2021届高考数学压轴题系列训练含答案
1.(12分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ,它们在x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点.
(Ⅰ)求这三条曲线的方程;
(Ⅱ)已知动直线l 过点()3,0P ,交抛物线于,A B 两点,是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出l '的方程;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)设抛物线方程为()220y px p =>,将()1,2M 代入方程得2p =
24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………(1分)
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………(2分) 对于椭圆,
1222a MF MF =+
+
(
2
22222211321
a a
b a
c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为:………………………………(4分)
对于双曲线,1222a MF MF '=-=
2222221321
a a
b
c a '∴'∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为:………………………………(6分)
(Ⅱ)设AP 的中点为C ,l '的方程为:x a =,以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点,DE 中点为H
令()11113,,,22x y A x y +??
∴ ??
? C ………………………………………………(7分)
()111231
23
22
DC AP x CH a x a ∴=
=+=-=-+
()()(
)22
2
2
2
2111212
1132344-23246222
DH DC CH x y x a a x a a
a DH DE DH l x ????∴=-=
-+--+???
?=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为: …………(12分)
2.(14分)已知正项数列{}n a 中,16a =
,点(n n A a 在抛物线21y x =+上;数列{}n b 中,点(),n n B n b 在过点()0,1,以方向向量为()1,2的直线上.
(Ⅰ)求数列{}{},n n a b 的通项公式;
(Ⅱ)若()()()
n n a f n b ??=???, n 为奇数, n 为偶数,问是否存在k N ∈,使()()274f k f k +=成立,若存在,求出k 值;若
不存在,说明理由;
(Ⅲ)对任意正整数n
,不等式
1
120111111n n n a
b b b +-
≤??????
+++ ? ???????
??
成立,求正数a 的取值范围.
解:(Ⅰ)将点(n n A a 代入21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-?=+=+∴=+ 直线 …………………………………………(4分)
(Ⅱ)()()()521n f n n ?+?=?+??, n 为奇数, n 为偶数………………………………(5分)
()()
()()()()27274275421,4
2735
227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴
++=+∴==当为偶数时,为奇数, 当为奇数时,为偶数, 舍去综上,存在唯一的符合条件。
……………………(8分)
(Ⅲ)由
1
120111111n n n a b b b +-
≤??????
+++ ? ???????
??
()()()()
12121211111111231111112311111111125123123241232525n n n n n a b b b n f n b b b n f n b b b b n f n n n n f n b n n n ++?????
?≤
+++ ? ???+??????
?????=+++ ?
???+??????
???
????
?∴+=++++
???
???+????????
+?
?+++∴=
?+=?= ?
+++??
即记 ()()()()()22
min 252341616
1
41615
1,445
1,35450n n n n n n f n f n f n f n f a +?+++=
>++∴+>∴==?
=∴<≤
即递增, ………………………………(14分)
3.(本小题满分12分)将圆O: 4y x 2
2
=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: ON 2OE =的充要条件是3|AB |= .
解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知??
?='=',
y 2y ,
x x ………………(2分)
又,4y x 2
2
='+'∴1y 4
x 4y 4x 22
2
2=+?=+. 所以, 点M 的轨迹C 的方程为1y 4
x 22
=+.………………(4分) (2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 , ㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)
㈡设直线l: ,3my x +=
由?????=++=4
y 4x 3my x 22消去x,
得01my 32y )4m (2
2=-++………………①
∴,4
m m
3y 2
0+-
=………………(6分) ∴4
m 3
44m 34m 34m m 33my x 2222200+=++++-=+=,
∴点N 的坐标为)4
m m 3,4m 34(
2
2+-+ .………………(8分) ①若2=, 坐标为, 则点E 的为)4
m m
32,4m 38(
22+-+ , 由点E 在曲线C 上,
得1)
4m (m 12)4m (482
22
22=+++, 即,032m 4m 24=-- ∴4m (8m 22-== 舍去). 由方程①得,14
m 1
m 44m 16m 4m 12|y y |2
222221=++=+++=- 又|,)y y (m ||m y m y ||x x |212121-=-=-
∴3|y y |1m |AB |212=-+= .………………(10分)
②若3|AB |= , 由①得,34
m )
1m (42
2=++∴ .8m 2= ∴点N 的坐标为)66,33(
± , 射线ON 方程为: )0x (x 2
2y >±= , 由?????=+>±=4y 4x )0x (x 22y 22 解得???
???
?±==36
y 332x ∴点E 的坐标为),36,332(± ∴2=.
综上, OE ON 2=的充要条件是3|AB |= .………………(12分)
4.(本小题满分14分)已知函数241
)x (f x +=
)R x (∈.
(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4
1
,21( 对称;
(2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n
(f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m
(3) 设数列}b {n 满足: 3
1b 1=
, n 2
n 1n b b b +=+. 设1b 11b 11b 1T n 21n ++++++= . 若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.
解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)4
1,21
( 的对称点为)y ,x (P .
由???????=+=+412
y y 2
1
2x x 00 得?????-=-=.y 21
y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2
1
,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2
41
y 0x 0+=.
∵,)
24(244244241)x 1(f 0
000
x x x x x 10+=?+=+=
-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400
x x + ∴点P )y 2
1,x 1(00
-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)41
,2
1
( 对称. ………………(4分) (2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2
1
)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ ,
即,2
1a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分)
由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①+②, 得,6
12m 61221m a 221)1m (S 2m m -=?+-=+?-= ∴).1m 3(121
S m -=
………………(8分) (3) ∵,3
1b 1=)1b (b b b b n n n 2
n 1n +=+=+, ………………③
∴对任意的0b ,N n n >∈+ . ………………④ 由③、④, 得
,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1
n +-=+=
+即1
n n n b 1
b 11b 1+-=+.
∴1
n 1n 11n n 3221n b 1
3b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(
T +++-=-=-++-+-= .……………(10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2
n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,81
52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==
∴.52
75
b 13T T 12n =-=≥………………(12分) ∴,5275S m <
即,5275)1m 3(121<-∴,39
4639238m =< ∴m 的最大值为6. ……………(14分) 5.(12分)E 、F 是椭圆2
2
24x y +=的左、右焦点,l 是椭圆的右准线,点P l ∈,过点E 的直线交椭圆于A 、
B 两点.
(1) 当AE AF ⊥时,求AEF ?的面积; (2) 当3AB =时,求AF BF +的大小; (3) 求EPF ∠的最大值.
解:(1)22
41
28
2AEF m n S mn m n ?+=??==?+=? (2)因4
84AE AF AB AF BF BE BF ?+=??++=?
+=??
, 则 5.AF BF +=
(1)
设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠
221(
(166t t t t t t -=-÷+==≤++,
当t =
30tan EPF EPF ∠=
?∠
=
6.(14分)已知数列{}n a 中,11
3a =,当2n ≥时,其前n 项和n S 满足2221
n n n S a S =-,
(2) 求n S 的表达式及2
lim
n
n n
a S →∞的值;
(3) 求数列{}n a 的通项公式; (4)
设n b =
n N ∈且2n ≥时,n n a b <.
解:(1)21111
211
22(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=?-=?-=≥-
所以1n S ???
???
是等差数列.则1
21n
S n =+. 222
lim
lim 2212lim 1n n n n n n
n a S S S →∞→∞→∞
===---.
(2)当2n ≥时,12112
212141
n n n a S S n n n --=-=
-=+--, 综上,()()21
13
2214n n a n n
?=??=??≥?-?.
(3
)令a b =
=2n ≥
时,有0b a <<≤ (1) 法1:等价于求证
1
1
21
21
n n >
--+.
当2n
≥
时,0<
≤
令()23,0f x x x x =-<≤ (
)233232(1)2(12(10222f x x x x x x x '=-=-≥-=->,
则()f
x 在递增
.
又0<
<≤
所以33(
)(),2121
g g n n <+-即n n a b <.
法(2)223333
11()()2121(21)(21)n n a b b a b a n n n n -=
---=---+-+- 22()()a b a b ab a b =-++-- (2)
22()[()()]22ab ab a b a a b b =-+
-++- ()[(1)(1)]22
b a a b a a b b =-+-++- (3) 因33
11111022223
a b a b a +
-<+-<-<-=-<,所以(1)(1)022b a a a b b +-++-<
由(1)(3)(4)知n n a b <.
法3:令()22g b a b ab a b =++--,则()12102
a
g b b a b -'=+-=?= 所以()()(){}{}
220,,32g b max g g a max a a a a ≤=-- 因0,3
a <≤
则()210a a a a -=-<,2214323()3(
)0339a a a a a -=-≤-< 所以()2
2
0g b a b ab a b =++--< (5) 由(1)(2)(5)知n n a b < 7. (本小题满分14分)
设双曲线22
22b
y a x -=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A ,P
是双曲线上异于顶点的一个动点,从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.
(1) 证明:无论P 点在什么位置,总有|→
--OP |2 = |→
-OQ ·→
--OR | ( O 为坐标原点);
(2) 若以OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围;
解:(1) 设OP :y = k x, 又条件可设AR: y =
a
b
(x – a ), 解得:→--OR = (b ak ab --,b ak kab --), 同理可得→-OQ = (b ak ab +,b
ak kab
+),
∴|→
-OQ ·→
--OR | =|b ak ab --b ak ab ++b ak kab --b ak kab
+| =|
b k a |)k 1(b a 2
22222-+. 4分 设→
--OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP 方程联立解得:
m 2 =
22222k a b b a -, n 2
= 2
22222k
a b b a k -, ∴ |→
--OP
|2 = :m 2 + n 2 =
22222k a b b a -+ 2222
22k a b b a k -=2
22222k a b )k 1(b a -+ ,
∵点P 在双曲线上,∴b 2 – a 2k 2 > 0 .
∴无论P 点在什么位置,总有|→
--OP |2
= |→-OQ ·→
--OR | . 4分
(2)由条件得:2
22222k a b )
k 1(b a -+= 4ab, 2分
即k 2 =
2
2a
4ab ab
b 4+-> 0 , ∴ 4b > a, 得e > 4
17
2分
2021届高考数学压轴题系列训练含答案
1. (本小题满分12分)
已知常数a > 0, n 为正整数,f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x > 0 )是关于x 的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性,并证明你的结论. (2) 对任意n ≥ a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) 解: (1) f n `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] ,
∵a > 0 , x > 0, ∴ f n `( x ) < 0 , ∴ f n ( x )在(0,+∞)单调递减. 4分 (2)由上知:当x > a>0时, f n ( x ) = x n – ( x + a)n 是关于x 的减函数,
∴ 当n ≥ a 时, 有:(n + 1 )n – ( n + 1 + a)n ≤ n n – ( n + a)n . 2分
又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [x n –( x+ a )n ] ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] < ( n + 1 )[ n n – ( n + a)n ] = ( n + 1 )[ n n – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分
( n + 1 )f n `(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) > n ,
∴f `n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )f n `(n) . 2分 2. (本小题满分12分)
已知:y = f (x) 定义域为[–1,1],且满足:f (–1) = f (1) = 0 ,对任意u ,v ∈[–1,1],都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | .
(1) 判断函数p ( x ) = x 2 – 1 是否满足题设条件? (2) 判断函数g(x)=1,[1,0]
1,[0,1]
x x x x +∈-??
-∈?,是否满足题设条件?
解: (1) 若u ,v ∈ [–1,1], |p(u) – p (v)| = | u 2 – v 2 |=| (u + v )(u – v) |,
取u =
43∈[–1,1],v = 2
1
∈[–1,1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = 4
5
| u – v | > | u – v |, 所以p( x)不满足题设条件. (2)分三种情况讨论:
10. 若u ,v ∈ [–1,0],则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |,满足题设条件; 20. 若u ,v ∈ [0,1], 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|,满足题设条件; 30. 若u ∈[–1,0],v ∈[0,1],则:
|g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|,满足题设条件; 40 若u ∈[0,1],v ∈[–1,0], 同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分)
已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = 1
x x
+(x ≠ –1)的图象上,且有t 2 – c 2at + 4c 2 = 0 ( c ≠ 0 ). (1) 求证:| ac | ≥ 4;
(2) 求证:在(–1,+∞)上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 证:(1) ∵ t ∈R, t ≠ –1,
∴ ⊿ = (–c 2a)2 – 16c 2 = c 4a 2 – 16c 2 ≥ 0 , ∵ c ≠ 0, ∴c 2a 2 ≥ 16 , ∴| ac | ≥ 4. (2) 由 f ( x ) = 1 –
1
x 1+, 法1. 设–1 < x 1 < x 2, 则f (x 2) – f ( x 1) = 1–
1x 12+–1 + 1x 1
1+= )
1x )(1x (x x 1221++-. ∵ –1 < x 1 < x 2, ∴ x 1 – x 2 < 0, x 1 + 1 > 0, x 2 + 1 > 0 ,
∴f (x 2) – f ( x 1) < 0 , 即f (x 2) < f ( x 1) , ∴x ≥ 0时,f ( x )单调递增. 法2. 由f ` ( x ) =
2
)
1x (1
+> 0 得x ≠ –1, ∴x > –1时,f ( x )单调递增.
(3)(仅理科做)∵f ( x )在x > –1时单调递增,| c | ≥
|
a |4
> 0 , ∴f (| c | ) ≥ f (|a |4) = 1|
a |4|
a |4
+= 4|a |4+
f ( | a | ) + f ( | c | ) =
1|a ||a |++ 4|a |4+> 4|a ||a |++4
|a |4
+=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 4.(本小题满分15分)
设定义在R 上的函数432
01234()f x a x a x a x a x a =++++(其中i a ∈R ,i=0,1,2,3,4),当
x= -1时,f (x)取得极大值2
3
,并且函数y=f (x+1)的图象关于点(-1,0)对称. (1) 求f (x)的表达式;
(2) 试在函数 f (x)的图象上求两点,使这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在区间
??上;
(3) 若+21,N )2n n n n x y n -==∈,求证:4
()().3
n n f x f y -< 解:(1)3
1().3
f x x x =
-…………………………5分
(2)()0,0,?或()0,0,.? ?
?…………10分
(3)用导数求最值,可证得4
()()(1)(1).3
n n f x f y f f -<--<……15分 5.(本小题满分13分)
设M 是椭圆22
:
1124
x y C +=上的一点,P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点,N 为椭圆C 上异于M 的另一点,且MN ⊥MQ ,QN 与PT 的交点为E ,当M 沿椭圆C 运动时,求动点E 的轨迹方程.
解:设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠
则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分
2
2
112
222
1,(1)
12
4 1.(2)
124
x y x y ?+=????+=??………………………………………………………3分
由(1)-(2)可得1.3
MN QN k k ?=-………………………………6分 又MN ⊥MQ ,111,,MN MQ MN x k k k y ?=-=-
所以11
.3QN y k x = 直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =
+-,又直线PT 的方程为11
.x
y x y =-……10分 从而得1111
,.22
x x y y =
=-所以112,2.x x y y ==- 代入(1)可得2
21(0),3
x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程.………………13分 6.(本小题满分12分)
过抛物线y x 42
=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点,.0=?
(1)求点P 的轨迹方程;
(2)已知点F (0,1),是否存在实数λ使得0)(2=+?λ?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
解法(一):(1)设)(),4
,(),4,(212
2
2211x x x x B x x A ≠
由,42
y x =得:2
'
x y =
2
,221x k x k PB PA ==
∴ 4,,021-=∴⊥∴=?x x PB PA ………………………………3分
直线PA 的方程是:)(241121x x x x y -=-即4
22
11x x x y -= ① 同理,直线PB 的方程是:4
22
2
2x x x y -= ② 由①②得:??
??
?
∈-==+=),(,
142212
121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分
(2)由(1)得:),14,(211-=x x ),14,(2
22-=x x )1,2
(21-+x
x P 4),2,2
(
212
1-=-+=x x x x FP 42)14)(14(2
2
21222121x x x x x x FB FA +--=--+=? …………………………10分
24
44)()(2
2
212212
++=++=x x x x
所以0)(2=+?
故存在λ=1使得0)(2=+?λ…………………………………………12分 解法(二):(1)∵直线PA 、PB 与抛物线相切,且,0=? ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0,且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y
由???=+=y
x m kx y 42得:0442
=--m kx x 016162=+=?∴m k 即2k m -=…………………………3分
即直线PA 的方程是:2
k kx y -=
同理可得直线PB 的方程是:211k
x k y --
= 由??
???--=-=2211k x k y k kx y 得:?????
-=∈-=11y R k k x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 (2)由(1)得:)1,1
(),1,2(),,2(22
---
k
k P k k B k k A )11
,2(),1,2(22--=-=k
k FB k k FA
)2,1
(--=k
k FP
)1
(2)11)(1(42222k
k k k +--=--+-=?………………………………10分
)1
(24)1()(2222k
k k k ++=+-=
故存在λ=1使得0)(2=+?λ…………………………………………12分 7.(本小题满分14分)
设函数x ax
x
x f ln 1)(+-=
在),1[+∞上是增函数. (1) 求正实数a 的取值范围;
(2) 设1,0>>a b ,求证:.ln 1b
b
a b b a b a +<+<+ 解:(1)01
)(2
'
≥-=
ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立, x
a 1
≥
∴对),1[+∞∈x 恒成立 又
11
≤x
1≥∴a 为所求.…………………………4分 (2)取b b a x +=,1,0,1>+∴>>b
b
a b a ,
一方面,由(1)知x ax
x
x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数, 0)1()(=>+∴f b b a f
0ln 1>+++?+-
∴
b b a b
b a a b b a
即b
a b b a +>
+1
ln
……………………………………8分 另一方面,设函数)1(ln )(>-=x x x x G
)1(01
11)('>>-=-
=x x
x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续,又01)1(>=G ∴当1>x 时,0)1()(>>G x G
∴x x ln > 即b
b
a b b a +>+ln
综上所述,.ln 1b
b
a b b a b a +<+<+………………………………………………14分
8.(本小题满分12分)
如图,直角坐标系xOy 中,一直角三角形ABC ,90C ∠=,B 、
C 在x 轴上且关于原点O 对称,
D 在边BC 上,3BD DC =,ABC 的周
长为12.若一双曲线E 以B 、C 为焦点,且经过A 、D 两点.
(1) 求双曲线E 的方程;
相交(2) 若一过点(,0)P m (m 为非零常数)的直线l 与双曲线E
于不同于双曲线顶点的两点M 、N ,且MP PN λ=,
问在
x 轴上是否存在定点G ,使()BC GM GN λ⊥-?若存在,求出所有这样定点G 的坐标;若不存在,请
说明理由.
解:(1) 设双曲线E 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>,
则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -.
由3BD DC =,得3()c a c a +=-,即2c a =.
∴222
||||16,
||||124,||||2.AB AC a AB AC a AB AC a ?-=?
+=-??-=?
(3分)
解之得1a =
,∴2,c b ==
∴双曲线E 的方程为2
2
13
y x -=.
(5分)
(2) 设在x 轴上存在定点(,0)G t ,使()BC GM GN λ⊥-.
x
x
设直线l 的方程为x m ky -=,1122(,),(,)M x y N x y . 由MP PN λ=,得120y y λ+=. 即12
y
y λ=-
① (6分)
∵(4,0)BC =,
1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-,
∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ?-=-. 即12()ky m t ky m t λ+-=+-. ② (8分)
把①代入②,得
12122()()0ky y m t y y +-+=
③ (9分)
把x m ky -=代入2
2
13y x -=并整理得
222(31)63(1)0k y kmy m -++-=
其中2310k -≠且0?>,即21
3
k ≠
且2231k m +>. 212122263(1)
,3131
km m y y y y k k --+==
--.
(10分)
代入③,得
2226(1)6()
03131
k m km m t k k ---=--,
化简得 kmt k =. 当1
t m
=
时,上式恒成立. 因此,在x 轴上存在定点1
(,0)G m
,使()BC GM GN λ⊥-.
(12分)
9.(本小题满分14分)
已知数列{}n a 各项均不为0,其前n 项和为n S ,且对任意*n ∈N 都有(1)n n p S p pa -=-(p 为大于1的常数),
记12
121C C C ()2n n n n n
n n
a a a f n S ++++=
.
(1) 求n a ;
x
(2) 试比较(1)f n +与
1
()2p f n p
+的大小(*n ∈N )
; (3) 求证:21
11(21)()
(1)(2)(21)
112n p p n f n f f f n p p -??
??++-++
+--?? ?-??????
,
(*n ∈N ). 解:(1) ∵(1)n n p S p pa -=-,
① ∴11(1)n n p S p pa ++-=-.
②
②-①,得
11(1)n n n p a pa pa ++-=-+,
即1n n a pa +=.
(3分)
在①中令1n =,可得1a p =.
∴{}n a 是首项为1a p =,公比为p 的等比数列,n n a p =. (4分)
(2) 由(1)可得(1)(1)
11
n n n p p p p S p p --==
--. 12
121C C C n n n n n a a a +++
+122
1C C C (1)(1)n n
n n n n n p p p p p =+++
+=+=+.
∴12
121C C C ()2n n n n n
n n
a a a f n S ++++=
1(1)2(1)
n
n n p p p p -+=?-,
(5分)
(1)f n +1
111(1)2(1)
n n n p p p p +++-+=
?-. 而1
()2p f n p
+1111(1)2()n n n p p p p p +++-+=
?-,且1p >, ∴1110n n p p p ++->->,10p ->. ∴(1)f n +<
1
()2p f n p
+,
(*n ∈N ). (8分)
(3) 由(2)知 1(1)2p f p +=
,(1)f n +<1
()2p f n p
+,(*n ∈N ). ∴当2n
时,2
11111()(1)()(2)(
)(1)()2222n n
p p p p f n f n f n f p p
p p
-++++<-<-<<=. ∴2
21
111(1)(2)(21)
222n p p p f f f n p p p -??
??
++++++-+++ ? ???
??
21
11112n p p p p -????++=-?? ?-??????
, (10分)
(当且仅当1n =时取等号).
另一方面,当2n ,1,2,,21k n =-时,
2221(1)(1)()(2)2(1)2(1)k n k k k n k n k p p p f k f n k p p p ---??
-+++-=+??--??
2221(1)(1)22(1)2(1)
k n k
k k n k n k p p p p p p ----++??--212(1)1
2(1)(1)
n
n k
n k p p p p p --+=--
2212(1)1
21
n n
n k n k p p p p p p --+=--+
∵22k n k n p p p -+,∴2222121(1)n k n k n n n p p p p p p ---+-+=-.
∴12(1)()(2)2()2(1)
n
n n p p f k f n k f n p p -++-?=-,
(当且仅当k n =时取等号).(13分) ∴21
21
2111
1
1()[()(2)]
()(21)()2n n n k k k f k f k f n k f n n f n ---====+-=-∑
∑∑.
(当且仅当1n =时取等号). 综上所述,21
211
11(21)()
()
112n n k p p n f n f k p p --=??
??++--??∑ ?-??????
,
(*n ∈N ).(14分)
1.(本小题满分14分)
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别是F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),Q 是椭圆外的动点,满
足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点,点T 在线段F 2Q 上,并且满足.0||,022≠=?TF TF (Ⅰ)设x 为点P 的横坐标,证明x a
c
a F +=||1; (Ⅱ)求点T 的轨迹C 的方程;
(Ⅲ)试问:在点T 的轨迹C 上,是否存在点M , 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在,求∠F 1MF 2
的正切值;若不存在,请说明理由.
本小题主要考查平面向量的概率,椭圆的定义、标准方程和有关性质,轨迹的求法和应用,以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)证法一:设点P 的坐标为).,(y x
由P ),(y x 在椭圆上,得
.
)()()(||22
222
2
2
2
1x a
c
a x
a b b c x y c x F +=-++=++=
由0,>+-≥+
≥a c x a c a a x 知,所以 .||1x a
c
a P F +=………………………3分 证法二:设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r P F r P F ==
则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=
由.||,4,211222121x a c
a r F cx r r a r r +===-=+得 证法三:设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x a
c
a
由椭圆第二定义得a c c
a x F =+|
|||2
1,即.||||||2
1x a c a c a x a c F +=+=
由0,>+-≥+
-≥a c x a c a a x 知,所以.||1x a
c
a F +=…………………………3分 (Ⅱ)解法一:设点T 的坐标为).,(y x
当0||=时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上.
当|0||0|2≠≠TF PT 且时,由0||||2=?TF PT ,得2TF PT ⊥. 又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中,a F ==
||2
1
||1,所以有.222a y x =+ 综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+…………………………7分 解法二:设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时,点(a ,0)和点(-a ,0)在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时,由02=?TF PT ,得2TF PT ⊥.
又||||2PF =,所以T 为线段F 2Q 的中点.
设点Q 的坐标为(y x '',),则???
????'=+'=.2
,2y y c
x x
因此??
?='-='.
2,
2y y c x x ①
由a F 2||1=得.4)(2
2
2
a y c x ='++' ② 将①代入②,可得.2
2
2
a y x =+
综上所述,点T 的轨迹C 的方程是.2
2
2
a y x =+……………………7分
(Ⅲ)解法一:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是
?????=?=+.||22
1,
2
022020b y c a y x 由③得a y ≤||0,由④得.||20c b y ≤
所以,当c
b a 2≥时,存在点M ,使S=2b ; 当c
b a 2
<时,不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时,),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=,
由2
222022021b c a y c x MF =-=+-=?,
212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠?=?,
22121sin ||||2
1
b MF F MF MF S =∠?=
,得.2tan 21=∠MF F 解法二:C 上存在点M (00,y x )使S=2b 的充要条件是
?????=?=+.||22
1,2
022020b y c a y x
由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((22242
20≥+-=-=c b a c b a c
b a x 于是,当c
b a 2≥时,存在点M ,使S=2b ;
当c
b a 2
<时,不存在满足条件的点M.………………………11分
当c
b a 2
≥时,记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,, ③ ④
③ ④
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高考数学压轴题含答案 RUSER redacted on the night of December 17,2020
【例 1】已知12,F F 为椭圆 2 2 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为B A ,,若1ABF ?为等边三角形,则椭圆的离心率为( ) 1 1 C. 1 2 【课堂笔记】 【规律总结】 ............................................................................................................................................................................................................ 【例2】已知函数 x x x x ax x f ln ln )(2 -- +=有三个不同的零点321,,x x x (其中321x x x <<),则 211)ln 1(x x -)ln 1)(ln 1(3 322 x x x x --的值为 ( ) A .a -1 B .1-a C .1- D .1 【课堂笔记】 【规律总结】 【例3】已知函数()2h x x ax b =++在 ()0,1上有两个不同的零点,记 {}()( )min ,m m n m n n m n ≤??=?>??,则 ()(){}min 0,1h h 的取值范围 为 . 【课堂笔记】 【规律总结】 ........................................................................................................................................................................................................... 【例4】下表是一个由2n 个正数组成的数 表,用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列,每一行各数从左到右依次构成等比数列,且公比都相等.已知 113161351,9,48.a a a a =+== (1)求1n a 和4n a ; (2)设 ()() ()() 4144121n n n n n n a b a n N a a += +-∈--,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【例5】在平面直角坐标系中动点() ,P x y 到圆()2 2 :11F x y +-=的圆心F 的距离比 它到直线2y =-的距离小1. (1)求动点P 的轨迹方程;