液体粘滞系数测定实验

液体粘滞系数的测量与研究

一 实验目的

1．了解用斯托克斯公式测定液体粘滞系数的原理，掌握其适用条件。

2．学习用落球法测定液体的粘滞系数。

3．熟练运用基本仪器测量时间、长度和温度。

4．掌握用外推法处理实验数据。

二 实验仪器

液体粘滞系数仪、螺旋测微器、游标卡尺、钢板尺、钢球、磁铁、秒表、温度计。

三 实验原理

当物体球在液体中运动时，物体将会受到液体施加的与其运动方向相反的摩擦阻力的作用，这种阻力称为粘滞阻力，简称粘滞力。粘滞阻力并不是物体与液体间的摩擦力，而是由附着在物体表面并随物体一起运动的液体层与附近液层间的摩擦而产生的。粘滞力的大小与液体的性质、物体的形状和运动速度等因素有关。

根据斯托克斯定律，光滑的小球在无限广延的液体中运动时，当液体的粘滞性较大，小球的半径很小，且在运动中不产生旋涡，那么小球所受到的粘滞阻力f 为

vd f πη3= （1）

式中d 是小球的直径，v 是小球的速度，η为液体粘滞系数。η就是液体粘滞性的度量，与温度有密切的关系，对液体来说，η随温度的升高而减少（见附表）。

本实验应用落球法来测量液体的粘滞系数。小球在液体中做自由下落时，受到三个力的作用，三个力都在竖直方向，它们是重力、浮力、粘滞阻力f 。开始下落时小球运动的速度较小，相应的阻力也小，重力大于粘滞阻力和浮力，所以小球作加速运动。由于粘滞阻力随小球的运动速度增加而逐渐增加，加速度也越来越小，当小球所受合外力为零时，趋于匀速运动，此时的速度称为收尾速度，记为v 0 。经计算可得液体的粘滞系数为

2

018)(v gd ρρη-= （2） 式中0ρ是液体的密度，ρ是小球的密度，g 是当地的重力加速度。

可见，只要测得，即可由（2）式得到液体的粘滞系数。但是注意，上述推导包括（1）、

（2）式都在特定条件下方才适用（见原理的第一段黑体字部分），通过对实验仪器和实验方法的设计，这些条件大多数都可以满足或近似满足（结合本实验所用仪器和实验步骤，思考

一下哪些条件被满足，是如何做到的），唯独“无限广延”在实验中是无法实现的。因此，为了准确测出液体的粘滞系数，我们需要进一步对实验进行设计，下面将分别在实验上采用外推法和在理论上对计算公式进行修正进行测量，这些方法体现了实验手段和理论手段在物理实验中的作用和特点，同时反映出针对同一个问题如何在实验中层层深入，不断提高测量结果的准确程度，而这正是物理学实验的魅力所在。

四实验设计

4.1 外推法的实验设计与测量

4.1.1横向“无限广延”之外推

h

图1多管落球法测量液体粘滞系数仪

用上述落球法测量出来的收尾速度与液体尺度有关，那么我们不妨在实验中就对液体尺度的依赖关系进行定量研究，如果该依赖关系存在规律，则有可能对我们的测量带来帮助或指引。由于上述讨论中对液体的形状没有做具体要求，我们在实验中采用试管作为容器，这样得到具有轴对称性的液柱，于是我们要研究的就是液柱的尺度大小对的影响。为简化测量，可先固定液柱的高度，改变液柱横截面积，这可以用一组直径不同的试管来实现（见图1）。将这些试管装上同种待测液体，安装在同一水平底板上，每个管子上都用两条刻线A、B标出相等的间距，记为（上刻线A与液面间应留有适当距离，使得小球（用直径最小的球）下落经过A刻线时，可以认为小球已进入匀速运动状态）。依次测出小球通过管中的两刻线A、B间所需的时间，各管的直径用表示，则通过大量的实验，我们就可以得到与之间的关系。已有的数据表明，与成线性关系。即以为纵坐标轴，以为横坐标轴，根据实验数据可以作出一条直线（动手画画看！）。这是个好消息，因为如果延长该直线与纵轴相交，其截距对应的是时的，而正好对应，于是我们用这种方法就可以外推出在横向“无限广延”的液体中，小球匀速下落通过距离所需的时间。所以有

（3）

将（3）代入（2），即可求出液体的粘滞系数：

h t d g 18)(0

2

0?-=ρρη

（4） 若式中各量均采用国际单位，则的单位为帕?秒，记为 ，。

误差计算： d

d h h t ?+?+?=?=2t E 00

ηη

（5） （6） 最终测量结果表示成：

ηηη?±=

（7） 4.1.2纵向“无限广延”之外推

为满足在纵向上“无限广延”这一条件，则小球的收尾速度v 还应修正为

)1(0l d

k v v +=

（8） 其中，k 为常数，l 为液体的深度。将（3）式代入（8）式,可得

l v khd v h t 1

0?+=

（

9） （9）式中，v 、h 、k 及d 均为常量，故0t 与l 1

满足线性关系。 t

图2 t 与1/D 图

t 0

根据（9）式，如果向各圆管中加入适量的液体，在保持各圆管中的液体深度均为1l 时，利用多管落球法之∞→D 时外推出的小球匀速下落距离h 所需的时间01t ，当各管中的液体深度均为2l 、3l ，…，∞→D 时,小球匀速下落距离h 所需的时间02t ，03t ，…，作l

t 10-图，并

进行线性拟合，延长直线与纵轴相交，纵截距为'0t ，则'0t 就是当∞→D （横向为无限广延）

且∞→l （纵向为无限广延）时，小球匀速下落h 所需要的时间，故

'0

t h v = （10） 将（10）式代入（2）式，可得

h

t gd 18)('020?-=ρρη （11） （11）式即为当液体在横向和纵向均满足“无限广延”条件下测量液体粘滞系数的计算公式。

4.1.3 小球半径无限小之外推

由于在实验中采用玻璃圆筒作为容器盛放蓖麻油，这与斯托克斯定律第二假定所要求的“在无限广延的媒质中”的环境不同。由流体力学可知：小球在容器中的下降速度要比在广延液体中的下降速度小，两者相差一个修正因子。密立根通过实验得到的修正因子为：

)3.31)(4.21(l

r R r ++=β （12）

式中R 和r 分别为容器和小球的半径，l 为筒中液体的深度。可见，对同样大小的球而言，圆筒半径R 越小，液体的深度l 越小，修正因子β越大；同样，对同一圆筒及一定深度的液体，球的半径r 越大，β就越大。于是，可以想象，当小球的直径趋于零时，器壁对小球的影响亦将t 0

图2 t 0与1/l 图

t 0’

趋于零。 此时，量筒中的液体相对小球来说，也就可理解为“无限广延”的液体了。但是直径趋于零的小球是无法实现的，此时如果运用外推方法，就可以帮助我们实现这种理想的状况。由于液体的深度比量筒的直径大得多，在不考虑量筒的深度对落球的影响时，修正因子

)4.21()4.21(D

d R r +=+=β （13）

则，液体粘度η与量筒直径D 及小球直径d 有如下关系 )4.21(0D d +=ηη （14）

式中0η是液体的真实粘滞系数，η是用落球法测量得到的粘滞系数。从(14)式可看出，η和d 成线性关系，因此可以用不同直径的小球测出若干个η（此时，D 和l 尽可能大），并以η为纵轴，d 为横轴作出η一d 图线，再进行线性外推。当→d 0时，直线在纵轴上的截距就是液体真实的粘滞系数。

4.2 理论修正

4.2.1 边界条件的理论修正

上述外推法虽然能比较准确地测量出液体的粘滞系数，但小球的运动状态也会对测量结果产生影响，得到的测量结果仍存在未知误差。那么有无更好的方法来解决这个问题呢？让我们从头开始换个方式思考，既然容器的边界效应对球体受到的粘滞力有影响，可否一开始就从理论上将液体尺度的影响因素考虑进来？实际上是可以的，通过流体力学的分析可以证明，在其他条件不变的前提下，对于本实验中采用的是具有轴对称性的柱状液体，不考虑小球运动状态的影响时，小球在其中所受粘滞力公式（1）应修正成：

)3.31)(4.21(3l

r R r vd f ++=πη （15） 同样用落球法进行测量，粘滞系数应相应地表示成：

())

/3.31)(/4.21(11820l r D d h t gd ++?-=ρρη （16） 其中，为容器径，为量筒待测液体的总高度，r 为小球的半径。

4.2.2 小球运动状态的修正——雷诺数修正

不仅液体的边界条件对小球在其中的运动有较大影响，物体在均匀稳定液体中的运动实际上还受到雷诺数的影响。雷诺数是描述流体运动或物体在均匀稳定液体中运动的一个重要的无量纲参数：

η

ρd v R e ??≡0 (17) 其中是液体密度，是物体运动速度或流体稳定流速，d 是运动物体的线性尺度，对本实验而言即小球直径，是液体的粘滞系数。雷诺数的大小决定了物体在液体中的运动方式，一般当（相当于小尺度物体在低密度、高粘滞系数的液体中进行低速运动）时称低雷诺数运动，此时液体中的粘滞力起主导作用，而液体的惯性力可以忽略，运动物体感受到周围液体以层流方式流动；而当时（相当于大尺度物体在高密度、低粘滞系数的液体中进行高速运动）称物体做高雷诺数运动，此时液体的惯性力作用逐渐增强，尤其是当雷诺数超过某个阈值时（一般）液体中的粘滞力可以忽略，物体感受到周围液体以湍流方式流动，展现出非常复杂的混沌效应。由于雷诺数对物体在液体中的运动影响很大，即便是对小雷诺数下的运动，公式（15）也需要做进一步修正，此时粘滞力在（15）式的基础上还要再乘上一个与雷诺数有关的修正项：

)1080

191631)(3.31)(4.21(32 +-+++=e e R R l r D d vd f πη （18） 由上式可见，当较小时，可以只考虑第一级修正，随着逐渐增大，需要将第二、第三甚至更多级的修正考虑进来，而当时，公式中的修正项会变得比主项还大，这表明此时流体的运动已经产生质的变化，基于斯托克斯公式的（18）式不再适用。

在实际操作中，一般当时我们仅考虑第一级雷诺数修正（为什么？），此时粘滞系数计算公式可以写成（试着推导一下）：

())16

31(1)/3.31)(/4.21(11820e R l r D d h t gd +?++?-=ρρη （19） 五 实验容

1. 液体横向和纵向“无限广延”之外推法测量蓖麻油的粘滞系数

提示：采用直径最小的刚球，在不同的液体深度下（约4个深度l 值），分别测量4个管子中小球下落液体高度h （15cm 左右，具体数据需要测量）所用的时间（选择5-6个刚球在同一个管子中下落，记录每个小球下落时间，该过程不可打捞落入液体中的刚球，否则会改变液体的流动状态）。

2.小球半径无限小之外推法测量蓖麻油的粘滞系数

提示：在保证所用管子直径最大和所装液体最深时，利用直径不同的小球测量其在液体中下落高度h 所需的时间。

3. 利用理论修正公式（19）测量和计算蓖麻油的粘滞系数

提示：管子的直径D 最大，液体的深度l 最深，小球的半径r 最小。