2017年上海高考数学真题试卷 (含解析)

2017年上海市高考数学试卷

2017.6

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =

2. 若排列数6654m P =??，则m =

3. 不等式

1

1x x

->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足3

0z z

+

=，则||z = 6. 设双曲线22

2

19x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该

双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =

7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为

8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1

()y f x -=，若31,0

()(),0

x x g x f x x ?-≤?=?>??为

奇函数，则1()2f x -=的解为

9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x

=-；③ 3

y x =；④ 1

2y x =. 从中任选2个，则

事

件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为

10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2

n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于

任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()

lg()

b b b b b b b b =

11. 设1a 、2a ∈R ，且1211

22sin 2sin(2)

αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于

12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点

P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点

分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直

线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 关于x 、y 的二元一次方程组50

234x y x y +=??+=?

的系数行列式D 为（ ）

A.

0543 B. 1024 C. 1523 D. 60

54

14. 在数列{}n a 中，1

()2

n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞

（ ） A. 等于12-

B. 等于0

C. 等于1

2

D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）

A. 0a ≥

B. 0b ≤

C. 0c =

D. 20a b c -+=

16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:

1364x y C +=和22

2:19

y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ?的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且

}OP OQ w ?=，则Ω中元素个数为（ ）

A. 2个

B. 4个

C. 8个

D. 无穷个

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.

（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.

18. 已知函数221

()cos sin 2

f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；

（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.

19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），

其中4

515,13

10470,4

n n n a n n ?+≤≤?=?-+≥??，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量2

4(46)8800n S n =--+（单位：辆）.

设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:14

x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于

上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.

（1）若P 在第一象限，且||OP =

P 的坐标；

（2）设83(,)55

P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.

21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有

12()()f x f x ≤.

（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；

（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；

（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.

2017年上海市高考数学试卷

2017.6

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =

【解析】{3,4}A

B =

2. 若排列数6654m P =??，则m = 【解析】3m =

3. 不等式

1

1x x ->的解集为 【解析】11

1100x x x

->?

4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 【解析】3436393

r r S πππ=?=?= 5. 已知复数z 满足3

0z z

+

=，则||z =

【解析】23||z z z =-?=?=6. 设双曲线22

2

19x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =

【解析】226||11a PF =?=

7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-

8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1

()y f x -=，若31,0

()(),0x x g x f x x ?-≤?=?>??

为

奇函数，则1()2f x -=的解为

【解析】()31(2)918x f x f =-+?=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-

9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x

=-；③ 3

y x =；④ 1

2y x =. 从中任选2个，则

事

件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为

【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为

24213

C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则

149161234lg()

lg()

b b b b b b b b =

【解析】222149161491612341234lg()

()2lg()

n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =?=?=?=

11. 设1a 、2a ∈R ，且1211

22sin 2sin(2)

αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于

【解析】

111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴1211

12sin 2sin(2)

αα==++，

即12sin sin(2)1αα==-，∴122

k π

απ=-

+，24

k π

απ=-

+，12min |10|4

π

παα--=

12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“ ”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点

P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“ ”的点

分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50

234

x y x y +=??+=?的系数行列式D 为（ ）

A.

0543 B. 1024 C. 1523 D. 60

54

【解析】C

14. 在数列{}n a 中，1

()2

n n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞

（ ）

A. 等于12-

B. 等于0

C. 等于1

2

D. 不存在 【解析】B

15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2

n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ，

使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）

A. 0a ≥

B. 0b ≤

C. 0c =

D. 20a b c -+= 【解析】A

16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和22

2:19

y C x +=. P 为1C 上的动

点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ?的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且

}OP OQ w ?=，则Ω中元素个数为（ ）

A. 2个

B. 4个

C. 8个

D. 无穷个 【解析】D

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.

（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =?=

（2）tan

θ=

=18. 已知函数221

()cos sin 2

f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；

（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.

【解析】（1）1()cos22f x x =+

，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2

ππ （2）1cos223

A A π

=-?=，∴225191cos 2252c A c c +-=

=?=??或3c =，

根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），

其中4515,1310470,4n n n a n n ?+≤≤?

=?-+≥??

，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的

累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+?≤，即第42个月底，保有量达到最大

12341234(42050)38(647)42

()()[965]8782

22

a a a a

b b b b +?+?+++???+-+++???+=+

-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.

20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:14

x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于

上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.

（1）若P 在第一象限，且||OP =

P 的坐标；

（2）设83(,)55

P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.

【解析】（1）联立2

2:14

x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833

(,1)(,)055555

MA MP m m m m m ?=-?-=-+=?=或1m =

8283864629

(,)(,)0555********

PA MP m m m ?=-?-=-+=?=

（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03

(,0)8

M x ，∵4PQ PM =，

∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴0

0133(,

)4

2

y C x --，代入并联立椭圆方程，

解得09x =，019y =-，∴1

()3

Q ，∴直线AQ 的方程为110y x =+

21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有

12()()f x f x ≤.

（1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；

（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；

（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.