都等于他后面两项之和，则其公比是_____ 7. 数列211,,,,n x x x -L L 的前n 项和为__________n S = 8. 在等差数列{}n a 中，已知124,a =从第7项开始为负数，则公差d 的取值范围是_____ 9．1992年底世界人口达到54.08亿，若人口的年平均增长率为x %，2014年底的世界人口为y 亿，那么y 与x 的函数关系为_________ 10．某人从2005年起，每年9月1日到银行新存a 元的一年定期存款，若年利率r 保持不 变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2015年9月1日将所有的存款及利息全部取回，他取回的钱数是_________元。（假设不扣利息税） 11.已知,,a b c 为ABC ?中角,,A B C 的对边，且2 220,2230,a a b c a b c ---=+-+= 则该三角形的最大内角为_____ 二、解答题： 12. 从盛满()1a a >升纯酒精的容器中倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后，又用水填满，如此继续下去，问第n 次操作后溶液的浓度是多少？若2a =，至少应倒几次后，才能使酒精浓度低于10% ？

小学数学培优之等差数列应用题

【例 1】 100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是 。 【例 2】 一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了一个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了 3个野果，依次类推，后面的小猴都比它前面的小猴多摘一个野果。最后，每只小猴分得8个 野果。这群小猴一共有_________只。 【例 3】 15位同学排成一队报数，从左边报起思思报10．从右边报起学学报12．那么学学和思思中间 排着有 位同学． 【例 4】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬 冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 5】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多 少人？ 【例 6】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴 蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【例 7】 如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中最小的三角形顶点的 个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？ 例题精讲 等差数列应用题

【例 8】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【例 9】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢? 【例 10】有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个？ 【例 11】某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是。 【例 12】一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？

高中数列应用题专题训练精选集

高中数列应用题专题训练精选集 一．解答题（共16小题） 1．（2012?）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴 资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元． （Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出a n+1与a n的关系式； （Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．2．（2010?）已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部 门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房． （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6） 3．（2007?）近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）． （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）； （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？ 4．（2005?）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底， （1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？ （2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 5．（2005?）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0．不考虑其它因素，设在第n年鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与x n2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c． （Ⅰ）求x n+1与x n的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅲ）设a=2，b=1，为保证对任意x1∈（0，2），都有x n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论．

高考数学难点突破__数列综合应用问题

难点14 数列综合应用问题 纵观近几年的高考,在解答题中,有关数列的试题出现的频率较高,不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系,而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率,减薄率,银行信贷,浓度匹配,养老保险,圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外,还要善于观察题设的特征,联想有关数学知识和方法,迅速确定解题的方向,以提高解数列题的速度. ●难点磁场 (★★★★★)已知二次函数y =f (x )在x =2 2 +t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0. (1)求y =f (x )的表达式； (2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1［g (x )］为多项式,n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ； (3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2,圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列,记S n 为前n 个圆的面积之和,求r n 、S n . ●案例探究 ［例1］从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游 产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少5 1 ,本年度当地旅游业收入 估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4 1. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入？ 命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型,属★★★★★级题目. 知识依托：本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点. 错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和,易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差. 技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧. 解：(1)第1年投入为800万元,第2年投入为800×(1－5 1 )万元,…第n 年投入为800× (1－5 1)n － 1万元,所以,n 年内的总投入为 a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑ =n k 1 800×(1－51)k － 1 =4000×［1－( 5 4)n ］

数列应用题常见模型

数列应用题常见模型 (1) 银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋rx)． (2) 银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝a(1＋r)x (x ∈N 且x>1)． (3) 产值模型 原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N(1＋p)x (x ∈N 且x>1)． (4)分期付款模型 设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分成n 次付清，每期期末 所付款是x 元，每期利率为r ，则x ＝ar (1＋r )n (1＋r )n －1 (n ∈N 且n>1)． 案例分析 1、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. (1) 求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2) 设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n .若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 进行更新．证明：须在第9年初对M 进行更新． (1) 解：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列． 故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ； 当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34 的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×????34n －6. 因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝? ???? 130－10n ，n ≤670×????34n －6，n ≥7. (2) 证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n(n －1)， A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故 S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34 ×4×????1－????34n －6＝780－210×????34n －6， A n ＝780－210×??? ?34n －6n . 因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列． 又A 8＝780－210×????3428＝824764>80，A 9＝780－210×????3439＝767996 <80，

数列应用题(教师版)

数列应用题 例1、甲、乙两人同一天分别携款1万元到银行储蓄。甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%,乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计算利息时，储户须缴纳利息的20%作为利息税。若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得的本息之和的差为多少元？（精确到分） 解.甲:410(15 2.88%0.8)+?? 乙:4510(1 2.25%0.8)+? 410(15 2.88%0.8)+??-4510(1 2.25%0.8)+?219.01≈ 答:甲与乙所得的本息之和的差约为219.01. 注:存款问题,关键是搞清楚其中的单利(等差数列)、复利（等比数列）计算方法以及利息税的问题。 例2、(分期还款问题)陈先生买了一套新住宅，总价250万元。首期付款120万元，余款130万元向银行借款。贷款后第一个月末开始还款，每月等额还款一次，分20年还清。假设银行贷款利率在20年中不变化，每月利率1.05%。问陈先生每月应还银行多少元？ 解：设陈先生把每个月的还款x 万元按时存入一虚拟银行，存款利率即为贷款利率r ，20 年后，这些存款的本利总和为： 2402402392382401(1)(1)(1)(1)(1)1(1)r r r S x r x r x r x x x r r -++-=+++++++==-+ 这些存款本利总和应该等于陈先生20年欠银行贷款的本利总额240130(1)r + 240240 240240(1)1130(1)130(1)14861.57(1)1 r r r x r x x r r +-+∴=+?=?≈+- 答：陈先生每月因还银行14861.57元. 例3、参加一次国际商贸洽谈会的国际友人，居住在某五星级宾馆的不同楼层内，该大楼共有n 层，每层均住有与会人员。现要求每层派一人，共n 人集中到第k 层开会。问k 如何确定，能使n 位参加会议人员的上、下楼梯所走的路程的总和最少？ 分析:设每两层楼梯的楼梯长度为L,住在m 层的人到k 层开会走的路程为()n a k m L =- 当1m k ≤≤时,();().n m a k m L k m n a m k L =-<≤=-当时， 解: 设每两层楼梯的楼梯长度为L,开会人员所走路程为S (121)0(12)[1(1)](1)[1()]()22 S k L n k L k k n k n k L L =++ +-?+++++-?+--+--=?+? 22(1)2n n k n k L ??+=-++?????

数列应用题复习讲义与习题

第十六讲数列应用题 1．知识归纳： 数列作为特殊的函数，在中学数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷、生产产品的增长率、分期付款等题型。 运用数列知识解决实际应用问题时，应在认真审题的基础上，认准问题的哪一部分是数列问题？是那种数列（等差数列，等比数列）的问题？在a,d(或q),n,a n,S n 中哪些量是已知的，哪些量是待求的？特别认准项数n为多少？ 总之，充分运用观察归纳猜想的手段，建立出有等差（比）数列、递推数列的模型，再综合运用其他相关知识来解决问题。 2．例题讲解： 【例1】某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01) 解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2， a10 = 3000 + 9×30 = 3270 1990年、1991年、……2000年人口数成GP b1 = 500 , q = 1% , ∴2000年底该城市人均住房面积为： 点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。 【例2】从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？ 2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1 kg水后容器内盐水 的盐的质量分数为多少？ 解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n}，则： a1= 0.2 kg , a2=×0.2 kg , a3= ()2×0.2 kg 由此可见：a n= ()n1×0.2 kg , a5= ()51×0.2= ()4×0.2=0.0125 kg 2.由1.得{a n}是等比数列a1=0.2 , q= 点评：掌握浓度问题中的数列知识。 【例3】流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流

{高中试卷}江苏省天一中学高三数学二轮复习数列应用题[仅供参考]

20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：

专题9.3：数列应用题 【拓展探究】 1. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有20XX 根.现将它们堆放在一起. （1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢？ （2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案? （Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 【解】（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n 根，从而由且*N n ∈得，当62=n 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢； （2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而2009)1(2 1=-+n n nx ，即4177220092)12(???=?=-+n x n ，因1-n 与n 的奇偶性不同，所以12-+n x 与n 的奇偶性也不同，且12-+

数列应用题》专题训练题

《数列应用题》专题训练题 1.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，以发展旅游产业.根据规划，本年度投入 800万元，以后每年投入将比上年减少5 1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加4 1.（1）设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元.写出,n n a b ；（2）只需经过几年旅游的总收入就能超过总投入 2.某地区森林原有木材存量为a ，且每年增长率为14 ，因生产建设需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区的木材存量，（1）求n a 的表达式：（2）为不发生水土流失，要求木材存量不少于79 a ，若1972 a b =，该地区会发生水土流失吗若会，需经过几年（lg 20.3=） 3.某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆 本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：设2001年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 .94.0,30121x b b b +?== ………………2分 对于n >1，有ΛΛ,)94.01(94.094.0211x b x b b n n n ++?=+?=-+ .94.0)06.030(06.0n x x ?-+= ………………6分 当.30,8.1,006.03011=≤≤≤≤≥-+b b b x x n n Λ时即 ………………8分 当,06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim ,8.1,006.0301x x x b x x n n n n =?-+=><--∞→∞→时即 并且数列{b n }逐项增加，可以任意靠近06.0x . ……………10分 因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即),3,2,1(60ΛΛ=≤n b n . 则6.3,6006 .0≤≤x x 即（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过万辆.………12分