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概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387

概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387
概率论与数理统计知识点总结(完整超详细版)35387

《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2.样本空间、随机事件

1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生

B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生

B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生

B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生

φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的

且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件

2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=?

结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B —

§3.频率与概率

定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事

件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率

概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件:

(1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1

)S (=P

(3)可列可加性:设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,有∑===n

k k

n

k k

A P A P 1

1

)()( (n 可

以取∞)

2.概率的一些重要性质: (i ) 0)(=φP

(ii )若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件,则有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()(

(n 可以取∞)

(iii )设A ,B 是两个事件若B A ?,则)()()(A P B P A B P -=-,)A ()B (P P ≥ (iv )对于任意事件A ,1)(≤A P

(v ))(1)(A P A P -= (逆事件的概率)

(vi )对于任意事件A ,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

§4等可能概型(古典概型)

等可能概型:试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件

A

包含

k

个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里

个不同的数,则有

中某,是,,k k n 2,1i i i ,21 ()

中基本事件的总数

包含的基本事件数

S }{)(1

j A n k e P A P k

j i ==

=∑= §5.条件概率

(1) 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)

()

()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率

(2) 条件概率符合概率定义中的三个条件

1。

非负性:对于某一事件B ,有0)|(≥A B P

2。规范性:对于必然事件S ,1)|(=A S P

3可列可加性:设 ,,21B B 是两两互不相容的事件,则有

∑∞

=∞==1

1

)()(i i i i A B P A B P

(3) 乘法定理 设0)(>A P ,则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式

(4) 全概率公式: ∑==

n

i i

i

B A P B P A P 1

)|()()(

贝叶斯公式: ∑==

n

i i

i

k k k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

§6.独立性

定义 设A ,B 是两事件,如果满足等式)()()(B P A P AB P =,则称事件A,B 相互独立 定理一 设A ,B 是两事件,且0)(>A P ,若A ,B 相互独立,则()B P A B P =)|( 定理二 若事件A 和B 相互独立,则下列各对事件也相互独立:A 与—

与,与,B A B A B

第二章 随机变量及其分布

§1随机变量

定义 设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数,称X(e)X =为随机变量

§2离散性随机变量及其分布律

1. 离散随机变量:有些随机变量,它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个,这种随

机变量称为离散型随机变量

k k )(p x X P ==满足如下两个条件(1)0k ≥p ,(2)∑∞

=1

k k P =1

2. 三种重要的离散型随机变量

(1)分布

设随机变量

X

只能取

1

两个值,它的分布律是

)101,0k p -1p )k (k

-1k <<===p X P (,)(,则称X 服从以p 为参数的

分布或两

点分布。

(2)伯努利实验、二项分布

设实验E 只有两个可能结果:A 与—

A ,则称E 为伯努利实验.设1)p 0p P(A)<<=(,此时p -1)A P(=—

.将E 独立重复的进行n 次,则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。

n 2,1,0k q p k n )k X (k

-n k ,

,=???

? ??==P 满足条件(1)0k ≥p ,(2)∑∞

=1k k P =1注意到

k -n k q p k n ?

??

? ??是二项式n

q p )(+的展开式中出现k p 的那一项,我们称随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布。 (3)泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为

,2,1,0,k!

e )k X (-k ==

=k P λ

λ其中0>λ是常数,则称X 服从参数为λ的泊松分布记为

(λπ~X §3随机变量的分布函数

定义 设X 是一个随机变量,x 是任意实数,函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数

分布函数)()(x X P x F ≤=,具有以下性质(1) )(x F 是一个不减函数 (2)

1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤F F x F ,且 (3)是右连续的即)(),()0(x F x F x F =+

§4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量:如果对于随机变量X 的分布函数F (x ),存在非负可积函数)(x f ,使对于任意函数x 有,dt t f )x (F x

-?

=

)(则称x 为连续性随机变量,其中函数f(x)称为X 的

概率密度函数,简称概率密度

1 概率密度)(x f 具有以下性质,满足(1)1)(

(2) ,0)(-=≥?

+∞

dx x f x f ;

(3)?

=

≤≤2

1

)()(21x x dx x f x X x P ;

(4)若)(x f 在点x 处连续,则有=)(F x ,

)(x f 2,三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

若连续性随机变量X 具有概率密度?????<<=,其他

,0a a -b 1)(b

x x f ,则成X 在区间(a,b)上服

从均匀分布.记为),(b a U ~X

(2)指数分布

若连续性随机变量X 的概率密度为?????>=,其他

,0

0.e

1)(x -x x f θθ

其中0>θ为常数,则称X

服从参数为

θ的指数分布。

(3)正态分布 若连续

X

,)

∞<<∞=

--

x e

x f x -21)(2

2

2(σμσ

πσμσσμ,服从参数为为常数,则称(,其中X )0>的正态分布或高斯分布,记为

,(2N ~X σμ 特别,当10==σμ,时称随机变量X 服从标准正态分布

§5随机变量的函数的分布

定理 设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ,又设函数)(x g 处处可导且恒有

0)(,>x g ,则

Y=)(X g 是连续型随机变量,其概率密度为

[]?

?

?<<=其他,0,)()()(,β

αy y h y h f y f X Y 第三章 多维随机变量

§1二维随机变量

定义 设E 是一个随机试验,它的样本空间是X(e)X {e}.S ==和Y(e)Y =是定义在S 上的随机变量,称X(e)X =为随机变量,由它们构成的一个向量(X ,Y )叫做二维随机变量

设(X ,Y )是二维随机变量,对于任意实数x ,y ,二元函数

y}Y x P{X y)}(Y x)P{(X y x F ≤≤≤?≤=,记成),(称为二维随机变量(X ,Y )的分

布函数

如果二维随机变量(X ,Y )全部可能取到的值是有限对或可列无限多对,则称(X ,Y )是离散型的随机变量。

我们称 ,

,,,2,1j i )y Y (ij j i ====p x X P 为二维离散型随机变量(X ,Y )的分布律。

对于二维随机变量(X ,Y )的分布函数),(y x F ,如果存在非负可积函数f (x ,y ),

使对于任意x ,y 有,),()

,(??

∞∞

=y -x

-dudv v u f y x F 则称(X ,Y )是连续性的随机变量,

函数f (x ,y )称为随机变量(X ,Y )的概率密度,或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度。

§2边缘分布

二维随机变量(X ,Y )作为一个整体,具有分布函数),(y x F .而X 和Y 都是随机

变量,各自也有分布函数,将他们分别记为

((y ),x F X Y F ,依次称为二维随机变量(X ,Y )关于X 和关于Y 的边缘分布函数。 ,,2,1i }x P{X p 1

j i ij i ====∑∞=?p ,,2,1j }

y P{Y p 1

i i ij ====∑∞

=?j p 分别称?i p j p ?为(X ,Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律。

?∞∞

-=dy y x f x f X ),()( ?∞

-=dx y x f y f Y ),()(分别称)(x f X ,

)(y f Y 为X ,Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

§3条件分布

定义 设(X ,Y )是二维离散型随机变量,对于固定的j ,若,0}{>=j y Y P 则称 ,2,1,}

{}

,{}{==

====

==?i p p y Y P y Y x X P y Y x X P j

ij j j i j i 为在j y Y =条件下

随机变量X 的条件分布律,同样

,2,1,}

{},{}{==

======?

j p p x X P y Y x X P X X y Y P i ij i j i i j 为在i x X =条件下随机变量X 的条件分布律。

设二维离散型随机变量(X ,Y )的概率密度为),(y x f ,(X ,Y )关于Y 的边缘概率密度为)(y f Y ,若对于固定的y ,)(y f Y 〉0,则称

)

()

,(y f y x f Y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度,记为)(y x f Y X =

)

()

,(y f y x f Y §4相互独立的随机变量

定义 设),(y x F 及)(F x X ,)(F y Y 分别是二维离散型随机变量(X ,Y )的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有y}}P{Y {},{≤≤===x X P y Y x X P ,即

(y))F (F },{F Y X x y x =,则称随机变量X 和Y 是相互独立的。

对于二维正态随机变量(X ,Y ),X 和Y 相互独立的充要条件是参数0=ρ

§5两个随机变量的函数的分布

1,Z=X+Y 的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度),(y x f .则Z=X+Y 仍为连续性随机变量,其概率密度为

?∞∞

-+-=dy y y z f z f Y X ),()(或?∞

-+-=dx x z x f z f Y X ),()(

又若X 和Y 相互独立,设(X ,Y )关于X ,Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则

?∞∞

-+-=dy f y z f z f Y X Y X y)()(() 和?

-+-=dx x z f x f z f Y X Y X )(()()这两个公式称为Y X f f ,的卷积公式

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2,的分布的分布、XY Z X

Y

Z ==

设(X,Y)是二维连续型随机变量,它具有概率密度),(y x f ,则XY Z X

Y

Z ==, 仍为连续性随机变量其概率密度分别为

dx xz x f x z f X Y ),()(?∞∞

-=dx x

z

x f x z f XY ),(1)(?

-=又若X 和Y 相互独立,设(X ,Y )关于X ,Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则可化为dx xz f x f z f Y X X Y

?

-=)()()( dx x

z

f x f x z f Y XY )()(1)(X ?

-= 3的分布及,},m in{N Y }{X m ax Y X M ==

设X ,Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为)(),(y F x F Y X 由于

Y}{X max ,=M 不大于z 等价于X 和Y 都不大于z 故有z}Y z,P{X z}P{M ≤≤=≤又

由于X 和Y 相互独立,得到Y}{X max ,=M 的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =

},min{N Y X =的分布函数为[][])(1)(11)(min z F z F z F Y X ---=

第四章 随机变量的数字特征

§1.数学期望

定义 设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{,k=1,2,…若级数

∑∞

=1

k k k

p x

绝对

收敛,则称级数

∑∞

=1

k k k

p x

的和为随机变量X 的数学期望,记为)(X E ,即∑=i

k

k p x X E )(

设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ,若积分

?

-dx x xf )(绝对收敛,则称积分

?

-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望,记为)(X E ,即?+∞∞

-=dx x xf X E )()(

定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)

(i )如果X 是离散型随机变量,它的分布律为k p X P ==}x {k ,k=1,2,…若

k

k k

p x g ∑∞

=1

()

绝对收敛则有=)Y (E =

))((X g E k

k k

p x g ∑∞

=1

()

(ii )如果X 是连续型随机变量,它的分概率密度为)(x f ,若?

-dx x f x g )()(绝对收敛则

有=)Y (E =

))((X g E ?

-dx x f x g )()(

数学期望的几个重要性质 1设C 是常数,则有C C E =)(

2设X 是随机变量,C 是常数,则有)()(X CE CX E = 3设X,Y 是两个随机变量,则有)()()(Y E X E Y X E +=+; 4设X ,Y 是相互独立的随机变量,则有)()()(Y E X E XY E =

§2方差

定义 设X 是一个随机变量,若[]})({2

X E X E -存在,则称[]})({2

X E X E -为X 的方差,

记为D (x )即D (x )=[]})({2

X E X E -,在应用上还引入量)(x D ,记为)(x σ,称为标

准差或均方差。

222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=

方差的几个重要性质

1设C 是常数,则有 ,0)(=C D

2设X 是随机变量,C 是常数,则有)(C )(2

X D CX D =,D(X))(=+C X D

3设X,Y 是两个随机变量,则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别,若X,Y 相互独立,则有)()()(Y D X D Y X D +=+

40)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X),即1)}({==X E X P

切比雪夫不等式:设随机变量X 具有数学期望2

)(σ=X E ,则对于任意正数ε,不等式

22

}-X P{εσεμ≤≥成立

§3协方差及相关系数

定义 量)]}()][({[Y E Y X E X E --称为随机变量X 与Y 的协方差为),(Y X Cov ,即

)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=

而D(Y)

D(X)Y X (XY ),Cov =

ρ称为随机变量X 和Y 的相关系数

对于任意两个随机变量X 和Y ,),(2)()()_(Y X Cov Y D X D Y X D -

+

+=+

协方差具有下述性质

1),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov == 2),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ 定理 1 1≤XY ρ

2 1=XY ρ的充要条件是,存在常数a,b 使1}{=+=bx a Y P

=XY ρ0时,称X 和Y 不相关

附:几种常用的概率分布表

第五章 大数定律与中心极限定理

§1. 大数定律

弱大数定理(辛欣大数定理) 设X 1,X 2…是相互独立,服从统一分布的随机变量序列,并

具有数学期望),2,1()( ==k X E k μ.作前n 个变量的算术平均∑=n

k k X n 1

1,则对于任意

0>ε,有1}1{lim 1

=<-∑=∞→εμn

k k n X n P

定义 设 n Y Y Y ,,21是一个随机变量序列,a 是一个常数,若对于任意正数ε,有

1}{lim =<-∞

→εa Y P n n ,则称序列 n Y Y Y ,,21依概率收敛于a ,记为a Y p

n ?→?

伯努利大数定理 设A f 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数,p 是事件A 在每次试验中发生的概率,则对于任意正数ε〉0,有1}{

lim =<-∞

→εp n f P n n 或0}{lim =≥-∞→εp n

f

P n n

§2中心极限定理

定理一(独立同分布的中心极限定理) 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立,服从同一

分布,且具有数学期望和方差2

)( ,)(σμ==k i X D X E (k=1,2,…),则随机变量之和

标准化变量∑=n

i k

X

1

, σ

μ

n n X

X D X E X

Y n

i k

n

k k n

k n

k k k

n ∑∑∑∑====-=

-=

1

1

1

1 )

()

(,

定理二(李雅普诺夫定理) 设随机变量n X X X ,,,21 …相互独立,它们具有数学期望和方差 2,1,0)( ,)(2

=>==k X D X E k k k k σμ记∑==

n

k k

n B 1

22

ε

定理三(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量10(,),2,1(<<=p p n n n 服从参数为 η)的二项分布,则对任意x ,有)(21})

1({

lim 2

2x dt e

x p np np

P x

t n n Φ==≤--?

--∞

→π

η

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苏教版二年级数学下册知识点总结

苏教版二年级数学下册知识点 本册书共有九个单元,在“数与代数”领域安排了“有余数的除法”、“时、分、秒”、“认识万以内的数”、“分米和毫米”、“两三位数的加减法” 五个单元的教学内容;在“图形与几何”领域安排了“认识方向”、“角 的初步认识”;在“统计与概率”领域安排了“数据的收集与整理”,最 后安排了期末复习。 一、有余数的除法 1.遇到有余数的除法,可以用竖式计算,想:被除数里最多有几个除数,就商几。 2.余数一定比除数小。 3.被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 商×除数+余数=被除数 被除数÷除数=商······余数 4.如果除数是3,被除数每增加3,商就增加1;余数总是0、1、2、0、1、 2 地重复出现。 如果除数是5,被除数每增加5,商就增加1;余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、 4 地重复出现。(书第7 页第12 题) 二、时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针,长针是分针,最长的针是秒针。 2.分针指着12,时针指着几,就是几时。如:分针指着12,分针指着9,就是9 时(9:00) 3.钟面上有12 个大格,每个大格里有 5 个小格,一共有60 个小格。

4.时针有 1 大格是 1 小时。时针有几大格是几小时。 分针走 1 小格是 1 分。分针走几小格是几分。 秒针走 1 小格是 1 秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走 1 大格是 1 小时,分针正好走了一圈,是60 小格,也就是60 分,所以 1 时=60 分。 分针走 1 小格是 1 分,秒针正好走了一圈,是60 小格,是60 秒, 1 所以 1 分=60 秒 6.时针走过几就是几时多。如:时针在 5 和 6 之间,走过了5,表示 5 时多。 8 时过了 5 分,就是8 时零 5 分。 7. 判断钟面时间:先看时针,判断是几时多,再看分针, 5 分 5 分地数,判断是多少分。 三、认识方向 1.太阳每天从东面升起,西面落下。 2. 早晨起床,面向太阳,前面是东,后面是西,左面是北,右面是南。 傍晚面对太阳,前面是西,后面是东,左面是南,右面是北。 面对北极星方向,前面是北,后面是南,左面是西,右面是东。

初中数学知识点总结(免费版)

初中数学知识点总结 一、基本知识 ㈠、数与代数A、数与式: 1、有理数 有理数:①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数 数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0(原点),选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。正数大于0,负数小于0,正数大于负数。 绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小,绝对值大的反而小。 有理数的运算: 加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。 减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。 乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。 除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。 乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。 混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。 2、实数 无理数:无限不循环小数叫无理数 平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。 立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方,其中A叫做被开方数。 实数:①实数分有理数和无理数。②在实数范围内,相反数,倒数,绝对值的意义和有理数范围内的相反数,倒数,绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式 代数式:单独一个数或者一个字母也是代数式。 合并同类项:①所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时,我们把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变。 4、整式与分式 整式:①数与字母的乘积的代数式叫单项式,几个单项式的和叫多项式,单项式和多项式统称整式。②一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算:加减运算时,如果遇到括号先去括号,再合并同类项。 幂的运算:AM+AN=A(M+N) (AM)N=AMN (A/B)N=AN/BN 除法一样。 整式的乘法:①单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作

概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象:在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间:随机现象的一切可能基本结果组成的集合,记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果,又称为样本点。 3、 随机事件:随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示,Ω表示必然事件, ?表示不可能事件。 4、 随机变量:用来表示随机现象结果的变量,常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种: (1) 用集合表示,这是最基本形式 (2) 用准确的语言表示 (3) 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 (1)包含关系:如果属于A 的样本点必属于事件B ,即事件 A 发生必然导致事 件B 发生,则称A 被包含于B ,记为A ?B; (2)相等关系:若A ?B 且B ? A ,则称事件A 与事件B 相等,记为A =B 。 (3)互不相容:如果A ∩B= ?,即A 与B 不能同时发生,则称A 与B 互不相容 7、事件运算 (1)事件A 与B 的并:事件A 与事件B 至少有一个发生,记为 A ∪B 。 (2)事件A 与B 的交:事件A 与事件B 同时发生,记为A∩ B 或AB 。 (3)事件A 对B 的差:事件A 发生而事件B 不发生,记为 A -B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 (4)对立事件:事件A 的对立事件(逆事件),即 “A 不发生”,记为A 。 对立事件的性质:Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质:设A ,B ,C 为事件,则有 (1)交换律:A ∪B=B ∪A ,AB=BA (2)结合律:A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC (3)分配律:A ∪(B∩C)=(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)=(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC (4)棣莫弗公式(对偶法则):B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域:含有必然事件Ω ,并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域,又称为σ代数。具体说,事件域ξ满足: (1)Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ,则对立事件A ∈ξ; (3)若A n ∈ξ,n=1,2,···,则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件:

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1.写出下列随机试验的样本空间。 (1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 (设以百分制记分)。 (2)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和。 (3)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产 品的总件数。 (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上 “正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2个次品 就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的 结果。 (5)在单位正方形内任意取一点,记录它的坐标。 (6)实测某种型号灯泡的寿命。 解(1)},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 (2)}18,,4,3{ =Ω。 (3)},11,10{ =Ω。 (4)=Ω{00,100,0100,0101,0110,1100, 1010,1011,0111,1101,0111,1111},其中 0表示次品,1表示正品。 (5)=Ω{(x,y)| 0

(2)A 与B 都发生,而C 不发生。 (3)A ,B ,C 中至少有一个发生。 (4)A ,B ,C 都发生。 (5)A ,B ,C 都不发生。 (6)A ,B ,C 中不多于一个发生。 (7)A ,B ,C 至少有一个不发生。 (8)A ,B ,C 中至少有两个发生。 解 (1)C B A ,(2)C AB ,(3)C B A ++,(4)ABC , (5)C B A , (6)C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++, (7)C B A ++, (8)BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3.指出下列命题中哪些成立,哪些不成立,并作 图说明。 (1)B B A B A =(2)AB B A = (3)AB B A B =?则若,(4)若 A B B A ??则, (5)C B A C B A = (6)若Φ=AB 且A C ?,

苏教版二年级下数学知识点总结

二年级前三个单元数学知识要点 第一单元:有余数的除法 1、有余数除法以的意义:在平均分一些物体时,有时有剩余,这样的除法是有余数的除法。 2、余数与除数的关系:在有余数的除法中,余数一定比除数小。 3、除法列竖式计算方法: (1)先写“厂”表示除号。(2)在除号里写被除数。 (3)除号外面左侧写除数。 (4)把商写在除号的外面,被除数上面,并和被除数个位对齐。 (5)把除数和商的积写在被除数的下面(注意:相同数位要对齐)。 (6)用被除数减去商和除数的乘积得结果写在横线下面,与个位对齐。 4、有余数除法的试商方法:先想想被除数里面最多有几个除数,再利用乘法口诀试商。 5、除法算式中各部分之间的关系: 被除数÷除数=商+余数被除数=商×除数+余数 被除数=除数×商+余数余数=被除数﹣商×除数 第二单元:时分秒 1、认识钟面:(1)钟面上最短最粗的针是时针,较短较粗的是分针,最细最长的是秒针。 (2)钟面上有12个大格,每个大格里有5个小格。钟面上共有60个小格。 (3)时针走1大格是1小时。时针走1大格分针走1圈,也就是60小格,1时=60分。 (4)分针走1小格是1分,走1大格是5分。 秒针走1小格是1秒,走1大格是5秒。

分针走1小格秒针走1圈,1分=60秒 2、认识整时方法:分针指着12,时针指着几就是几时。 时针、分针、秒针全部重合的时间是12时,时针和分针成一条直线的时间是6时, 时针和分针成直角的时间是3时和9时。 3、认识几时几分方法:时针指在两个数之间,算小数,时针指在12和1之间,算12时,分针指着几,表示几个5分钟。先看时再看分,时针过几是几时,分针12是整时、指向1(零5分)、指向2是(10分)、指向3(15分)、指向4(20分)、指向5(25分)、指向6(30分)、指向7(35分)、指向8(40分)、指向9(45分)、指向10(50分)、指向11(55分) 4、记录时间有两种方法: (1)文字法:如:5时50分; (2)用电子表法记录时刻时,几时就写几,再写“:”,后面写分时要占两位,分针不够整十的,十位要用0占位。如:8时零5分写作8:05 5、认识大约几时方法:时针接近几就是几时。此时,分针一般指在数字12左右。 6、计算两段时间之间的时间方法:用结束的时间减去开始的时间。整时减整时,分钟减分钟,分钟不够减向整时借1时在分钟上加 60分钟再减。整时借出的1时要记得减去。 7、比较时间:单位不同时要化成相同的时间单位再进行比较。在进行比赛(或做事)时:同样的距离(或同样的事情)所用的时间越多说明速度越慢(或效率越低);所用的时间越少说明速度越快(或效率越高)。 8.时间单位好区分: 眨眼一下是1秒,数到60是1分, 一节课40分,课间休息10分钟,再加10分是1时

初中数学知识点总结及公式大全(最新最全)

知识点1:一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x 2 +5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x 2 +4x-2=0的一次项系数为4,常数项是-2. 3.一元二次方程3x 2 -5x-7=0的二次项系数为3,常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为3x 2 -x-2=0. 知识点2:直角坐标系与点的位置 1.直角坐标系中,点A (3,0)在y 轴上。 2.直角坐标系中,x 轴上的任意点的横坐标为0. 3.直角坐标系中,点A (1,1)在第一象限. 4.直角坐标系中,点A (-2,3)在第四象限. 5.直角坐标系中,点A (-2,1)在第二象限. 知识点3:已知自变量的值求函数值 1.当x=2时,函数y=32-x 的值为1. 2.当x=3时,函数y=2 1-x 的值为1. 3.当x=-1时,函数y= 3 21-x 的值为1. 知识点4:基本函数的概念及性质 1.函数y=-8x 是一次函数. 2.函数y=4x+1是正比例函数. 3.函数x y 2 1-=是反比例函数. 4.抛物线y=-3(x-2)2 -5的开口向下. 5.抛物线y=4(x-3)2 -10的对称轴是x=3. 6.抛物线2)1(2 12+-=x y 的顶点坐标是(1,2). 7.反比例函数x y 2 = 的图象在第一、三象限. 知识点5:数据的平均数中位数与众数 1.数据13,10,12,8,7的平均数是10. 2.数据3,4,2,4,4的众数是4. 3.数据1,2,3,4,5的中位数是3. 知识点6:特殊三角函数值 1.cos30°= 2 3. 2.sin 2 60°+ cos 2 60°= 1. 3.2sin30°+ tan45°= 2. 4.tan45°= 1. 5.cos60°+ sin30°= 1.

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式: )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式:∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,二项分布,指数分布,正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布,则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布,则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布,则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布,则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布,则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布,则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

苏教版二年级重点知识整理

二年级下册知识点整理 一、有余数的除法 1.遇到有余数的除法,可以用竖式计算,想:被除数里最多有几个除数,就商几。 2.余数一定比除数小。 3.被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数被除数 ÷除数=商······余数商×除数+余数=被除数 4.如果除数是3,被除数每增加3,商就增加1;余数总是0、1、2、0、1、2地重复出现。如果除数是5,被除数每增加5,商就增加1;余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、4地重复出现。(书第7页第12题) 二、时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针,长针是分针,最长的针是秒针。 2.分针指着12,时针指着几,就是几时。如:分针指着12,分针指着9,就是9时(9:00) 3.钟面上有12个大格,每个大格里有5个小格,一共有60个小格。 4.时针有1大格是1小时。时针有几大格是几小时。分针走1小格是1分。分针走几小格是几分。秒针走1小格是1秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走1大格是1小时,分针正好走了一圈,是60小格,也就是60分,所以1时=60分。分针走1小格是1分,秒针正好走了一圈,是60小格,是60秒,所以1分=60秒

6.时针走过几就是几时多。如:时针在5和6之间,走过了5,表示5时多。 8时过了5分,就是8时零5分。 7. 判断钟面时间:先看时针,判断是几时多,再看分针,5分5分地数,判断是多少分。 三、认识方向 1.太阳每天从东面升起,西面落下。 2. 早晨起床,面向太阳,前面是东,后面是西,左面是北,右面是南。傍晚面对太阳,前面是西,后面是东,左面是南,右面是北。面对北极星方向,前面是北,后面是南,左面是西,右面是东。前面是南,后面是北,左面是东,右面是西。 3.地图或平面图通常按上北、下南、左西、右东绘制。 4. 指南针指针总是一端指向南,另一端指向北。树的年轮较疏的一面向着南面,较密的向着北面。朝着北极星的方向是北面。 5. 四、认识万以内的数 1.10个一是1个十。(1个十里面有10个一) 10个十是1个百。(1个百里面有10个十) 10个一百是1个千。(1个千里面有10个一百) 10个一千是1个万。(1个万里面有10个一千) 2.从右边起,数位依次是个位、十位、百位、千位、万位······ 3.读数时,要从高位起,按照数位顺序读,千位上是几就读几千,百位上是几就读几百,十位上是几就读几十,个位上是几就读几。中间有一个0或两个0都只读一个零,末尾不管有几个0都不读。 4.写数时,要从高位起,按照数位顺序写,几千就在千位上写几,几

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

(完整版)苏教版数学二年级下册知识点整理

数学二年级下册知识点整理 第一单元有余数的除法 1.有余数的除法各部分的名称: 读作:10除以3等于3余1。 2.遇到有余数的除法,可以用竖式计算,想:被除数里最多有几个除数,就商几。 3.被除数、除数、商和余数之间的关系。 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数 被除数÷除数=商······余数 商×除数+余数=被除数 4.余数一定比除数小。 5.如果除数是3,被除数每增加3,商就增加1;余数总是0、1、2、0、1、2地重复出现。 如果除数是5,被除数每增加5,商就增加1;余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、4地重复出现。(书第7页第12题) 6.有余数的除法应用题中: ①商和余数都有单位。 ②商和余数的单位名称有可能不一样。余数的单位一定和被除数的相同。 ③个别情况下会出现商要加一,如书P7第10题。

第二单元时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针,长针是分针,最长最细的针是秒针。 2.分针指着12,时针指着几,就是几时。如:分针指着12,分针指着9,就是9时(9:00) 3.钟面上有12个数字,12个大格,每个大格里有5个小格,一共有60个小格。 4.时针走1大格是1小时。时针走几大格是几小时。 分针走1小格是1分。分针走几小格是几分。 秒针走1小格是1秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走1大格是1小时,分针正好走了一圈,是60小格,也就是60分。 分针走1小格是1分,秒针正好走了一圈,是60小格,是60秒。 1时=60分 1分=60秒 6.时针走过几就是几时多。如:时针在5和6之间,走过了5,表示5时多。 8时过了5分,就是8时零5分。 时针指在不到8,分针指在11,表示7时55分。 7.判断钟面时间:先看时针,判断是几时多,再看分针,5分5分地数,判断是多少分。 8.时间的两种标准写法:8时 8时零5分 8时55分 8:00 8:05 8:55 9.和时间有关的比大小时,注意: ①尽量把单位名称转化成同一个之后再进行比较。 ②时间越段,速度越快;时间越长,速度越慢。 10.经过时间=结束时刻-开始时刻 如:上午8时到校,中午12时放学,学生在校多长时间? 12-8=4(时)

史上最全的初中数学知识点总结

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第一章:实数 重要复习的知识点: 一、实数的分类: ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数:任何一个有理数总可以写成q p 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征。 2、无理数:初中遇到的无理数有三种:开不尽的方

根,如2、34;特定结构的不限环无限小数,如 1.101001000100001……;特定意义的数,如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 (1)实数a 的相反数是 -a ; (2)a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数: (1)实数a (a ≠0)的倒数是a 1;(2)a 和b 互为倒数?1=ab ;(3)注意0没有倒数 3、绝对值: (1)一个数a 的绝对值有以下三种情况: ?????-==0,0, 00, a a a a a a (2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原

点的距离。 (3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号。 4、n次方根 (1)平方根,算术平方根:设a≥0,称a 叫a的平方根,a叫a的算术平方根。 (2)正数的平方根有两个,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根。 (3)立方根:3a叫实数a的立方根。 (4)一个正数有一个正的立方根;0的立方根是0;一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数 之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和: C B A ++,C AB +,AC B -.

新苏教版二年级下册数学知识点整理

南庄小学二年级下册知识点整理 一、有余数的除法 1.遇到有余数的除法,可以用竖式计算,想:被除数里最多有几个除数,就商几。 2.余数一定比除数小。 3.被除数÷除数=商被除数÷商=除数商×除数=被除数 被除数÷除数=商······余数商×除数+余数=被除数4.如果除数是3,被除数每增加3,商就增加1;余数总是0、1、2、0、1、2地重复出现。 如果除数是5,被除数每增加5,商就增加1;余数总是0、1、2、3、4、0、1、2、3、4地重复出现。(书第7页第12题) 二、时、分、秒 1.钟面上的最短的针是时针,长针是分针,最长的针是秒针。 2.分针指着12,时针指着几,就是几时。如:分针指着12,分针指着9,就是9时(9:00) 3.钟面上有12个大格,每个大格里有5个小格,一共有60个小格。 4.时针有1大格是1小时。时针有几大格是几小时。 分针走1小格是1分。分针走几小格是几分。 秒针走1小格是1秒。秒针走几小格是几秒。 5.时针走1大格是1小时,分针正好走了一圈,是60小格,也就是60分,所以1时=60分。 分针走1小格是1分,秒针正好走了一圈,是60小格,是60秒,所以1分=60秒 6.时针走过几就是几时多。如:时针在5和6之间,走过了5,表示5时多。 8时过了5分,就是8时零5分。 7. 判断钟面时间:先看时针,判断是几时多,再看分针,5分5分地数,判断是多少分。 三、认识方向 1.太阳每天从东面升起,西面落下。 2.早晨起床,面向太阳,前面是东,后面是西,左面是北,右

面是南。 傍晚面对太阳,前面是西,后面是东,左面是南,右面是北。 面对北极星方向,前面是北,后面是南,左面是西,右面是东。 前面是南,后面是北,左面是东,右面是西。 3.地图或平面图通常按上北、下南、左西、右东绘制。 4.指南针指针总是一端指向南,另一端指向北。树的年轮较疏的一面向着南面,较密的向着北面。朝着北极星的方向是北面。 5. 四、认识万以内的数 1.10个一是1个十。(1个十里面有10个一) 10个十是1个百。(1个百里面有10个十) 10个一百是1个千。(1个千里面有10个一百) 10个一千是1个万。(1个万里面有10个一千) 2.从右边起,数位依次是个位、十位、百位、千位、万位······ 3.读数时,要从高位起,按照数位顺序读,千位上是几就读几千,百位上是几就读几百,十位上是几就读几十,个位上是几就读几。中间有一个0或两个0都只读一个零,末尾不管有几个0都不读。 4.写数时,要从高位起,按照数位顺序写,几千就在千位上写几,几百就在百位上写几,几十就在十位上写几,几就在个位上写几。哪一位上一个单位也没有就在那一位上写0。 5.比较数的大小:两个数的位数不同时,位数多的数比位数少的数要大。位数相同时,要比较千位上的数,千位上大的那个数就大;如果千位上的数相同,就比较百位上的数;如果百位上的数也相同,就比较十位上的数;十位上的数也相同,就比较个位上的数。 6.用算盘记数时,要拨珠靠梁,一个下珠表示1,一个上珠表示5。 7.最大的四位数是9999,最小的四位数是1000。 最大的三位数是999,最小的三位数是100。 五、分米和毫米

《概率论与数理统计》课程学习心得

《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学,既是重要的基础理论,又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来,随着计算机的发展以及各种统计软件的开发,概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括:极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论;随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域,包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模,理论分析、推导,数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析,以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后,其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中,他提倡让实际数据说话,其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域,对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例:有四张彩票供三个人抽取,其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽,他的中奖概率是25%,结果没抽到。第二个人看了,心里有些踏实了,他中奖的概率是33%,结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花,其他的人都失败了,觉得自己很幸运,中奖的机率高达50%,可结果他同样没中奖。由此看来,概率的大小只是在效果上有所不同,很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别,每个人中奖的概率都是50%,即中奖与不中奖。 同样的道理,对于个人而言,在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的,只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分,那应该不是针对个体而言,而是从一个群体出发,因为不同的人有不同的信念,有不同的做事方法。把地球给撬起来,这在大多数

小学数学苏教版二年级下册期中复习知识点总结

二年级数学下册期中复习知识点总结 第一单元有余数的除法 1、有余数的除法的意义 在平均分一些物体时,有时会有剩余。 2、余数与除数的关系 在有余数的除法中,余数必须比除数小。最大的余数小于除数1,最小的余数是1。 3、有余数除法的各部分 a÷b=c……d 被除数÷除数=商……余数 4、笔算除法的方法 (1)先写除号“厂” (2)被除数写在除号里,除数写在除号的左侧。 (3)(商是一位数的除法)试商,商写在被除数上面,并要对着被除数的个位。 (4)把商与除数的乘积写在被除数的下面,相同数位要对齐。 (5)用被除数减去商与除数的乘积,如果没有剩余,就表示能除尽。 5、有余数的除法的计算方法 “一商,二乘,三减,四比” (1)商:即试商,想除数和几相乘最接近被除数且小于被除数,那么商就是几,写在被除数的个位的上面。 (2)乘:把除数和商相乘,将得数写在被除数下面。 (3)减:用被除数减去商与除数的乘积,所得的差写在横线的下面。 (4)比:将余数与除数比一比,余数必须必除数小。 第二单元时分秒 1、认识钟面 (1)钟面上最短最粗的针是时针,较短较粗的是分针,最细最长的是秒针。 (2)钟面上有12个大格,每个大格里有5个小格。钟面上共有60个小格。 (3)时针走1大格是1小时。 时针走1大格时分针走了1圈,也就是分针走了60小格,所以1时=60分。 (4)分针走1小格是1分,走1大格是5分。 秒针走1小格是1秒,走1大格是5秒。 分针走1小格时秒针走了1圈,所以1分=60秒

2、认识整时的方法 分针指着12,时针指着几就是几时。 时针、分针、秒针全部重合的时间是12时, 时针和分针成一条直线的时间是6时, 时针和分针成直角的时间是3时和9时。 3、认识几时几分的方法 时针指在两个数之间,算小数,时针指在12和1之间,算12时,分针指着几,表示几个5分钟。 4、记录时间有两种方法 (1)文字法:例如5时50分 (2)用电子表法记录时刻时,几时就写几,再写“:”,后面写分时要占两位,分针不够整十的,十位要用0占位。例如8时零5分写作8:05。 5、计算经过的时间的方法 用结束的时刻减去开始的时刻。 整时减整时,分钟减分钟,分钟不够减向整时借1时在分钟上加 60分钟再减。整时借出的1时要记得减去。 第三单元认识方向 1、认识东、南、西、北 (1)早上起来,面向太阳,前面是东,后面是西,左面是北,右面是南。 (2)依据一个确定的方向找其他三个方向的方法:面南背北,左东右西;面北背南,左西右东;面东背西,左北右南;面西背东,左南右北。 2、地图上的方向 地图通常是按“上北下南,左西右东”绘制的。 3、绘制简单示意图的方法 先选好观察点,把选好的观察点画在平面图的中心位置,再确定好各物体相对于观察点的方向,在纸上按“上北下南,左西右东”绘制,用“↑”标出方向。 4、看简单路线图描述行走路线的方法 (1)看路线图确定好自己所处的位置,以自己所处的位置为中心 (2)根据“上北下南,左西右东”的规则来确定目标和周围事物所处的方向(3)根据目标的方向和路程确定所要行走的路线。(一般以“在”字后面物体的位置为中心,以“的”字前面物体的位置为中心) 5、认识东南、东北、西南、西北 从“东”出发,东和北之间的方向就叫东北,东和南之间的方向就叫东南;从“西”出发,西和北之间的方向就叫西北,西和南之间的方向就叫西南。

初中数学知识点全总结(完美打印版)

七年级数学(上)知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二.知识概念 1.有理数: (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统 称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数; (2)有理数的分类: ① ??? ? ?????????负分数 负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3.相反数: (1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0; (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值: (1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离; (2) 绝对值可表示为:?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论; 5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数 大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0.

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