数学分析第二版复旦大学数学系陈传璋等著课后习题答案

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复旦考研数学分析试题

09复旦数学分析考研试题 一、 数学分析(90) 1. 计算(每个6分) （1） 设∑为：222 4(3)6(2)(1)36x y z -+-++≤曲面的外侧，求232x dydz ydxdz +∑ ??=_______。 （2） 13 20 (1)(1)x dx x x ++?=_______。 （3） ln x -(0,)+∞上有唯一的零点，A =_______。 （4） ()f x 在原点存在二阶导数，''(0)0f ≠， '()(0)()x f x f f x θ-=，则0lim x x θ→=_______。 （填某个值或不一定存在或无法确定） （5） 1sin 2009k xk k α π∞=∑在(0,)+∞上一致收敛，则α的取值范围为_______。 2. 证明（每个15分） （1）(,)f x y 定义在[,][,]a b c d ?上，且(,)f x y 关于x 连续，且对于某一固定的0[,]y c d ∈， 00[,]lim sup |(,)(,)|0y y x a b f x y f x y →∈-= 证明：(,)f x y 在[,][,]a b c d ?上连续。 （2）21sin()n n n a a a n -=- 求证：lim 0n n a →∞= （3）()f x 在(,)-∞+∞上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,a b c d ()()b d d b a c c a dx f x t dt dt f x t dx +=+???? （4）()f x 定义在区间(,)a b 上，对任一(,)x a b ∈

0()()lim 0y f x y f y y →+-> （注：左式可以为+∞），求证：()f x 在(,)a b 上严格单调。 二、 常微分方程（30） 已知2 (,)3...x y x Φ=+（这个式子都记不清楚了） 和系统[*] 3dx y dt λ=+ ...dy dt = [*] （1）(,)x y C Φ=是[*]的首次积分，确定[*]中λ的值。（或者是0δ的值，具体不是很清楚） （只要明白首次积分的概念就能做的题目） （2）证明解对参数的连续性 （3）求系统[*]在0λ>，0δδ<时在李亚普诺夫意义下的稳定性。 三、 实变函数（30） 1. 叙述积分的法杜（Fatou ）引理。（10分） 2. （20分）{()}n f x 为定义在可测集上的可测函数列，{()}n f x 在勒贝格测度意义下收敛 于()f x 求证： （1）存在子列{()}k n f x 1()k k n n +<，满足 12k k mE <，1{:|()()|}2k k n k E x E f x f x =∈-≥ （2）证明上述子列几乎处处收敛于()f x 。 （这个整个是一个定理，分成两步证明了。Rieze 引理）

欧阳光中数学分析答案

欧阳光中数学分析答案 【篇一：数学分析目录】 合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的

数学分析课本(华师大三)习题及答案第二十章

第十章 曲线积分 一、证明题 1.证明:若函数f 在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t)(β≤≤αt )上连续，则存在点()L y ,x 00∈，使得，()?L ds y ,x f =()L y ,x f 00? 其中L ?为L 的长。 二、计算题 1.计算下列第一型曲线积分: (1) ()?+L ds y x ,其中L 是以0(0,0),A(1,0)B(0,1)为顶点的三角形; (2) ()?+L 2122ds y x ,其中L 是以原点为中心,R 为半径的右半圆周; (3) ?L xyds ,其中L 为椭圆22a x +22 b y =1在第一象限中的部分; (4) ?L ds y ,其中L 为单位圆22y x +=1; (5) () ?++L 222ds z y x ,其中L 为螺旋线x=acost,y=asinr, z=bt(π≤≤2t 0)的一段; (6) ?L xyzds ,其中L 是曲线x=t,y=3t 232,z=2t 2 1 ()1t 0≤≤的一段; (7) ?+L 22ds z y 2,其中L 是222z y x ++=2a 与x=y 相交的圆周. 2.求曲线x=a,y=at,z=2at 21(0a ,1t 0>≤≤)的质量,设其线密度为a z 2=ρ, 3.求摆线x=a(t －sint),y=a(1－cost)(π≤≤t 0)的重心,设其质量分布是均匀的. 4.若曲线以极坐()θρ=ρ()21θ≤θ≤θ表示,试给出计算 ()?L ds y ,x f 的公式.并用此公式计算下列曲线积分.

(1)? +L y x ds e 22,其中L 为曲线ρ=a ??? ??π≤θ≤40的一段; (2)?L xds ,其中L 为对数螺线θ=ρx ae (x>0)在圆r=a 内的部分. 5.设有一质量分布不均匀的半圆弧,x=rcos θ,y=rsin θ(π≤θ≤0),其线密度θ=ρa (a 为常数),求它对原点(θ,0)处质量为m 的质点的引力. 6.计算第二型曲线积分: (1) ?-L ydx xdy ,其中L 为本节例2的三种情形; (2) ()?+-L dy dx y a 2,其中L 为摞线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(π≤≤2t 0)沿t 增加方向的 一段; (3) ?++-L 22y x ydy xdx ,其中L 为圆周222a y x =+,依逆时针方向; (4)?+L xdy sin ydx ,其中L 为y=sinx(π≤≤x 0) 与x 轴所围的闭曲线,依顺时针方向; (5)?++L zdz ydy xdx ,其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 7.质点受力的作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成正比,若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求力所作的功. 8.设质点受力的作用,力的方向指向原点,大小与质点到xy 平面的距离成反比,若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(0c ≠) 从M(a,b,c)到N(2a,2b,2c),求力所作的功. 9.计算沿空间曲线的第二型曲线积分: (1) ?L xyzddz ,其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限; (2) ()()() ?-+-+-L 222222dz y x dy x z dx z y ,其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线,其方向按曲线依次经过xy 平面部分,yz 平面部分和zx 平面部分 .

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

第四章 函数的连续性 一、填空题 1．设??? ? ???>+=<=0 11sin 0 0 sin 1 )(x x x x k x x x x f ，若函数)(x f 在定义域内连续，则 =k ； 2．函数?? ?≤>-=0 sin 0 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 3．函数x x f =)(的连续区间是 ； 4．函数3 21 )(2--= x x x f 的连续区间是 ； 5．函数) 3(9 )(2--=x x x x f 的间断点是 ； 6．函数) 4)(1(2 )(+++= x x x x f 的间断点是 ； 7．函数) 2)(1(1 )(-+= x x x f 的连续区间是 ； 8．设?????=≠-=-0 0 )(x k x x e e x f x x 在0=x 点连续，则 =k ； 9．函数?? ? ??≤≤+-<≤+-<≤-+=3x 1 31x 0 101 1)(x x x x x f 的间断点是 ； 10．函数0b a 0 )(0 )(2 ≠+?? ?<++≥+=x x x b a x b ax x f .则)(x f 处处连续的充要条件是 =b ； 11．函数?????=≠=-0 0 )(2 1x a x e x f x ，则=→)(lim 0 x f x ，若)(x f 无间断点，则=a ； 12．如果?????-=-≠+-=1 1 11)(2x a x x x x f ，当=a 时，函数)(x f 连续

二、选择填空 1．设)(x f 和)(x ?在()+∞∞-,内有定义，)(x f 为连续函数，且0)(≠x f ，)(x ?有间断点，则( ) A.[])(x f ?必有间断点。 B.[]2 )(x ?必有间断点 C.[])(x f ?必有间断点 D. ) () (x f x ?必有间断点 2．设函数bx e a x x f += )(，在()∞∞-,内连续，且)(lim x f x -∞→0=，则常数b a ,满足( ) A.0,0<>b a C.0,0>≤b a D.0,0<≥b a 3．设x x e e x f 11 11)(-+=，当,1)(;0-=≠x f x 当0=x ，则 A 有可去间断点。 B 。有跳跃间断点。 C 有无穷间断点 D 连续 4．函数n n x x x f 211lim )(++=∞→ A 不存在间断点。 B 存在间断点1-=x C 存在间断点0=x D 存在间断点1=x 5．设????? =≠=???=≠=0 10 1sin )(;0 00 1)(x x x x x g x x x f ，则在点0=x 处有间断点的函数是 A )}(),(max{x g x f B )}(),(min{x g x f C )()(x g x f - D )()(x g x f + 6．下述命题正确的是 A 设)(x f 与)(x g 均在0x 处不连续，则)(x f )(x g 在0x 处必不连续。 B 设)(x g 在0x 处连续，0)(0=x f ，则0 lim x x →)(x f )(x g =0。 C 设在0x 的去心左邻域内)(x f <)(x g ，且-→0 lim x x )(x f =a , -→0 lim x x )(x g =b ,则必有a

数学分析上

数 学 分 析（I ） （周课时5加习题课时2）（共80课时） （1）集合与函数 （6课时） 实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，有界集，确界原理，函数概念。 （2）数列极限 （12课时） 数列。数列极限的N -∑定义。收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。子列。数列极限存在的条件；单调有限定理、柯西收敛原理。 ????????????? ??+n n 11、STOLZ 定理。 （3）函数极限 （10课时） 函数极限概念（x x x →∞→与。瞬时函数的极限。δ-∑定义、M -∑定义）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算。 函数极限存在的条件：归结原则、柯西准则。 两个重要极限：1sin lim ,)11(lim 0==+→∞→x x e x x x x 无穷小量与无穷大量及其阶的比较。 （4）函数的连续性 （14课时） 函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类。在区间上连续的函数。连续函数的局部性质：有界性、保号性、连续函数的有理运算、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质：有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。初等函数的连续性。 （5）极限与连续性（续）（15课时） 实数完备性的基本定理：区间套定理、数列的柯西收敛准则、聚点原理、致密性定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的说明。实数系。压缩映射原理。 （6）导数与微分 （8课时） 引入问题（切线问题与瞬时速度问题）。导数的定义。单侧导数。导函数。导数的几何意义。和、积、商的导数。反函数的导数。复合函数的导数。初等函数的导数。 微分概念。微分的几何意义。微分的运算法则。一阶微分形式的不变性。微分在近似

最新数学分析选讲刘三阳-部分习题解答

第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->-

夏之舟致数学分析、高等代数、解析几何的新人们(数学分析篇)

作者 : 数学贝壳 致数学分析、高等代数、解析几何的新人们 各位2012级的新同学们： 从9月10号起你们就正式进入大学数学的学习了。一开始你们就遇到了数学专业的三座大山：数学分析、高等代数、解析几何。数学分析不仅是分析学的基础，也是后续许多课程包括常微分方程、偏微分方程、复变函数、实变函数等等的基石。而高等代数，则是代数学的引路，之后的抽象代数，矩阵论，群论，数值代数都是它的衍生品，你看似简单的解析几何，高等几何是之后微分几何，微分流形，代数几何的先修课，著名的华裔数学家丘成桐先生也因为在微分流形的杰出贡献被授予数学界的诺贝尔奖——沃尔夫数学终身成就奖。 不知道大家在上了各门课的第一堂课后有什么样的感受？是一下子懵了，还是兴致勃勃？作为一个过来人，希望给大家一些经验，如何学好这些课，选择一些什么样的素材来补充自己。文章写的比较长，希望大家有耐心看完。我想会对你非常有帮助。 数学分析篇 一、一些还不错的教材 直接进入主题——好的教材是相当重要的。所以让我们从教材开始。 先说说国。应当来说国公认的比较好的数学分析教材一共有三套，这里只介绍两套。1.《数学分析》，华东师大学数学系，高等教育 这套教材也是北科大数学系一直使用的课本（不过听说自2011级开始理科实验班换成了《数学分析》，忠，高等教育，个人对这套教材保留意见）。这本教材堪称数学分析的经典，如果我没有记错第一版发行于1978年，已经有四十多年的历史，现在最新的是第四版。这么长时间，经久不衰是其品质最好的检验。就难度而言，这本教材应该算中上。第三版第四版就知识结构来说没有什么大的变动，小的变动可以看书的第四版的前言。但是，在课后题，例题上有了较大的更新，丰富了题目的数量与质量（一些题都是吉米多维奇《数学分析习题集》里的题目，另一些题是一些高校的考研试题）。所以要学好数学分析，先必须搞懂课本知识，把每个题目做会了，做出感觉来，这样算进入成功入门的第一步了。 2.《数学分析》，复旦大学纪修，高等教育 这本教材被总体上与华师大介绍的容一样，但是在顺序上有所不同。除此之外比较明显的一点，加强了向量函数的概念，介绍了梯度散度这些在华师大的书里选学的容。难度上来说两本书差不多。据说复旦大学数学系的同学就是用的这本书。

复旦版数学分析答案全解ex14-4

习 题 14.4 微分形式的外微分 1. 计算下列微分形式的外微分： （1）1-形式； dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω； （3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。 解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。 （2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。 （3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。 2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。 解 d ω0)(1=∧′=∑=n i i i i i dx dx x a 3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的 2-形式，求d ω。 解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于 0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ， 则有 =1ωd 03233 132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则 032==ωωd d ， 从而 0321=++=ωωωωd d d d 。 4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数 的函数，，，试求形如 )(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω 的1-形式ω，使得 dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。 解 由题意，可得 )()(),()(),()(2312 31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′， 所以 dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。 5. 设（∑=∧=n j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证 明

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章 多元函数微分学 一、证明题 1. 证明函数 ?? ???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 ?? ???=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 xy 1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=() 22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ??+y 1y Z ??=2 y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明: x Z ?? sec x + y Z ??secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2 y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2 v g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,

数学分析复旦大学第四版大一期末考试

数学分析复旦大学第四版大一期末考试 一、填空题（每空1分，共9分） 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??-

华东师大数学分析习题解答1

《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有

S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十六章

第十六章 多元函数的极限与连续 一、证明题 1. 证明: 当且仅当存在各点互不相同的点列{p n }?E,p ≠p 0. ∞ →n lim P n =P 0时P 0是E 的聚点. 2. 证明:闭域必是闭集,举例证明反之不真. 3. 证明:点列{p n (x n ,y n )}收敛于p 0(x 0,y 0)的充要条件是∞→n lim x n =x 0和∞ →n lim y n =y 0. 4. 证明: 开集与闭集具有对偶性——若E 为开集,则E c 为闭集;若E 为闭集,则E c 为开集. 5. 证明: (1) 若F 1,F 2为闭集,则F 1∪f 2与F 1∩F 2都为闭集; (2) 若E 1,E 2为开集,则E 1∪E 2与E 1∩E 2都为开集; (3) 若F 为闭集,E 为开集,则F\F 为闭集,E\F 为开集. 6. 试把闭区域套定理推广为闭集套定理,并证明之. 7. 证明定理16.4(有限覆盖定理): 8. 证明: 若1°y)f(x,lim (0,0)y)(x,→存在且等于A; 2°当y 在b 的某邻域内时,存在有(y)y)f(x,lim a x ?=→,则A y)f(x,lim lim a x b y =→→. 9. 试应用ε-δ定义证明: 0y x y x lim 2 22(0,0)y)(x,=+→. 10. 叙述并证明: 二元函数极限存在的唯一性定理,局部有界性定理与局部保号性定理. 11. 叙述并证明二元连续函数的局部保号性. 12.设f(x,y)=() ()?????=+>≠++0y x 0,0p 0y x ,y x x 2222p 22 试讨论它在(0,0)点的连续性. 13. 设f(x,y)定义于闭矩形域S=[a,b]×[c,d],若f 对y 在[c,d]上处处连续.对x 在[a,b]上(且关于y)为一致连续,证明f 在S 上处处连续. 14. 证明:若D ?R 2是有界闭域,f 为D 上连续函数,则f(D)不仅有界(定理16.8)而且是闭区间. 15. 若一元函数?(x)在[a,b]上连续,令 f(x,y)=?(x),(x,y)∈D=[a,b]×(-∞,+∞),试讨论f 在D 上是否连续?是否一致连续? 16. 设(x,y)= xy 11-,(x,y)∈D=[)[)1,01,0?,证明f 在D 上不一致连续.

数学分析十讲习题册、课后习题答案

习 题 1-1 1．计算下列极限 （1）lim x a x a a x x a →--, 0;a > 解：原式lim[ ]x a a a x a a a x a x a x a →--=---=()|()|x a x a x a a x ==''- =1 ln a a a a a a --?=(ln 1)a a a - （2）sin sin lim sin() x a x a x a →--； 解：原式sin sin lim x a x a x a →-=-(sin )'cos x a x a === （3 ）2 lim 2), 0;n n a →∞-> 解：原式2n =20[()']x x a ==2 ln a = （4）1lim [(1)1]p n n n →∞+-，0;p > 解：原式111(1)1lim ()|p p p x n n n x =→∞ +-'===11 p x px p -== （5）10 10 0(1tan )(1sin )lim ;sin x x x x →+-- 解：原式101000(1tan )1(1sin )1 lim lim tan sin x x x x x x →→+---=-- =99 0010(1)|10(1)|20t t t t ==+++= （6） 1x →，,m n 为正整数； 解：原式1 111 n x x x →=--11 11 ()' ()' m x n x x x ===n m = 2．设()f x 在0x 处二阶可导，计算00020()2()() lim h f x h f x f x h h →+-+-. 解：原式000()()lim 2h f x h f x h h →''+--=00000()()()() lim 2h f x h f x f x f x h h →''''+-+--= 000000()()()()lim lim 22h h f x h f x f x h f x h h →→''''+---=+-00011 ()()()22 f x f x f x ''''''=+=

复旦大学第三版数学分析答案

一﹑细心填一填，你一定能行（每空2分，共20分） 1．当 = 时，分式的值为零. 2．某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，用科学记数法表示为． 3．请你写出一个图象在第一、三象限的反比例函数． 4．随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测量高度，计算平均数和方差 的结果为：，，，，则小麦长势比较整齐的试验 田是(填“甲”或“乙”)． 5．如图，□ABCD中，AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的角平分线，请添加一个条件使四边形AECF为菱形． 6．计算． 7．若点（）、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是． 8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD=2 ，AE为梯形的高，且BE=1， ?则AD=______． 9．如图，中，，，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为（平方单位）．10．如图，矩形ABCD的对角线BD过O点，BC∥x轴， 且A（2，-1），则经过C点的反比例函数的解析式为． 二﹑精心选一选，你一定很棒（每题3分，共30分） 11．下列运算中，正确的是 A． B． C． D． 12．下列说法中，不正确的是 A．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法 B．众数在一组数据中若存在，可以不唯一 C．方差反映了一组数据与其平均数的偏离程度 D．对于简单随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差 13．能判定四边形是平行四边形的条件是 A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组邻角相等 C．一组对边平行，一组邻角相等 D．一组对边平行，一组对角相等 14．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是 A．1 B．2 C．3 D．4

复旦大学数学分析课后习题解陈纪修

复旦大学数学分析课后习题解陈纪修

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第一章 第1节 4．（1）{}32|≤<-x x ； （2）{}00|),(>>y x y x 且； （3）{}Q x x x ∈<<且10|； （4）? ????? ∈+=Z k k x x ,2|ππ. 7．（1）不正确。B x A x B A x ?????或者； （2）不正确。B x A x B A x ?????并且. 第2节 2．（1）]1,0[],[:→b a f .a b a x y x --=α （2）),()1,0(:+∞-∞→f ])21tan[(π-x x α 3．（1）)3(log 2-=x y a ，定义域：()() +∞-∞-,33,Y ，值域：),(+∞-∞； （2）x y 3arcsin =，定义域：(]0,∞-，值域：?? ? ??2,0π； （3）x y tan =，定义域：?? ? ?? +-∈2,2ππππk k Z k Y ，值域：[)+∞,0； （4）1 1+-=x x y ，定义域：()[)+∞-∞-,11,Y ，值域：[)()+∞,11,0Y . 5．（1）定义域：()ππ)12(,2+∈k k Z k Y ，值域：(]0,∞-； （2）定义域：??? ???+-∈22,22ππππk k Z k Y ，值域：[]1,0；

（3）定义域：[]1,4-，值域：?? ????25,0； （4）定义域：()()+∞∞-,00,Y ，值域：??? ????+∞,2233. 7．（1）9777212)(23-+-=x x x x f ； （2）1 412)(-+= x x x f 。 8．（1）2 1)(++=x x x f f ο； 3 22)(++=x x x f f f οο； 5 332)(++=x x x f f f f οοο。 9．2)()()(x f x f x f -+=2)()(x f x f --+，2)()(x f x f -+是偶函数，2)()(x f x f --是奇函数. 10．[](](] ???????∈+-∈-∈+-=4,3823,1252 31,034x x x x x x y 11．[](]???????∈-+-∈=2,1122 12,12122x x x x x y 12．[](](]?? ???∈-∈-∈=11,92.112118.13329,598 985,04.78)(x x x x x x x P 13．???-=为无理数 为有理数x x x x x f 1)(

数学分析答案第四版

数学分析答案第四版 【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理 一、实数的定义 在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理： 则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。 评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。 二、实数的连续性（完备性）公理 实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理： 单调有界定理： 区间套定理： 有限覆盖定理：（heine-borel） 聚点定理：(weierstrass) 致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。 评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质 有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理与零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10

一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限 三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。 （p173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分级数理论 1 数项级数 前言级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无 穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。 一、cauchy收敛准则 ?u n?1?n?u1?u2?? 几个概念部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件 ?u n?1?n收敛?un?0 评注此结论由un?sn?sn?1两边取极限即得证，也可由下面的cauchy收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分 能推出f(x)?0(x???)（参见反常积分） ???af(x)dx即使f(x)?0也不 cauchy收敛准则 ?u n?1?n收敛????0,?n,?n?n,?p,有 sn?p?sn?un?1?un?2???un?p?? 思考正面叙述级数发散的cauchy准则。 加括号对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章

第九章 定积分 一、填空题 =-+ +-+ -∞ →_412 411 41( lim 2 2 2 2 2 n n n n n Λ 2．=+??→x x t x dt t t dt t 0 sin 0 1 sin )1(lim __________ 3． [] =?-2 2 2,1max dx x __________ 4．设?+=x dt t t x f 02sin 1cos )(，则=+?202)(1)('π dx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且 ?--=2 1 23)(x x dt t f ，则=)2(f ___________ 6．=+-?→4 2 1ln sin lim x x tdt x x _________ 7．=++?-dx x x x 22 2 2 )cos 1(sin π π______________ 8． []?-=-++-1 1 )()(22ln dx x f x f x x _________，其中)(x f 连续。 10．设0)()(21 =-+?x x f dx x f ，则=?1 )(dx x f _______________ 11．若 ?=+101sin b dx x x ，则=+?102)1(cos dx x x _________ 12．设)(x f 连续，则=-?x dt t x tf dx d 02 2)(____________ 13．=?02 2 cos x dt t x dx d ______________ 14．=-?π π 222cos sin dx x x ____________ 15． =+-?-dx x x 1 12cos 21sin αα ____________ 16． []=-?π 2 sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________ 17．设)(x f 有一个原函数x x sin ，则=?ππ2 )('dx x xf ____________