2018年世界各地数学竞赛试题汇集(PDF版)
目 录
2018年亚太地区数学奥林匹克 (1)
2018年波罗的海地区数学奥林匹克 (2)
2018年第10届Benelux数学奥林匹克 (5)
2018年巴尔干地区数学奥林匹克 (6)
2018年巴尔干地区初中数学奥林匹克 (7)
2018年高加索地区数学奥林匹克 (8)
2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克 (10)
2018年Cono Sur数学奥林匹克 (11)
2018年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛 (12)
2018年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克 (13)
2018年多瑙河地区数学奥林匹克 (14)
2018年欧洲女子数学奥林匹克 (16)
2018年欧洲数学杯奥林匹克 (18)
2018年拉丁美洲数学奥林匹克 (20)
2018年国际大都市数学竞赛(IOM) (21)
2018年第2届IMO复仇赛 (22)
2018年第5届伊朗几何奥林匹克 (23)
2018年第17届基辅数学节竞赛 (27)
2018年地中海地区数学竞赛 (29)
2018年中欧数学奥林匹克 (30)
2018年北欧数学奥林匹克 (32)
2018年泛非数学奥林匹克 (33)
2018年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 (35)
2018年第14届Sharygin几何奥林匹克 (36)
2018年丝绸之路数学奥林匹克 (42)
2018年Tuymaada国际数学奥林匹克 (43)
2018年乌克兰几何奥林匹克 (45)
2018年第14届Zhautykov国际数学奥林匹克 (47)
2018年ARML数学竞赛 (48)
2018年美国数学邀请赛(AIME) I (57)
2018年美国数学邀请赛(AIME) II (60)
2018年美国数学奥林匹克 (63)
2018年美国初中数学奥林匹克 (64)
2018年美国IMO代表队选拔考试 (65)
2018年美国TSTST (67)
2018年美国第20届ELMO (69)
2018年第20届美国旧金山湾区数学奥林匹克 (71)
2017-2018年度USAMTS (74)
2018年美国女子数学奖学金竞赛(决赛) (79)
2017-2018年度威斯康星数学、科学与工程学人才选拔 (80)
2018年奥地利数学奥林匹克 (84)
2018年澳大利亚、英国IMO国家队联合训练考试 (87)
2018年波黑数学奥林匹克(地区级) (88)
2018年波黑EGMO代表队选拔考试 (90)
2018年波黑JBMO代表队选拔考试 (91)
2018年巴西数学奥林匹克 (92)
2018年巴西数学奥林匹克复仇赛 (94)
2017/2018英国数学竞赛 (95)
2018年保加利亚数学奥林匹克 (97)
2018年保加利亚JBMO代表队选拔考试 (98)
2018年加拿大数学奥林匹克 (99)
2018年塞浦路斯IMO代表队选拔考试 (100)
2018年塞浦路斯JBMO代表队选拔考试 (102)
2018年丹麦数学奥林匹克(第二轮) (105)
2018年德国数学奥林匹克(12年级决赛) (106)
2018年希腊数学奥林匹克 (107)
2018年香港数学奥林匹克 (109)
2018年香港IMO代表队选拔考试 (110)
2018年匈牙利库尔沙克数学竞赛 (112)
2018年印度全国数学奥林匹克 (113)
2018年印度IMO代表队选拔考试 (114)
2018年伊朗数学奥林匹克 (117)
2018年伊朗IMO代表队选拔考试 (120)
2018年爱尔兰数学奥林匹克 (123)
2018年意大利数学奥林匹克 (125)
2018年哈萨克斯坦数学奥林匹克(11年级决赛) (126)
2018韩国数学奥林匹克 (127)
2018年韩国数学冬令营训练题 (130)
2018年科索沃IMO培训考试 (131)
2018年马其顿数学奥林匹克 (132)
2018年墨西哥数学奥林匹克 (133)
2018年摩尔多瓦EGMO代表队选拔考试 (135)
2018年摩尔多瓦IMO代表队选拔赛 (136)
2018年摩尔多瓦JBMO代表队选拔考试 (138)
2018年摩洛哥IMO代表队选拔考试 (139)
2017-2018年度挪威数学奥林匹克(决赛) (140)
2017-2018年度波兰数学奥林匹克 (141)
2017-2018年度波兰初中数学奥林匹克 (145)
2018年罗马尼亚数学奥林匹克 (147)
2018年罗马尼亚IMO代表队选拔考试 (149)
2018年罗马尼亚JBMO代表队选拔考试 (150)
2018年全俄数学奥林匹克 (154)
2018年圣彼得堡数学奥林匹克 (158)
2018年塞尔维亚数学奥林匹克 (161)
2018年塞尔维亚JBMO代表队选拔考试 (162)
2018年斯洛文尼亚IMO代表队选拔考试 (163)
2018年南非数学奥林匹克 (164)
2018年西班牙数学奥林匹克 (165)
2018年塔吉克斯坦IMO代表队选拔考试 (166)
2018年土耳其数学奥林匹克 (168)
2018年乌克兰数学奥林匹克 (169)
2018年越南数学奥林匹克 (171)
2018年越南IMO代表队选拔考试 (173)
2018年国际大学生数学竞赛(IMC) (175)
2018年V ojtěch Jarník国际大学生数学竞赛 (177)
2018年Putnam数学竞赛 (179)
2018年哈佛大学-麻省理工学院数学竞赛春季赛 (181)
2018年哈佛大学-麻省理工学院数学邀请赛 (189)
2018年哈佛大学-麻省理工学院数学竞赛冬季赛 (190)
2018年Berkeley数学竞赛 (197)
2018年卡内基梅隆大学数学竞赛 (213)
2018年普林斯顿大学数学竞赛 (226)
2018年斯坦福大学数学竞赛 (237)
2018年哈维穆德学院数学竞赛 (254)
2018年MMATHS数学竞赛 (259)
2018年Duke大学数学竞赛 (264)
2018年亚太地区数学奥林匹克试题
比赛时间: 2018年3月13日
1. 设H 为△ABC 的垂心. 点M , N 分别为边AB , AC 的中点, 点H 位于四边形BMNC 的内部. △BMH 与△CNH 的外接圆相外切. 过H 作BC 的平行线, 与△BMH 与△CNH 的外接圆分别相交于点K , L (均不同于点H ). 直线MK 与NL 相交于点F . 设△MNH 的内心为J . 证明: FJ = F A .
2. 对实数x , 定义函数f (x ), g (x )如下:
2018
1...41211)(-++-+-+=
x x x x x f , 20171...513111)(-++-+-+-=x x x x x g . 证明: 对任意满足0 < x < 2018的非整数的实数x , 有|f (x ) – g (x )| > 2成立.
3. 我们称平面上n 个正方形的摆放方式为"三足鼎立"的, 如果它们同时满足以下三个条件:
i) 所有正方形均全等.
ii) 如果两个正方形有公共点P , 则P 同时为这两个正方形的顶点.
iii) 每一个正方形都恰好与其他三个正方形有公共点.
求在2018 ≤ n ≤ 3018范围内, 有多少个整数n , 使得存在n 个正方形为"三足鼎立"的.
4. 一束光线从正△ABC 的顶点A 出发, 在三角形内部遵循光反射定律(即入射角等于出射角)不断反射, 但当光线到达△ABC 的任一顶点处时, 反射停止. 求所有可能的正整数n , 使得光线在△ABC 内经过n 次反射后, 恰在顶点A 处停止.
5. 求所有的整系数多项式P (x ), 使得对任意的实数s , t , 如果P (s ), P (t )均为整数, 则P (st )也是整数.
2018年波罗的海地区数学奥林匹克试题
1. 称一个由有限个正实数(不必互异)构成的集合为"平衡"的, 如果其中每一个数都小于其余各数之和. 求所有的整数m ≥ 3, 使得任何由m 个正实数构成的平衡集均可被划分为3个无公共元素的子集, 满足每个子集的各元素之和均小于另两个子集的各元素的总和.
2. 考虑一个100 ? 100的表格. 对每一个整数1 ≤ k ≤ 100, 该表格的第k 行填有按自左向右递增顺序排列的数1, 2, …, k (但不一定位于连续的格子内); 而该行其余的100 – k 个格子均填0. 证明: 该表格中存在两列, 使得其中一列的各数之和至少是另一列各数之和的19倍.
3. 设正实数a , b , c , d 满足abcd = 1. 证明:
110
321≤+++∑cyc c b a . 4. 求所有具有下述特点的函数f : [0, ∞) → [0, ∞): 对所有的正整数n 及非负实数
x 1, x 2, …, x n , 有22221222
21)(...)()()...(n n x f x f x f x x x f +++=+++成立. 5. 称一个实系数多项式f (x )为"生成"的, 如果对每一个实系数多项式?(x ), 均存在正整数k 及实系数多项式g 1(x ), g 2(x ), …, g k (x ), 使得?(x ) = f (g 1(x )) + f (g 2(x )) + … + f (g k (x ))成立. 求所有的生成多项式.
6. 设n 为正整数. 精灵Elfie 从原点(0, 0, 0)开始, 在三维空间里旅行. 每一步, 她可以瞬移至距她当前所在点距离恰为n 的任意整点. 但是, 瞬移是一件复杂的事情: Elfie 最初处于正常状态, 但是第一次瞬移后变为怪异状态, 第二次瞬移后恢复为正常状态, 以后则如此交替变化. 求所有的n , 使得对所有整点, Elfie 都能够以正常状态访问过该点.
7. 一个16 ? 16圆环体有512条边(如图), 将每条边染为红色或蓝色之一. 称一种染色方式为"好"的, 如果每一个顶点都是偶数条红色边的顶点. 定义一步"转换"为将任一格的四条边均改变颜色(红变蓝, 蓝变红). 问最多有多少个"好"的染色方式, 使得其中任意一个染色方式都不能够通过一系列的"转换"而变为另一个.
8. 一个图具有N个顶点. 在某一顶点处有一只不可见的兔子. 一群猎人计划猎
杀这只兔子. 在每一步, 每个猎人都瞄准某一个顶点同时开枪射击, 他们可以事先商量好每人瞄准哪一个顶点. 如果兔子恰在被瞄准射击的顶点之一, 则打猎活动结束. 否则, 兔子在接下来的一步中可以选择继续停留在原顶点处或跳至某个相邻顶点处. 假设已知有一种方案可以使猎人至多经N!步就可以猎杀兔子. 证明: 存在一种方案, 可以使得猎人至多经2N步就可以猎杀兔子.
9. Olga和Sasha在一个无限六边形网格上玩游戏. 他们轮流选择一个空的六边形,
并在其上放置一张骨牌, 由Olga先行. 恰在第2018张骨牌放置之前, 一条新规则开始起效: 从此时起, 只能在和至少两个已被放置骨牌的六边形相邻的空六边形上放置骨牌. 如果一个玩家无法继续放置骨牌, 或者放置骨牌后会出现呈菱形分布的四个相邻六边形均被放置骨牌的情况(如图所示, 但方向可以不同), 则判该玩家输. 确定是否某个玩家有获胜策略; 如果有, 赢家是谁?
10. 将整数1, 2, …, n写在n张卡片上, 每张上写一个不同的数. 首先, 由玩家1
取走一张卡片. 接下来, 玩家2取走写有连续正整数的两张卡片. 然后, 再由玩家1取走写有连续正整数的三张卡片. 最后, 由玩家2取走写有连续正整数的四张卡片. 求最小的n, 使得玩家2能确保完成他的两次取卡片的操作. 11. 给定一圆w及圆上依A, B, C, D顺序排列的四点, 且AD为圆w的直径. 假设
AB = BC = a , CD = c , 其中a 和c 为互质正整数. 证明: 如果圆w 的直径长d 也是正整数, 则d 及2d 中必有一个完全平方数.
12. 锐角△ABC 的高BB 1, CC 1相交于点H . 点B 2, C 2分别位于线段BH , CH 上, 且BB 2 = B 1H , CC 2 = C 1H . △B 2HC 2的外接圆与△ABC 的外接圆相交于点D 和E . 证明: △DEH 为直角三角形.
13. 在△ABC 中, ∠A 的内角平分线与直线BC 交于点D , 与△ABC 的外接圆交于点E . 设K , L , M , N 分别为线段AB , BD , CD , AC 的中点. 点P , Q 分别为△EKL , △EMN 的外心. 证明: ∠PEQ = ∠BAC .
14. 设四边形ABCD 有内切圆w . 令圆w 与AC 的交点中较靠近点A 的那个为E . 设F 为E 关于圆w 的对径点. 经点F 作圆w 的切线, 分别交直线AB , BC 于A 1, C 1, 并与直线AD , CD 分别交于A 2, C 2. 证明: A 1C 1 = A 2C 2.
15. 考虑平面内相离的两个圆. 分别选取两个圆的直径A 1B 1和A 2B 2, 使得线段A 1A 2与B 1B 2相交于点C . 设A 1A 2, B 1B 2的中点分别为A , B . 证明: 不管如何选取直径A 1B 1和A 2B 2, △ABC 的垂心总位于一条直线上.
16. 设p 为奇质数. 求所有的正整数n , 使得np n -2为正整数.
17. 证明: 对所有满足q p >11的正整数p , q , 不等式pq
q p 2111>-成立. 18. 设整数n ≥ 3满足4n + 1为质数. 证明: 4n + 1整除12-n n .
19. 设无限正整数集合B 满足以下条件: 对任意的a , b ∈ B 且a > b , 有)
,gcd(b a b a - ∈ B . 证明: B 是由所有正整数构成的集合.
20. 求所有的正整数(a , b , c ), 使得b
a c a c
b
c b a 4
44)()()(+++++为整数, 且a + b + c 为质数.