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高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学排列组合与概率统计习题
高中数学排列组合与概率统计习题

高中数学必修 排列 组合和概率练习题

一、选择题(每小题5分,共60分)

(1) 已知集合A={1,3,5,7,9,11},B={1,7,17}.试以集合A 和B 中各取一个数作为点的坐标,在同一直角坐标系

中所确定的不同点的个数是C

(A) 32 (B) 33 (C) 34 (D) 36

解 分别以{}1357911,,,,,和{}1711,,的元素为x 和y 坐标, 不同点的个数为1163P P g

分别以{}1357911,,,,,和{}1711,,的元素为y 和x 坐标, 不同点的个数为1

1

63P P g

不同点的个数总数是1111

636336P P P P +=g g ,其中重复的数据有(1,7),(7,1),所以只有34个

(2) 从1,2,3,…,9这九个数学中任取两个,其中一个作底数,另一个作真数,则可以得到不同的对数

值的个数为

(A) 64 (B) 56 (C) 53 (D) 51

解 ①从1,2,3,…,9这九个数学中任取两个的数分别作底数和真数的“对数式”个数为2

92P ;

②1不能为底数,以1为底数的“对数式”个数有8个,而应减去;

③1为真数时,对数为0,以1为真数的“对数式”个数有8个 ,应减去7个;

④2324log 4log 92log 3log 9

===,49241log 2log 32log 3log 9

===,应减去4个 所示求不同的对数值的个数为2

9287453()C ---=个

(3) 四名男生三名女生排成一排,若三名女生中有两名站在一起,但三名女生不能全排在一起,则不同

的排法数有

(A )3600 (B )3200 (C )3080 (D )2880

解 ①三名女生中有两名站在一起的站法种数是2

3P ;

②将站在一起的二名女生看作1人与其他5人排列的排列种数是6

6P ,其中的三名女生排在一起的

站法应减去。站在一起的二名女生和另一女生看作1人与4名男生作全排列,排列数为5

5P ,站在一起的二名女生和另一女生可互换位置的排列,故三名女生排在一起的种数是1

5

25P P 。 符合题设的排列数为:

26153625665432254322454322880P P P P -=?????-????=????=种()()()

我的做法用插空法,先将4个男生全排再用插空7433422

74534522880A A C A A C A --= (4)

由100

+展开所得x 多项式中,系数为有理项的共有

(A )50项 (B )17项 (C )16项 (D )15项

1000100110011r 100r r 100100

100100100100

=C )+C )++C )++C --L L 可见通项式为

:1003100230010010010010023

66

6

100

100

100

100

)

6

6

6

r r

r r

r

r r

r

r r

r r

r r C

C x

C x

C x ---++----===()

且当r=06121896L ,,,,,时,相应项的系数为有理数,这些项共有17个, 故系数为有理项的共有17个. (5) 设有甲、 乙两把不相同的锁,甲锁配有2把钥匙,乙锁配有2把钥匙,这4把钥匙与不能开这两

把锁的2把钥匙混在一起,从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是

(A ) 4/15 (B ) 2/5 (C ) 1/3 (D ) 2/3

解 从6把钥匙中任取2把的组合数为2

6P ,若从中任取的2把钥匙能打开2把锁,则取出的必是甲锁

的2把钥匙之一和乙锁的2把钥匙之一。假设分二次取钥匙,第一次取到甲锁的钥匙,第二次取到乙锁的钥匙,取法的种数为1

1

22P P g ;当然,第一次取到乙锁的钥匙,第二次取到甲锁的钥匙,取法的种数也为1

1

22P P g 。这二种取法都能打开2把锁。故从中任取2把钥匙能打开2把锁的概率是:

11222

62415P P P =g

(6) 在所有的两位数中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是

(A ) 5/6 (B ) 4/5 (C ) 2/3 (D ) 1/2

解 ①所有两位数的个数为90个;

②能被2或3整除的二位数的个数60个:能被2整除的二位数的个数是有5

90=4510

?

个()

,能被3 整除的二位数的个数为有24个(从369,,中选2的排列23P 个,121518242745485778,、,、,、,、,、,、,、,、,

九组中各选2的排列有2

29P 个),能被3整除的二位数中有9个(121824425472488478、、、、、、、、)也能被3整除,故能被2或3整除的二位数的个数是2

2

32459960P P -++=个;

所有的两位数中,能被2或3整除二位数所占比例是602

=903

.因此, 在所有的两位数中,

任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是

23

(7) 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是

(A )1/8 (B )3/8 (C ) 7/8 (D 5/8

解 恰好出现一次正面的概率为1

1313

113

P 1=C 1=228

--()()() 恰好出现二次正面的概率为22

323

113P 1=C 1=228

--()()() 恰好出现三次正面的概率为33

333

111P 1=C 1=228

--()()() 至少出现一次正面的概率是3317

P=++=8888

(8) 在四次独立重复试验中,随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率,则事件A

在一次试验中发生的概率中的取值范围是

(A )0.41[,) (B )00.4(,] (C )00.6(,)

(D 0.61[,) 解 设事件A 在一次试验中发生的概率为x ,由题设得

114122424423

211446520

C x x C x

x x x x

x x ---≤--≤-≥()()()()

对于2

52=0x x -,有120, 0.4x x ==

对于2

520x x -≥,有1200.4x x ≤≥,

根据概率的性质,x 的取值范围为0.41[,]

(9) 若1001002210100x a x a x a a )3x 2(++++=+Λ,则(a 0+a 2+a 4+…+a 100)2

-(a 1+a 3+…+a 99)2

的值为

(A )1 (B )-1 (C ) 0 (D )2

(10) 从集合{

}+

17N

A x x x ≤≤∈,中任取3个数,这3个数的和恰好能被3整除的概率是

(A ) 19/68 (B ) 13/35 (C ) 4/13 (D ) 9/34

x

y

解 从集合{

}+

17N

A x x x ≤≤∈,中任取3个数的取法种数为37

P ;

取到的数含3或6时,其余二数为12、15、24、27、45、57,能被3整除的数的个数为1

1

236P 2P g ; 取到的数不含3或6和能被3整除的三个数是1、4、7,取法种数有3

3P 种;

因此,所求概率为:1132333

7621223613613

76576535P P P P +??+?===

????g (11) 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元 70元的单片软件和盒装磁盘,

根据需要至少买3片软件,至少买2盒磁盘,则不同的选购方式共有

(A )5种 (B )6种 (C )7种 D )8种

解 设选购x 片软件,y 盒磁盘,则:

500-602(3)70500-703(2)

60

x

x y y ?≥≥???≥≥?,解得:63

24x y ≥≥??≤≤?, 软件和磁盘数量的选购方式分别为(3,2)333442435262、(,)(,)(,)(,)(,)(,),共7种。 (12) 已知0xy <,且1x y +=,而9

()x y +按x 的降幂排列的展开式中,T 2≤T 3,则x 的取值范围是

(A ))51,(-∞ (B )),54[+∞ (C )),1(+∞ (D )]54

,(--∞

二、填空题(每小题4分,共16分)

(13) 已知A 、B 是互相独立事件,C 与A B 、分别是互斥事件,已知P(A)=0.2,P(B)=0.6,P(C)=0.14,

则A B C 、、至少有一个发生的概率P A+B+C ()____________

解 A 、B 同时发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.20.6=0.12??g A 发生而B 没有发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.20.4=0.08??g A 没有发生而B 发生的概率P(A B)=P(A)P(B)=0.80.6=0.48??g C 发生的概率P(C)=0.14 A B C 、、至少有一个发生的概率

P A+B+C =P(A B)+P(A B)+P(A

g g g ()

(14) 3)2|

x |1

|x (|-+

()()()3

3

2

3323

32233221||2||11111 =||++2+32+32+12x +6||2||||||||||13612 =x +8+3x 6++12x +12

||x x 1156 =x ++15x 6+20

||x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??

+- ?

??

??????????

---+??- ? ? ? ???????????????

---- ???

??

--- ???

(15) 求值:0

1231010101010101111=23411

C C C C C -+-++L ____________

012310

1010101010

1098765678910

10

10101010101010101010

1098766789101010101010101010101011111 C C C C C

234111********* =C C C C C C C C C C C 234567891011111111111 =C C C C C C C C C C C 2345543211-+-

++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+L 解10

101011 =C =1111

重要:56

101056C C =1

1

1111m m n n

m m n n

m C C n m C C m n m

+++=

-=+-

(16) 5人担任5种不同的工作,现需调整,调整后至少有2人与原来工作不同,则共有多少种不同的调

整方法?________________

解法一 设该5 人分别为ABCDE ,调整前的工作分别是abcde ,当他们的排列为BACDE 时, 工作也

分别是abcde ,即有二人调换工作,故他们的每一排列可表示他们的工作的一种安排情况, 他们的全排列可表示工作的全部安排情况.全排列数减去1即为不同的调整方法.故不同的调整方法种数为:

55P 1=119-种()

解法二 设该5 人分别为ABCDE ,调整前的工作分别是abcde 。

①求恰有2人调整工作的种数:2

5C =10种()

②求恰有3人调整工作的种数:

从5人中选 3人的组合数为35C =10,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

22222ABC ABC ACB BAC CBA ABD ABD ADB BAD DBA ABE ABE AEB BAE EBA BCD BCD BDC CBD DCB BCE BCE BEC CBE ECB CDE CDE CED DCE E 有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式:,,,,,,:,,,,,,:,,,,,,:,,,,,,:,,,,,,:,,,,,BCA CAB BDA DAB BEA EAB CDB DBC CEB EBC DEC ECD 22222DC CDA CDA CAD ADC DCA DEA DEA DAE EDA AED DEB DEB DBE EDB BED DEC DEC DCE CED DEC ?

?

?

??

?

?

????

?

???

有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式有种调整方式,:,,,,,,:,,,,,,:,,,,,,:,,,,,,ACD DAC EAD ADE EBD BDE CDE DCE

恰有3人调整工作的种数: 210=20?种()[35

11

P =2023-()!!

] ③求恰有4人调换工作的种数:

从5人中选 4人的组合数为4

5

C =5,这10组及它们的排列数与工作调整的方式数分别如下:

ABCD ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BCDA BCAD BACD BDCA ABCD 9CDAB CABD CBDA CBAD DABC DACB DBAC DBCA BCDE BCDE BCED BDEC BDCE BECD BEDC C BCDE ??????????

????有种调整方式:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,BCDA BADC BDAC CDAB CDBA CADB DABC DCAB DCBA DEB CDBE CBDE CEDB 9DEBC DBCE DCBE DCEB EBCD EBDC ECBD ECDB CDEA CDEA CDAE CADE CAED CEAD CEDA DEAC DECA DAEC DCEA CDEA EACD ??????

????

????有种调整方式:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,:CDEB CBED CEBD DEBC DECB DBEC EBCD EDBC EDCB DEAC DACE DCAE E 9ECDA EDAC EDCA ACDE ACED ADCE ADEC DEAB DEAB DEBA DABE DAEB DBAE DBEA EABD EADB EBAD EDAB DEAB ABDE ADEB AEBD AEDB BDEA B ??????????????

有种调整方式,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,ACD EADC ECAD ACDE AECD AEDC EABD EBDA EDBA ABDE ABED ADBE BDEA 99DAE BEAD BEDA EABC EABC EACB EBAC EBCA ECAB ECBA ABCE ABEC ACBE AEBC EABC BCEA BAEC BACE BEAC CEAB CEBA CABE CAEB ??????????????

??????????????有种调整方式有,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,BADE BAED ABCE ACEB AECB BCEA BCAE BECA CEAB CBAE CBEA ??????

??????

??????

??????

??????

????

????

????????

????????????

????

种调整方式 恰有4人调换工作的种数:95=45?种()[4

5

111

P +=45234-()!!!

] ④求恰有5人调换工作的种数:

B 换任A 的工作的排列:

BCDEA BCDAE BCADE BCEDA BDEAC BDACE BDCAE BDCEA B BEACD BEADC BECAD BECDA BACDE BACDE BACED BADCE BAEDC ??????

????????????

:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,BCDEA BCAED BCEAD BDEAC BDECA BDAEC BEACD BEDAC BEDCA BADEC BAECD 11种调整方式

C 换任A 的工作的排列:

CDEAB CDABE CDBAE CEABD CEADB CEBDA C CABDE CABDE CADBE CAEDB CBDEA CBDEA CBDAE CBADE CBAED CBEAD CBEDA ??????

????????????

:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,CDEAB CDEBA CDAEB CDBEA CEABD CEBAD CEDAB CEDBA CABED CADEB CAEBD 11种调整方式

D 换任A 的工作的排列:

DEABC DECAB DECBA DABCE DABCE DACBE DACEB D DBCEA DBCEA DBCAE DBAEC DBACE DBEAC DBECA DCEAB DCABE DCBAE ??????

????????????

:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,DEABC DEACB DEBAC DEBCA DABEC DAEBC DAECB DCEAB DCEBA DCAEB DCBEA 11种调整方式

E 换任A 的工作的排列:

EABCD EABDC EACBD EACDB EBCDA EBCDA EBCAD EBACD EBADC EBDCA EBDAC E ECDAB ECADB ECBDA EDABC EDCAB EDCBA ??????

????????????

:,,,,,:,,,,,:,,,,,:,,,,,EABCD EADBC EADCB ECDAB ECDBA ECABD ECBAD EDABC EDACB EDBAC EDBCA 11种调整方式

恰有5人调换工作的种数共有114=44?种()[44)!

51

!41!31!21(

!5=-+-] 故后至少有2人与原来工作不同工作的调整方法的种数是:10+20+45+44=119(种)

三、解答题

(17

)在二项式n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列

(Ⅰ)求展开式的第四项; (Ⅱ)求展开式的常数项; (Ⅲ)求展开式中各项的系数和

二项式n 展开式的通项为

23

33111()()()()22

n r r

n r

r n r

r

r r r r r n

n

n T C a b C x x C x

--- -+==-=-,0,1,2,3,,r n =L 由已知得:00

122111(),(),()222

n

n n C C C -成等差数列 ∴ 12112124n n C C ?=+,2

(1)1 9808n n n n n -=+-+=,,解得1281n n =???=??舍去(

) (Ⅰ)82322

3333

34811876()==72832

T C x x x -???=--?-?

(Ⅱ)由2311()2

n r

r r r n T C x -+=-知:当282033n r r --==,即4r =时,5T 为常数项 445811876535()==21648

T C ???=-?!

(Ⅲ)令1x =,则展开式的各项(也即各项系数)为:

00112233

44556677888

88888888111111111()()()()((()()()222222222

C C C C C C C C C ---------,,,,),),,, 各项系数和为: 001122334455667788888888888

012343210888888888

111111111()+()+()+()+()+()+()+()+()222222222

11111111=++++2481632641282563577111

=14+77+++=

841616256256

C C C C C C C C C C C C C C C C C C

-----------------

(18) 设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒子,现将这五个球放入5

个盒子内

(Ⅰ)只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?

(Ⅱ)没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?

(Ⅲ)每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法? 解 (Ⅰ)从5个盒子中任选4个来放球(其中的任1个盒放2个球),有45P 种选法;从5个球中任选2

个球(不分先后)的选法有25C ,故盒子的45P 种选法中的每一种都有2

5C 种放球的方法。因此投放方法种数为:

245554

543212002

C P ?=????=种()

(Ⅱ)5个球的全排列中减去球号与盒号相同的一种排列即为所求:

55P 1=119-(种)

(Ⅲ)12345,,,,五个球分别放在12345,,,,五个盒子中,则球的球的编号与盒子编号全部相同;

12345,,,,五个球分别放在21345,,,,五个盒子中,则有2个球的编号与盒子编号不相同。所以

球号与盒号相同度情况分类如下:

①没有相同的(也即5个全部不同),551111

(

)442!3!4!5!

P -+-=种[参考第(16)题分析]

②有1个相同(也即有4个不同),有4

5111

(

)452!3!4!P -+=种; ③有2个相同(也即有3个不同),有2

5

1102P ?=!种 ; ④有3个相同(也即有2个不同),有3511()202!3!P -=种; ⑤有5个相同(也即没有不相同的),有0

5

110!

P ?=种; 本小题求的是③、④、⑤这三类的相同数这种之和,或者说是①~⑤各类的总数减去①~②二类之和。因此,如每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的投放方法的种数是:

10201=31++种()

或 55444531P --=种() (19)掷三颗骰子,试求:

(Ⅰ)没有一颗骰子出现1点或6点的概率; (Ⅱ)恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率。

解 设i A 表示第i 颗骰子出现1点或6点,i=123,,,则i A 互相独立,1

()3

i P A =,i A 与i A 之间也互相

独立。

(Ⅰ)1231231232228

()()()()[1()][(1()][(1()]33327

P A A A P A P A P A P A P A P A ==---=

??=

(Ⅱ)掷一颗骰子出现1点或6点的概率为1

3

P =

,将掷三颗骰子看作掷一颗骰子三次,根据公式⑸1

()(1)k n k n n P k C P P -=-,可知恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率是:

1131

233

114(1)(1)3(1)339

P C P P -=-=??-= 也可以这样解:

设i A 表示“第i 颗骰子出现1点或6点”,D 表示“恰好一颗骰子出现1点或6点”,则

231312123D=A A A +A A A +A A A ,因231A A A ,132A A A ,123A A A 互斥,故

2313121232313121232131213232

()P(A A A +A A A +A A A )

=(A A A )(A A A )(A A A )

P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )12=3()334=9

P D P P P =++=??

(20)已知{}

21log 3A x x x N =<<∈,|{}

63A x x x N =-<∈,

(Ⅰ)从集A 及B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标,共可得到多少个不同的点? (Ⅱ)从A B U 中取出三个不同元素组成三位数,从左到右的数字要逐渐增大,这样的三位数共有

多少个?

(Ⅲ)从集A 中取一个元素,从B 中取三个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数. 解 {}A=3,4,5,6,7, {}B=4,5,6,7,8, {}A B=345678U ,,,,,, {}A B=4567I ,,,,

(Ⅰ)从集A 及B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标组成不同的点,就是从集合A B U 中任

选2个元素排列分别作点的坐标组成点与从集合A B I 中任选1个元素既作x 坐标又作y 坐标组成点,所求不同的点的点数为:

2

6P 4=34+个()

(Ⅱ)三个不同元素组成三位数有6个, 其中从左到右的数字要逐渐增大的三位数只有1个,故所求

三位数的个数是:

33

66206P C ==个()345346347348356357358367368378456457458467468478567568578678?? ???

,,,,,,,,,,,,,,,,,, (Ⅲ)①A 中取3,而3不能排头,只能排在第二、三、四位,即有3种1

3P ()站位;B 中5选 3,有3

5

P 种选法.故A 中取元素3, B 中取三个元素的取法有1

3

35P P g 种;

②A 中分别取4,5,5,6,7,则B 中不能取4,5,5,6,7,A 中可取的元素与B 中可取的元素总是45678,,,,。从45678,,,,中任取4个元素的排列是4

5P 所求四倍位数的个数是:

134355180P P P +=g 种()

(21) 一个布袋里有3个红球,2个白球,抽取3次,每次任意抽取2个,并待放回后再抽下一次,求:

(Ⅰ)每次取出的2个球都是1个白球和1个红球的概率;

(Ⅱ)有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球,还有1次取出的2个球同色的概率; (Ⅲ)有2次每次取出的2个球是1个白球和1个红球,还有1次取出的2个球是红球的概率

解(Ⅰ)∵1132

2

5()0.6C C P A C == ∴ 330

33(3)0.6(10.6)0.216P C =??-= (Ⅱ)∵ A C B =+

∴ 可以使用n 次独立重复试验

∴ 所求概率为432.0)6.01(6.0C )2(P 2322

33=-??=- ……8分

(Ⅲ)本题事件可以表示为A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A

∴ P(A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A)=C 31

P(A)P(A)P(C)=0.324 ……14分

[网上参考解答] 一、选择题

(1)D (2)C (3)D (4)B (5)A (6)C (7)C (8)A (9)A (10)B (11)C (12)C 二、填空题

(13)0.82 (14)-20 (15)1/11 (16)119 三、解答题

(17) 展开式的通项为2311()2

n r

r r r n T C x -+=-,r=0,1,2,…,n

由已知:00

122111(),(),()222n n n C C C -成等差数列

∴ 12112124

n n C C ?=+

∴ n=8 ……2分 (Ⅰ)3

2

4x 7T -= ……4分

(Ⅱ)8

35

T 5=

……8分

(Ⅲ)令x=1,各项系数和为

256

1

……12分 (18)(Ⅰ)C 52

A 54

=1200(种) ……4分

(Ⅱ)A 55

-1=119(种) ……8分 (Ⅲ)不满足的情形:第一类,恰有一球相同的放法: C 51

×9=45

第二类,五个球的编号与盒子编号全不同的放法:

44)!

51

!41!31!21(!5=-+-

∴ 满足条件的放法数为:

A 55

-45-44=31(种) ……12分

(19) 设A i 表示第i 颗骰子出现1点或6点, i=1,2,3,则A i 互相独立,A i 与i A 之间也互相独立,

31

)A (P )A (P )A (P 321===

(1)))A (P 1))(A (P 1))(A (P 1()A (P )A (P )A (P )A A A (P 321321321---==

278

323232=??= ……6分

(2)设D 表示“恰好一颗骰子出现1点或6点的概率”

则321321321A A A A A A A A A D ++= ……8分 因321321321A A A ,A A A ,A A A 互斥

∴ )A A A (P )A A A (P )A A A (P )D (P 321321321++=

94)

A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P )A (P 321321321=++=……12分

(20) A={3,4,5,6,7},B={4,5,6,7,8} ……2分

(Ⅰ)A 62

+4=34(个) ……4分 (Ⅱ)C 63

=20(个) ……8分 (Ⅲ)A 中取3有C 31A 53

种 A 中不取3,有A 54

∴ 共有C 31A 53+A 54

=300(种) ……12分

(21) 记事件A 为“一次取出的2个球是1个白球和1个红球”,事件B 为“一次取出的2个球都是白球”,

事件C 为“一次取出的2个球都是红球”,A B C 互相独立

(Ⅰ)∵6.0C C C )A (P 25

1213==

∴ 3

3

33(3)0.6(10.6)0.26P C =??-= ……4分

(Ⅱ)∵ A C B =+

∴ 可以使用n 次独立重复试验

∴ 所求概率为2232

33(2)0.6(10.6)0.432P C -=??-= ……8分

(Ⅲ)本题事件可以表示为A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A

∴ P(A ·A ·C+A ·C ·A+C ·A ·A)=C 31

P(A)P(A)P(C)=0.324 ……14分

一、选择题:

1、将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有( )

(A )81 (B )64 (C )12 (D )14

解 ①三个球全放在一个盒子中,放法有1

4P 种;

②二个球放在一个盒子中,另一球放在一个盒中,放法有2

2

34C P 种; ③每个球单独放在一个盒子中,放法有3

4P 种。

所求放法有1223

434464P C P P ++=种()

2、n N ∈且55n <,则乘积(5-)(56-)(69-)n n n L L 等于( )

(A )5569n

n P -- (B )15

69n P - (B )15

55n P - (D )14

69n P -

3、用1,2,3,4这四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数( )

(A )64 (1

2

3

4

4444P P P P +++) (B )60 (C )24 (D )256

4、3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是( )

(A )2160 (B )120 (C )240 (D )720(3

10P )

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表,如果合唱节目不能排在第一个,并且合唱节目不能相邻,则不同排法的种数是( )

(A )3538P P g (B )5354P P g

(C )5355P P g (D )53

56P P g 解 5个独唱节目有的排列有5

5P 种;

3个合唱节目可在5个位置中任选3个位置排列(12345?????),排列数有3

5P 种。 所求不同排法的种数是5

3

55P P g 种

6、5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )

(A )3

3P (B )3

34P (C )5

2

3

533P P P - (D )2

3

1

1

3

23233P P P P P +

解 ①5个人的总排列有5

5P 种;

②甲乙都不排在两端时(如???甲乙),另三人的排法有3

3P 种,中间的三个位置甲或乙都可站,排法是2

3P 种,甲乙都不排在两端的排法是3

2

33P P 种; 所求不同排法的种数是5

2

3

533P P P -种

7、用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数有( )

(A )24 (B )36 (C )46 (D )60

解 数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数的总个数为5

5P ,其中偶数有5

5

25P 个; 5排在首位时的数大于50000,有4

4P 个,其中偶数有4

4

12P 个应减去; 小于50000的偶数有

54

54

2136()52P P -=个 8、某班委会五人分工,分别担任正、副班长,学习委员,劳动委员,体育委员,其中A 不能担任正班长,

B 不能担任学习委员,则不同的分工方案的种数是( )

(A )4

1

1

3

4333P P P P + (B )2

3

1

3

3

33333P P P P P ++ (C )5

4

542P P - (D )5

4

3

543P P P -+

解法一 ①B 为正班长时,其他委员可任意分工,有4

4P 种;

②B 为副班长时,A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有4

3

43P P -种;

③B 为劳动委员时,A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有43

43P P -种; ④B 为体育委员时,A 不能任正班长,其他委员可任意分工,有4

3

43P P -种;

所求不同的分工方案的种数是4

4

3

4

3

4

1

1

3

4434343333()43P P P P P P P P P +-=-=+ 解法二 ①假设任意分工,则不同的分工方案有5

5P 种。

②A 为正班长、B 为任学习委员的分工方案各有4

4P ,应减去4

42P ;但4

42P 中包含A 为正班长且B 为任学习委员的分工方案,有3

32P 种;只能减去3

3P ;减去3

32P 后就应加上3

3P 。 所求不同的分工方案的种数是5

4

3

4

3

4

4

3

4

1

1

3

543434434333232P P P P P P P P P P P P -+=+=++=+

解法三 ①B 为正班长时,其他委员可任意分工,有4

4P 种;

②B 非正班长时,B 有1

3P 种选择,而A 在B 的分工确定后也有1

3P ,其他三个委员在剩下的三种工作中选择,共有3

3P 。故B 非正班长时,分工方案有1

1

3

333P P P 。 所求不同的分工方案的种数是4

1

1

3

4333P P P P +种.

二、填空题

9、(1)45

8865

89

420!P P P P +?=- 4? 解

4544

88886544

8988424240!14129P P P P P P P P ++??=?=--? (2)若3

3

2=10n n P P ,则n = 8 . 解 由3

3

2=10n n P P 得:

2(21)(22)10(1)(2) 2(21)(1)5(1)(2) 8n n n n n n n n n n n --=----=--=,, 10、从A 、B 、C 、D 这四个不同元素中,取出三个不同元素的排列为____________.

解 从四个不同元素的排列中取出三个不同元素的排列的个数为3

4P =24个(),分别是:

ABC BCD CDA DAB

ACB BDC CAD DBA BAC CBD DAC ABD

ABC BCD CDA DAB BCA CDB DCA ADB CAB DBC ADC BDA CBA DCB ACD DAB

???????????????????????????????????? 11、4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有_________种不同排法。 解 ①四女生排在一起,如男女女女女男男男,有1

4

4

344P P P 种;

②三女生排在一起,另一女生分开排,如男女女女男女男男,有2

3

4

344P P P 种; ③二女生排在一起,另二女生分开排,如男女女男女男女男,有3

2

4

344P P P 种;

④二女生排在一起且与另二排在一起的女生分开排,如男女女男女女男男,有2

2

4

344P P P 种; 所求不同排法有:

144234324224123224344344344344333344228640P P P P P P P P P P P P P P P P P P +++=+++=()(种)

12、有一角的人民币3张,5角的人民币1张,1元的人民币4张,用这些人民币可以组成_________种不同币值。

解 ①单张纸币的不同币值种数: 一角、5角、1元,共3种;

②多张一角纸币组成的不同币值种数:2角、3角,共2种;

③多张一元纸币组成的不同币值种数:2元、3元,4元,共3种; ④一角纸币与5角纸币组成的不同币值种数: 6角、7角,8角,共3种; ⑤一元纸币与1角纸币组成的不同币值种数: 1.1元、1.2元、1.3元

2.1元、2.2元、2.3元

3.1元、3.2元、3.3元

4.1元、4.2元、4.3元

⑥一元纸币与5角纸币组成的不同币值种数: 1.5元、2.5元、3.5元、4.5元,共4种; ⑦含有一元、五角、一角纸币的不同币值种数: 1.6元、1.7元、1.8元

2.6元、2.7元、2.8元

3.6元、3.7元、3.8元

4.6元、4.7元、4.8元

所求不同的币值种数为3+2+3+3+12+4+12=39种 三、解答题

13、用0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数字的五位数, (1)在下列情况,各有多少个?

①奇数;②能被5整除;③能被15整除;④比35142小;⑤比50000小且不是5的倍数. (2)若把这些五位数按从小到大排列,第100个数是什么? 解(1) ①

655

6551333288255

P P P -=-=个()() ②65565

52112216655

P P P -=-=个()() ③ ④ ⑤

1 × × × × 1 0 × × × 1

2 × × × 1

3 × × × 1

4 × × × 1

5 0 2 × 1 5 0 3 2 1 5 0 3 4

14、7个人排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头;

(2)甲不排头,也不排尾; (3)甲、乙、丙三人必须在一起; (4)甲、乙之间有且只有两人; (5)甲、乙、丙三人两两不相邻; (6)甲在乙的左边(不一定相邻);

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序; (8)甲不排头,乙不排当中。 解(1)6

6720P =

(2)7

6

7623600P P -= (3)3

535720P P =

(4)甲、乙之间有且只有两人的站位形式为,????????????????????甲乙甲乙甲乙甲乙,,,, ????????????????????乙甲乙甲乙甲乙甲,,,。从其余甲乙外的五名学生中任选二人排

在甲乙之间的选法有2

5P 种,剩下的三名学生的排法有3

3P 。所求排法种数为:

23538960P P =种()

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法形式有

①343434343434P P P P P P ????????????甲乙丙(种),甲乙丙(种),甲乙丙(种),共333P P 4

4种; ②3

4

3

4

3434P P P P ????????甲乙丙(种),甲乙丙(种),共3

4

342P P 种; ③3

4

3

4

3434P P P P ????????甲乙丙(种),甲乙丙(种),共3

4

342P P 种;

④3

434P P ????甲乙丙(种),

⑤3

4

3

4

3434P P P P ????????甲乙丙(种),甲乙丙(种),共3

4

342P P 种;

所求排法种数为:34

34101440P P =种()

(6)从七人中任选七人的排列数为7

7P ,甲在乙左边与乙在甲左边的排列数是相等的,所求排法种数:

77125202

P =种()

(注意:如果甲乙一定相邻,则甲在乙左边的排列数为6

6P ) (7)甲、乙、丙三人从左到右,从高到矮排列,可看成一人参与排列,所求排列数为:

47840P =种()(注意:如甲、乙、丙三人三人从左到右,从高到矮排列在一起的排列数为5

5P 种)

(8)7人中选7的全排列为7

7P ;甲排头的排列为6

6P ,乙排尾的排列也为6

6P ;甲排头和乙排尾中的

相同排列是5

5P 。因此,所求排列数为:

7655

7655242-1213720P P P P -+=

+=种()() 15、从2,3,4,7,9这五个数字任取3个,组成没有重复数字的三位数。 (1)这样的三位数一共有多少个?

(2)所有这些三位数的个位上的数字之和是多少? (3)所有这些三位数的和是多少?

解(1)3

5P =60个()

(2)个位上的数字分别是2,3,4,7,9的数的个数分别是

60

125

=个()

,所有这些三位数的个位上的数字之和是:

1223479300?++++=()

(3)百位、十位、个位上的数字之和都是300,故所有这些三位数的和是:()

?++=

30010010133300

答案:

一、选择题:

1.B

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.B

8.A

二、填空题

9.(1)5;(2)8

10.abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc 11.8640

12.39

三、解答题

13.(1)①3×=288

(2)略。

14.(1)=720

(2)5=3600

(3)=720

(4)=960

(5)=1440

(6) =2520 (7)=840

(8)

15.(1)

(2)

(3)300×(100+10+1)=33300

排列与组合练习

1、若3

4

6n n P C =,则n 的值为( )

(A )6 (B )7 (C )8 (D )9

解 由3

4

6n n P C =得: 6(1)(2)(3)

(1)(2)4!

n n n n n n -----=

,6(3)4!n -=,7n =

2、某班有30名男生,20名女生,现要从中选出5人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于2人的选法为( )

(A )2

2

1

302046C C C (B )5

5

5

503020C C C -- (C )5

1

4

4

1

5030203020C C C C C -- (D )3

2

2

3

30203020C C C C +

3、空间有10个点,其中5点在共面,其余没有4点共面,则10个点可以确定不同平面的个数是( )

(A )206 (B )205 (C )111 (D )110

4、6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( )

(A )226

4C C (B )2226423

3

C C C P (C )336P (

D )3

36C 解 从6本书(,,,,,a b c d e f )中选2本的组合是2

6C 种:,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae af bc bd be bf cd ce cf de df ef 。

当分给甲、乙、丙三人中的一人的书确定后(如ab ),剩下四本书(,,,c d e f )选2本的组合是2

4C 种:(cd ,,,,,ce cf de df ef ),可见分给三人中的另二人书的分法有2

4C 种,故总分法是:

22

64C C 种

5、由5个1,2个2排成含7项的数列,则构成不同的数列的个数是( )

(A )21 (B )25 (C )32 (D )42

解 ①2个2排列在一起时的数列的个数1

6P ; ②2个2分开排列时的数列的个数26C ;

构成不同的数列的个数: 12

66P C =21+个().

6、设P1、P2…,P20是方程z20=1的20个复根在复平面上所对应的点,以这些点为顶点的直角三角形的个数为( )

(A )360 (B )180 (C )90 (D )45

7、若4

2

1

212121(),k k k C C C k N ---<<∈,则k 的取值范围是( )

(A )[5,11] (B )[4,11] (C )[4,12] (D )4,15]

8、口袋里有4个不同的红球,6个不同的白球,每次取出4个球,取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,则使总分不小于5分的取球方法种数是( )

(A )1

3

2

2

3

1

464646C C +C C +C C (B )4

4

462C +C

(C )4

4

106C C - (D )3

4

463C C

解 取球的顺序与计分是无关的,并且只当所取的三个球都是白球时, 总分才小于5分,故使总分不小

于5分的取球方法种数是:4

4

106C C -

答案:

1、B

2、D

3、C

4、A

5、A

6、B

7、B

8、C 1、计算:(1)2

3

4

5

6

7

8

567891011C C C C C C C ++++++=_______

23456783333333

567891011567891011

543654765876987109811109 3 1020355684120165 490

C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++??+??+??+??+??+??+??==++++++=解! (2)17320

13=n

n

n C C -++_______

2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中,每个盒子中放球不超1个,则有_______种不同放法。 解 每个盒子中放球不超1个,故每7个小球的每一种放法都必须用7个盒子;因7个小球都是相同的,

故小球的放法与盒子的排列顺序无关,从10个不同的盒子中任选7个盒子组合放球是一种放法。因此,所求小球不同放法的种数是7

3

1010C =C =120()种?

3、在∠AOB 的边OA 上有5个点,边OB 上有6个点,加上O 点共12个点,以这12个点为顶点的三角形有_______个。

4、以1,2,3,…,9这几个数中任取4个数,使它们的和为奇数,则共有_______种不同取法。 解 4

4

4

2

2

9544560()C C C C C ---=种

5、已知

567

11710m m m

C C C -=,求8m

C 解 由

567

11710m m m C C C -=得: 2

1252,(6-)!6!7!

654(7-)(6-)65(7-)(6-)1076(8-)

(7-)(6-)

6610

23420

(2)(21)0

2,21(m 5,21)m m m m m m m m m m m m m m m m m m m C m -=

???????????--=

-+=--== =≤=L L L 由知不合题意舍去() 28828m C C ==

6、(1)以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个? (2)以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个? (3)以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个?

7、集合A 中有7个元素,集合B 中有10个元素,集合A ∩B 中有4个元素,集合C 满足 (1)C 有3个元素; (2)C A B ?U ;

(3)C B ≠?I ,C A ≠?I . 求这样的集合C 的个数。

8、在1,2,3,……30个数中,每次取两两不等的三个数,使它们的和为3的倍数, 共有多少种不同的取法? 答案: 1、490 2、31 3、165 4、60 5、解:

6、解:(1)

(2)

(3)58+48=106

7、解:A∪B中有元素7+10-4=13

8、解:把这30个数按除以3后的余数分为三类:A={3,6,9, (30)

B={1,4,7, (28)

C={2,5,8, (29)

(个)

高中数学100个热点问题(三): 排列组合中的常见模型

第80炼 排列组合的常见模型 一、基础知识: (一)处理排列组合问题的常用思路: 1、特殊优先:对于题目中有特殊要求的元素,在考虑步骤时优先安排,然后再去处理无要求的元素。 例如:用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数,共有多少种排法? 解:五位数意味着首位不能是0,所以先处理首位,共有4种选择,而其余数位没有要求, 只需将剩下的元素全排列即可,所以排法总数为44496N A =?=种 2、寻找对立事件:如果一件事从正面入手,考虑的情况较多,则可以考虑该事的对立面,再用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如:在10件产品中,有7件合格品,3件次品。从这10件产品中任意抽出3件,至少有一件次品的情况有多少种 解:如果从正面考虑,则“至少1件次品”包含1件,2件,3件次品的情况,需要进行分类讨论,但如果从对立面想,则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可,列式较为简 单。3310785N C C =-=(种) 3、先取再排(先分组再排列):排列数m n A 是指从n 个元素中取出m 个元素,再将这m 个元素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素,所以此时就要将过程拆分成两个阶段,可先将所需元素取出,然后再进行排列。 例如:从4名男生和3名女生中选3人,分别从事3项不同的工作,若这3人中只有一名女生,则选派方案有多少种。 解:本题由于需要先确定人数的选取,再能进行分配(排列),所以将方案分为两步,第一步:确定选哪些学生,共有2143C C 种可能,然后将选出的三个人进行排列:33A 。所以共有213433108C C A =种方案 (二)排列组合的常见模型 1、捆绑法(整体法):当题目中有“相邻元素”时,则可将相邻元素视为一个整体,与其他元素进行排列,然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如:5个人排队,其中甲乙相邻,共有多少种不同的排法

排列组合题型总结

排列组合题型总结 排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一.直接法、 1. 特殊元素法 例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位,数字6不在千位。 分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择25A ,其余2位有四个可供选择24A ,由乘法原理: 25A 24A =240 2.特殊位置法 (2)当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A , 共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二.间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因 而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ??个,其中0在百位的有 2242?C ?22A 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432 (个) 三.插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方 法? 分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有11019A A ?=100中插 入方法。 四.捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种? 分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法,而男生之间又有44A 种排法,又乘法原理满足条件的排法有:44A ×4 4A =576 练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种(3324A C ) 2. 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校

高中数学排列组合专题

排列组合 一.选择题(共5小题) 1.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有() A.36种B.42种C.50种D.72种 2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有() A.8种 B.10种C.12种D.32种 3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168 4.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中,要求每个盒子至少放1个小球,且小球甲不能放在A盒中,则不同的放法有() A.12种B.24种C.36种D.72种 5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有() A.300种B.240种C.144种D.96种 二.填空题(共3小题) 6.某排有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,则不同的坐法有种. 7.四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种(用数字作答). 8.书架上原来并排放着5本不同的书,现要再插入3本不同的书,那么不同的

插法共有种. 三.解答题(共8小题) 9.一批零件有9个合格品,3个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列10.已知展开式的前三项系数成等差数列. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项. 11.设f(x)=(x2+x﹣1)9(2x+1)6,试求f(x)的展开式中: (1)所有项的系数和; (2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和. 12.求(x2+﹣2)5的展开式中的常数项. 13.求值C n5﹣n+C n+19﹣n. 14.3名男生,4名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的种数.(1)选5名同学排成一行; (2)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (3)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (4)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (5)全体站成一排,男、女各站在一起; (6)全体站成一排,男生必须排在一起; (7)全体站成一排,男生不能排在一起; (8)全体站成一排,男、女生各不相邻; (9)全体站成一排,甲、乙中间必须有2人; (10)全体站成一排,甲必须在乙的右边; (11)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变; (12)排成前后两排,前排3人,后排4人. 15.用1、2、3、4、5、6共6个数字,按要求组成无重复数字的自然数(用排列数表示).

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =??? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = C 14A 34C 13 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

高考专题---总结排列组合题型

总结排列组合题型 一.直接法 1.特殊元素法 例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位,数字6不在千位。 分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择,其余2位有四个可供选择,由乘法原理:=240 2.特殊位置法 (2)当1在千位时余下三位有=60,1不在千位时,千位有种选法,个位有种,余下的有,共有=192所以总共有192+60=252 二.间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法=252 例2 有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又分使用0与使用1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数个,其中0在百位的有个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432(个) 三.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法? 分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有=100中插入方法。 四.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种? 分析:先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法,而男生之间又有种排

法,又乘法原理满足条件的排法有:×=576 练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有种() 2.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有()(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 其余的就是19所学校选28天进行排列) 五.阁板法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种。 分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有种 练习1.(a+b+c+d)15有多少项? 当项中只有一个字母时,有种(即a.b.c.d而指数只有15故。 当项中有2个字母时,有而指数和为15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,即 当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可 当项种4个字母都在时四者都相加即可. 练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里,要求每个盒子内的球数不少编号数,问有多少种不同的方法?() 3.不定方程X 1+X 2 +X 3 +…+X 50 =100中不同的整数解有() 六.平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法? 分析:分出三堆书(a 1,a 2 ),(a 3 ,a 4 ),(a 5 ,a 6 )由顺序不同可以有=6种,而这6种分法只算一 种分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法? 2.某年级6个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。

(完整)高中数学排列组合专题复习

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法 排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有 m种不同的方法,在第2类 1 办法中有 m种不同的方法,…,在第n类办法中有n m种不同的方法,那么2 完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有 m种不同的方法,做第2步 1 有 m种不同的方法,…,做第n步有n m种不同的方法,那么完成这件事共2 有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置.

高中数学排列组合例题

到车间也有7种分依此类推由分步计数原理共有76种不同的排法 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这 两个位置 先排末位共有C 3 然后排首位共有C i 最后排其它位置共有A 3 113 由分步计数原理得 C 4C 3A 4 =288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 ,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内 5 2 2 部进行自排。由分步计数原理可得共有 A 5A 2A ; =480种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素 的位置,没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m n 种 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为 _42_ 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯六. 环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以 从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1 )!种排法即7 ! 要求某几个元素必须排在一起的问题 ,可以用捆绑法来解决问题 ?即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列 ?练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续岀场,则节目的岀场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 Ae 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5A 4 ______ 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 练习 一5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目 ----------- 插入原节目单中, 且两个新 节目不相邻,那么不同插法的种数为 JQ_ 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题 ,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个 元素之间 的全排列数,则共有不同排法种数是: A 7∕A 3 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法,则共有 A :种 方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗 ? — — (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? C 15O 五. 重排问题求幕策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 J-种分法.把第二名实习生分配 排列组合 A 4并 -CKMXxMXXX) ABCDEFGHA D- B E A F H G

高中数学排列组合经典题型全面总结版

高中数学排列与组合 (一)典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题: 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素:我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺.... 序.排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.... 。 说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列(与位置有关) (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号m n A 表示 议一议:“排列”和“排列数”有什么区别和联系? 4、排列数公式推导 探究:从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少?3n A 呢?m A n 呢? )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n (,,m n N m n *∈≤) 说明:公式特征:(1)第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个 因数是1n m -+,共有m 个因数; (2),,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1)410A ; (2)25A ;(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???,那么m = 3.,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A .5079k k A -- B .2979k A - C .3079k A - D .3050k A - 例1. 计算从c b a ,,这三个元素中,取出3个元素的排列数,并写出所有的排列。 5 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中, m = n 全排列数:(1)(2)21!n n A n n n n =--?=(叫做n 的阶乘). 即学即练:口答(用阶乘表示):(1)334A (2)44A (3))!1(-?n n 排列数公式的另一种形式: )! (!m n n A m n -= 另外,我们规定 0! =1 .

(完整版)高中数学排列组合习题精选

1、体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( )种。 2、某公共汽车上有10名乘客,沿途有5个车站,乘客下车的可能方式有( )种 3、(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(各项目冠军都只有一人),共有多少种可能的结果? 4、从集合{1,2,…,10}中任选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为() 5、有4位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( )种。 A .8 B .9 C .10 D .11 6、3人玩传球游戏,由甲开始并做为第一次传球,经过4次传球后,球仍回到甲手中,有多少种不同的传球方式呢? 7、集合A ={a,b,c,d},B={1,2,3,4,5}。(1)从集合A 到集合B 可以建立多少个不同的映射?(2)从集合A 到集合B 的映射中,要求集合A 中元素的象不同,这样的映射有多少个 8、对一个各边长都不相等的凸五边形的各边进行染色,每条边都可以染红、黄、蓝三种不同的颜色,但是不允许相邻相邻的边染相同的颜色,则不同的染色方法共有( )种。 9、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,共有( )种不同的涂色方案。 10、将1,2,3填入3×3的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,如图是一种填法,则不同的填写方法共有 A .6种 B .12种 C .24种 D .48种 11、如图所示的五个区域中,中心区域是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为()A .64B .72C.84 D .96 12、(13山东)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A .243 B .252 C .261 D .279 13、(13福建)满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为( ) A .14 B .13 C .12 D .10 14、(16全国)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意2k m ≤,12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数。若m =4,则不同的“规范01数列”共有(A )18(B )16(C )14 (D )12

高中数学题型总结与易错点提示(排列组合)

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:12n N m m m =+++ 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 12n N m m m =??? 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得11 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 乙 甲丁 丙 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种, 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题:某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法,则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 5 10C 五.重排问题求幂策略 C 1 4 A 3 4 C 1 3 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列. 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插空模型处理

(完整)高中数学排列组合题型总结,推荐文档

2排列组合题型总结 排列组合问题千变万化,解法灵活,条件隐晦,思维抽象,难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时,除做到:排列组合分清,加乘原理辩明,避免重复遗漏外,还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一.直接法 1.特殊元素法 例 1 用 1,2,3,4,5,6 这 6 个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字 1 不排在个位和千位 (2)数字 1 不在个位,数字 6 不在千位。 分析:(1)个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ,其余 2 位有四个可供选择A2 ,由乘法原理: 5 4 A2 A2 =240 5 4 2.特殊位置法 (2)当 1 在千位时余下三位有A3 =60,1 不在千位时,千位有A1 种选法,个位有A1 种,余下 5 4 4 的有A2 ,共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二.间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 例 2 有五张卡片,它的正反面分别写 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三维书? 分析:此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用,且用此卡片又分使用 0 与使用 1,类别较复杂,因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个,其中 0 在百位的 5 3 有C 2 ? 22 ?A2 个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ? 4 2 5 3 4 A2 =432(个) 三.插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。 例 3 在一个含有 8 个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法? 分析:原有的 8 个节目中含有 9 个空档,插入一个节目后,空档变为 10 个,故有A1 ?A1 =100 9 10 中插入方法。 四.捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。 例 4 4 名男生和 3 名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?

高中数学排列组合专题

实用标准 文档大全排列组合 一.选择题(共5小题) 1.甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有() A.36种B.42种C.50种D.72种 2.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有() A.8种B.10种C.12种D.32种 3.某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168 4.现将甲乙丙丁4个不同的小球放入A、B、C三个盒子中,要求每个盒子至少放1个小球,且小球甲不能放在A盒中,则不同的放法有()A.12种B.24种C.36种D.72种 5.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有()

A.300种B.240种C.144种D.96种 二.填空题(共3小题) 6.某排有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,则不同的坐法有 种. 7.四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种(用数字作答). 8.书架上原来并排放着5本不同的书,现要再插入3本不同的书,那么不同的 实用标准 文档大全插法共有种. 三.解答题(共8小题) 9.一批零件有9个合格品,3个不合格品,组装机器时,从中任取一个零件,若取出不合格品不再放回,求在取得合格品前已取出的不合格品数的分布列 10.已知展开式的前三项系数成等差数列. (1)求n的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项. 11.设f(x)=(x2+x﹣1)9(2x+1)6,试求f(x)的展开式中:

高中数学排列组合难题十一种方法

~ 高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2 步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 … 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 两个位置 . 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C / 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443

、 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不 种在两端的花盆里,问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一 个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A 种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有22A 种排法, 再排小集团内部共有2222A A 种排法,由分步计数原理共有222 222A A A 种排法. : 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那 么共有陈列方式的种数为254 254A A A 3. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255 255A A A 种 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种 ( 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种,第二步将4舞蹈插 入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法, 由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种 小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。

(完整版)高中数学排列组合题型总结与易错点提示

排列组合 复习巩固 1. 分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有 mi 种不同的方法,在第 2类办法中有 m 2种不同的方法,…,在第 n 类办法中 有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有: N m i mt L m *种不同的方法. 2. 分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第i 步有种不同的方法,做第 2步有m 2种不同的方法,…,做第 n 步有m n 种不同 的方法,那么完成这件事共有: N m i 讥 L m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置 一 __________________ 先排末位共有C 3 然后排首位共有C : t J J 1 最后排其它位置共有A '1 C 4 ■ 3 A 4 11 C 3 由分步计数原理得 C 4C 3A 4^ 288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法? 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元 5 2 2 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 As A 2A 2 480种不同的排法 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素 一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列 . 练习题:某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续岀场,则节目的岀场顺序有多少种? 5 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有 种A 6不同 的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A :A : ____________________ 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端 练习题:某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中, 且两 个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7 人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题 ,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ,然后用总排列数除以这几个元素 7 3 之间的全排列数,则共有不同排法种数是: A ;/A ; (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A ;种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法,则共有 A ;种 方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? (插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法 定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插 空模型处理

高中数学排列组合难题十一种方法

高考数学排列组合难题解决方法 1. 分类计数原理(加法原理) 完成一件事,有类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,…,在第类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有: N = mi + m2 j + m n 种不同的方法. 2. 分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,…,做第步有种不同的方法,那么完成这件事共有: N = mi江m2汇川X m n 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进 行,确定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得 练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的xx,问有多少不同的种法? 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法 练习题1.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个? 解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有种排法,再排小集团内部共有种排法,由分步计数原理共有种排法. 1524

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合8.排列组合问题的常用方法总结2

1 思维的发掘 能力的飞跃 1.基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法.又称加法原理. ⑴乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =???L 种不同的方法.又称乘法原理. ⑴加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列:一般地,从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.(其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号A m n 表示. 排列数公式:A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ,m n +∈N ,,并且m n ≤. 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由1到n 的连乘积,叫作n 的阶乘,用!n 表示.规定:0!1=. ⑴组合:一般地,从n 个不同元素中,任意取出m ()m n ≤个元素并成一组,叫做从n 个元素中任取知识内容 排列组合问题的常用方法总结2

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