2004年第4届中国西部数学奥林匹克竞赛试题

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

第38届全俄数学奥林匹克竞赛

第38届全俄数学奥林匹克竞赛 九年级 9.1 a1,a2,?,a11是不小于2的互异正整数，满足：a1+a2+?+ a11=407。是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,?,a11,4a1,4a2,?,4a11这22个数时所得到的余数的和等于2012？ 9.2 已知：在正2012边形的顶点中，存在k个顶点，使得以这k个顶点为顶点的凸k多边形的任意两条边不平行。求k的最大值。 9.3 ABCD是一个平行四边形，∠A为钝角。H是点A向直线BC的垂直投影。△ABC过顶点C的中线的延长线交其外接圆于K。求证：K,H,C,D四点共圆。 9.4 正实数a1,a2,?,a n,k满足：a1+a2+?+a11=3k,a12+a22+?+a n2=3k2,a13+a23+?+a n3>3k3+k。求证：在a1,a2,?,a n中存在两个数使得它们的差的绝对值大于1。 9.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。 9.6 A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足AA1?AA1=AA1?AA1=AA1?AA1。I A,I B和I C分别是△AB1C1，

A1BC1和A1B1C的内心。求证△I A I B I C的外心和△ABC的内心重合。9.7 开始时黑板上写着10个连续正整数。对黑板上的数进行如下操作：任取黑板上的两个数a和b，将他们用数a2?2011b2和ab替换。经过若干次上述操作后，黑板上开始时的10个数已全部被替换掉，问此时在黑板上是否可能还是10个连续的正整数？ 9.8 城市里有若干路公共汽车线。已知任两路公共汽车线恰有一个公共的车站；任一路公共汽车线至少有4站。求证：可以将所有的车站分成不交的两组，使得任意一路公共汽车线含每组中至少一站。

第40届俄罗斯数学奥林匹克九年级试题(无答案)

第40届俄罗斯数学奥林匹克（九年级） 1. 放置了99个正整数. 已知任意两个相邻的数相差1或相差2或一个为另一个的2倍. 证明：这99个数中，有3的倍数. 2. 已知a b ，为两个不同的正整数. 问： ()()()()()()222222a a ab a b a b a b b b ++++++，，，，， 这六个数中，至多有多少个完全平方数？ 3. 令A 是由一个凸n 边形的若干对角线组成的集合. 若集合A 中的一条对角线恰有另外一条对角线与其相交在凸n 边形内部，则称该对角线为“好的”. 求好对角线条数的最大可能值. 4. 在锐角ABC △中，已知AB BC >，M 为边AC 的中点，圆Γ为ABC △的外接圆，圆Γ在点A C ，处的切线交于点P ，线段BP 与AC 交于点S ，AD 为ABP △的高，CSD △的外接圆与圆Γ交于点K （异于点C ）. 证明：90CKM ∠=?. 5. 设正整数1N >，m 表示N 的小于N 的最大因数. 若N m +为10的幂，求N .

6. 已知内接于圆Γ的梯形ABCD 两底分别为AB CD ，，过点C D ，的一个圆1Γ与线段 CA CB ，分别交于点1A （异于点C ），1B （异于点D ）. 若22A B ，为11A B ，分别关于CA CB ，中点的对称点，证明：22A B A B ，，，四点共圆. 7. 麦斯国中央银行决定发行面值为()01k k α=，，的硬币. 央行行长希望能够找到一个正 实数α，使得对任意1k k α， ≥为大于2的无理数，且对于任意正整数n ，理论上均存在若干枚面值之和等于n 的硬币，其中每种面值的硬币均不超过六枚. 问：行长的愿望能够实现吗？ 8. 某国有n 座城市，任意两座城市之间有双向直达航班. 已知对任意两座城市，它们之间 的两个方向的机票价格相同，不同城市对之间的航班机票价格互不相同. 证明：存在由1n -段依次相连的航班，使得各段航班机票的价格依次严格单调下降.

小学二年级数学奥林匹克竞赛题(附答案)

小学二年级数学奥林匹克竞赛题（附答案） 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3、2，3，5，8，12，( )，( ) 4、1，3，7，15，( )，63,( ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( ) ，( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？(1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 11. 修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 12. 王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 13. 食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？ 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( )

19、按规律填数。(1)1，3，5，7，9，( ) (2)1，2，3，5，8，13 ( ) (3)1，4，9，16，( ) ，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 (2) 4 4 4 4 4 =16 (3)9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( ) 个。 24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？ 25、用1、2、3三个数字可以组成( ) 个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( ) 和( ) 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( ) 盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子) ，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克 第一轮 比赛时间：2019年11月29日 1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数. 2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立. 求a 1的所有可能的值. 3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD. 4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队. (1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅? (2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅? 5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排” 的所有 n 的值. 6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有： 2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1, 就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”. 第二轮 比赛时间：2020年1月30日

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

新人教版2020-2021三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

中心小学三上年级数学竞赛试题 小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收 获。 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下， 要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大 猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均 成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘 米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3 倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 二、我会判断(每题1分，共6分)

小学数学奥林匹克竞赛试题 及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （四年级） (红色为正确答案) 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 差数之和的最小值是( ). 13 32 41 13

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

16高中数学奥林匹克竞赛训练题(2)编辑版

高中数学奥林匹克竞赛训练题（02） 第一试 一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 1．(训练题07)十个元素组成的集合．的所有非空子集记为，每一非空子集中所有元素的乘积记为.则（C）． （A）0 （B）1 (C) -1 (D)以上都不对 2．(训练题07)△ABC的三个内角依次成等差数列，三条边上的高也依次成等差数列．则为（B） （A）等腰但不等边三角形（B）等边三角形（C）直角三角形（D）钝角非等腰三角形 3．(训练题07)对一切实数，不等式恒成立．则的取值范围是（A） （A）(B) (C) (D) 4．(训练题07)若空间四点满足，则这样的三棱锥共有（A）个． （A）0 （B）1 （C）2 （D）多于2 5．(训练题07)已知不等式时恒成立，则的取值范围是（B） （A）(B) (C) (D) 6．(训练题07)方程在复数集内根的个数为.则（C） （A）最大是2 （B）最大是4 （C）最大是6 （D）最大是8 二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 1．(训练题07)函数的值域是________ 2．(训练题07)已知椭圆，焦点为，，为椭圆上任意一点（但点不在x轴上），的内心为，过作平行于轴的直线交于.则________. 3．(训练题07)为的三个内角， 且.则_____. 4．(训练题07)实数满足.则的最小值是____. 5．(训练题07)在一次足球冠军赛中，要求每一队都必须同其余的各个队进行一场比赛，每场比赛胜队得2分，平局各得1分，败队得0分．已知有一队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少．若至少有队参赛，则=__6____. 6．(训练题07)若是一个完全平方数，则自然数14 ． 三、(训练题07)（本题满分20分）若正三棱锥底面的一个顶点与其所对侧面的重心距离为4，求这个正三棱锥的体积的最大值．(18) 四、(训练题07)（本题满分20分）一个点在轴上运动的速度为2米/秒，在平面其它地方速度为1米/秒．试求该点由原点出发在1秒钟内所能达到的区域的边界线． 五、(训练题07)（本题满分20分）已知为虚数，且是方程的实根．求实数的取值范围．() 第二试 一、(训练题07)（本题满分20分）在中，为边上的任一点，于，于，交于． 求证：． 二、(训练题07)（本题满分35分）用个数（允许重复）组成一个长为的数列，且.证明：可

历届西部数学奥林匹克试题

目录 2001年西部数学奥林匹克 (2) 2002年西部数学奥林匹克 (4) 2003年西部数学奥林匹克 (6) 2004年西部数学奥林匹克 (7) 2005年西部数学奥林匹克 (8) 2006年西部数学奥林匹克 (10) 2007年西部数学奥林匹克 (12) 2008年西部数学奥林匹克 (14) 2009年西部数学奥林匹克 (16) 2010年西部数学奥林匹克 (18) 2011年西部数学奥林匹克 (21) 2012年西部数学奥林匹克 (23)

2001年西部数学奥林匹克 1.设数列{x n}满足x1=12，x n+1=x n+x n2n 2.证明：x2001<1001. （李伟固供题） 2.设ABCD是面积为2的长方形，P为边CD上的一点，Q为△P AB 的内切圆与边AB的切点.乘积PP?PP的值随着长方形ABCD及点P 的变化而变化，当PP?PP取最小值时， （1）证明：PP≥2PB； （2）求PQ?PQ的值. （罗增儒供题） 3.设n、m是具有不同奇偶性的正整数，且n>m.求所有的整数x，使得x2n?1x m?1是一个完全平方数. （潘曾彪供题） 4.设x、y、z为正实数，且x+y+z≥xyz.求x2+y2+z2xyz的最小值. （冯志刚供题） 5.求所有的实数x，使得[x3]=4x+3.这里[y]表示不超过实数y的最大整数. （杨文鹏供题） 6.P为⊙O外一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B.设Q 为PO与AB的交点，过Q作⊙O的任意一条弦CD.证明：△PAB与 △PCD有相同的内心. （刘康宁供题） 7.求所有的实数x∈?0,π2?，使得(2?sss2x)sss?x+π4?=1，并证

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日） 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 三、设实数a ，b ，c 满足 3a b c ++=．求证： 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ． 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 解 对于空集?，定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况： 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A . 由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1 ＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1 ＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1， 36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠?的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70.

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两