2021北京海淀区高三期末数学(文)试题答案

2014北京海淀区高三期末数学（文）试题答案

数学（文）

参考答案及评分标准2014．1

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）

π

cos

ππ

2

()2sin

ππ

44

sin cos

44

f=+=+=

+

------------------------3分（Ⅱ）由sin cos0

x x

+≠得

π

π,

4

x k k

≠-∈Z.

因为

cos2

()2sin

sin cos

x

f x x

x x

=+

+

22

cos sin

2sin

sin cos

x x

x

x x

-

=+

+

------------------------------------5分

cos sin

x x

=+

π

)

4

x+，-------------------------------------7分所以()

f x的最小正周期2π

T=. -------------------------------------9分因为函数sin

y x

=的对称轴为

π

π+,

2

x k k

=∈Z, ------------------------------11分又由

ππ

π+,

42

x k k

+=∈Z,得

π

π+,

4

x k k

=∈Z,

9． 2 10．16 11. 7

12．{1,2,4}13．50，1015 14．1-;①②③

所以()f x 的对称轴的方程为π

π+

,4

x k k =∈Z .-----------------------------------13分

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由上图可得0.010.190.290.451a ++++=,

所以0.06a =. ----------------------------------4分

（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲

队员射击，命中环数为8环，9环，10环.

所以()0.290.450.010.75P A =++=. ----------------------------------9分 （Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. ---------------------------------13分 17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）因为底面ABCD 是菱形，

所以//CD AB . ----------------------------1分 又因为CD ?平面PAB ， -------------------3分 所以//CD 平面PAB . --------------------------4分 （Ⅱ）因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，

所以PE AB ⊥. ----------------------------------5分 因为平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB

平面ABCD AB =,PE ?平面PAB ,

----------------------------------7分

所以PE ⊥平面ABCD , ------------------------------------8分 因为AD ?平面ABCD ,

所以PE AD ⊥. ------------------------------------9分 （Ⅲ）因为CA CB =，点E 是棱AB 的中点，

所以CE AB ⊥. --------------------------------10分 由（Ⅱ）可得PE AB ⊥， ---------------------------------11分 所以AB ⊥平面PEC ， --------------------------------13分 又因为AB ?平面PAB ,

所以平面PAB ⊥平面PEC . --------------------------------14分

18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）'()(1)e x f x x a =++,x ∈R . -------------------------------2分

因为函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，

所以'()0f x ≥，即10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立.------------------------------3分 因为1y x a =++是增函数，

所以满足题意只需310a -++≥，即2a ≥. -------------------------------5分 （Ⅱ）令'()0f x =，解得1x a =-- -------------------------------6分 (),'()f x f x 的情况如下：

--------------------------------------10分

①当10a --≤，即1a ≥-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(0)f ， 若满足题意只需2(0)e f ≥，解得2

e a ≥，

所以此时，2

e a ≥； --------------------------------------11分

②当012a <--<，即31a -<<-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(1)f a --， 若满足题意只需2(1)e f a --≥，求解可得此不等式无解，

所以a 不存在； ------------------------12分

③当12a --≥，即3a ≤-时，()f x 在[0,2]上的最小值为(2)f , 若满足题意只需2(2)e f ≥，解得1a ≥-,

所以此时，a 不存在. ------------------------------13分

综上讨论，所求实数a 的取值范围为2[e ,)+∞. 19. （本小题共14分）

解：（Ⅰ）由题意可得1c =， ----------------------------------1分 又由题意可得

1

2

c a =， 所以2a =， ----------------------------------2分

所以2

2

2

3b a c =-=, ----------------------------------3分

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=. ---------------------------------4分

所以椭圆C 的右顶点(2,0)A ， --------------------------------5分 代入圆F 的方程，可得21r =,

所以圆F 的方程为22(1)1x y -+=. ------------------------------6分 （Ⅱ）法1：

假设存在直线l :(2)y k x =-(0)k ≠满足条件， -----------------------------7分

由22(2),

14

3y k x x y =-??

?+=?

?得2222(43)1616120k x k x k +-+-=----------------------------8分

设11(,)B x y ，则2

1216243

k x k +=+, ---------------------------------9分

可得中点22286(,)4343

k k

P k k -++， --------------------------------11分

由点P 在圆F 上可得222

2286(1)()14343

k k k k --+=++

化简整理得20k = --------------------------------13分 又因为0k ≠，

所以不存在满足条件的直线l . --------------------------------14分 （Ⅱ）法2：

假设存在直线l 满足题意.

由（Ⅰ）可得OA 是圆F 的直径， -----------------------------7分 所以OP AB ⊥. ------------------------------8分 由点P 是AB 中点，可得||||2OB OA ==. --------------------------------9分

设点11(,)B x y ，则由题意可得22

11143

x y +=. --------------------------------10分

又因为直线l 的斜率不为0，所以214x <, -------------------------------11分

所以22

2

2

22111

1

1

||3(1)3444

x x OB x y x =+=+-=+<,-------------------------------13分

这与||||OA OB =矛盾，所以不存在满足条件的直线l . --------------------------14分 20. （本小题共13分）

解：

（Ⅰ）只有y =是N 函数. ----------------------------3分 （Ⅱ）函数()[ln ]1g x x =+是N 函数.

证明如下：

显然，*x ?∈N ，*()[ln ]1g x x =+∈N . ---------------------------------------4分

不妨设*[ln ]1,x k k +=∈N ,

由[ln ]1x k +=可得1ln k x k -≤<， 即11e e k k x -≤≤<.

因为*k ?∈N ，恒有11e e e (e 1)1k k k ---=->成立， 所以一定存在*x ∈N ，满足1e e k k x -≤<， 所以设*k ?∈N ，总存在*x ∈N 满足[ln ]1x k +=，

所以函数()[ln ]1g x x =+是N 函数. ---------------------------------------8分 （Ⅲ）（1）当0b ≤时，有2(2)[]0f b a =?≤，

所以函数()[]x f x b a =?都不是N 函数. ---------------------------9分

（2）当0b >时，① 若0a ≤，有(1)[]0f b a =?≤，

所以函数()[]x f x b a =?都不是N 函数. ------------------10分

② 若01a <≤，由指数函数性质易得 x b a b a ?≤?，

所以*x ?∈N ，都有()[][]x f x b a b a =?≤?

所以函数()[]x f x b a =?都不是N 函数. -----------------11分

③ 若1a >，令12m m b a b a +?-?>，则2

log (1)

a

m b a >?-，

所以一定存在正整数k 使得 12k k b a b a +?-?>， 所以*12,n n ?∈N ，使得112k k b a n n b a +?<<

又因为当x k <时，x k b a b a ?+时，1x k b a b a +?>?,所以()(1)f x f k ≥+， 所以*x ?∈N ，都有*1{()|}n f x x ?∈N ，

所以函数()[]x f x b a =?都不是N 函数.------------------13分

综上所述，对于任意实数,a b ，函数()[]x f x b a =?都不是N 函数.