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人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)
人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

必修4第二章平面向量检测

一.选择题:

1.以下说法错误的是( )

A .零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.下列四式不能化简为的是( )

A .+(

B .(M

C .;-+M

D .;

3.已知=(3,4),=(5,12),与 则夹角的余弦为( ) A .

65

63

B .65

C .

513

D .13

4. 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a + 3b | =( )

A .7

B .10

C .13

D .4

5.已知ABCDEF 是正六边形,且?→

?AB =→

a ,?→?AE =→

b ,则?→

?BC =( )

(A )

)(2

1

→-b a (B )

)(2

1

→→-a b (C ) →a +→

b 2

1 (D )

)(2

1→

→+b a

6.设→

a ,→

b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→

?CD =-5→a -3→

b ,则下列关系式中正确的是 ( )

(A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→?BC (C )?→?AD =-?→?BC (D )?→?AD =-2?→

?BC 7.设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e +→2e 与→1e +k →

2e 共线,则k 的值是( )

(A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→

?BD =0,则四边形ABCD 是( )

(A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形

^

9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→

?PN =-2?→

?PM ,则P 点的坐标为( )

(A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 10.已知→

a =(1,2),→

b =(-2,3),且k →

a +→

b 与→

a -k →

b 垂直,则k =( )

(A ) 21±-(B )

12±(C )

32±(D ) 23±

11、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行,其中x R ∈.则a b -=( )

A. 2-或0;

B. 25;

C. 2或25;

D. 2或10. 12、下面给出的关系式中正确的个数是( )

① 00 =?a ②a b b a ?=?③22a a =④)()(c b a c b a ?=?⑤b a b a ?≤? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 二. 填空题

13.若),4,3(=AB A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为 . 14.已知(3,4),(2,3)=-=a b ,则2||3-?=a a b .

15、已知向量)2,1(,3==b a

,且b a ⊥,则a 的坐标是_________________。

16、ΔABC 中,A(1,2),B(3,1),重心G(3,2),则C 点坐标为________________。

17.如果向量 与b 的夹角为θ,那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”, ×b 是一个向量,它的长度| ×b|=| ||b|sin θ,如果| |=4, |b|=3, ·b=-2,则| ×b|=____________。 三. 解答题

18、设平面三点A (1,0),B (0,1),C (2,5).(1)试求向量2AB +AC 的模;(2)试求向量AB 与

AC 的夹角;(3)试求与BC 垂直的单位向量的坐标.

|

19.已知向量 = , 求向量b ,使|b|=2| |,并且 与b 的夹角为 。

20.已知平面向量).2

3

,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数

k 和t,使

.,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且(1)试求函数关系式k =f (t )(2)求使f (t )>0的t 的取值范围.

$

21.如图,=(6,1), ,且。

(1)求x与y间的关系;(2)若,求x与y的值及四边形ABCD的面积。

{

22.已知向量a、b是两个非零向量,当a+t b(t∈R)的模取最小值时,

(1)求t的值(2)已知a、b共线同向时,求证b与a+t b垂直

必修4第二章平面向量检测参考答案

一、

选择题:1C 、2C 、3A 、4C 、5D 、6B 、7C 、8B 、9D 、10A 、11C 、12C 、

二. 填空题

13 (1,3) .14 28 15 ( , )或(

, ) :

16 (5,3) 17 235

三. 解答题:

18、 (1)∵ AB =(0-1,1-0)=(-1,1),AC =(2-1,5-0)=(1,5). ∴ 2AB +AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7)∴ |2AB +AC |=227)1(+-=50. (2)∵ |AB |=221)1(+-=2.|AC |=2251+=26,AB ·AC =(-1)×1+1×5=4. ∴ cos θ =

|

|||AC AB AC AB ?=

26

24?=

13

13

2. (3)设所求向量为m =(x ,y ),则x2+y2=1. ①

又 BC =(2-0,5-1)=(2,4),由BC ⊥m ,得2 x +4 y =0. ②

由①、②,得???????-==.55552y x 或???

????==.

-555

5

2y x ∴ (552,-55)或(-552,55)即为所求.

19.由题设

, 设 b=

, 则由

,得

. ∴

,

解得 sin α=1或

当sin α=1时,cos α=0;当 时, 。

故所求的向量

555535565

53-

20.解:(1).0)(])3[(.0,2

=+-?-+=?∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).

3(41

,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===?t t k t t k b a b a 即

(2)由f(t)>0,得.

303,0)3()3(,0)3(412

><<-->+>-t t t t t t t 或则即 21.解:(1)∵ ,

∴ 由 ,得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.

(2) 由

=(6+x, 1+y),

∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0, 又x+2y=0, ∴

∴当 时, , 当 时, 。

故 同向,

22.解:(1)由2222||2||)(a bt a t b tb a +?+=+ 当的夹角)与是b a b a b b a t αα(cos |||

|||222

-=?-

=时a+tb(t ∈R)的模取最小值

(2)当a 、b 共线同向时,则0=α,此时|

||

|b a t -

= ∴0||||||||||||)(2=-=-?=+?=+?b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )

数学必修4_第二章_平面向量知识点word版本

数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量:既有大小又有方向的量。 2. 向量的模:向量的大小即向量的模(长度),如,AB a uu r r 的模分别记作|AB u u u r |和||a r 。 注:向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量:长度为0的向量,记为0r ,其方向是任意的,0r 与任意向量平行, 零向量a =0r |a |=0。由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别) (2)单位向量:模为1个单位长度的向量,向量0a 为单位向量0||1a u u r 。将一个 向量除以它的模即得到单位向量,如a r 的单位向量为: ||a a e a r r r (3)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定:0r 与任何向量平等, 任意一组平行向量都可以移到同一直线上,由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 (4)相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量。记作a r 。 关于相反向量有:① 零向量的相反向量仍是零向量, ②)(a =a ; ③ ()0a a v v v ; ④若a 、b 是互为相反向量,则 a = b ,b =a ,a +b =0 。

数学必修4平面向量综合练习题答案

一、选择题【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若a··c且a≠0,则 C. D.若b⊥c,则()··b 参考答案与解析:解析:A中两向量的夹角不确定中若a⊥⊥与c反方向则不成立中应为中b⊥·0,所以()····b. 答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、设e是单位向量222,则四边形是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形参考答案与解析:解析:,所以,且∥,所以四边形是平行四边形.又因为2,所以四边形是菱形. 答案:B 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知1,a与b的夹角为90°,且2a3b,4b,若c⊥d,则实数k的值为( ) A.6 6 C.3 3 参考答案与解析:解析:∵c⊥d,∴c·(23b)·(4b)=0,即212=0,∴6. 答案:A 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、设0≤θ<2π,已知两个向量=(θ,θ)(2θ,2θ),则向量长度的最大值是( )

A. B. C. D. 参考答案与解析:解析:=(2θθ,2θθ), 所以≤=. 答案:C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、设向量(13),(-2,4),(-12),若表示向量4a、4b-2c、2()、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(26) D.(-26) 参考答案与解析:解析:依题意,4422()0,所以644(-2,-6). 答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 6、已知向量(3,4),(-3,1),a与b的夹角为θ,则θ等于( ) A. C.3 3 参考答案与解析:解析:由已知得a·3×(-3)+4×15,5,, 所以θ=. 由于θ∈[0,π], 所以θ=. 所以θ 3. 答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示

高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳

平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章平面向量 16、向量:既有大小,又有方向得量、数量:只有大小,没有方向得量、 有向线段得三要素:起点、方向、长度、零向量:长度为得向量、 单位向量:长度等于个单位得向量、 平行向量(共线向量):方向相同或相反得非零向量、零向量与任一向量平行、 相等向量:长度相等且方向相同得向量、 17、向量加法运算: ⑴三角形法则得特点:首尾相连、 ⑵平行四边形法则得特点:共起点、 ⑶三角形不等式:、 ⑷运算性质:①交换律:; ②结合律:;③、 ⑸坐标运算:设,,则、 18、向量减法运算: ⑴三角形法则得特点:共起点,连终点,方向指向被减向量、 ⑵坐标运算:设,,则、 设、两点得坐标分别为,,则、 19、向量数乘运算: ⑴实数与向量得积就就是一个向量得运算叫做向量得数乘,记作、 ①; ②当时,得方向与得方向相同;当时,得方向与得方向相反;当时,、 ⑵运算律:①;②;③、 ⑶坐标运算:设,则、 20、向量共线定理:向量与共线,当且仅当有唯一一个实数,使、 设,,其中,则当且仅当时,向量、共线、 21、平面向量基本定理:如果、就就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任意向量,有且只有一对实数、,使、(不共线得向量、作为这一平面内所有向量得一组基底) 22、分点坐标公式:设点就就是线段上得一点,、得坐标分别就就是,,当时,点得坐标就就是、(当 23、平面向量得数量积: ⑴、零向量与任一向量得数量积为、 ⑵性质:设与都就就是非零向量,则①、②当与同向时,;当与反向时,;或、③、 ⑶运算律:①;②;③、 ⑷坐标运算:设两个非零向量,,则、 若,则,或、设,,则、 设、都就就是非零向量,,,就就是与得夹角,则、 第三章三角恒等变换 24、两角与与差得正弦、余弦与正切公式: ⑴;⑵; ⑶;⑷; ⑸(); ⑹()、 25、二倍角得正弦、余弦与正切公式:

高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案

一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知=(2,3), b=(-4,7),则在b上的投影为()。 A、B、C、D、 3.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量=(-1,-1)平移后得 向量为()。 A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是()。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5.已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°,则| +b|等于()。A、B、C、D、 6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。 A、B、 C、D、 7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题:(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2

(4)(b ) -( a )b 与 不一定垂直。其中真命题的个数是( )。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9.在ΔABC 中,A=60°,b=1, ,则 等 于( )。 A 、 B 、 C 、 D 、 10.设 、b 不共线,则关于x 的方程 x 2+b x+ =0的解的情况是( )。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.). 11.在等腰直角三角形ABC 中,斜边AC=22,则CA AB =_________ 12.已知ABCDEF 为正六边形,且AC =a ,AD =b ,则用a ,b 表示AB 为______. 13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14.如果向量 与b 的夹角为θ,那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”, ×b 是一个向量,它的长度| ×b |=| ||b |sin θ,如果| |=3, |b |=2, ·b =-2,则| ×b |=______。 三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.) 15.已知向量 = , 求向量b ,使|b |=2| |,并且 与b 的夹角 为 。(10分)

高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,-1), c =(-1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知,A (2,3),B (-4,5),则与共线的单位向量是 ( ) A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 ( ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2,1), =(1,7), =(5,1),设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点),那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b -a)y -a=0和ax+4by+b=0的方向向量,则 a, b 的值分别可以是 ( ) A 、 -1 ,2 B 、 -2 ,1 C 、 1 ,2 D 、 2,1 6、若向量a =(cos α,sin β),b =(cos α ,sin β ),则a 与b 一定满足 ( ) A 、a 与b 的夹角等于α-β B 、(a +b )⊥(a -b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴,y 轴正方向上的单位向量,j i θθsin 3cos 3+=,i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角,则 等于 ( ) A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤,已知两个向量()θθsin ,cos 1=,()θθcos 2,sin 22-+=OP ,则向量21P P 长度的最大值是 ( ) A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2,0),B(4,0),动点P 在抛物线y 2=-4x 运动,则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标

高中数学必修4平面向量教案

科组长签字:

高中数学必修4 平面向量 基本知识回顾: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示-----AB u u u r (几何表示法); ②用字母a r 、b r 等表示(字母表示法); ③平面向量的坐标表示(坐标表示法): 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底。任作一个向量a ,由平 面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得a xi yj r r ,),(y x 叫做向量a 的(直 角)坐标,记作(,)a x y r ,其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标, 特 别地,i r (1,0) ,j r (0,1) ,0(0,0) r 。a r ),(11y x A ,),(22y x B ,则 1212,y y x x , AB 3.零向量、单位向量: ①长度为0的向量叫零向量,记为0; ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.| |a 就是单位向量) 4.平行向量: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行,记作a r ∥b r ∥c r .共线向量与平行向量 关系:平行向量就是共线向量. 性质://(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一)||b a b a a b u r r u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度--- 1221//(0)0a b b x y x y r u r r r (其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r ) 5.相等向量和垂直向量: ①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2 性质:0a b a b r u r r r g

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标: 三维目标 1、知识与技能 (1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示; (2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念; 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 (3)通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课,概念与知识点较多,在对学生进行适当的引导之后,应让学生清清楚楚得明白其概念,这是学生进一步获取向量知识的前提;通过学生主动地参与到课堂教学中,提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下,学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较,培养学生认识客观事物的数学本质的能力,并且意识到数学与现实生活是密不可分的,是源于生活,用于生活的。 教学重点:理解向量、相等向量等相关的概念,向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点:难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几何背景及代数意义,因此向量具有数形结合的特征,是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具,在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容,本节课是向量的第一节课,是新知识的一个起点,所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是:概念多,有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中,诸多概念容易混淆,它们之间关系不易理清,这些是学习中的难点。 教法设计:引导启发式教学 学法设计:指导学生自主学习 课时计划:一课时 教具学具:多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度,位移等都是矢量,不同与路程、质量等量,他们具有什么样的共同特征?………(学生讨论作答) 2.你能举出几个具有以上特征的量吗?年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗?(学生思考作答) 3.在数学上,我们把具有这种特征的量称为向量,(教师在黑板上书写课题,然后大屏幕展示课题,学生阅读课本P74) 二、推进新课 1.定义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度等。 注意:1?数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又 有大小,不能比较大小(强调)。 2.向量的表示方法: 1?几何表示法:有向线段——具有一定方向的线段

北师大必修4《平面向量》测试题及答案

北师大必修4《平面向量》测试题及答案 一、选择题 1.若三点P (1,1),A (2,-4),B (x,-9)共线,则( ) A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是( ) A.(-5k,4k ) B.(- k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43 ,则A 分所成的比是( ) A. 7 3 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ,a ·a =-40,|a |=10,|b |=8,则向量a 与b 的夹角为 ( ) A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a |=4,|b |=5,则向量a ·b =( ) A.103 B.-103 C.102 D.10 6.已知a =(3,0),b =(-5,5),则a 与b 的夹角为( ) A. 4 π B. 4 3π C. 3 π D.32π 7.已知向量a =(3,4),b =(2,-1),如果向量a +x ·b 与b 垂直,则x 的值 为( ) A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1) 9.设四边形ABCD 中,有=2 1 ,且||=||,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形

10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为() A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后,得到y=x2的图像,则a等于() A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是() A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1),向量b与a共线且b与a同向,b的模为25,则b= 。 14.已知:|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,要使λb-a垂直,则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·b= 。 16.在菱形ABCD中,(AB+AD)·(AB-AD)= 。 三、解答题 17.如图,ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB 的中点,已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版

§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示;②用字母a、b(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段的起点与终点字母:; ④向量的大小――长度称为向量的模,记作||. 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念: ①长度为0的向量叫零向量,记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行. 说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a∥b∥c. 6、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段..... 的起点无关..... . 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的......起点无关)..... . 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B (终点) a

北师版高一数学必修四平面向量测试题及答案

第二章平面向量测试题 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知=(2,3), b=(-4,7),则在b上的投影为()。 A、 B、C、D、 5.已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°,则| +b|等于()。A、 B、 C、 D、 6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。 A、 B、 C、 D、 7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题:(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是()。 A、1 B、2 C、3 D、4 9.在ΔABC中,A=60°,b=1,,则等于()。

A 、 B 、 C 、 D 、 10.设 、b 不共线,则关于x 的方程 x 2 +b x+ =0的解的情况是( )。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.). 11.在等腰直角三角形ABC 中,斜边AC=22,则CA AB =_________ 12.已知ABCDEF 为正六边形,且AC =a ,AD =b ,则用a ,b 表示AB 为______. 13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为 的小船要从河的一边驶 向对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14.如果向量 与b 的夹角为θ,那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向量积”, ×b 是一个向量,它的长度| ×b |=| ||b |sin θ,如果| |=3, |b |=2, ·b =-2,则| ×b |=______。 三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.) 15.已知向量 = , 求向量b ,使|b |=2| |,并且 与b 的夹角 为 。(10分) 16、已知平面上3个向量 、b 、 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。 (1) 求证:( -b )⊥ ;

高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义

平面向量公式 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律: 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ>0时,λa与a同方向; 当λ<0时,λa与a反方向; 当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律:①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积 定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a(交换律);

高中数学必修四平面向量测试题及答案

高中数学必修四平面向量测试题 一、选择题: (本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设点P(3,-6),Q(-5,2),R的纵坐标为-9,且P、Q、R三点共线,则R点的横坐标为()。 A、-9 B、-6 C、9 D、6 2.已知=(2,3), b=(-4,7),则在b上的投影为()。 A、 B、C、D、 3.设点A(1,2),B(3,5),将向量按向量=(-1,-1)平移后得 向量为()。 A、(2,3) B、(1,2) C、(3,4) D、(4,7)4.若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA=sinBcosC,那么ΔABC是()。 A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形5.已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°,则| +b|等于()。 A、 B、 C、 D、 6.已知O、A、B为平面上三点,点C分有向线段所成的比为2,则()。 A、 B、 C、 D、 7.O是ΔABC所在平面上一点,且满足条件,则点O是ΔABC的()。 A、重心 B、垂心 C、内心 D、外心 8.设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线,则下列4个命题:(1)( ·b)2= 2·b2(2)| +b|≥| -b| (3)| +b|2=( +b)2 (4)(b) -(a)b与不一定垂直。其中真命题的个数是()。 A、1 B、2 C、3 D、4

9.在ΔABC 中,A=60°,b=1, ,则 等 于( )。 A 、 B 、 C 、 D 、 10.设 、b 不共线,则关于x 的方程 x 2 +b x+ =0的解的情况是( )。 A 、至少有一个实数解 B 、至多只有一个实数解 C 、至多有两个实数解 D 、可能有无数个实数解 二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.). 11.在等腰直角三角形ABC 中,斜边AC=22,则CA AB =_________ 12.已知ABCDEF 为正六边形,且AC =a ,AD =b ,则用a ,b 表示AB 为______. 13.有一两岸平行的河流,水速为1,速度为 的小船要从河的一边驶向 对岸,为使所行路程最短,小船应朝________方向行驶。 14.如果向量 与b 的夹角为θ,那么我们称 ×b 为向量 与b 的“向 量积”, ×b 是一个向量,它的长度| ×b |=| ||b |sin θ,如果| |=3, |b |=2, ·b =-2,则| ×b |=______。 三、解答题:(本大题共4小题,满分44分.) 15.已知向量 = , 求向量b ,使|b |=2| |,并且 与b 的夹 角为 。(10分) 16、已知平面上3个向量 、b 、 的模均为1,它们相互之间的夹角均

必修4平面向量知识要点

必修4平面向量知识要点 1、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 2、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+; ②结合律:()() a b c a b c ++=++;③00a a a +=+=. ⑸坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++. 3、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--. 4、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ① a a λλ=; ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当 0λ=时,0a λ=. ⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③() a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==. 5、向量共线定理:向量() 0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=. 设()11,a x y =,()22,b x y =, 其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠共线. 6、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+.(不共线的向量1e 、2e 作 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学必修4知识点总结:第二章 平面向量

高中数学必修4知识点总结 第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为0的向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+ . ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ; ②结合律:()() a b c a b c ++=++ ;③00a a a +=+= . ⑸坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y +=++ . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y = ,()22,b x y = ,则()1212,a b x x y y -=-- . 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1 212 ,x x y y A B=-- . 19、向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ . ①a a λλ= ; ②当0λ>时,a λ 的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ 的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ= . ⑵运算律:①()()a a λμλμ= ;②()a a a λμλμ+=+ ;③() a b a b λλλ+=+ . ⑶坐标运算:设(),a x y = ,则()(),,a x y x y λλλλ== . 20、向量共线定理:向量() 0a a ≠ 与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= . 设()11,a x y = ,()22,b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠ 共线. 21、平面向量基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版93323

高中数学必修4第二章平面向量教案(12课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本章中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发,抽象出向量的概念,并说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的一些基本概念. (让学生对整章有个初步的、全面的了解.) 第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标: 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法:本节是本章的入门课,概念较多,但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念,结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具:多媒体或实物投影仪,尺规 授课类型:新授课 教学思路: 一、情景设置: 如图,老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,设问:猫能否 追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析:老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D

(完整版)必修4平面向量单元测试题

必修4第二章平面向量单元测试(一) 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.在矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若15e =,23e =,则=OC ( ) A .)352 121e e +( B .)352121e e -( C .)532 112e e -( D .)352 112e e -( 2.对于菱形ABCD ,给出下列各式: ①= ②||||= ③||||+=- ④222||4||||=+ 其中正确的个数为 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3 ABCD 中,设=,=,=,=,则下列等式中不正确的是( ) A .=+ B .=- C .=- D .=- 4.已知向量与反向,下列等式中成立的是 ( ) A .||||||-=- B .||||-=+ C .||||||b a b a -=+ D .||||||b a b a +=+ 5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个点的坐标为( ) A .(1,5)或(5,-5) B .(1,5)或(-3,-5) C .(5,-5)或(-3,-5) D .(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 6.与向量)5,12(d =平行的单位向量为 ( ) A .)5,13 12 ( B .)135,1312(-- C .)135,1312( 或 )135,1312(-- D .)13 5,1312(±± 7.若32041||-= -,4||=,5||=,则与的数量积为 ( )

A .103 B .-103 C .102 D .10 8.若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转 4 π 得到向量,则的坐标为 ( ) A.)223,22(-- B .)223,22( C .)22,223(- D .)2 2 ,223( - 9.设R k ∈,下列向量中,与向量)1,1(-=一定不平行的向量是 ( ) A .),(k k b = B .),(k k c --= C .)1,1(22++=k k d D .)1,1(22--=k k e 10.已知10||=,12||=,且36)5 1 )(3(-=,则与的夹角为 ( ) A .0 60 B .0120 C .0 135 D .0 150 二、填空题(每小题4分,共16分) 11.非零向量,满足||||||+==,则,的夹角为 . 12.在四边形ABCD 中,若=,=,且||||-=+,则四边形ABCD 的形状是__ 13.已知)2,3(=,)1,2(-=,若b a +λ与b a λ+平行,则=λ . 14.已知为单位向量,4||=a ,与的夹角为 π3 2 ,则在方向上的投影为 . 三、解答题(每题14分,共84分) 15.已知非零向量a ,b 满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥. 16.已知在ABC ?中,)3,2(=,),1(k =,且ABC ?中C ∠为直角,求k 的值.

人教版高中数学必修四练习第二章《平面向量》质量评估

章末质量评估(二) 平面向量 (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2012·江油市测试)若四边形ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 ( ). A.AB →与CD → 共线 B.AC →与BD → 相等 C.AD →与CB → 模相等,方向相反 D.AB →与CD → 模相等 解析 ∵四边形ABCD 是矩形,∴AB →=DC →,故A ,D 正确;AC =BD 但AC → 与BD →的方向不同,故B 不正确;AD =CB 且AD ∥CB ,AD →与CB → 的方向相反,故C 正确. 答案 B 2.已知两点A (2,-1),B (3,1),与AB → 平行且方向相反的向量a 可能是( ). A .a =(1,-2) B.a =(9,3) C .a =(-1,2) D.a =(-4,-8) 解析 ∵AB →=(1,2),∴a =(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB → ,∴D 正确. 答案 D 3.已知向量a ,b 不共线,实数x ,y 满足(3x -4y )a +(2x -3y )·b =6a +3b ,则x -y 的值为( ). A .3 B.-3

C .0 D.2 解析 由原式可得????? 3x -4y =6,2x -3y =3,解得????? x =6, y =3.∴x -y =3. 答案 A 4.向量BA →=(4,-3),向量BC → =(2,-4),则△ABC 的形状为( ). A .等腰非直角三角形 B.等边三角形 C .直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析 ∵AC →=BC →-BA → =(-2,-1), ∴AC →·BC →=-2×2+(-1)×(-4)=0,∴AC →⊥BC →. 又|AC →|≠|B C →|, ∴△ABC 是直角非等腰三角形. 答案 C 5.(2012·丰台测试)如图,在四边形ABCD 中,下列各式中成立的是( ). A.BC →-BD →=CD → B.CD →+DA →=AC → C.CB →+AD →+BA →=CD → D.AB →+AC →=BD →+DC → 解析 BC →-BD →=BC →+DB →=DC →,故A 错误;CD →+DA →=CA →,故B 错误;CB → +AD →+BA →=CB →+BA →+AD →=CA →+AD →=CD →,故C 正确;BD →+DC →=BC →≠AB →+AC → ,故D 错误. 答案 C

必修4第二章平面向量教学质量检测

必修4第二章平面向量教学质量检测 姓名: 班级: 学号: 得分: 1.在四边形ABCD 中,2AB =+a b ,4BC =--a b ,53CD =--a b ,则四边形ABCD 是( ). A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 2、若向量(1,1)a =,(1,1)b =-,(1,2)c =-,则c 等于 ( B ) A 、1322a b -+ B 、1322a b - C 、3122a b - D 、31 22 a b -+ 3.若向量a 与b 不共线,0?≠a b ,且()() ??=- ?a a b c a a b ,则向量a 与c 的夹角为( ). A. π 2 B. π6 C. π3 D.0 4.设i ,j 是互相垂直的单位向量,向量(1)3m =+-a i j ,(1)m =+-b i j , ()()+⊥-a b a b ,则实数m 为( ). A.2- B.2 C.2 1 - D.不存在 5.已知向量与反向,下列等式中成立的是 ( ) A .||||||-=- B .||||-=+ C .||||||-=+ D .||||||+=+ 6.点P 为△ABC 所在平面内任一点,且PA +PB +PC =AB ,则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在AB 边上或其延长线上 D.P 在AC 边上 7.下列各组向量中:①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③ )3,2(1-=e )4 3 ,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( ) A .① B .①③ C .②③ D .①②③ 8.已知O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 cos cos AB AC OP OA AB C AC B λ?? ?=++ ??? ,[)0,λ∈+∞, 则点P 的轨迹一定通过ABC ?的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心

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