最新-2018女子数学奥林匹克 精品
第一天
2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春
我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础.
——华罗庚
1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证：
2
2BF
CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组
的所有实数解.
3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？
4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i
a .
??
???=++??? ??
+=???? ?
?+=??? ??+1
,11311215zx yz xy z z y y x x
第二天
2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春
数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。
——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3
x +3y =x -y ,求证：
.1422＜y x +
6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数；
(2)问：2018是否为好数？
7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证：
.11121m
n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的
边至少为多长？
【题1】证：如图，连接BK ，CJ.
∠E =∠ABP —∠BPE ，
而由A ，B ，P ，C 四点共圆，知∠BPE =∠A ， 故 ∠E =ABP —∠A ，
又由KA =KB ，知∠A =∠ABK,
故 ∠E =∠ABP —∠ABK =∠KBF . ① 同理 ∠F =∠JCE . ② 由①，②得 △JEC ∽△KBF .
由此，
,AK JE
KB JE BF CE == ③ .KF
AJ
KF JC BF CE == ④ 将③，④两式的左端和右端分别相乘即得结论.
【题2】解法一：
①式可化为
()()()
2
2211311215z
z
y y x x +=+=+. ③ 显然x ，y ，z 同号.首先求正数解. 存在α，β，γ∈(0，π)，使得x =tan
2α，y =tan 2
β，z =tan 2γ
，则
sin α=
212x x +, sin β=2
12y y
+, sin γ=212z z +, ③即
13
sin 12sin 5sin γ
β==α. ④ ②式可化为
xy
y
x z -+=11, 即 2
tan
2
cot
β
αγ
+=.
注意z ≠0,xy ≠1，因为α，β，γ∈(0，π)，所以
2
22γ
πβα-=+, 即 α+β+γ=π.
从而α，β，γ是某个三角形ABC 的三个内角.
由④和正弦定理知，α,β,γ所对的边a ，b ，c 的比是5∶12∶13，所以，
1sin 13
12sin 135sin ===
γβα，，.
从而 x =tan
2α=15
或5， y =tan 23322或=β， z =tan 12=γ
.
将z =1代入②式，易知x 和y 均小于1.所以??
?
??13251，，是唯一正数解.
故原方程组有两组解：??
? ??---??? ??13
25
1
13251，，和，，. 解法二：显然x ，y ，z 同号. 由②得x =
1yz
y z
-+，代入①得 ()()()()()()
()()yz z y z y yz z y z y yz yz z y z y yz y y -+++=-+++-=????
??-+++-=???
? ??+111511.5115112222
22， 即
5(z 2
+1)y =12(y +z )(1-y z), 同理 5(y 2
+1)z =13(y +z )(1-yz ).
整理得
12y 2
z +17yz 2
=7y +12z , 18y 2z +13yz 2
=13y +8z ,
两式相加，得
30yz (y +z )=20(y +z ),
∴ yz =
z
y 32,32=,代入①解得z =±1. 故原方程组有两组解：.1,32,511,32,
51??
?
??---??? ??和
【题3】解：存在，如下图所示。