<
A ．165 cm
B ．175 cm
C ．185 cm
D ．190 cm
5．函数f (x )=
2
sin cos x x
x x
++在[-π，π]的图像大致为 A ．
B ．
C ．
D ．
6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
7．tan255°= A ．-2
B ．-
C ．2
D ．
8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．
π
6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
9．如图是求
112122
+
+的程序框图，图中空白框中应填入
A ．A =
12A
+ B ．A =12A
+
C ．A =
1
12A
+
D ．A =112A
+
10．双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为
A ．2sin40°
B ．2cos40°
C ．
1
sin50?
D ．
1
cos50?
11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A -b sin B =4c sin C ，cos A =-14
，则
b c
=
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，
1||||AB BF =，则C 的方程为
A ．2
212x y +=
B ．22
132x y +=
C ．22
143x y +=
D ．22
154
x y +=
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线2)3(e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若133
14
a S ==，，则S 4=___________． 15．函数3π
()sin(2)3cos 2
f x x x =+
-的最小值为___________．
16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC ，那么P
到平面ABC 的距离为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
18．（12分）
记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{a n}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．
19．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
20．（12分）
已知函数f（x）=2sin x-x cos x-x，f ′（x）为f（x）的导数．
（1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；
（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．
21.（12分）
已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．
（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4?4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22
21141t x t t y t ?-=??+??=?+?
，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4?5：不等式选讲]（10分）
已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）
222111
a b c a b c
++≤++； （2）3
3
3
()()()24a b b c c a +++≥++．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C 7．D
8．B
9．A
10．D
11．A
12．B
二、填空题
13．y =3x 14．
58
15．?4
16
三、解答题 17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40
0.850
=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．
女顾客中对该商场服务满意的比率为
30
0.650
=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．
（2）2
2
100(40203010) 4.76250507030
K ??-?=
≈???． 由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18．解：
（1）设{}n a 的公差为d ． 由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．
因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．
（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=
. 由10a >知0d <，故n n S a …
等价于2
11100n n -+…，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N 剟
． 19．解：
（1）连结1,B C ME .因为M ，E 分别为1,BB BC 的中点，所以1 ME B C ∥，且11
2
ME B C =.又因为N 为1A D 的中点，所以11
2
ND A D =
. 由题设知11=A B DC ∥，可得11=BC A D ∥，故=ME ND ∥，
因此四边形MNDE 为平行四边形，MN ED ∥.又MN ?平面1C DE ，所以MN ∥平面1C DE . （2）过C 作C 1E 的垂线，垂足为H .
由已知可得DE BC ⊥，1DE C C ⊥，所以DE ⊥平面1C CE ，故DE ⊥CH. 从而CH ⊥平面1C DE ，故CH 的长即为C 到平面1C DE 的距离，
由已知可得CE =1，C 1C =4，所以1C E =，故17
CH =
.
从而点C 到平面1C DE .
20．解：
（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2
x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ??∈ ???时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2??
???
单
调递减.
又π(0)0,0,(π)22g g g ??
=>=-
???
，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.
（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.
由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，
()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减.
又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x …. 又当0,[0,π]a x ∈…时，ax ≤0，故()f x ax …. 因此，a 的取值范围是(,0]-∞.
21．解：（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B
关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.
由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得22
24(2)a a +=+，解得=0a 或=4a .
故M e 的半径=2r 或=6r .
（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：
设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .
由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为2
4y x =.
因为曲线2
:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .
22．解：（1）因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+，所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-.
l
的直角坐标方程为2110x +=.
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα=??=?
（α为参数，ππα-<<）.
C 上的点到l
π4cos 11
α?
?-+ ?=.
当2π3α=-
时，π4cos 113α?
?-+ ??
?取得最小值7，故C 上的点到l
.
23．解：（1）因为2
2
2
2
2
2
2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有
222111
ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c
++++≥++=
=++.
所以
222111
a b c a b c
++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有
333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c
3≥???
=24.
所以3
3
3
()()()24a b b c c a +++++≥.
