人教版高一数学必修二导学案

【12份】人教版高一数学必修二导学案

目录

1.1空间几何体的结构 (2)

1.2空间几何体的三视图和直观图 (17)

1.3空间几何体的表面积与体积 (31)

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 (49)

2.2直线、平面平行的判定及其性质 (69)

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 (85)

§3.1.1直线的倾斜角与斜率 (99)

3. 2. 1直线的点斜式方程 (109)

3.3.1两条直线的交点坐标 (123)

4.1.1圆的标准方程 (136)

4.2.1直线与圆的位置关系 (146)

4.3．1空间直角坐标系&4.3.2空间两点间的距离公式 (156)

第一章、空间几何体

本章概述

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科．空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有着广泛的应用，是下一章研究空间点、线、面的位置关系的载体，是初中学过的平面几何的继续和发展．另外，三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展空间想象力、推理理论证能力、运用图形语言进行交流的能力，是高中阶段必修系列课程的基本要求．本章从我们周围存在的各种物体的“形”的角度把握和认识了柱、锥、台、球的结构特征，它们是我们认识空间几何体的基础．在此基础上，我们认识了简单组合体，并从不同的方面对空间几何体进行了分类．学习在平面上画出空间几何体的三视图和直观图，并掌握两者的联系．最后学习如何计算空间几何体的表面积和体积，从中了解解决空间几何问题的基

本方法．

本章重点是空间几何体的结构特征，三视图和直观图的画法，几何体的表面积和体积的计算．本章难点是对柱、锥、台、球的结构特征的概括，识别三视图所表示的空间几何体，对一些几何体的表面积和体积公式的推导．

1.1空间几何体的结构

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)

【考纲要求】

[学习目标]

1．知道空间几何体的概念及其含义，了解空间几何体的分类及相关概念．

2．了解棱柱、棱锥、棱台的定义，知道这三种几何体的结构特征，给出几何体能够识别和区分．

[目标解读]

1．理解棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征是重点；

2．通过实例，培养学生的观察能力和空间想象能力是难点．

【自主学习】

1．空间几何体

(1)空间几何体的定义

空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑这些物体的和，

2．多面体

多面

体

定义图形及表示相关概念

棱柱

有两个面互相，其余各面

都是，并且每相邻两个

四边形的公共边都互相，

由这些面所围成的多面体叫做

棱柱.

如图可记作：棱柱

底面(底)：两个互相平行的面．

侧面：．

侧棱：相邻侧面的．

顶点：侧面与底面的．

棱锥

有一个面是，其余各

面都是有一个公共顶点

的，由这些面所围成

的多面体叫做棱锥

如图可记作：棱锥

底面(底)：面．

侧面：有公共顶点的各个．

侧棱：相邻侧面的．

顶点：各侧面的．

棱台

用一个的平面去

截棱锥，底面与截面之间的部

分叫做棱台.

如图可记作：棱台

上底面：原棱锥的．

下底面：原棱锥的．

侧面：其余各面．

侧棱：相邻侧面的公共边．

顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.

特别提醒：面数最少的棱锥是三棱锥，棱台的各侧面是梯形.

【考点突破】

要点一棱柱、棱锥、棱台的概念

1.棱柱的结构特征

侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；

2．棱锥的结构特征

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；

3．棱台的结构特征

上下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．

典型例题1、有下列说法：

①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；

②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；

③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫做棱台；

④棱柱的各相邻侧面的公共边互相平行．

以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．

【思路启迪】根据棱柱、棱锥、棱台的概念解答．

由图甲知，说法①错误；如图乙，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，说法②错误；由棱台的定义知，说法③错误；由棱柱的特点知，说法④正确．

【答案】④

方法指导：解决该类题目需准确理解多面体的定义，要真正把握多面体的结构特征．要学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个说法是错误的，设法举出一个反例即可．反馈训练1、有下列说法：

①一个棱锥至少有四个面；

②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；

③五棱锥只有五条棱；

④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．

以上说法中，正确说法的序号是________(写出所有正确说法的序号)．

典型例题2、如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．

【思路启迪】可先确定两个互相平行的面，再根据棱柱的定义作出判断．

【解】截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′－DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱．

方法指导：根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，

注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．反馈训练2、下列说法：

①有两个面互相平行，其余的面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；

②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；

③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确的个数为()

A．3 B．2 C．1 D．0

要点三多面体的表面展开图

1.绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型，在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

2．若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．

典型例题3、请画出如图所示的几何体的表面展开图．

【思路启迪】假定一个面不动，进行空间想象，展开几何体．

【解】展开图如图所示．

方法指导：解答此类问题要结合多面体的结构特征，发挥空间想象能力和亲自动手制作模型的能力。

反馈训练3、根据下图所给的几何体的表面展开图，画出立体图形．

考点巩固

一、选择题

1．下列说法中正确的是( )

A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

C．棱柱中一条侧棱的长叫棱柱的高

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

2．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边的中点，把该图按虚线折起，可以得到一个( )

A．棱柱B．棱锥

C．棱台D．旋转体

3．下列三个说法，其中正确的是( )

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；

②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个B．1个

C．2个D．3个

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从点A沿表面拉到点C1，则绳子的最短的长是( )

A．3 2 B．2 5

C.26 D．6

5．如图，下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．

6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何体是________(写出所有正确结论的序号)．

①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．

7．在如图所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．

8．如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =2，AA 1=2，由顶点B 沿棱柱侧面(经过棱AA 1)到达顶点C 1，与AA 1的交点记为M .

求：(1)三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)从B 经M 到C 1的最短路线长及此时A 1M

AM

的值．

考点巩固-答案

1、详细分析：把该图按虚线部分折起后，点A、B、C重合，得到一个三棱锥．

答案：B

2、详细分析：棱柱中也存在互相平行的侧面，故A错；棱柱上、下底面的距离叫棱柱的高，若侧棱与底面垂直，则侧棱长即为高；若侧棱与底面不垂直，则侧棱长就不是棱柱的高，故C错；长方体是棱柱，其底面为平行四边形，故D错．综上，选B.

答案：B

3、详细分析：对①，如图(1)，当截面不平行于底面时棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．

对于②③，如图(2)中AA1，DD1交于一点，而BB1，CC1交于另一点，此几何体不能还原成四棱锥，故不是棱台．

答案：A

4、详细分析：①沿平面AA1B1B、平面A1B1C1D1铺展成平面，此时AC1=3 2.

②沿平面AA1D1D、平面A1D1C1B1铺展成平面，此时AC1=2 5.

③沿平面AA1B1B、平面BB1C1C铺展成平面，此时AC1=26.

故绳子的最短的长为3 2.

答案：A

5、详细分析：由多面体的定义及其结构特征可得．

答案：(1)(2) (3)(4) (5)

6、详细分析：如图，在正方体ABCD—

A1B1C1D1中，四边形ABCD和四边形ABC1D1为矩形，故①正确；在三棱锥D－ACD1中，有三个面为等腰直角三角形，一个面为等边三角形，故③正确；在三棱锥B1－ACD1中，每个面都是等边三角形，故④正确；在三棱锥A－CDC1中，每个面都是直角三角形，故⑤正确．故满足条件的序号为①③④⑤.

答案：①③④⑤

7、解：如图，连接A1B，BC1，A1C，则三棱锥ABC－A1B1C1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.

8、

解：沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B′1B′(如图)．

(1)矩形BB1B′1B′的长BB′=6，宽BB1=2.

所以三棱柱侧面展开图的对角线长为62＋22＝210.

(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1点的路线最短．

所以最短路线长为BC1＝42＋22＝2 5.

显然Rt △ABM ≌Rt △A 1C 1M ， 所以A 1M =AM ，即A 1M AM

=1.

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(二)

1.1.2简单组合体的结构特征

【考纲要求】

[学习目标]

1．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．

2．会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征． 3．理解柱、锥、台体的关系． 4．培养观察能力和空间想象能力． [目标解读]

1．理解并掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征是重点；

2．用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征是难点． 【自主学习】

旋转体 结构特征 图形 表示

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的 所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， 于轴的边都

叫做圆柱侧面的母线

我们用表示圆柱轴的字母表示圆

柱，左图可表示为

圆锥以直角三角形的一条直角边

所在直线为旋转轴，其余两

边旋转形成的

所围成的旋转体叫做圆锥

我们用表示圆锥

轴的字母表示圆

锥，左图可表示为

圆台用平行于的平面去

截圆锥，底面与截面之间的

部分叫做圆台

我们用表示圆台

轴的字母表示圆

台，左图可表示为

球以半圆的直径所在直线为旋

转轴，旋转一周所

形成的旋转体叫做球体，简

称球．半圆的圆心叫做球

的，半圆的半径叫

做球的半径，半圆的直径叫

做球的直径

球常用球心字母

进行表示，左图可

表示为

2．简单组合体的结构特征

(1)定义：由组合而成的几何体叫做简单组合体．

(2)简单组合体的两种基本形式：

由简单几何体而成；

由简单几何体一部分而成．

特别提醒：圆是一条封闭的曲线，圆面是一个圆围成的圆内平面．球是几何体，球面是指半圆沿直径旋转形成的曲面，球是旋转体．

【考点突破】

要点一、旋转体的结构特征

圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．但应注意的是：所谓旋转体就是一个平面图形绕着这个平面图形所在的平面内一条直线旋转一周所得到的几何体，因此它还含有除圆柱、圆锥、圆台、球之外的几何体．

典型例题1、下列说法：

①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；

③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是( )

A．①②B．②③C．①③D．②④

【思路启迪】紧扣母线的定义及相关性质即可解题．

方法指导：圆柱、圆锥、圆台和球都是由平面图形绕着某条轴旋转而成的，平面图形不同，得到的旋转体也不同，即使是同一平面图形，所选轴不同，得到的旋转体也不一样．判断旋转体，要抓住定义，分清哪条线是轴，什么图形，怎样旋转，旋转后生成什么样的几何体．

反馈训练1、下列说法中正确的是( )

A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的

B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的

C．圆柱不是旋转体

D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的

要点二圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图

把柱、锥、台体沿一条侧棱或母线展开成平面图，这样便把空间问题转化成了平面问题，对解决简单空间几何体的面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题，是很有效的方法．典型例题2、如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？

【思路启迪】把圆柱侧面展开，由图分析求解．

【解】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．

∵AB=A′B′=2，AA′为底面圆的周长，且AA′=2π×1=2π，

∴AB′=A′B′2＋AA′2=4＋2π2=21＋π2，

所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.

方法指导：解此类题的关键要清楚几何体的侧面展开图是什么样的平面图形，并进行合理的空间想象，且记住以下常见几何体的侧面展开图：

反馈训练2、若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？

要点三简单组合体的结构特征

判断实物图是由哪些简单几何体所组成的图形问题，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征，其次要善于将复杂的组合体“分割”成几个简单的几何体．

简单组合体有以下三种形式：

1．多面体与多面体的组合体：即由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体．

2．多面体与旋转体的组合体：即由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体．

3．旋转体与旋转体的组合体：即由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体．

典型例题3、请描述如图所示的组合体的结构特征．

【思路启迪】本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能力．依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断．

【解】(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；

(2)是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；

(3)是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接而成的组合体．

方法指导

(1)明确组合体的结构特征，主要弄清它是由哪些简单几何体组成的．

(2)会识别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，因此我们应注意观察周围的物体，然后将它们“分拆”成几个简单的几何体，进而培养我们的空间想象能力和识图能力．反馈训练3、说出下列几何体的结构特征．

考点巩固

1．下列说法正确的是( )

A．圆锥的母线长等于底面圆直径

B．圆柱的母线与轴垂直

C．圆台的母线与轴平行

D．球的直径必过球心

2．底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )

A．πB．2π

C．3πD．4π

3．下列说法正确的有( )

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段

②球的直径是球面上任意两点间的连线段

③用一个平面截一个球，得到的是一个圆

④不过球心的截面截得的圆的半径小于球半径

A．①②B．①④

C．①②④D．③④

4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

5．给出下列说法：

(1)直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥

(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台

(4)通过圆台侧面上一点，有无数条母线

其中正确的说法是________(写出所有正确说法的序号)．

6．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径之比是14，母线长为10，则圆锥的母线长是________．

7．如图(1)所示，正三棱柱的底面边长是4cm、过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长为2cm，求截面△BCD的面积．

图(1) 图(2)

8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如下图所示的几何体．如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．

考点巩固-答案

1、详细分析：对于A ，圆锥的母线长不一定等于底面圆直径；对于B ，圆柱的母线与轴平行；对于C ，圆台的母线与轴延长后相交于一点；D 正确．

答案：D

2、详细分析：作出截面图，如图，由△A 1B 1C 1∽△ABC ，得B 1C 1=1，∴截面圆面积为π. 答案：A

3、详细分析：根据题意知①④正确．球面上任意两点的连线段不一定是直径，故②错．用一个平面截一个球，得到的是一个圆面，故③错．

答案：B

4、详细分析：该几何体用平面ABCD 可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD 是它的一个截面而不是一个面，故选D.

答案：D

5、详细分析：对于(1)，直角三角形绕斜边旋转形成两个同底的圆锥；对于(2)，若两平行截面平行于圆柱的轴，截面间的几何体不是一个旋转体；对于(4)，过圆台侧面上一点，只有一条母线．

答案：(3)

6、详细分析：把圆台还原为圆锥，利用三角形相似得，x －10x =1

4

(其中x 为圆锥母线长)，

∴x =403

.

答案：403

7、解：如图(2)，取BC 的中点E ，连接AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，

∵AE =32×4=23，∴DE =232＋22

=4.

∴S =12BC ·ED =12

×4×4=8cm 2.∴截面△BCD 的面积为8cm 2

.

8、解：过轴作截面，如下图所示：

被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径O 1C ＝R ，设圆锥的截面圆的R 半径O 1D 为x .

∵OA＝OB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．又∵CD∥OA，则CD=BC.

故x=l.

∴截面面积S=πR2－πx2=πR2－πl2=π(R2－l2)．

1.2空间几何体的三视图和直观图

1.2.1中心投影与平行投影

1.2.2空间几何体的三视图

【考纲要求】

[学习目标]

1．了解中心投影和平行投影．

2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．

3．能识别三视图所表示的立体模型．

[目标解读]

1．会画简单空间图形的三视图是重点；

2．识别三视图所表示的立体模型是难点．

【自主学习】

1．投影

(1)投影的定义

由于光的照射，在物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影．其中，我们把叫做投影线，把的屏幕叫做投影面．

(2)投影的分类

①中心投影：光由散射形成的投影．

②平行投影：在一束照射下形成的投影．

当投影线时，叫做正投影，否则叫做．

(3)投影的性质

①中心投影的性质：中心投影的交于一点；当光源距离物体越近，投影形成的影子．

②平行投影的性质：平行投影的投影线．

2．三视图

(1)分类

①正视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；

②侧视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图；

③俯视图：光线从几何体的向正投影，得到的投影图．

(2)三视图的画法规则

①视图都反映物体的长度——“长对正”；

②视图都反映物体的高度——“高平齐”；

③视图都反映物体的宽度——“宽相等”．

特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．

【考点突破】

要点一平行投影与中心投影

中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，是投影的两种形式．通过中心投影与平行投影将三维物体转换成二维平面物体，可以通过投影想象实际物体的形状，但还不能完全反映真实情况，只能反映部分形状，只有在特殊情况下反映真实尺寸．

画立体几何图形时一般采用平行投影法，画实际效果图时采用中心投影法，中心投影的投影线交于一点，点光源离物体越近，投影形成的影子越大；平行投影的投影线是平行的．典型例题1、在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形

【思路启迪】先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形BFD′E四点在各投影面的位置．再把各投影点连线成图．

①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；

②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA 内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形．对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．

方法指导：画出一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)，先画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在投影面上的投影．反馈训练1、如图甲所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的________．

要点二画空间几何体的三视图

1.三视图是用两两相互垂直的三个平面(正面、侧面、水平面)作为投影面，把物体放在这个空间内，分别向三个平面进行正投影，然后将水平投影绕水平面和正面的交线向下转90°，将侧面投影绕侧面和正面的交线向右转90°，就得到了三视图，即画出的三视图需要符合长对正、高平齐、宽相等的基本特征．

2．画简单组合体的三视图时，先要分析该组合体的结构特征，再想象模型，从正前方、左方、正上方三个不同角度各能看到什么形状，再借助简单几何体的三视图，画出简单组合体的三视图．

典型例题2、画出下列几何体的三视图．

【思路启迪】先弄清几何体的结构特征，再确定三视图的形状，并注意轮廓线的虚实．【解】(1)三视图如图所示．

方法指导：(1)在画三视图时，务必做到正(视图)侧(视图)高平齐，正(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)侧(视图)宽相等．

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

反馈训练2、画出如下图所示的四棱锥的三视图．

要点三识别三视图所表示的几何体

根据三视图还原几何体，要仔细分析和认真观察三视图并进行充分的想象，然后综合三视图的形状，从不同的角度去还原．通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定几何体的结构特征．

典型例题3、下图是一个几何体的三视图，请你想象这个几何体的形状，并画出这个几何体．

【思路启迪】根据几何体的结构特征进行空间想象，再进行合理分析．

【解】这是一个简单的组合体：上部是一个圆柱，下部是一个长方体，几何体如图所示：

方法指导：综合三视图的形状，从不同的角度去还原，看图和想图是两个重要的步骤，“想”于“看”中，形体分析的看图方法是解决此类问题的常用方法．

反馈训练3、如图是一个几何体的三视图，由图可以判断此几何体是________．

人教版--高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，//

高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

新课标高中数学必修1全册导学案及答案

§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的． 1 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合；

人教版高中数学必修二全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是 6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5 ．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的

人教版高一数学必修1测试题(含答案)

人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( )

【最新】高中数学必修四导学案

高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

人教新课标版数学高一必修1导学案 对数函数及其性质(二)学生版

2.2.2 对数函数及其性质(二) 学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式. 4.了解反函数的概念及它们的图象特点. 学习过程 一、自主学习 1.一般地，形如函数f (x )＝log a g (x )的单调区间的求法：①先求g (x )＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a 大于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调增区间是f (x )的单调增区间，g (x )＞0限制之下g (x )的单调减区间是f (x )的单调减区间；③当底数a 大于0且小于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调区间与f (x )的单调区间正好相反. 2.一般地，对数不等式的常见类型： 当a ＞1时， log a f (x )＞log a g (x )?????? f x ＞0可省略，g x ＞0，f x ＞g x ； 当0＜a ＜1时， log a f (x )＞log a g (x )?????? f x ＞0，g x ＞0可省略，f x ＜g x . 3.一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0

数学必修二导学案

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征导学案 【问题导学】 1．空间几何体 (1)多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个叫做多面体的面；相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点． (2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条叫做旋转体的轴． 2 多面体结构特征图形表示法 棱柱有两个面互相，其余各面都是， 并且每相邻两个四边形的公共边都互 相，由这些面所围成的多面体叫做棱 柱．棱柱中, 的面叫做棱柱的 底面，简称底；叫做棱柱的侧面； 相邻的侧面的叫做棱柱的侧棱；侧面 与底面的叫做棱柱的顶点 如上、下底面分别是四 边形A′B′C′D′、四 边形ABCD的四棱柱，可记为棱 柱ABCD－A′ B′C′D′ 棱锥有一个面是，其余各面都是有一个 公共顶点的，由这些面所围成的 多面体叫做棱锥．这个面叫做棱锥的 底面或底；有公共顶点的各 个叫做棱锥的侧面；各侧面 的叫做棱锥的顶点；相邻侧面 的叫做棱锥的侧棱 如图所示，该棱锥可表示为棱 锥S -ABCD 棱台用一个的平面去截棱锥,底面 和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的 和分别叫做棱台的下底面和上 底面 如上、下底面分别是四边形A′ B′C′D′、四边形ABCD的四 棱台，可记为棱台ABCD-A′B′ C′D′ 试一试：如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，请问这个几何体是棱柱吗？ 旋转体结构特征图形表示法 圆柱以所在直线为旋转轴， 其余三边旋转形成的面所围成 的叫做圆柱，叫做 圆柱的轴；的边旋转而成 的叫做圆柱的底面； 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的 侧面；无论旋转到什么位置， 的边都叫做圆柱侧面 圆柱用表示它的轴的字母表 示，左图中圆柱表示为圆柱 OO′

高中数学必修1导学案

班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 2.2.1对数（1） 【学习目标】 1. 理解对数的概念； 2. 能够进行对数式与指数式的互化； 3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2，探究并思考: 1.问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？ 请问：（1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x . 2.一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 试试：将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技 术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考： （1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =? . （2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）log 1a = ， log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式： （1）4 216=； （2）3 1 3 27 -= ； （3）520a =； （4）10.452b ??= ??? ． 2)将下列对数式写成指数式： （1）5log 1253=； （2） log 32=-； （3）lg 0.012=-； （4） 2.303=． 小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 【合作探究】 1．求下列各式的值： ⑴2log 64； ⑵2 1 log 16 ； (3)lg10000；

人教版高中数学必修2全册学案(完整版)

第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】

4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1

人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

高一数学必修1(人教版)基本知识点回顾

高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

高中数学必修2全册导学案精编

高中数学必修二复习全册导学案

必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）

人教版高一数学必修一教案

高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。

五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影）

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）?480； （２）?-760； （３）03932'?. 变式练习 1、 在0?～360?之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 o (2)—54 o18′ （3）395o 8 ′ (4)—1190o 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。

高一数学必修一第一章导学案

§1.2.1 函数的概念（1） 1. 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 2. 了解构成函数的要素； . 重点：理解函数的模型化思想。 一、课前准备 （预习教材P 15~ P 17，找出疑惑之处） 复习1：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 复习2：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量. 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数模型思想及函数概念 问题：研究下面三个实例： A . 一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-. B . 近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况. C . 国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金 额）反映一个国家人民生活质量的高低. “八五”计划以来 我们城镇居民的恩格尔系数如下表 讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分 别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？ 三个实 例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：:f A B →. 新知：函数定义. 设A 、B 是 ，如果按照某种确定的 ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集合B 中都有 确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：(),y f x x A =∈. 其中，x 叫 ，x 的取值范围A 叫作 （domain ），与x 的值对应的y 值叫 ，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫 （range ）. 试试：如下图可作为函数()y f x =的图象的是（ ）. A. B. C. D. 小结： 函数的对应关系：每一个x 与y 的对应可以为：一对一，多对一，不可以一对多。 反思： （1）值域与B 的关系是 ；构成函数的三要素是 、 、 . 函数 解析式 定义域 值域 一次函数 (0)y ax b a =+≠ 二次函数 2y ax bx c =++， 其中0a ≠ 反比例函数 (0)k y k x =≠ 探究任务二：区间及写法 新知：设a 、b 是两个实数，且a a }= 、 {x |x ≤b }= 、{x |x 或= . （3）函数y ＝x 的定义域 ， 值域是 . （观察法）

人教版高一数学必修一知识点总结

高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)