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初三数学圆知识点总结

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初三数学圆知识点总结

一、本章知识框架

二、本章重点

1.圆的定义:

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

2.判定一个点P是否在⊙O上.

设⊙O的半径为R,OP=d,则有

d>r点P在⊙O 外;

d=r点P在⊙O 上;

d

3.与圆有关的角

(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角.

圆心角的性质:圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

(2)圆周角:顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.

圆周角的性质:

①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.

②同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.

③90°的圆周角所对的弦为直径;半圆或直径所对的圆周角为直角.

④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

⑤圆内接四边形的对角互补;外角等于它的内对角.

(3)弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.

弦切角的性质:弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.

弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.

4.圆的性质:

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心.

在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

垂径定理及推论:

(1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

(3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.

(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦.

(5)平行弦夹的弧相等.

5.三角形的内心、外心、重心、垂心

(1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示.

(2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示.

(4)垂心:是三角形三边高线的交点.

6.切线的判定、性质:

(1)切线的判定:

①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线.

(2)切线的性质:

①圆的切线垂直于过切点的半径.

②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.

③经过切点作切线的垂线经过圆心.

(3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.

(4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

7.圆内接四边形和外切四边形

(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角.

(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8.直线和圆的位置关系:

设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d.

(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R.

(3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交d

9.圆和圆的位置关系:

设的半径为R、r(R>r),圆心距.

(1)没有公共点,且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部

外离d>R+r.

(2)没有公共点,且的每一个点都在外部内含d

(3)有唯一公共点,除这个点外,每个圆上的点都在另一个圆外部

外切d=R+r.

(4)有唯一公共点,除这个点外,的每个点都在内部

内切d=R-r.

(5)有两个公共点相交R-r

10.两圆的性质:

(1)两个圆是一个轴对称图形,对称轴是两圆连心线.

(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦,相切两圆的连心线经过切点.

11.圆中有关计算:

圆的面积公式:,周长C=2πR.

圆心角为n°、半径为R的弧长.

圆心角为n°,半径为R,弧长为l的扇形的面积.

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形,底面半径为R,母线长为l的圆柱的体积为,侧面积为2πRl,全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形,底面半径为R,母线长为l,高为h的圆锥的侧面积为πRl ,全面积为,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.【经典例题精讲】

例1 如图23-2,已知AB为⊙O直径,C为上一点,CD⊥AB于D,∠OCD的平分线CP交⊙O于P,试判断P点位置是否随C点位置

改变而改变?

分析:要确定P点位置,我们可采用尝试的办法,在上

再取几个符合条件的点试一试,观察P点位置的变化,然

后从中观察规律.

解:

连结OP,

P点为中点.

小结:此题运用垂径定理进行推断.

例2 下列命题正确的是( )

A.相等的圆周角对的弧相等

B.等弧所对的弦相等

C.三点确定一个圆

D.平分弦的直径垂直于弦.

解:

A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等,所以A不正确.B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧,因此B正确.

C.三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆.

D.平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦.

故选B.

例3 四边形ABCD内接于⊙O,∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3,求∠D.分析:圆内接四边形对角之和相等,圆外切四边形对边之和相等.解:

设∠A=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠D=∠A+∠C-∠B=2x.

x+2x+3x+2x=360°,

x=45°.

∴∠D=90°.

小结:此题可变形为:四边形ABCD外切于⊙O,周长为20,且AB︰BC︰CD=1︰2︰3,求AD的长.

例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径,某同学采用

如下方法:将铁环平放在水平桌面上,用一个锐角

为30°的三角板和一个刻度尺,用如图23-4所示方

法得到相关数据,进而可以求得铁环半径.若测得

PA=5cm,则铁环的半径是__________cm.

分析:测量铁环半径的方法很多,本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决,即过P点作直线OP⊥PA,再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60°的角,这个角的另一边与OP的交点即为圆心O,再用三角函数知识求解.

解:

小结:应用圆的知识解决实际问题,应将实际问题变成数学问题,建立数学模型.

例5 已知相交于A、B两点,的半径是10,的半径是17,公共弦AB=16,求两圆的圆心距.

解:分两种情况讨论:

(1)若位于AB的两侧(如图23-8),设与AB交于C,连

结,则垂直平分AB,∴.

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