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初中数学圆知识点总结

初中数学圆知识点总结
初中数学圆知识点总结

A

图1

图2

图5

圆的总结

一 集合:

圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

二 轨迹:

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;

2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;

3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线

三 位置关系:

1点与圆的位置关系:

点在圆内 dr 点A 在圆外

2 直线与圆的位置关系:

直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d

外离(图1) 无交点外切(图2) 相交(图3) 内切(图4) 内含(图5) 无交点

D

B

B A

B

A

四 垂径定理:

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:

①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④

⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD

五 圆心角定理

六 圆周角定理

圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB

圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧

即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径

即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠

C=90° ∴AB 是直径

推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

BC BD =AC AD =

P

即:在△ABC 中,∵OC=OA=OB

∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

七 圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C

八 切线的性质与判定定理

(1)判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN ⊥OA 且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 ∵MN 是切线 ∴MN ⊥OA

切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA=PB PO 平分∠BPA

九 圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在⊙O 中 △ABC 是正三角形,有关计算在Rt △BOD 中进行,OD:BD:OB=

(2

)正四边形

同理,四边形的有关计算在Rt △OAE 中进行,OE

:AE:OA= 1::2

1:1:

l

A

O

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt△OAB中进行,AB:OB:OA=

十、圆的有关概念

1、三角形的外接圆、外心。→用到:线段的垂直平分线及性质

2、三角形的内切圆、内心。→用到:角的平分线及性质

3、圆的对称性。→

?

?

?

中心对称

轴对称

十一、圆的有关线的长和面积。

1、圆的周长、弧长

C=2πr, l=θ

R

2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积

S圆=πr2,

S扇形=lr

2

1

S圆锥=

母线

底面圆

l

r

π2

+rπ

底面圆

3、求面积的方法

直接法→由面积公式直接得到

间接法→即:割补法(和差法)→进行等量代换

十二、侧面展开图:

①圆柱侧面展开图是形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的;

②圆锥侧面展开图是形,它的半径是这个圆锥的,它的弧

长是这个圆锥的底面的。

十三、正多边形计算的解题思路:

正多边形???→

连 OAB

转 化

等腰三角形OD

????→

作垂线

转 化

直角三角形。

可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的知识进行求解。

1::2

一、精心选一选,相信自己的判断!(每小题4分,共40分)

1.如图,把自行车的两个车轮看成同一平面内的两个圆,则它们的位置关系是( )

A .外离

B .外切

C .相交

D .内切 2.如图,在⊙O 中,∠ABC =50°,则∠AOC 等于( ) A .50° B .80° C .90° D .100°

3.如图,AB 是⊙O 的直径,∠ABC =30°,则∠BAC =(

) A .90° B .60° C .45° D .30°( )

4. 如图,⊙O 的直径CD ⊥AB ,∠AOC =50°,则∠CDB 大小为 ( ) A .25° B .30° C .40° D .50°

5.已知⊙O 的直径为12cm ,圆心到直线L 的距离为6cm ,则直线L 与⊙O 的公共点的个数为( ) A .2 B .1 C .0 D .不确定

6.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和7cm ,两圆的圆心距O 1O 2 =10cm ,则两圆的位置关系是( ) A .外切 B .内切 C .相交 D .相离

7.下列命题错误..的是( ) A .经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B .三角形的外心到三角形各顶点的距离相等

C .平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

D .经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 8.在平面直角坐标系中,以点(2,3)为圆心,2为半径的圆必定( ) A .与x 轴相离、与y 轴相切 B .与x 轴、y 轴都相离 C .与x 轴相切、与y 轴相离 D .与x 轴、y 轴都相切 9已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652

=+-x x 的两根,两圆的圆心距为1,两圆的位置关系是( )

A .外离

B .内切

C .相交

D .外切 10.同圆的内接正方形和外切正方形的周长之比为( )

A . 2 ∶1

B .2∶1

C .1∶2

D .1∶ 2 11.在Rt △AB C 中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是( ) A .25π B .65π C .90π D .130π 12.如图,Rt △AB C 中,∠ACB=90°,∠C AB =30°,BC =2,O 、H 分别为边AB 、AC 的中点,将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1BC 1的位置,则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为( ) A .73 π-7

8

3

B .43 π+7

8

3

C .π

D .4

3

π+ 3

第1题图 A B O C

第2题图 第3题图 12A H B O C 1O 1H 1A 1C

第4题 A B O C D

二、细心填一填,试自己的身手!(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 13. 如图,PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ,点E 是⊙O 上一点, 且

60=∠AEB ,则=∠P __ ___度.

14. 在⊙O 中,弦AB 的长为8厘米,圆心O 到AB 的距离为3厘米,则⊙O 的半径 为_______________ .

15.已知在⊙O 中,半径r =13,弦AB ∥CD ,且AB=24,CD

=10,则AB 与CD 的距离为__________.

16.一个定滑轮起重装置的滑轮的半径是10cm

,当重物上升10cm 时,滑轮的一条半径OA 绕轴心O 按逆时针方向旋转的角度为_______ (假设绳索与滑轮之间没有滑动)

17.如图,在边长为3cm 的正方形中,⊙P 与⊙Q 相外切,且⊙P 分别与DA 、DC 边相切,⊙Q 分别与BA 、BC 边相切,则圆心距PQ 为______________.

18.如图,⊙O 的半径为3cm ,B 为⊙O 外一点,OB 交⊙O 于点A ,AB =OA ,动点P 从点A 出发,以πcm/s 的速度在⊙O 上按逆时针方向运动一周回到点A 立即停止.当点P 运动的时间为_________s 时,BP 与⊙O 相切.

三、用心做一做,显显自己的能力!(本大题共7小题,满分66分)

19.(本题满分8分)如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm ,水深GF=2cm.若水面上升2cm (EG=2cm ),则此时水面宽AB 为多少?

20.(本题满分8分)如图,P A ,PB 是⊙O 的切线,点A ,B 为切点,AC 是⊙O 的直径,∠ACB =70°.求∠P 的度数.

21.(本题满分8分)如图,线段AB 经过圆心O ,交⊙O 于点A 、C ,点D 在⊙O 上,连接

B 第13题图

17题图 第18题图

C

A D

AD 、BD ,∠A =∠B =30°,BD 是⊙O 的切线吗?请说明理由.

22.如图所示,AB 是?O 的一条弦,OD AB ⊥,垂足为C ,交?O 于点D ,点E 在?O 上. (1)若52AOD ∠=,求DEB ∠的度数; (2)若3OC =,5OA =,求AB 的长.(10分)

23.如图,AB 、CD 是?O 的两条弦,延长AB 、CD 交于点P ,连结AD 、BC 交于点

E .30P ∠=,50ABC ∠=,求A ∠的度数.(8分)

24. (12分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 中点,AE 平分∠BAD 交BC 于点E ,点O 是AB 上一点,⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ,交AB 于点F . (1)求证:BC 与⊙O 相切; (2)当∠BAC =120°时,求∠EFG 的度数

25.(本题满分12分)已知:如图△ABC 内接于⊙O ,OH ⊥AC 于H ,过A 点的切线与OC 的延长线交于点D ,∠B =30°,OH=5 3 .请求出: (1)∠AOC 的度数;

(2)劣弧AC 的长(结果保留π); (3)线段AD 的长(结果保留根号).

26.(本题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,⊙M 与x 轴交于A 、B 两点,AC 是⊙M 的直径,过点C 的直线交x 轴于点D ,连接BC ,已知点M 的坐标为(0, 3 )

,直线

C

CD 的函数解析式为y=- 3 x +5 3 .

⑴求点D 的坐标和BC 的长; ⑵求点C 的坐标和⊙M 的半径; ⑶求证:CD 是⊙M 的切线.

初中数学圆知识点总结

1、圆是定点的距离等于定长的点的集合

2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

4、同圆或等圆的半径相等

5、到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆

6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线

7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线

8、到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 11、推论1:

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 12、推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等 13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

14、定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

15、推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

16、定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

17、推论:1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等

18、推论:2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 19、推论:3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

x

20、定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角

21、①直线L和⊙O相交 d﹤r

②直线L和⊙O相切 d=r

③直线L和⊙O相离 d﹥r

22、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

23、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

24、推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

25、推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

26、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

27、圆的外切四边形的两组对边的和相等

28、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

29、推论:如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等

30、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等

31、推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

32、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

33、推论:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

34、如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上

35、①两圆外离 d﹥R+r

②两圆外切 d=R+r

③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)

④两圆内切 d=R-r(R﹥r)

⑤两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)

36、定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

37、定理:把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

38、定理:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆

39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n

40、定理:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

41、正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长

42、正三角形面积√3a/4 a表示边长

43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,

因此k (n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4

44、弧长计算公式:L=n兀R/180

45、扇形面积公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2

46、内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)

中考数学圆知识点归纳

圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ? 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d 。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距 离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; d = r 点P 在⊙O 上 d < r (r > d 点P 在⊙O 内 d > r (r

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义:第一种:在一个平面内,线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心,线段0A叫作半径。第二种:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长, 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。( 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD, AB是弦,且CDLAE, C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如 上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相 等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心 圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB ∠不一定... 是直角的是( ) A . B . C . D . 【答案】C 【解析】 【分析】 根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】 解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角. 选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角. 选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】 本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键. 2.如图,在平行四边形ABCD 中,BD ⊥AD ,以BD 为直径作圆,交于AB 于E ,交CD 于F ,若BD=12,AD :AB=1:2,则图中阴影部分的面积为( ) A .3 B .36ππ C .312π D .48336ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长,利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数,进而求得∠EOD 的度数,那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ,算出后乘2即可.

【详解】 连接OE ,OF . ∵BD=12,AD :AB=1:2, ∴AD=43 ,AB=83,∠ABD=30°, ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等, ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选:C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积. 3.如图,在平面直角坐标系中,点P 是以C (﹣2,7)为圆心,1为半径的⊙C 上的一个动点,已知A (﹣1,0),B (1,0),连接PA ,PB ,则PA 2+PB 2的最小值是( ) A .6 B .8 C .10 D .12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P (x ,y ),表示出PA 2+PB 2的值,从而转化为求OP 的最值,画出图形后可直观得出OP 的最值,代入求解即可. 【详解】 设P (x ,y ), ∵PA 2=(x +1)2+y 2,PB 2=(x ﹣1)2+y 2, ∴PA 2+PB 2=2x 2+2y 2+2=2(x 2+y 2)+2, ∵OP 2=x 2+y 2, ∴PA 2+PB 2=2OP 2+2, 当点P 处于OC 与圆的交点上时,OP 取得最值,

初三数学上册圆的知识点总结—全面资料

圆 章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +;外切(图2)? 有一个交点?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 r R d O E D C O D A B

九年级数学圆知识点归纳

:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3 )圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ?平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。(1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r,OP=d。 7、(1 (2 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。 2 9A(x1,y1)、B(x2,y2)。 d= r 直线与圆相切。 d< r(r > d直线与圆相交。 d > r(r d点P在⊙O内 d > r(r

圆的知识点总结及典型例题.

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 1

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; (3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB =,ON=1,求MN的长; ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。 解:①∵AB =,半径OM⊥AB,∴AN=BN = ∵ON=1,由勾股定理得OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60° 2

初三数学圆的知识点整理

1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称 轴,圆心是它的对称中心(p110) 5.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。(逆定理: 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等。 10.定理3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的两条劣弧(优弧) 相等,相等的劣弧(优弧)所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆(P117) 12.顶点在圆上,并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理:(p119-120)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角;对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r

中考圆知识点经典总结

圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 (1)弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB) (2)直径 经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD) 直径等于半径的2倍。 (3)半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (4)弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。 弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示) 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有: dr?点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 4、圆接四边形性质(四点共圆的判定条件) 圆接四边形对角互补。 考点九、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》 一、圆的概念 概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +; 外切(图2)?有一个交点?d R r =+; 相交(图3)?有两个交点?R r d R r -<<+; 内切(图4)?有一个交点?d R r =-; 内含(图5)?无交点?d R r <-; A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1.下面四个命题中正确的一个是( ) A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C .弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2.下列命题中,正确的是( ). A .过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B .过弦的中点的直线必过圆心 C .弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心 D .弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大 深度为16cm ,那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B

中考数学圆的知识点总结

2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个)

圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,POP在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO 2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB

初三数学二次函数与圆知识点总结材料

初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时,ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用围较小;公式法虽然适用围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式: .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=, ; ※ 5.当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+,;Δ=b 2-4ac 分析,不要求背记) (1)两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0; (2)两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0; (3)只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0; (4)有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0; (5)至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0; (6)两根异号 ? a c <0 ? a 、c 异号; (7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值? a c <0且a b ->0? a 、c 异号且a 、b 异号; (8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值? a c <0且a b -<0? a 、c 异号且a 、b 同号;

初中数学圆专题训练

初中数学圆专题训练 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

初中数学圆专题训练(一) (一)选择题 1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有()(A)4个(B)3个(C)2个 (D)1个 2.下列判断中正确的是() (A)平分弦的直线垂直于弦(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 (C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3.如图,在两半径不同的同心圆中,∠AOB=∠A′OB′=60°,则()(A)=(B)> (C)的度数=的度数 (D)的长度=的长度 4.如图,已知⊙O的弦AB、CD相交于点E,的度数为60°,的度数为100°,则∠AEC等于()

(A )60° (B )100° (C )80° (D )130° 5.圆内接四边形ABCD 中,∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6,则∠D 的度数是 ( ) (A )67.5° (B )135° (C )112.5° (D )110° 6.OA 平分∠BOC ,P 是OA 上任一点,C 不与点O 重合,且以P 为圆心的圆与OC 相离,那 么圆P 与OB 的位置关系是 ( ) (A )相离 (B )相切 (C )相交 (D )不确定 7.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,它的内切圆的半径为r ,则△ABC 的面积为( ) (A )21(a +b +c )r (B )2(a +b +c ) (C )3 1(a +b +c )r (D )(a +b +c )r 8.如图,已知四边形ABCD 为圆内接四边形,AD 为圆的直径,直线MN 切圆于点B ,DC 的延长线交MN 于G ,且cos ∠ABM =2 3,则tan ∠BCG 的值为……( ) (A )33 (B )2 3 (C )1 (D )3

(完整版)初中数学圆知识点总结

A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d

D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD =

2017中考数学专题复习圆(最新整理)

【基础知识回顾】 第六章圆 第二十三讲圆的有关概念及性质 一、圆的定义及性质: 1、圆的定义: ⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆,固定的端点叫线段OA 叫做 ⑵描述性定义:圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧: 弦:连接圆上任意两点的叫做弦 弧:圆上任意两点间的叫做弧,弧可分为、、三类 3、圆的对称性: ⑴轴对称性:圆是轴对称图形,有条对称轴,的直线都是它的 对称轴 ⑵中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是 【名师提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦,弦不一定是直径; 3、圆不仅是中心对称图形,而且具有旋 转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论: 1、垂径定理:垂直于弦的直径,并且平分弦所对的。 2、推论:平分弦()的直径,并且平分弦所对的。 【名师提醒:1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出其余三个,注 意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线(即弦心距)。3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d 和弓高h 中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系: 1、圆心角定义:顶点在的角叫做圆心角 2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对 应的其余各组量也分别 【名师提醒:注意:该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论: 1、圆周角定义:顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的 圆心角的 推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆(或直弦)所对的圆周角是,900 的圆周角所对的弦是 【名师提醒:1、在圆中,一条弦所对的圆心角只有一个,而它所对的圆周角 有个,是类,它们的关系是,2、作直径所对的圆周角是圆中常作的 辅助线】 五、圆内接四边形: 定义:如果一个多边形的所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8.直线和圆的位置关系: 设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr),圆心距.

中考复习圆专题所有知识点和题型汇总全

《圆》题型分类资料 一.圆的有关概念: 1.下列说法:①直径是弦②弦是直径③半圆是弧,但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧,正确的命题有() A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题是假命题的是() A.直径是圆最长的弦B.长度相等的弧是等弧 C.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧也相等 D.如果三角形一边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是() A.三点确定一个圆B.长度相等的两条弧是等弧 C.一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A.相等的圆周角所对的弧相等B.圆周角等于圆心角的一半 C.长度相等的弧所对的圆周角相等D.直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角,为圆心角的是( ) A.B.C.D. 二.和圆有关的角: 1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50 ,则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3,点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D的度数为

A 图3 图4 4. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点,已知∠BAC=80°, 那么∠BDC=_________度. 5. 如图5,在⊙O中,BC是直径,弦BA,CD的延长线相交于点P,若∠P=50°,则∠AOD=. A 图5 图6 6. 如图6,A,B,C,是⊙O上的三个点,若∠AOC=110°,则∠ABC=°. 7.圆的内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ,则∠AOB= . 9.如图7,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=________ A 图7 图8 10.如图8,△ABC是O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合),设OABα ∠=,Cβ ∠=(1)当35 α=时,求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系为 11.已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,延长BC至E,求证:∠A+∠B C D=180°,∠DCE=∠A; 如图2,若点C在⊙O外,且A、C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系;

初中数学圆专题训练一)

初中数学圆专题训练(一) (一)选择题 1.有下列四个命题:①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有 ( ) (A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个 2.下列判断中正确的是 ( ) (A )平分弦的直线垂直于弦 (B )平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 (C )弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 (D )平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3.如图,在两半径不同的同心圆中,∠AOB =∠A ′OB ′=60°,则 ( ) (A )= (B ) > (C )的度数=的度数 (D ) 的长度= 的长度 4.如图,已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ,的度数为60°, 的度数为100°,则∠AEC 等于 ( ) (A )60° (B )100° (C )80° (D )130° 5.圆内接四边形ABCD 中,∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6,则∠D 的度数是( ) (A )67.5° (B )135° (C )112.5° (D )110° 6.OA 平分∠BOC ,P 是OA 上任一点,C 不与点O 重合,且以P 为圆心的圆与OC 相离,那么圆P 与OB 的位置关系是 ( ) (A )相离 (B )相切 (C )相交 (D )不确定 7.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,它的内切圆的半径为r ,则△ABC 的面积为( ) (A ) 21(a +b +c )r (B )2(a +b +c ) (C )3 1 (a +b +c )r (D )(a +b +c )r 8.如图,已知四边形ABCD 为圆内接四边形,AD 为圆的直径,直线MN 切圆于点B ,DC 的延长线交MN 于G ,且cos ∠ABM = 2 3 ,则tan ∠BCG 的值为……( ) (A ) 33 (B )2 3 (C )1 (D ) 3 9.在⊙O 中,弦AB 和CD 相交于点P ,若PA =3,PB =4,CD =9,则以PC 、PD 的长为根的一元二次方程为 ( ) (A )x 2 +9 x +12=0 (B )x 2 -9 x +12=0 (C )x 2 +7 x +9=0 (D )x 2 -7 x +9=0 10.已知半径分别为r 和2 r 的两圆相交,则这两圆的圆心距d 的取值范围是 ( ) (A )0<d <3 r (B )r <d <3 r (C )r ≤d <3 r (D )r ≤d ≤3 r 11.两圆半径分别为2和3,两圆相切则圆心距一定为 ( ) (A )1cm (B )5cm (C )1cm 或6cm (D )1cm 或5cm 12.弦切角的度数是30°,则所夹弧所对的圆心角的度数是 ( ) (A )30° (B )15° (C )60° (D )45° 13.在两圆中,分别各有一弦,若它们的弦心距相等,则这两弦 ( ) (A )相等 (B )不相等 (C )大小不能确定 (D )由圆的大小确定 14. ∠PAD= ( ) A.10° B.15° C.30° D.25°

初中数学圆的专题训练

圆的专题训练初中数学组卷 一.选择题(共15小题) 1.如图,⊙O的半径为4,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为() A.3B.4C.5D.6 2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°,⊙O的半径为5cm,则圆心O到弦CD的距离为() A.cm B.3cm C.3cm D.6cm 3.如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,∠ABD=60°,CD=2,则阴影部分的面积为()

A.B.π C.2πD.4π 4.如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为() A.20°B.40°C.50°D.70° 5.如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧 ⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为() A.B.2C.D. 6.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4,则S () 阴影=

A.2πB.πC.πD.π 7.如图,⊙O中,弦AB与CD交于点M,∠A=45°,∠AMD=75°,则∠B的度数是() A.15°B.25°C.30°D.75° 8.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=36°,∠C=28°,则∠B=() A.100° B.72°C.64°D.36° 9.如图,在平面直角坐标系中,⊙P与x轴相切,与y轴相交于A (0,2),B(0,8),则圆心P的坐标是()

A.(5,3)B.(5,4)C.(3,5)D.(4,5) 10.如图,正方形ABCD的边AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是() A. B.1﹣C.﹣1 D.1﹣ 11.如图,△ABC内接于半径为5的⊙O,圆心O到弦BC的距离等于3,则∠A的正切值等于() A.B.C.D.

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