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上海高考数学函数经典压轴题解析详解

上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

1. (本小题满分12分)

已知常数a > 0, n为正整数，f n ( x ) = x n– ( x + a)n ( x > 0 )是关于x的函数.

(1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论.

(2) 对任意n ? a , 证明f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n)

解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,

∵a > 0 , x > 0, ∴f n `( x ) < 0 , ∴f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分

（2）由上知：当x > a>0时, f n ( x ) = x n– ( x + a)n是关于x的减函数,

∴当n ? a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n– ( n + a)n. 2分

又∴f`n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,

∴f`n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n– ( n + a)n] = ( n + 1 )[ n n–( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分

( n + 1 )f n`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分

∵( n + a ) > n ,

∴f`n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n`(n) . 2分

2. (本小题满分12分)

已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，

1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .

(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]

1,[0,1]

x x x x +∈-??

-∈?，是否满足题设条件？

解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |，

取u =

43?[–1，1]，v = 2

?[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4

| u – v | > | u – v |，所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论：

10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]，则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u ?[–1，0]，v ?[0，1]，则：

|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件;

40 若u ?[0，1]，v ?[–1，0], 同理可证满足题设条件.

综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1

x x

+(x ? –1)的图象上，且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ? 0 ).

(1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证：(1) ∵ t ?R, t ? –1,

∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c 2a 2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –

x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–

1x 12+–1 + 1x 1

1+= )

1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,

∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ? 0时，f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =

)1x (1

+> 0 得x ? –1, ∴x > –1时，f ( x )单调递增.

（3）（仅理科做）∵f ( x )在x > –1时单调递增，| c | ?

a |4

> 0 , ∴f (| c | ) ? f (|a |4) = 1|

a |4|

a |4

+= 4|a |4+

f ( | a | ) + f ( | c | ) =

1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4

|a |4

+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4．（本小题满分15分）

设定义在R 上的函数43201234

()f x a x a x a x a x a =++++（其中i a ∈R ，i=0,1,2,3,4），当

x= －1时，f (x)取得极大值2

，并且函数y=f (x+1)的图象关于点（－1，0）对称．

（1）求f (x)的表达式；

（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切

点的横坐标都在区间??上；

（3）

若+213),(N )23n n n n n n x y n --==∈，求证：4

()().3

n n

f x f y -< 解：（1）31

().3

f x x x =-…………………………5分

（2）(

)0,0,?或(

)0,0,.? ?

?…………10分（3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3

n n f x f y f f -<--<……15分 5．（本小题满分13分）

设M 是椭圆22

:1124

x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x

轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠

则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分

112

222

1,(1)124 1.(2)12

x y x y ?+=??

??+=??L L L L L L L L ………………………………………………………3分

由（1）－（2）可得1.3

MN QN k k ?=-………………………………6分又MN ⊥MQ ，111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=-所以11

.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11

y x y =-……10分

从而得111

1,.22

x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-

代入（1）可得2

21(0),3

x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程 (13)

分

6．（本小题满分12分）

过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，

.0=? （1）求点P 的轨迹方程；

（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+?λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.

解法（一）：（1）设)(),4

,(),4,(212

2211x x x x B x x A ≠

由,42y x =得：2

'x y =

4,,021-=∴⊥∴=?x x PB PA PB PA Θ………………………………3分

直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即4

11x x x y -= ①

同理，直线PB 的方程是：4

2x x x y -= ② 由①②得：??

∈-==+=),(,

142212

121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分

（2）由（1）得：),14,(211-=x x ),14,(2

22-=x x )1,2

(21-+x

x P

2)14)(14(2

21222121x x x x x x +--=--+=? …………………………10分

所以0)(2=+?FP FB FA

故存在λ=1使得0)(2=+?λ…………………………………………12分解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=? ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥

设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y

由???=+=y

x m kx y 42得：0442=--m kx x 016162=+=?∴m k 即2k m -=…………………………3分

即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：2

k x k y -

-= 由??

???--=-=2211k x k y k kx y 得：?????

-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：)1,1

(),1,

2(),,2(22---k

k P k k B k k A )1

(2)11)(1(42222k

k k k +--=--+-=?………………………………10分

故存在λ=1使得0)(2=+?λ…………………………………………12分 7．（本小题满分14分）

设函数x ax

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数. （1）求正实数a 的取值范围；（2）设1,0>>a b ，求证：.ln 1b

a b b a b a +<+<+ 解：（1）01

)(2

'≥-=

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， x

a 1

≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x

1≥∴a 为所求.…………………………4分

（2）取b b a x +=

，1,0,1>+∴

>>b

a b a Θ，一方面，由（1）知x ax

x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，即b

a b b a +>+1

ln ……………………………………8分另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G ∴当1>x 时，0)1()(>>G x G

∴x x ln > 即

a b b a +>+ln

综上所述，.ln 1b

a b b a b a +<+<+………………………………………………14分

8．(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，

90C ∠=o ，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边

BC 上，3BD DC =，ABC !的周长为12．若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．

(1) 求双曲线E 的方程；

(2) 若一过点(,0)P m （m 为非零常数）的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线

顶点的两点M 、N ，且MP PN λ=u u u r u u u r

，问在x 轴上是否存在定点G ，使

()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r

？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说

明理由．

解：(1) 设双曲线E 的方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．

由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．

∴222||||16,

||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?+=-??-=?

（3分）

解之得1a =

，∴2,c b ==

∴双曲线E 的方程为2

y x -=．（5分）

(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ，使()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r

．

设直线l 的方程为x m ky -=，1122(,),(,)M x y N x y ．由MP PN λ=u u u r

u u u r

，得120y y λ+=．

即12

y λ=-

① （6分）

∵(4,0)BC =u u u r

， 1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-u u u u r u u u r

， ∴()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r

12()x t x t λ?-=-．

即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② （8分）

把①代入②，得

12122()()0ky y m t y y +-+= ③

（9分）

把x m ky -=代入2

y x -=并整理得

其中2310k -≠且0?>，即213

k ≠且2231k m +>．

212122263(1)

,3131

km m y y y y k k --+==

--．（10分）

代入③，得

2226(1)6()03131

k m km m t k k ---=--，

化简得 kmt k =．当1t m

=时，上式恒成立．

因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m

，使()BC GM GN λ⊥-u u u r u u u u r u u u r

．

（12

分）

9．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 各项均不为0，其前

项和为n S ，且对任意*n ∈N 都有

(1)n n p S p pa -=-（p 为大于

1的常数），记

12121C C C ()2n

n n n n

n n

a a a f n S ++++=

L ．

(1) 求n a ；

(2) 试比较(1)f n +与

()2p f n p

+的大小（*n ∈N ）

； (3) 求证：21

11(21)()(1)(2)(21)112n p p n f n f f f n p p -??

??++-+++--?? ?-??????

L 剟，（*n ∈N ）．解：(1) ∵(1)n n p S p pa -=-，

① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-．

②

②－①，得

11(1)n n n p a pa pa ++-=-+，

即1n n a pa +=．

（3分）

在①中令1n =，可得1a p =．

∴{}n a 是首项为1a p =，公比为p 的等比数列，n n a p =．（4

分）

(2) 由(1)可得(1)(1)

n n n p p p p S p p --==

--． 12121C C C n n n n n a a a ++++L 1221C C C (1)(1)n n n n

n n n p p p p p =++++=+=+L ．

∴

12121C C C ()2n

n n n n

n n a a a f n S ++++=L 1(1)2(1)

n n n p p p p -+=?-，

（5分）

(1)f n +1111(1)2(1)

n n n p p p p +++-+=

?-．而

()2p f n p

+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=

?-，且1p >， ∴1110n n p p p ++->->，10p ->． ∴(1)f n +<

()2p f n p

+，

（*n ∈N ）．（8分）

(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=

，(1)f n +<1

()2p f n p

+，（*n ∈N ）．

∴当2n …时，211111()(1)()(2)()(1)()2222n n

p p p p f n f n f n f p p p p

-++++<-<-<<=L ． ∴

111(1)(2)(21)222n p p p f f f n p p p -??

??++++++-+++ ? ?

????

L L …

11112n p p p p -????++=-?? ?-??????

，（10分）

（当且仅当1n =时取等号）．

另一方面，当2n …，1,2,,21k n =-L 时，

1p p -=

∵22k n k n p p p -+…，∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-…． ∴

12(1)()(2)2()2(1)

n n p p f k f n k f n p p -++-?=-…，

（当且仅当k n =时取等号）．（13分）

∴2121

1()[()(2)]()(21)()

2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑

∑∑…．（当且仅当1n =时取等

号）．

综上所述，21

111(21)()()

112n n k p p n f n f k p p --=??

??++--??∑ ?-??????

剟，（*n ∈N ）．（14分）

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；