初中奥数讲义_直角三角形的再发现附答案

直角三角形的再发现

直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：

1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2，

AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2．

2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD．

3．线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD；

由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．

以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识．

注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中．

例题求解

【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．

(江苏省常州市中考题)

思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程．

【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题)

思路点拨 从题设条件及基本图形入手，先建立AB 、AD 的等式．

【例3】 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，DB 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连结DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE=45°．

(1)求证：BD ×BC ＝BG ×BE ；

(2)求证：AG ⊥BE ；

(3)若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．（盐城市中考题）

思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD ∽△CBE ；(2)证明△ABG ∽EBA ；(3)利用相似三角形，把求FD

EF 的值转化为求其他线段的比值． 【例4】 如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH=BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P ．求证：DP ⊥PQ ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)

思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可．

注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合

2019中考数学解直角三角形汇编

解直角三角形应用篇 1．（2019山东泰安中考）（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km． A．30+30B．30+10C．10+30D．30 2．（2019山东淄博中考）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处，则∠ABC等于（） A．130°B．120°C．110°D．100° 3（.2019山东聊城中考）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体高度（如图①所示，CD 部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45，底端D点的仰角为 30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4（如图② 所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.40.89， cos63.40.45，tan63.42.00，21.41，31.73）

的

4. (2019甘肃中考7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户设计遮阳篷”这-课 题进行了探究: 出: 1是某住户窗户上方安装的，要求设计的遮阳篷既能最大限度夏天 炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射. 方案设计: 2,该数学课题研究小组通过调查研究设AC 的遮阳篷CD 数据收集: 通过查阅:兰州市一年中，夏至这一天的正午时刻，太DA 与遮阳篷C D 的夹角∠A D C 最大(∠A D C =77.44°):冬至这一天的正午时刻，太 DB 与遮 阳篷CD 的夹角 ∠BDC 最小(∠BDC=30.56°);窗户的高度AB=2m 决: 根据上述方案及数据，求遮阳篷C . (结果0.1m,参考数据:sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86,tan30.56°≈0.59)

初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

1中考第一轮复习 三角形 中考大纲剖析 本讲结构 1

2 一、等腰三角形 二、直角三角形 1．直角三角形的边角关系． ①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数． 2．特殊直角三角形 知识导航

3 三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 四.全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL． 在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合. 五.相似三角形 相似三角形的性质： ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比． 3

4 ⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定： ⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似； ⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型： (1)E D C B A (3)E D C B A (4) D C B A D C B A (6) E D C B A (2)E D C B A (5) E D C B A （10） （9） （8） A B D E A B C D E E D B A 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求. 另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”. 【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ． （2010顺义一模） （3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠， 点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =． （2012海淀期中） 模块一 特殊三角形 夯实基础 A C F E D B

初中数学奥数题和答案

初中数学奥数题和答案 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么() A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中准确的是() A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是 多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。 两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，所以选D。 3．下面说法中不准确的是() A.有最小的自然数

B．没有最小的正有理数 C．没有的负整数 D．没有的非负数 答案：C 解析：的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么() A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有() A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2， －1，0共4个．选C。 6．有四种说法：

甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不准确的说法的个数是() A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是() A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上能够排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，能够在原方程的两边() A．乘以同一个数

解直角三角形教案设计

解直角三角形教案设计 教学建议 1.知识结构： 本小节主要学习解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系以及直角三角形的解法. 2.重点和难点分析： 教学重点和难点：直角三角形的解法. 本节的重点和难点是直角三角形的解法.为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系.正确选用这些关系，是正确、迅速地解直角三角形的关键. 3. 深刻认识锐角三角函数的定义，理解三角函数的表达式向方程的转化. 锐角三角函数的定义： 实际上分别给了三个量的关系：a、b、c是边的长、、和是由用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中. 当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个一元方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素. 由此看来，表达三角函数的定义的4个等式，可以转化为求

边长的方程，也可以转化为求角的方程，所以成为解三角形的重要工具. 4. 直角三角形的解法可以归纳为以下4种，列表如下： 5. 注意非直角三角形问题向直角三角形问题的转化 由上述(3)可以看到，只要已知条件适当，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就可以通过解直角三角形而获得解决.请看下例. 例如，在锐角三角形ABC中，，求这个三角形的未知的边和未知的角(如图) 这是一个锐角三角形的解法的问题，我们只需作出BC边上的高(想一想：作其它边上的高为什么不好.)，问题就转化为两个解直角三角形的问题. 在Rt中，有两个独立的条件，具备求解的条件，而在Rt中，只有已知条件，暂时不具备求解的条件，但高AD可由解时求出，那时，它也将转化为可解的直角三角形，问题就迎刃而解了. 掌握非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法 是十分重要的，如 (1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角

初三数学：解直角三角形

解直角三角形 知识要点： 1、 锐角三角函数：正弦、余弦、正切、余切 sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边 A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边 的邻边 A A ∠∠ (1)平方关系：1cos sin 2 2=+A A ； (2)倒数关系：1cotA tanA =?； (3)商的关系：tanA= A A cos sin (4)互余两角的正余弦、正余切关系： 如果ο 90=∠+∠B A ，那么B A A cos )90cos(sin =-=ο ；tanA=cot （90°-A ）=cotB 2、 解直角三角形 3、 解直角三角形的应用：坡度问题、测量问题、航海问题 关键是把实际问题转化为数学问题来解决 (构造直角三角形) 几个专用名词：俯角、仰角、坡角、坡度（或坡比）、方向角 一：转化思想在解直角三角形中的应用 转化的思想在数学中应用十分广泛，在不含直角三角形的图形中（如斜三角形、梯形等），我们应通过作适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题，希望同学们在不断地学习中总结这种添加垂线的技巧例1. 在△ABC 中，已知AB=6，∠B=45°，∠C=60°，求AC 、BC 的长． 已知条件 解法 一边及 一锐角 直角边a 及锐角A B ＝90°-A ，b ＝a·tanA，c= sin a A 斜边c 及锐角A B ＝90°-A ，a ＝c·sinA，b ＝c·cosA 两边 两条直角边a 和b ，B ＝90°-A ， 直角边a 和斜边c sinA= a c ，B ＝90°-A ，

例2. 如图所示，△ABC中，∠BAC=120°，AB=5，AC=3，求sinB·sinC的值． 例3．如图，在ΔABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，则 CD AC AB- 等于（）． A .sin A B. cos A C . tan A D . cot A 例4．如图所示，在ΔABC中，∠B=60°，且∠B所对的边b=1，AB+BC=2，求AB的值． 例5．已知：在ΔABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5，求ΔABC的面积． 例6．如图，ΔABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC上的一点，且AD∶DC=1∶3，求tan∠DBC的值． 二：可解的非直角三角形的类型与解法 解这类三角形一般都需要三个条件，它的解题思路是：作垂线，构造含特殊角的直角三角形来解决，下面分类举例说明，供同学们参考． 一、“SSS”型：例1．已知：如图１，BC=2，AC=6，AB=31 +，求△ABC各内角的度数． B A D C 图1

著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版

内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 知识点睛 中考要求 解直角三角形

C A B c b a 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念

根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： c b a C B A （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b a A B A B A c c b ===== 三、 解直角三角形的四种基本类型 （1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=?-∠， b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边 c ，锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，tan b a B =，sin a c A =； （4）已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=?-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等． 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ?中，90A B ∠+∠=?，故sin cos(90)cos A A B =?-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；

初一奥数题及解答

初一奥数复习题 2．设a，b，c为实数，且｜a｜+a=0，｜ab｜=ab，｜c｜-c=0，求代数式｜b｜-｜a＋b｜-｜c-b｜＋｜a-c｜的值． 3．若m＜0，n＞0，｜m｜＜｜n｜，且｜x＋m｜＋｜x-n｜=m＋n，求x的取值范围．4．设(3x-1)7=a7x7＋a6x6+…+a1x＋a0，试求a0+a2＋a4＋a6的值． 5．已知方程组 有解，求k的值． 6．解方程2｜x+1｜+｜x-3｜=6． 7．解方程组 8．解不等式｜｜x＋3｜-｜x-1｜｜＞2． 9．比较下面两个数的大小： 10．x，y，z均是非负实数，且满足：

x＋3y＋2z=3，3x＋3y+z=4， 求u=3x-2y＋4z的最大值与最小值． 11．求x4-2x3＋x2+2x-1除以x2+x＋1的商式和余式． 12．如图1－88所示．小柱住在甲村，奶奶住在乙村，星期日小柱去看望奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小柱应该选择怎样的路线才能使路程最短？ 13．如图1－89所示．AOB是一条直线，OC，OE分别是∠AOD和∠DOB的平分线，∠COD=55°．求∠DOE的补角． 14．如图1－90所示．BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=55°，∠EDF=70°．求证：BC ∥AE．

15．如图1－91所示．在△ABC中，EF⊥AB，CD⊥AB，∠CDG=∠BEF．求证：∠AGD=∠ACB． 16．如图1－92所示．在△ABC中，∠B=∠C，BD⊥AC于D．求 17．如图1－93所示．在△ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BD∶DC=1∶2，AD与BE交于F．求△BDF与四边形FDCE的面积之比． 18．如图1－94所示．四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线AC∥KL，BD 延长线交KL于F．求证：KF=FL． 19．任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由． 20．设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色．问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？ 21．如果正整数p和p+2都是大于3的素数，求证：6｜(p＋1)．

(完整版)初中解直角三角形练习题

解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=

二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm

初中数学 解直角三角形教案

第19章解直角三角形 19、1 测量 教学目标 使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。 教学过程 一、引入新课 测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢? 二、新课 1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图) 课上阐述测量旗杆的方法。 第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同 学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长 度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。(如 图所示) 由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ ACB∽△A1C1 B1，因此，BC AC＝B1C1 A1C1，则BC＝ AC×B1C1 A1C1，即可求得旗杆 BC的高度。 如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?

第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l的长度,便可以计算旗杆的实际高度。 由画图可知: ∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ ABC＝∠A1B1C l＝90° ∴△ABC∽△A l B1C l ∴B l C1＝ 1 500 ∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。 2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。(指导学生使用测角仪测出角度) 三、小结 本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。 四、作业 1．课本第99页习题19．1。 2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。

解直角三角形讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课题九（下）第一章、解直角三角形 教学目标 1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角 三角形中加以解决。会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。 2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。 3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习 品质。 重点、难点 重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。 难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题 考点及考试要求 教学内容 1.1~1.2锐角三角函数及其计算 边角之间的关系（锐角三角函数）: sin,cos,tan a b a A A A c c b === ★22 sin sin cos(90)cos,tan,sin cos1 cos A A A B A A B A =-==+= o ★三角函数的单调性：090sin sin1 A B A B ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 090cos cos1 A B B A ≤<≤≤<≤ o o 当时，0 04590tan1tan A B A B ≤<<≤≤<<≤+∞ o o o 当时，0 0180tan A A A <<< o o 当时，sin 如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α ∠，b ∠ =,sin CD EF CD b EF OC OE α=== Q sin CD EF < Q,sin sin a b < Q =,tan CD AB CD AB OC OB αα === Q sin,CD AB < Q tan αα ∴< sin 其它均可用上图来证明。 30°，45°，60°的三角函数值（见右表） 例（1）计算： sin60°·tan30°+cos 2 45°= （2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为

初中数学九年级下册《解直角三角形》教案

28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数． 在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】利用解直角三角形求边或角 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，按下列条件解直角三角形． (1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度数和边b、c的长； (2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度数和边c的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cos B＝ a c，即c＝ a cos B＝ 36 3 2 ＝243，∴b＝sin B·c＝ 1 2×243＝123； (2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝66，∴tan A＝ a b＝ 3 3，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴c＝2a＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】构造直角三角形解决长度问题 一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，试求CD的长．

初三数学解直角三角形

初三数学解直角三角形 1、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫解直角三角形． 2、解直角三角形的依据 （1）三边之间的关系：a2＋b2=c2．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°． （3）边角之间的关系： 例1如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，tanB=cos∠DAC． （1）求证：AC=BD；（2）若BC=12，，求AD的长． 3、仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫俯角．如图所示： 例2、汶川地震后，抢险队派一架直升机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米的上空P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°，如图所示，求A、B两个村庄之间 的距离．（精确到1m．参考数据） 4、方向角：指北或指南方向与目标方向线所成的小于90°的夹角叫方向角．如图所示：例3某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h．交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A在y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置； 2）点B的坐标为__________，点C的坐标为__________； 3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请你通过计算判断汽车在这段限速公路 上是否超速行驶（本问中取1.7） 1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，则a=（） A．B． C． D．6 2、一等腰梯形的高为4，下底长为8，下底的底角的正弦值为0.8，那么它的上底和腰长分别为（）A．4和5 B．2和5 C．2和4 D．4和10 3、王师傅在楼顶的A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，又知水平距离BD为10m，楼高AB为24m，则树高CD为（）m．

解直角三角形

学科：数学 专题：解直角三角形 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点解析 金题精讲 题一 题面：解答下列问题 （1）已知：如图1，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于D ．若:3:1AD DB =，求A ∠； （2）已知：如图2，在△ABC 中，CD ⊥AC 于D ，sin ∠A =3 5 ，tan ∠B =3， AB =2，求BC 的长． 题二 题面：已知：如图，∠C=∠ABD =90°，∠BAC=30°，AB=BD ，BC=1，求： （1）∠CAD= ______； （2）∠CAD 的三角函数值.

A 满分冲刺 题一 题面：已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ． 求AB 及BC 的长． 题二 题面：已知：如图，在△ABC 中，AC ＝b ，BC ＝a ，锐角∠A ＝α，∠B ＝β． (1)求AB 的长； (2)求证： .sin sin β αb a = 题三

题面：已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长． 讲义参考答案 重难点易错点解析 答案：90°－∠A ，c ·sin A ， c ·cos A ； o 90, ,;tan sin a a A A A -∠ tan ,90;a A A b = -∠ sin ,90.a A A c = -∠ 金题精讲 题一 答案：（1）30? （2）5 题二 答案：（1）75? （2）sin 4 CAD ∠= ，cos 4CAD ∠=，tan 2CAD ∠=满分冲刺 题一

答案： cm 25;cm )535(=-=BC AB 题二 答案：(1) AB ＝cos cos b a ?α+?β (2)略 题三 答案：535+或.535-

小学数学升初中奥数题

小学数学升初中奥数题 1. 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，A地要植900棵，B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24，30，32棵，甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？ 2. 有三块草地，面积分别是5，15，24亩.草地上的草一样厚，而且长得一样快.第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 3. 某工程，由甲、乙两队承包，2.4天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包，3+3/4天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包，2+6/7天可以完成，需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？ 4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多1/5，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套，甲原来购进这种时装多少套？ 6. 有甲、乙两根水管，分别同时给A，B两个大小相同的水池注水，在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7：5.经过2+1/3小时，A，B两池中注入的水之和恰好是一池.这时，甲管注水速度提高25%，乙管的注水速度不变，那么，当甲管注满A池时，乙管再经过多少小时注满B池？ 7. 小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学书丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有3/10的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校，这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间？ 8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地，A，B两地的距离等于B，C两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟，但在B地停留了7分钟，甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时，甲车就超过乙车. 9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时，乙车单独清扫需要15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米，问东、西两城相距多少千米？ 10. 今有重量为3吨的集装箱4个，重量为2.5吨的集装箱5个，重量为1.5吨的集装箱14个，重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱？ 小学数学应用题综合训练(02) 11. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的1/3比徒弟加工零件个数的1/4还多10个，那么徒弟一共加工了几个零件？ 12. 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地.大轿车的速度是小轿车速度的80%.已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车比大轿车早4分钟到达乙地.又知大轿车是上午10时从甲地出发的.那么小轿车是在上午什么时候追上大轿车的. 13. 一部书稿，甲单独打字要14小时完成，，乙单独打字要20小时完成.如果甲先打1小

九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)

《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．

分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求：

初中数学解直角三角形八

初中数学解直角三角形八

第十一章解直角三角形 考点一、直角三角形的性质（3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：?BC= 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下：?CD=21AB=BD=AD D为AB的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边 c的平方，即2 2c 2 a= + b 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是 两直角边在斜边上的摄影的比例中 项，每条直角边是它们在斜边上的摄

影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 22 c b a =+， 那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin = ∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦， 记为cosA ，即c b cos =∠=斜边 的邻边A A

最新2020年中考数学几何全套复习讲义

初中几何全套复习讲义 1.三角形的有关概念 2.全等三角形 3.等腰三角形 4.直角三角形、勾股定理、面积 5.角平分线、垂直平分线 6.平行四边形 7.矩形、菱形 8.正方形 9.梯形 10.三角形、梯形的中位线 11.锐角三角函数 12.解直角三角形 13. 三角函数的综合运用 14.比例线段 15.相似三角形（一） 16.相似三角形（二） 17.相似形的综合运用（一） 18.相似形的综合运用（二） 19.圆的有关概念和性质 20.垂径定理 21.切线的判定与性质 22.与圆有关的角23.圆中成比例的线段 24.圆与圆（一）25.圆与圆（二）26.正多边形和圆 中考数学几何全套复习讲义 1.三角形的有关概念 知识考点： 理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键 是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。 精典例题： 【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a、b ，且a b ，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（） A 、3a L 3b B、2(a b) L 2a C、2a6 b L 2b a D、3a b L a 2b 分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B 变式与思考：在△ABC 中，AC＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（） A 、1＜A B ＜29 B、4＜AB ＜24 C、5＜AB ＜19 D、9＜AB ＜19 评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知 识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。 0，∠ACB ＝610，延长BC 至E，使CE＝AC ，延长CB 至【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45 D，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。 分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 1

2018中考解直角三角形真题

解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（） A．B．C．D． 【分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC===6， ∴sinA===， 故选：A． 2．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B 为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，设BD=x，则AB=BE=CE=2x、AD=DE=x，据此得出AC=2x+2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示， 由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE， 设BD=x， 则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，

∴AC=AD+DE+CE=2x+2x， ∵AC=30， ∴2x+2x=30， 解得：x=≈5.49， 故选：B． 3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△CDJ中求出CJ、DJ，再根据，tan∠AEM=构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC是矩形． 在Rt△CJD中，==，设CJ=4k，DJ=3k， 则有9k2+16k2=4， ∴k=， ∴BM=CJ=，BC=MJ=1，DJ=，EM=MJ+DJ+DE=， 在Rt△AEM中，tan∠AEM=，

初中数学解直角三角形综合讲义

初中数学解直角三角形综合讲义 一、理解概念 1.产生的背景：直角三角形中三边和三角的数量关系 2 明确概念：解直角三角形 阐述概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和2个锐角。由直角三角形中除 直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 定对象： 特殊的求解过程 定角度： 已知元素 新事物： 求出未知元素 举例：在△ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个直角三角形。 解：（1）∠A=90°- 42°6′=47°54′ （2）∵ cosB= c a , ∴a=c cosB=287.4×0.7420≈213.3 （3）∵ sinB=c b , ∴b=c sinB=287.4×0.6704≈192.7 二、研究概念 1.条件： 直角三角形 2.构成和本质 [边] 两条直角边 [角] 有一个直角 [角] 两锐角互余 3.特征： [角] 两锐角互余，∠A+∠B=90° [边] 勾股定理，a 2+b 2=c 2 [等式的性质] a 2 =c 2 —b 2 b 2= c 2 —a 2 勾股定理逆定理 [边、角] 锐角三角函数 [重要线段] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 [圆] 直角三角形三顶点共圆，圆心是斜边的中点 [特殊角] 30°角所对的直角边是斜边的一半 45°角所对的直角边是斜边的2 倍 4.下位 无 5.应用：

三、例题讲解 1、在R t △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC= a ，∠B=α，那么AD 等于 （ ） （A 级） A 、 asin 2α B 、acos 2 α C 、asin αcos α D 、asin αtan α 对象：R t △ABC 中，AD 角度： 三角函数 分析：R t △ABC cosB=BC AB cos α= a AB AB= a ·cos R t △ABD sin α=AB AD AD= sin α·AB AD= asin αcos α 2、 正方形ABCD 中，对角线BD 上一点P ，BP∶PD=1∶2，且P 到边的距离为2，则正方形的边长是 ，BD= 对象：正方形ABCD 对角线BD 上的点P 角度： 直角三角形 分析：设P 到边的距离为PE 。分四种情况： BP=22 （1） P 到边BC 的距离为PE=2，∠DBC=45° BE=PE=2 [BP∶PD=1∶2] PD=42 BD=62 正方形的边长为6 （2） P 到边AB 的距离为PE=2、P 到边AD 的距离为PE=2 、P 到边CD 的距离为PE=2方法照上。 3、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3， AC=3，则BD= 对象：Rt △ABC 中BD 角度：相似三角形 分析：△ABC ～△CBD BC 2 =BD ·AB BC=3，AC=3 AB=32 BD=2 1 4、在△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ都是锐角，且ｓｉｎＡ＝2 1 ，ｔａｎＢ＝3，ＡＢ＝１０。 求△ＡＢＣ的面积。 对象：△ＡＢＣ的面积 角度：锐角函数值 分析：ｓｉｎＡ＝ 2 1，ｔａｎＢ＝3 ∠A=30°，∠B=60° ∠C=90° △ＡＢＣ是以AB 为斜边的直角三角形 [ＡＢ＝１０，∠A=30°，∠B=60°] △ＡＢＣ的面积为2 3 25 AC=5 3,BC=5 5、河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°， 测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50米。 C A D B