2018年江苏省南京市中考数学试卷及答案
2018年江苏省南京市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
．的值等于（）
． ．﹣ ．± ．
．计算 （ ） 的结果是（）
． ． ． ．
．下列无理数中，与 最接近的是（）
． ． ． ．
．某排球队 名场上队员的身高（单位： ）是： ， ， ， ， ， ．现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）
．平均数变小，方差变小 ．平均数变小，方差变大
．平均数变大，方差变小 ．平均数变大，方差变大
．如图， ⊥ ，且 ． 、 是 上两点， ⊥ ， ⊥ ．若 ， ， ，则 的长为（）
． ． ． ﹣ ． ﹣
．用一个平面去截正方体（如图），下列关于截面（截出的面）的形状的结论：
①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（）
．①② ．①④ ．①②④ ．①②③④
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分）
．写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数： ．
．习近平同志在党的十九大报告中强调，生态文明建设功在当代，利在千秋． 年来，经过三代人的努力，河北塞罕坝林场有林地面积达到 亩．用科学记数法表示 是 ．
．若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ． ．计算
×
﹣
的结果是 ．
．已知反比例函数 的图象经过点（﹣ ，﹣ ），则 ． ．设 、 是一元二次方程 ﹣ ﹣ 的两个根，且 ，则 ， ．
．在平面直角坐标系中，点 的坐标是（﹣ ， ），作点 关于 轴的对称点，得到点 ，再将点 向下平移 个单位，得到点 ，则点 的坐标是（ ， ）．
．如图，在△ 中，用直尺和圆规作 、 的垂直平分线，分别交 、 于点 、 ，连接 ．若 ，则 ．
．如图，五边形 是正五边形．若 ∥ ，则∠ ﹣∠ ．
．如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作⊙ ．将矩形 绕点 旋转，使所得矩形 的边 与⊙ 相切，切点为 ，边 与⊙ 相交于点 ，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共 小题，共 分）
．（ 分）计算（ ﹣）÷．
．（ 分）如图，在数轴上，点 、 分别表示数 、﹣ ．
（ ）求 的取值范围；
（ ）数轴上表示数﹣ 的点应落在 ．
．点 的左边 ．线段 上 ．点 的右边
．（ 分）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 元，几天后，遇上这种大米 折出售，她用 元又买了一些，两次一共购买了 ．这种大米的原价是多少？
．（ 分）如图，在四边形 中， ，∠ ∠ ． 是四边形 内一点，且 ．求证：
（ ）∠ ∠ ；
（ ）四边形 是菱形．
．（ 分）随机抽取某理发店一周的营业额如下表（单位：元）：
星
期一
星
期二
星
期三
星
期四
星
期五
星期
六
星期
日
合
计
（ ）求该店本周的日平均营业额；
（ ）如果用该店本周星期一到星期五的日平均营业额估计当月的营业总额，你认为是否合理？如果合理，请说明理由；如果不合理，请设计一个方案，并估计该店当月（按 天计算）的营业总额．
．（ 分）甲口袋中有 个白球、 个红球，乙口袋中有 个白球、 个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个口袋中随机摸出 个球．
（ ）求摸出的 个球都是白球的概率．
（ ）下列事件中，概率最大的是 ．
．摸出的 个球颜色相同 ．摸出的 个球颜色不相同
．摸出的 个球中至少有 个红球 ．摸出的 个球中至少有 个白球
．（ 分）如图，为了测量建筑物 的高度，在 处树立标杆 ，标杆的高是 ，在 上选取观测点 、 ，从 测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ．从 测得 、 的仰角分别为 、 ．求建筑物 的高度（精确到
）．（参考数据： ≈ ， ≈ ， ≈ ．）
．（ 分）已知二次函数 （ ﹣ ）（ ﹣ ﹣ ）（ 为常数）．
（ ）求证：不论 为何值，该函数的图象与 轴总有公共点；
（ ）当 取什么值时，该函数的图象与 轴的交点在 轴的上方？
．（ 分）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 回到家中．设小明出发第 时的速度为 ，离家的距离为 ， 与 之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（ ）小明出发第 时离家的距离为 ；
（ ）当 ＜ ≤ 时，求 与 之间的函数表达式；
（ ）画出 与 之间的函数图象．
．（ 分）如图，在正方形 中， 是 上一点，连接 ．过点 作 ⊥ ，垂足为 ，⊙ 经过点 、 、 ，与 相交于点 ．
（ ）求证：△ ∽△ ；
（ ）若正方形 的边长为 ， ，求⊙ 的半径．
．（ 分）结果如此巧合 下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图， △ 的内切圆与斜边 相切于点 ， ， ，求△ 的面积．
解：设△ 的内切圆分别与 、 相切于点 、 ， 的长为 ． 根据切线长定理，得 ， ， ．
根据勾股定理，得（ ） （ ） （ ）
．
整理，得
．所以 △ （ ）（ ）
（
）
×（ ） ．
小颖发现 恰好就是 × ，即△ 的面积等于 与 的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ 的内切圆与 相切于点 ， ， ． 可以一般化吗？
（ ） 若∠ ，求证：△ 的面积等于 ．
倒过来思考呢？
（ ） 若 ，求证∠ ．
改变一下条件
（ ）若∠ ，用 、 表示△ 的面积．
年江苏省南京市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 小题，每小题 分，共 分，在每小题所给出的四个选中，恰有一项是符合题目要求的）
．（ 分）（ 南京）的值等于（）
． ．﹣ ．± ．
【分析】根据算术平方根解答即可．
【解答】解：，
故选： ．
【点评】此题考查算术平方根，关键是熟记常见数的算术平方根．
．（ 分）（ 南京）计算 （ ） 的结果是（）
． ． ． ．
【分析】根据幂的乘方，即可解答．
【解答】解： （ ） ，
故选： ．
【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方公式．
．（ 分）（ 南京）下列无理数中，与 最接近的是（） ． ． ． ．
【分析】直接利用估算无理数的大小方法得出最接近 的无理数．
【解答】解：∵ ，
∴与 最接近的是：．
故选： ．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出接近 的无理数是解题关键．
．（ 分）（ 南京）某排球队 名场上队员的身高（单位： ）是： ， ， ， ， ， ．现用一名身高为 的队员换下场上身高为 的队员，与换人前相比，场上队员的身高（） ．平均数变小，方差变小 ．平均数变小，方差变大
．平均数变大，方差变小 ．平均数变大，方差变大
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】解：原数据的平均数为 ，
则原数据的方差为× （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ，
新数据的平均数为 ，
则新数据的方差为× （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） （ ﹣ ） ，
所以平均数变小，方差变小，
故选： ．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．
．（ 分）（ 南京）如图， ⊥ ，且 ． 、 是 上两点， ⊥ ， ⊥ ．若 ， ， ，则 的长为（）
． ． ． ﹣ ． ﹣
【分析】只要证明△ ≌△ ，可得 ， ，推出 （ ﹣ ） ﹣ ；
【解答】解：∵ ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
∴∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ，
∴∠ ∠ ，∵ ，
∴△ ≌△ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ （ ﹣ ） ﹣ ，
故选： ．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
．（ 分）（ 南京）用一个平面去截正方体（如图），下列关于
截面（截出的面）的形状的结论：
①可能是锐角三角形；
②可能是直角三角形；
③可能是钝角三角形；
④可能是平行四边形．
其中所有正确结论的序号是（）
．①② ．①④ ．①②④ ．①②③④
【分析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形．
【解答】解：用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，而三角形只能是锐角三角形，不能是直角三角形和钝角三角形．
故选： ．
【点评】本题考查了正方体的截面，注意：正方体的截面的四种情况应熟记．
二、填空题（本大题共 小题，每小题 分，共 分，不需写出解答过程）
．（ 分）（ 南京）写出一个数，使这个数的绝对值等于它的相反数：﹣ ．
【分析】根据绝对值的意义求解．
【解答】解：一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数 或负数．
故答案为：﹣
【点评】本题考查了绝对值：若 ＞ ，则 ；若 ，则 ；若 ＜ ，则 ﹣ ．也考查了相反数．
．（ 分）（ 南京）习近平同志在党的十九大报告中强调，生态文明建设功在当代，利在千秋． 年来，经过三代人的努力，河北塞罕坝林场有林地面积达到 亩．用科学记数法表示 是 × ．
【分析】科学记数法的表示形式为 × 的形式，其中 ≤ ＜ ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 时， 是正数；当原数的绝对值＜ 时， 是负数．
【解答】解： × ，
故答案为： × ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 × 的形式，其中 ≤ ＜ ， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
．（ 分）（ 南京）若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ≥ ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
﹣ ≥ ，
解得 ≥ ，
故答案为： ≥ ．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（ ≥ ）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
．（ 分）（ 南京）计算×﹣的结果是．
【分析】先利用二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式 ﹣
﹣
．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
．（ 分）（ 南京）已知反比例函数 的图象经过点（﹣ ，﹣ ），则 ．
【分析】根据反比例函数 的图象经过点（﹣ ，﹣ ），可以求得 的值．
【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点（﹣ ，﹣ ）， ∴﹣
，
解得， ， 故答案为： ．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
．（ 分）（ 南京）设 、 是一元二次方程 ﹣ ﹣ 的两个根，且 ，则 ﹣ ， ．
【分析】根据根与系数的关系结合 可得出 的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：∵ 、 是一元二次方程 ﹣ ﹣ 的两个根，且 ，
∴ ，
∴原方程为 ﹣ ﹣ ，即（ ）（ ﹣ ） ， 解得： ﹣ ， ． 故答案为：﹣ ； ．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出 的值是解题的关键．
．（ 分）（ 南京）在平面直角坐标系中，点 的坐标是（﹣ ， ），作点 关于 轴的对称点，得到点 ，再将点 向下平移 个单位，得到点 ，则点 的坐标是（ ，﹣ ）．
【分析】直接利用关于 轴对称点的性质得出点 坐标，再利用平移的性质得出答案．
【解答】解：∵点 的坐标是（﹣ ， ），作点 关于 轴的对称点，得到点 ，
∴ （ ， ），
∵将点 向下平移 个单位，得到点 ，
∴点 的坐标是：（ ，﹣ ）．
故答案为： ，﹣ ．
【点评】此题主要考查了关于 轴对称点的性质以及平移变换，正确掌握相关平移规律是解题关键．
．（ 分）（ 南京）如图，在△ 中，用直尺和圆规作 、 的垂直平分线，分别交 、 于点 、 ，连接 ．若 ，则 ．
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出 是△ 的中位线，进而得出答案．
【解答】解：∵用直尺和圆规作 、 的垂直平分线，
∴ 为 的中点， 为 的中点， ∴ 是△ 的中位线， ∴ ． 故答案为： ．
【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出 是△ 的中位线是解题关键．
．（ 分）（ 南京）如图，五边形 是正五边形．若 ∥ ，则∠ ﹣∠ ．
【分析】过 点作 ∥ ，根据正五边形的性质可得∠ 的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得∠ ﹣∠ 的度数．
【解答】解：过 点作 ∥ ， ∵五边形 是正五边形， ∴∠ ， ∵ ∥ ， ∥ ， ∴ ∥ ，
∴∠ ﹣∠ ，∠ ∠ ， ∴ ﹣∠ ∠ ∠ ， ∴∠ ﹣∠ ．
故答案为： ．
【点评】考查了多边形内角与外角，平行线的性质，关键是熟练掌握正五边形的性质，以及添加辅助线．
．（ 分）（ 南京）如图，在矩形 中， ， ，以 为直径作⊙ ．将矩形 绕点
旋转，使所得矩形 的边 与⊙ 相切，切点为 ，边 与⊙ 相交于点
，则 的长为 ．
【分析】连接 ，延长 交 于点 ，作 ⊥ ，由旋转性质知∠ ∠ 、 、 ，从而得出四边形 和四边形 都是矩形且 ，继而求得 ，根据垂径定理可得 的长．【解答】解：连接 ，延长 交 于点 ，作 ⊥ 于点 ，
则∠ ∠ ，
∵矩形 绕点 旋转所得矩形为 ，
∴∠ ∠ ， 、 ，
∴四边形 和四边形 都是矩形， ，∴ ，
∴ ﹣ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴∠ ，即 ⊥ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
三、解答题（本大题共 小题，共 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
．（ 分）（ 南京）计算（ ﹣）÷．
【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式 （﹣）÷
（ ）
．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
．（ 分）（ 南京）如图，在数轴上，点 、 分别表示数 、﹣ ．
（ ）求 的取值范围；
（ ）数轴上表示数﹣ 的点应落在 ．
．点 的左边 ．线段 上 ．点 的右边
【分析】（ ）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据解不等式，可得答案；
（ ）根据不等式的性质，可得点在 点的右边，根据作差法，可得点在 点的左边．
【解答】解：（ ）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得
﹣ ＞ ，
解得 ＜ ；
（ ）由 ＜ ，得
﹣ ＞﹣ ．
﹣ ＞﹣ ，
解得﹣ ＞ ．
数轴上表示数﹣ 的点在 点的右边；
作差，得
﹣ ﹣（﹣ ） ﹣ ，
由 ＜ ，得
﹣ ＞﹣ ，
﹣ ＞ ，
﹣ ﹣（﹣ ）＞ ，
∴﹣ ＞﹣ ，
数轴上表示数﹣ 的点在 点的左边．
故选： ．
【点评】本题考查了一元一次不等式，解（ ）的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式；解（ ）的关键是利用不等式的性质
．（ 分）（ 南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了 元，几天后，遇上这种大米 折出售，她用 元又买了一些，两次一共购买了 ．这种大米的原价是多少？
【分析】设这种大米的原价是每千克 元，根据两次一共购买了 列出方程，求解即可．
【解答】解：设这种大米的原价是每千克 元，
根据题意，得 ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解．
答：这种大米的原价是每千克 元．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
．（ 分）（ 南京）如图，在四边形 中， ，∠ ∠ ． 是四边形 内一点，且 ．求证：（ ）∠ ∠ ；
（ ）四边形 是菱形．