2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集
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浙江大学
华中科技大学
一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m ,
证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列
}{k n a ，a a k
n k =∞
→lim ，
所以，
ε
2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n
二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时，
ε<-)''()'(x f x f
对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x
ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g
当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时
ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在
],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ εξ<--∑=-n i i i i J x x f 1 1))(( ?∑=??? ??-=∞ →1 01 01lim dx x n n i s s n i n ，当1->s 时，该积分收敛。 七、∑=-n k k 1 )1(有界，2 1 x n +在),(+∞-∞上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，∑∞ =+-12)1(n n x n 在),(+∞-∞上一致收敛，∑∞ =+12 1n x n 与∑∞ =11 n n 同敛散，所以发散； 当0=x 时，∑∞ =+122)1(n n x x 绝对收敛，当0≠x 时，∑∞ =+122 ) 1(n n x x 绝对收敛； e n n x x x R n n n 1 )11(11)1(1)(2 2→+= += 取，所以不一致收敛 八、1. ???????---=----=-+-=-=s s s s s s tdt tdt dt s t dt t s dt s t dt t s dt t s s I 0 10 1 1 10 ln ln )ln()ln()ln()ln(ln )( 11 1)(''),1ln(ln )('<---=-+-=s s s I s s s I ，当2 1 = s 时， ??+=--=-=21021 12ln )21ln 21(2ln 2)(dt tdt s I 2. v x y x y x y y x v u x y v xy u 32,,),(),(,,222=-=??==,??==31313ln 3231dv v du J 3. y x xy y x dxdyD y x y x J D +=++-----=??22222:])1(1[3 ???? -- ++-+- +==++= -+=032 4 3434 434 2cos sin 1cos sin 0 )) 4 (2sin 2())4 (2sin 1(338338)cos sin 1()cos (sin 33)cos sin sin cos (34π πππ πθθθθππ θθθθθθθθθθθdx x x d dr r r r r d J ?--=π032) 2cos 2()2cos 1(338dx x x =--? π 3 2 ) 2cos 2()2cos 1(dx x x ??? +=+=+20322203224 324) cot 3(sin 8)cos sin 3(sin 42)sin 21(sin 4π ππ x x dx x x xdx dx x x ????? =+==+=+=+-=∞∞20220 40032322 3 218)2cos 1(272cos 278)1(278)3(8)cot 3(cot 8π ππ πdx x xdx x dx x dx x x d J= π27 3 4 南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞→1 21 ] [lim Λ 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 121)(] [≤ +++≤Λ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ Λα极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在 [a,b]上可导， 0)2 ( =+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在 ) 2 )(()2()(),(b a x f b a f x f b a +-'=+-∈ξξ使即 有 dx b a x f dx x f b a b a )2 )(()(+- '=?? ξ2 2 )(4])2()[)2)((a b M dx b a x dx x M dx b a x f b b a b a -=+-+-≤+-'≤??+ξ六、设}{n a 单减而且收敛于0。 ∑n a n sin 发散 a) 证明 ∑收敛n an sin b) 证明 1lim =∞→n n n v u 其中 ) sin sin (k ak k a u k n +=∑； )sin sin (k ak k ak v n -=∑ 证：（1）因为 2 1sin 1sin ≤ ∑k 而}{n a 单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知 ∑收敛n an sin （2）因为正项级数 ∑n a n sin 发散则∑∞→∞→)(sin n k ak 又由上题知 ∑有界k ak sin 故有1lim =∞→n n n v u 七、设dx x x e t F tx sin ) (1 ? ∞+-= 证明 （1）dx x x e tx sin 1 ? ∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续 证：（1）因dx x x ? ∞+1 sin 收敛（可由狄利克莱判别法判出）故在t>=0上一致收敛；又tx e -在x>=1,t>=0 单调且一致有界)0,1(10≥≥?≤≤-t x e tx 由阿贝尔判别法知一致收敛 （2）],[0,),,0[00βαβα∈≥?+∞∈?t t 使由上题知，F （t ）在],[βα一致收敛，且由x x e tx sin -在（x,t ）],[),1[βα?+∞∈上连续知F （t ）在],[βα连续所以在0t 连续，由0t 的任意性得证 八、令)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （ 2 ） 对 任 意 >ε，存在一个 ε δδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f k n 在[a,b]上一致收敛 证：对任意x ],[b a ∈，)}({x f n 是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列，设为 )}({x f k n ，又令U=]},[),({b a x x u x ∈δ则U 为[a,b]的一个开覆盖集，由有限覆盖定 理，存在有限个开区间覆盖[a,b]，不妨设为),(),(1 1m x m x x u x u δδΛ 于是对 N 能找到一,0>?ε>0， ) ,,2,1(,,2 1 m i x N ，n n i k k Λ=?>?有 3 )()(2 2 ε < -i n i n x f x f k k 令},,min{1 m x x δδδ Λ=则由条件（2）知对上述0>?ε 3 )()(,],,[,0ε δδ< -<-?∈?>?l n n l l x f x f n ，x x x b a x 有对一切自然数使 于是有有],[],,[,,,,0,0b a x b a x N n n K t k K l t k ∈?∈?>>?>?>?ε ) ()()()()()()()(x f x f x f x f x f x f x f x f k k k l t t k t n l n l n l n l n n n n -+-+-=-≤)()(l n n x f x f t t -+)()(l n l n x f x f k l -+)()(x f x f k k n l n -ε<由柯西准则得 证。 南开大学数学分析试题答案 1. 1lim )()(lim ) ()(')()(ln 1 ===??? ? ??-→-→a f a f a x a f x f a x a x a x e e a f x f 2. y x f x y y f x z 2-=??, yy yx y xy xx x f x y f x y f x f x y yxf f y x z 3221---++=???=yy y xx x f x y f x yxf f 321--+ 3.即证明 x x x ++ <+111)1ln(2，即证x x x +-+<+11 1)1ln(2 设=)(x f x x x ++--+11 1)1ln(2，0)0(=f ， 2)1(1112)('x x x f +--+=0) 1(2 2 <+-=x x ，0)0()(= ??+D dxdy y x y x )ln(2 222= ?? 1 2520 22ln cos sin dr r r d π θθθ= ??1 52 2 2 ln cos sin 8rdr r d π θθθ= 72 π - 5.设P=2 2y x -，Q=xy 2-， y P y x Q ??=-=??2，积分与路径无关，则 ?= =π π0 3 2 3 dx x J 6. α αn e n n n n n 1ln 1-=-1ln +≈αn n ,又当 0>α时，∑∞=+11ln n n n α收敛，当0≤α时，级数∑∞ =+11ln n n n α发散，原题得证 7. 由 拉 格 朗 日 定 理 ， n f n f n f n )(')()2(ξ=-，其中 n n n 2<<ξ0 ) ()2(lim )('lim =-=∞ →∞ →n n f n f f n n n ξ，原题得证 8.（1）应用数学归纳法，当1 =n 时命题成立， 若 当 k n =时命题 也 成 立 ， 则 当 1 +=k n 时， 2 )(},min{1 111++++--+= =k k k k k k k f F f F f F F ，由归纳假设 1 +k F 连续。 （2） （3）由 )} ({1x F k +单调递减趋于 ) (x F ， )} ({1x F k +与 ) (x F 都连续，由地尼定理，该收敛为 一致收敛。 9.(1)证明：2 100),,(x x x b a x < 取02210 20 1,,x x x x x x x x ==--= λ，代入式中得， )]()([)()(02020101x f x f x x x x x f x f ---+ ≤即0 2020101) ()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--，所以函数 0) ()()(x x x f x f x g --= 单调递增有下界，从而存在右极限，则 =+)(0'x f 0 0) ()(lim 0x x x f x f x x --+ →； 4321x x x x << 32322121) ()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--4 343)()(x x x f x f --≤， 即 2121)()(x x x f x f --4343)()(x x x f x f --≤从而2121) ()(lim 12x x x f x f x x --→4 343)()(lim 34x x x f x f x x --≤→， 所以导函数递增。 (2)参考实变函数的有关教材。 南开大学数学分析试题答案 0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x 2.x z f x y f f dx du z y x ??+??+=，其中x z x y ????,由 0 =??+??+=??+??+x z h x y h h x z g x y g g z y x z y x 求出 = ??--=??x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y z z y x y y x h g h g g h g h -- 3.? ∑+= -=-=∞→1 2 1 2 3 234)(411lim πx dx n k n n k n 4. t x dt t M +≤? 1 , 2sin 0 在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又 t x t +sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。 5.由 泰 勒 公 式 )! 1(!1!21!111++ +++=n e n e ξ Λ，则 ()!1(!1!21!111+≤+=+++-n e n e n e ξΛ 6.由拉格朗日中值定理，,)(122n M n Mx n x f n ≤≤ =后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 由)(x s 一致收敛，则可以逐项求导，∑ ∞ ==1 2 ) (')('n n n x f x s 也一致收敛且连续，故)(x s 连续可导 7.反证：设存在),(00y x 有0),)(( 00≠??-??y x y P x Q ，不妨设0),)((00>??-??y x y P x Q ，由连续函数的局部保号性，知道存在一个邻域,δ当δ∈),(y x 时0),)(( >??-??y x y P x Q ，则存在一个圆周,0δ?C ??? =+D Qdy Pdx 0)( >??-??dxdy y P x Q 与已知矛盾。 8.当2 0a x ≤ ≤时，x x f x f ≤=)('')('ξ a x a ≤≤2 时，x a a x f x f -≤-=))(('')('η，综上，)()('x g x f ≤ )2(若对任意的),0(a x ∈有)()('x g x f =，则在2 a x = 时，)(''x f 不存在，矛盾。 )3(设当U x ∈时，0)()('<-x g x f 当U a x \),0(∈时0)()('=-x g x f ，两边对x 积分 即可 6.))(()()(000x x x g x g x f -≥- ，))(()()(00x x x g x f x f -≥-，由)(x g 在),(b a 上有定义，则)(x g 在),(b a 上有界，则可以得到)(x f 在),(b a 上连续。 2 10)2(x x x <<，则 1 21210101) ()()()()(x x x f x f x g x x x f x f --≤ ≤--，则 02020101)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--则0 0)()(x x x f x f --单调递增有下界，存在右极限，) (0' x f +存在，同理)(0' x f -存在，由极限的保不等式性可得 中国科学院数学研究院数学分析试题答案 1. 1ln(lim )ln(lim 00x x B x A x x A e e +→+→+=+（1）当0>-A B 时，)1ln(lim )ln(lim 00x A B x x x A x e x e e -+→+→+=+ 当0>A 时，+∞=+=+-+→+→)1ln(lim )ln(lim 00x A B x x B x A x e x A e e