初中奥数讲义_从三角形的内切圆谈起附答案

注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2c b a r -+=

； (2)c

b a ab r ++=． 请读者给出证

【例题求解】

【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、BC 、AC 分相切于点D 、E 、F ，若⊙O 的半径r ＝2，则Rt △ABC 的周长为 ．

思路点拨 AF=AD ，BE=BD ，连OE 、OF ，则OECF 为正方形，只需求出AF(或AD)即可．

【例2】 如图，以定线段AB 为直径作半圆O ，P 为半圆上任意一点(异于A 、B)，过点P 作半圆O 的切线分别交过A 、B 两点的切线于D 、C ，AC 、BD 相交于N 点，连结ON ，NP ，下列结论：①四边形ANPD 是梯形；②ON=NP ：③DP ·P C 为定值；④FA 为∠NPD 的平分线，其中一定成立的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①④

思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助

线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP ∥AD ∥BC 是解本例的关键．

【例3】 如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过A 、C 、D 三点的圆交AB 于F ，求证：F 为△CDE 的内心． (全国初中数学联赛试题)

思路点拨 连CF 、DF ，即需证F 为△CDE 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．

【例4】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=BC=1，以AB 为直径作半圆O 切CD 于E ，连结OE ，并延长交AD 的延长线于F ．

(1)问∠BOZ 能否为120°，并简要说明理由；

(2)证明△AOF ∽△EDF ，且

21==OA DE OF DF ； (3)求DF 的长．

思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)把相应线段用DF 的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF 的一元二次方程．

注： 如图，在直角梯形ABCD 中，若AD+BC=CD ，则可得到应用广泛的两个性质：

三角形内切圆半径公式_数学教案-三角形的内切圆

三角形内切圆半径公式_数学教案－三角形的内切圆 1、教材分析 （1）知识结构 （2）重点、难点分析 重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一． 难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好． 2、教学建议 本节内容需要一个课时． （1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质； （2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学． 教学目标： 1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动． 教学重点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质． 教学活动设计 （一）提出问题 1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?

2、分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义． 3、解决问题： 例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法． 提出以下几个问题进行讨论： ①作圆的关键是什么? ②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置? ④圆心I确定后半径如何找． A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． 完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个． （二）类比联想，学习新知识． 1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 2、类比： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC； （2）外心不一定在三角形的内部．

3.5三角形的内切圆学案

3.5三角形的内切圆学案 一、前置检测 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2.圆的切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 3.请口述如何做出三角形的外接圆？三角形的外心是什么的交点？ 二、新知探究 如图，是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 任意作一个△ABC，在△ABC内作圆，使其与各边都相切，满足上述条件的圆是否可以作出？如果可以作，能作多少个？所作出的圆的圆心O的位置有什么特征？为什么？ 例1怎样用尺规作一个圆，使它与三角形各边都相切呢？ 已知：△ABC（如图） 求作：△ABC的内切圆 新知： 与_________________叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做 ________________，这个三角形叫做_______________ 总结：三角形内心的性质:________________ 如图2，△DEF是⊙I的________三角形， ⊙I是△DEF的_______圆， 点I是△DEF的______ 心， 它是三角形_______的交点。 总结： 名称确定方法性质 外心 内心 三、巩固练习

1.如图，在△ABC 中，点O 是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC 的度数 （2）若∠A=80 °，则∠BOC =_______度。 （3）若∠A=α，则∠BOC =_______。 （4）对于 ∠A 与∠BOC 之间存在的数量关系请给予说明。 变式：如图，在△ABC 中，点O 是外心， （1）若∠A=80 °，则∠BOC =______度。 （2）若∠BOC=100° ，则∠A =___度。 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90 ° ,AC=3 ,AB=5 ,则它的内切圆与外接圆半径分别为( )A 1.5, 2.5 B 2,5 C 1,2.5 D 2,2.5 变式：边长为2的等边三角形的外接圆与内切圆半径为_______ 四、拓展提升 1、 如图, ⊙O 是△ABC 的内切圆,分别切AB,BC,CA 于点D,E,F.设圆O 的半径为r, c AB b CA a BC ===,, 求证:)(2 1 c b a r S ABC ++= ?. 2、如图，直角三角形的两直角边分别是a ，b,斜边为c ， 则其内切圆的半径ｒ为: （以含ａ、ｂ、ｃ的代数式表示ｒ） 3、如图，△ABC 中，CA=CB ，点O 在高CH 上，CA OD ⊥于点D ，CB DE ⊥于点E ，以O 为圆心，OD 为半径作⊙O （1）求证：⊙O 与CB 相切于点E （2）如图2，若⊙O 过点H ，且AC=5,AB=6，连接EH ，求△BEH 的面积和tan ∠BEH 的值。

九年级数学(学案)三角形的内切圆

C B C 2020-2021学年三角形的内切圆 教学目标： ⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； ⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；　⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。教学重点、难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质．学习过程：一、情境创设试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形 铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切．②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ．　⑵分别画出直角三角形和钝角三 角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的； ②内心与外心类比：

D C 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC ；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三边的距离相等； （2）OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； （3）内心在三角形内部． ⒉典型例题 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、 F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度 数。 例2、⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，试说明 （1）∠BIC ＝90°＋1 2∠BAC （2）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，⊙I 的半径r ，则有S △ABC ＝1 2r(a ＋b ＋c)（3）△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝b , BC ＝a , AB ＝c,求内切圆半径r 的长。（4）若∠ACB ＝90°，且BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，△ABC 的内切圆圆心I 与它的外接圆圆心的O 距离。

初中数学专题训练--圆--三角形的内切圆

例 如图，△ABC 的内心为I ，外心为O ，且∠BIC=115°，求∠BOC 的度数． 解：∵I 为△ABC 的内心， ∴∠IBC= 21∠ABC ，∠ICB=2 1 ∠ACB ． ∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°． ∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=50°． 又O 是△ABC 的外心，∴∠BOC=2∠A=100° 说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+ 2 1 ∠A ；∠BOC=4∠BIC-360°． 例 已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长． 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解． 解：由勾股定理得：322=-= AC AB BC 连结OA 、OB 、OC ，设⊙O 的半径为r ，则： r CA BC AB S ABC )(21++= △，又BC AC S ABC ?=21 △． ∴BC AC r CA BC AB ?=++2 1 )(21， ∴14353 4=++?=++?= CA BC AB BC AC r ． 答：直角三角形内切圆的半径为1． 说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度． 例 （陕西省，2001）如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交边BC 于D ，交△ABC 的外接圆于点E ． （1）求证：IE=BE ； （2）若IE=4，AE=8，求DE 的长． 证明：（1）连结BI ， ∵∠BIE=∠BAI+∠ABI= 21 （∠BAC+∠ABC ）， ∠IBE=∠IBC+∠EBC=21∠ABC+∠EAC=2 1 （∠ABC+∠BAC ）， ∴∠BIE=∠IBE ∴IE=BE 解：（2）∵I 是△ABC 的内心，∴∠BAE=∠CAE ， 又∵∠DBE=∠CAE ， ∴∠BAE=∠DBE ，又∵∠E 为公共角， ∴△ABE ∽△BDE ，∴ DE BE BE AE =，∴DE AE BE 2 ?= ∴DE AE IE 2 ?=，∴28 4AE IE DE 2 2=== ． 说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B 组第3题的变形与结合；（3 ）本题为 A B C D E I

三角形内切圆知识点总结

知识点：三角形内切圆 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 例1.（2009湖北省荆门市）Rt △ABC 中，9068C AC BC °，，．则△ABC 的内切 圆半径r ______． 例2. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。 例3.任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，求证：△DEF 是锐角三 角形。 同步测试1：(2009年宁夏自治区)如图，⊙O 是边长为2的等边三角形ABC 的内切圆，则图中阴影部分的面积为． 同步测试2：如图 7-255，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，连结 AC ，△ABC 和△ADC 的内切圆分别为⊙O 1和⊙O 2，与AC 的切点分别为E 、F ，则EF 的长是( )． (A)2 (B)7．5 (C)13 (D)15 ◆随堂检测 1．已知⊙O 的半径为5㎝，点P 到圆心O 的距离为6㎝，那么点P 的位置（ ）

A.一定在⊙O的内部 B.一定在⊙O的外部 C.一定在⊙O的上 D.不能确定 2.如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆O于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（） A． 1 2 AD BC B． 1 2 AD AC C．AC AB D．AD DC 3.一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN＝60，则OP＝( ) A．50 cm B．253cm C． 33 50 cm D．503cm 4.⊙O的半径为4㎝，若线段OA的长为10㎝，则OA的中点B在⊙O的____；若线段OA的长为7㎝，则OA的中点B在⊙O的____． 5.如图，等边三角形ABC的内切圆半径为3，则ABC △的周长为． 6.如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心、 2 1BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与⊙0相切．

人教版九年级数学《切线长定理及三角形的内切圆》优质课导学案

https://www.sodocs.net/doc/675856973.html, 《切线长定理及三角形的内切圆》导学案 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 教学流程 一、 知识准备： 1、 只限于演的有几种位置关系？分别是哪几种？ 2、 判断直线与圆相切有几种方法？如何判断直线与圆相切？ 3、 角平分线的判定和性质是什么？ 二、 引入课题 过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？从而引入课题。 三、 自学新知： 1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题 （1）通过自学教材P98页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ （2）通过自学教材P98页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。 （5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 四．当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。 4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是

三角形的内切圆.习题集(2014-2015)-教师版

【例1 】 如图所示，ABC △中，内切O ⊙和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F .若70FDE ∠=?， 求A ∠的度数. O F E D C B A O F E D C B A 【解析】 分别连接OE ，OF ，则OF AB ⊥，OE AC ⊥ ∴3609090180A EOF ∠+∠=?-?-?=? 而EOF ∠与FDE ∠是同弧所对的圆心角和圆周角 ∴2EOF FDE ∠=∠ ∴180240A FDE ∠=?-∠=?. 【例2】 如图，O ⊙是ABC △的内切圆，D E F 、、是切点，18cm AB =，20cm BC =，12cm AC =，又直 线MN 切O ⊙于G ，交AB BC 、于M N 、，则BMN △的周长为______________． O N M G F E D C B A 【答案】26cm 【例3】 Rt ABC △中，9068C AC BC ∠=?==， ，，则ABC △的内切圆半径r =________． 【答案】2 【例4】 如图， O 为Rt ABC ?的内切圆，9043ACB AC BC ∠=?==，，，求内切圆半径r ． 4 3O C B A 4 3 O C B A P N M O C B A 【答案】方法一： 连接OA OB OC ，，， ∵43AC BC ==，， ∴5AB = ∵BOC AOC AOB ABC S S S S ????++=， 设三角形的底BC AB AC ，，各为a b c ，，， 课堂练习 三角形的内切圆学案

即11112222ar br cr ab ++=，∴341345r ?==++ 方法二： 设O 切BC AC ，，AB 于M N ，，P 三点， 由切线长定理可知：CN CM AN AP BM BP ===，， ∴()()CM CN CB BM AC AN +=-+- BC AC BP AP =+-- 3452BC AC AB =+-=+-= ∵CM CN =，∴1CM =， 由90C OM BC ON AC ∠=?⊥⊥，，可证得四边形OMCN 为正方形． ∴1OM MC ==，即O 的半径1r =． 【例5】 如图，1O 和2O 为Rt ABC ?的内切等圆，43AC BC ==，，求1O 的半径r ． O 2 O 1C B A 【答案】连接1212BO AO CO CO ，，，． 则121212ABC BCO ACO CO O ABO O S S S S S ????=+++梯形， 即34(25)(2.4)234r r r r r r ++++-=?，解得5 7 r = ． O 2 O 1 C B A 【例6】 如图，12 n O O O ，为Rt ABC ?的内切等圆，43AC BC ==，，求1O 的半径r ． O n O 2 O 1C B A ????????? 【答案】参见前一变式的解法，由面积易得， ∵111n n n ABC BO C CO O ACO BAO O S S S S S ????=+++梯形， 即1111121 3434(22)()[2(1)5]222252 r r n r r n r r ??=?+?+-?-+-+， ∴65 12236(1)5 r n n ==++-． 【例7】 如图，若两等圆12O O ，与Rt ABC ?的边BC 及AC AB ，的延长线相切，且两等圆外 切，求此时两等圆的半径r ． O 2 O 1B A C

《三角形内切圆》优秀教案

课题：24.5三角形的内切圆 预学案 一、自学目标（认定目标不放松） 1了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。2会已知作三角形的内切圆 二、自学过程（读书要认真，细致，反复阅读思考） （一）请仔细阅读数学教材P42-43内容并用双色笔在书上做好相应的标记。（二）知识点 1、（1）与三角形 都 的圆叫做三角形的内切圆， 的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的 （2） 三角形的内心到三角形 的距离相等。 2、复习：角平分线的性质和判定定理 3、如何作△ABC 的内切圆？（三）试一试 1、 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠ DOE=（ ） （A ）70° （B ）110° （C ）120° （D ）130° 2、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 3、如图，在△ABC 中， ∠A=55°，点O 是内心，求∠BOC 的度数。 三、自学质疑（学要思，思要钻）请写下你的疑问：自我评价： 优秀（ ） 良好（ ） 继续努力（ ） B

B C B 课题： 24.5三角形的内切圆 测学案 1、下列说法中，正确的是（ ）。 A 垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 B 圆有且只有一个外切三角形 C 三角形有且只有一个内切圆， D 三角形的内心到三角形的3 个顶点的距离相等4、在⊿ABC 中，∠A=50° 5、已知：如图，⊙O 与⊿ABC 各边分别切于点D,E,F ，且∠C=60°,∠EOF=100°，求∠B 的度数。 6、已知：在△ABC 中，∠C=90°，三边长为a 、b 、c ，r 为内切圆半径。 求证：（1）（2）同桌互评： 优秀（ ） 良好（ ） 继续努力（ ） 课题：24.4.3直线与圆的位置关系 研学案 ) (21 c b a r -+=c b a ab r ++=

九年级数学：三角形的内切圆(教案)

初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案 编订：XX文讯教育机构

三角形的内切圆(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标：1、使学生学会作．2、理解三角形内切圆的有关概念．3、掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征．4、会关于内心的一些角度的计算．教学重点：掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念．同三角形的外接圆一样，务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法．教学难点：画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形．教学过程：一、新课引入：我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念，现在我们用同样的思想方法来研究三角形的内切圆的画法及有关概念．二、新课讲解：在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图问题：例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．已知：△abc．求作：和△abc的三边都相切的圆．让学生展开讨论，教师指导学生发现，作圆的关键是确定圆心，因为所求圆与△abc的三边都相切，所以圆心到三边的距离相等，显然这个点既要在∠b的平分线上，又要在∠c的平分线上．那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径．学生动手画，教师巡视．当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时，教师可打开计算

《三角形的内切圆》教学设计

【教师寄语】真正的聪明是能够忍辱负重。真正的智慧是懂得蓄势待发。真正的成功是最后掌声四起。真正的阶梯是永远拼搏！ 【学习目标】 一、知识与技能 1．学会作三角形的内切圆． 2．理解三角形内切圆的有关概念 3．掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征． 4．会关于内心的一些角度和线段长度的计算． 二、过程与方法 1．通过作图，经历三角形内切圆的产生过程，培养作图能力． 2．类比三角形内切圆和三角形的外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质 三、情感、态度与价值观 1．通过探究三角形的内切圆知识，逐步培养学生的研究问题能力；培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识 2．德育渗透点：向学生渗透一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它． 【教学重难点】 1．重点：三角形内切圆的有关性质和探究作三角形内切圆的过程 2．难点：如何将实际问题转化成作三角形内切圆的问题 【教学过程】 一、情境创设 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：要在三角形木料上裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大，他就找我这个数学老师帮忙，同学们，你能帮他确定一下吗？这就涉及到三角形的内切圆问题，（板题）我们这节课就从这个问题开始 二、探究新知 探究1：如果最大的圆存在，它与三角形的各边有怎样的位置关系? 其位置关系与三角形三边的情况，有如下四种：

交流汇报: 1.(1)（2）（3）中的圆都不是最大的 2.（4）中的圆是最大的，这个圆应与三角形三边都相切 探究2：如何作出这个圆呢？ 分析：确定一个圆需要什么条件，我们如何去确定这些条件？ 交流汇报： 1．圆心是三角形三条角平分线的交点 2．半径是这一点到某一边的距离 操作：已知：△ABC，求作一个圆使它和已知三角形的各边都相切． 1. 作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I. 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D. 3．以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。 简单说理：（教师引导口头证明） 德育渗透：从上面的探究过程中，我们发现：一切事物都依据一定的规律运动存在着，揭示一件事物，必须揭示其本质，才能从根本上认识它． 三:归纳新知 1．和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 2．内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角. 类比内心与外心： 四．应用新知

九年级数学下册第2章圆课题三角形的内切圆学案新版湘教版

课题：三角形的内切圆 【学习目标】 1．理解三角形内切圆的定义，会求较特殊的三角形内切圆半径． 2．能用尺规作三角形内切圆． 【学习重点】 三角形内切圆的定义及有关计算． 【学习难点】 作三角形的内切圆及有关计算． 情景导入生成问题 旧知回顾： 1．切线长定理内容是什么？ 答：切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 2．在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？ 答：为了使圆形纸板面积最大，这个圆应当与三角形三边相切． 自学互研生成能力 知识模块一三角形的内切圆、内心及作图 阅读教材P72～P73，完成下列问题： 1．什么是三角形的内切圆？什么是三角形内心？ 答：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形． 2．如何作三角形的内切圆？ 答：以三角形任意两内角角平线交点为圆心，以这点到各边距离为半径作圆即得三角形内切圆． 【例1】如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F连接OE，OF，DE，DF，若∠A＝70°，∠EDF等于( B) A．45°B．55°C．65°D．70° 【变例1】关于三角形的内心：①到三边的距离相等；②到三顶点的距离相等；③是三边垂直平分线的交点；④是三内角平分线的交点．其中正确的说法有( B) A．1个B．2个C．3个D．4个 【变例2】若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是( D) A．直角三角形B．等腰直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 知识模块二三角形内切圆的计算与证明 【例2】等边三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为__1__． 【变例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数是( B)

三角形的内切圆教案

《三角形的内切圆》教案教学目标一、知识与技能1．使学生了解尺规作三角 形的内切圆的方法；2．理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形的概念；二、过程与方法通过作图操作，让学生经历三角形内切圆的产生过程1．；2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；三、情感态度和价值观；1．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心；2．通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性教学重点；三角形内切圆的概念和画法教学难点；三角形内切圆有关性质的应用教学方法引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 三角板，圆规，练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 二、新课学习 作圆,使它和已知三角形的各边都相切. 已知:△ABC(如图). 求作:和△ABC的各边都相切的圆. 作法: 1.作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3.以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆. 三角形与圆的位置关系 这样的圆可以作出几个?为什么? ∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么?), .

并且只能作一个,三边都相切的圆可以作出一个ABC∴因此和△． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内心的性质： 1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 2、三角形的内心到三角形各边的距离相等; 例1：如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心, 求∠BIC的度数 三、结论总结 通过本节课的内容，你有哪些收获？

2020-2021学年九年级数学(学案)三角形的内切圆

C B A C B A 2020-2021学年 三角形的内切圆 教学目标： ⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； ⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； ⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 教学重点、难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质． 学习过程： 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半 径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；

I F D C B A E ②内心与外心类比： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点 （1）OA=OB=OC ； （2）外心不一定在三角形的内部． 内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点 （1）到三边的距离相等； （2）OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； （3）内心在三角形内部． ⒉典型例题 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、 F,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。 例2、⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，试说明 （1）∠BIC ＝90°＋ 1 2 ∠BAC （2）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，⊙I 的半径r ，则有S △ABC ＝ 1 2 r(a ＋b ＋c) （3）△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝b , BC ＝a , AB ＝c,求内切圆半径r 的长。 （4）若∠ACB ＝90°，且BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，△ABC 的内切圆圆心I 与它的外接圆

九年级数学三角形的内切圆教学案

C B C B 九年级数学三角形的内切圆教学案 课题 三角形的内切圆 教学目标： ⒈使学生掌握画三角形的内切圆的方法，了解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； ⒉应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； ⒊通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心。 教学重点、难点： 三角形内切圆的作法和三角形的内心概念与性质． 学习过程： 一、情境创设 试一试： 一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮。 分析：①让学生展开讨论，教师指导学生发现，实际 上是作一个圆，使它和已知三角形铁皮的各边都相切． ②让学生展开充分的讨论，如何确定这个圆的圆心及半径？ ③在此基础上，由学生形成作图题的完整过程。 二、探求新知 ⒈本课知识点： ⑴和三角形各边都相切的圆叫做 ， 叫做 三角形的内心，这个三角形叫做 ． ⑵分别画出直角三角形和钝角三角形的内切圆． 小结：①一个三角形的内切圆是唯一的；

D C ②内心与外心类比： ⒉典型例题 例1、如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、 F ,∠B=60°,∠C=70°.求∠EDF 的度数。 例2、⊙I 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F ，试说明 （1）∠BIC ＝90°＋ 1 2 ∠BAC （2）△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，⊙I 的半径r ，则有S △ABC ＝ 1 2 r(a ＋b ＋c) （3）△ABC 中，若∠ACB ＝90°，AC ＝b , BC ＝a , AB ＝c,求内切圆半径r 的长。

(完整版)三角形内切圆知识点总结,推荐文档

◆随堂检测 我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙1．已知⊙O的半径为

2 6.如图，∠ABC=90° 我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙

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1.（2009河池）如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =， 60OAC ∠= ． （1）求∠AOC 的度数； （2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长； （3） 如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当 MAO CAO S S =△△时，求动点 M 所经过的弧长．2.(2009年潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且 与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直 线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由． 建议收藏下载本文，以便随时学习！我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙

4.（2009年茂名市）已知：如图，直径为 A OA分为三等份，连接 △≌△ （1）求证：OMD

建议收藏下载本文，以便随时学习！ A (2009年义乌)如图，AB是0 AD//OC,弦DF⊥AB于点G。 （1）求证：点E是A BD的中点； 8.（2009年济南）已知，如图②， A于点D，CO的延长线交 O C ∠的度数．

人教版数学九年级上册《切线长定理及三角形的内切圆》教学案

24.2.2切线长定理及角形内切圆导学稿

（5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 2.典型精析： 例1：如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB=30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA=3时，求AP的长． 例 2如图在△ABC中，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F， ∠ B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数。 三.当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和______________，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分 __________________． 3、与三角形各边都＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。 4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是 内切圆的圆心，是内切圆的圆心。 5、如图，PA,PB,分别切⊙O于点A,B,∠P=70°， ∠C等于_______________ 。 6、在⊿ABC中，∠A=50° （1）若点O是⊿ABC的外心，则∠BOC= _________________ . (2) 若点O是⊿ABC的内心，则∠BOC=_______________ . O A P B C F E I D B A C

第3课时切线长定理和三角形的内切圆 1．如图24-2-30所示，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( ) 图24-2-30 A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 2．如图24-2-31，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径．已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是( ) 图24-2-31 A．60° B．65° C．70° D．75° 3．如图24-2-32所示，PA，PB切⊙O于A，B两点，点C是上一动点，过点C作⊙O的切线交PA 于点M，交PB于点N.若∠P＝48°，则∠MON＝( ) 图24-2-32 A．60° B．62° C．66° D．无法确定 4．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( ) A. 2 B．22－2 C．2－ 2 D.2－2 5．如图24-2-33，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝____. 图24-2-33

三角形的内切圆

1 https://www.sodocs.net/doc/675856973.html, 三角形的内切圆 学习目标 1、了解切线长的概念．了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念。 2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明（重点） 3、会作已知三角形的内切圆（重点） 教学流程 课内探究 1自学教材自学教材，思考下列问题 （1）通过自学教材页的探究你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？ （2）通过自学教材页的探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． （3））通过自学教材P98页的探究你知道如何证明切线长定理吗？ 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ． 证明：__________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ （4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角，有哪些相等的弧？有哪些互相垂直的线段？有哪些全等的三角形。 （5）__________________叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆的__________三角形，内切圆的圆心是__________的交点，内切圆的圆心叫做三角形的__________。 当堂检测 1、过圆外一点作圆的切线，这点和 ，叫做这点到圆的切线长。 2、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________． 3、与三角形各边都 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 的圆叫三角形的内切圆； 内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。 4、作三角形两内角的平分线，两角平分线的交点就是 内切圆的圆心， 是内切圆的圆心。 5、如图，PA,PB,分别切⊙O 于点A,B,∠P=70°， ∠C 等于 。 6、在⊿ABC 中，∠A=50° （1）若点O 是⊿ABC 的外心，则∠BOC= . (2) 若点O 是⊿ABC 的内心，则∠BOC= .

三角形的内切圆教案

三角形的内切圆教案 Revised final draft November 26, 2020

《三角形的内切圆》教案 教学目标 一、知识与技能 1．使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法； 2．理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形的概念； 二、过程与方法 1．通过作图操作，让学生经历三角形内切圆的产生过程； 2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 三、情感态度和价值观 1．通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进学生数学学习的信心； 2．通过观察、推断可以获得教学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性； 教学重点 三角形内切圆的概念和画法； 教学难点 三角形内切圆有关性质的应用； 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备 课件、多媒体； 学生准备 三角板，圆规，练习本； 课时安排 1课时 教学过程 一、导入新课 如图是一块三角形木料,木工师傅要从中裁下一块圆形用料,怎样才能使裁下的圆的面积尽可能 大呢？

二、新课学习 作圆,使它和已知三角形的各边都相切. 已知:△ABC(如图). 求作:和△ABC的各边都相切的圆. 作法: 1.作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN,交点为I. 2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. 3.以I为圆心,ID为半径作⊙I, ⊙I就是所求的圆. 三角形与圆的位置关系 这样的圆可以作出几个为什么 ∵直线BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等(为什么) , ∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形内心的性质： 1、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。 2、三角形的内心到三角形各边的距离相等; 例1：如图,在△ABC中,∠A=68°,点I是内心, 求∠BIC的度数 三、结论总结 通过本节课的内容，你有哪些收获？ 四、课堂练习 1. 三角形的内切圆能作____个, 三角形的内心在圆的_______. 2.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______, OB平分∠______, OC平分∠______,.

《三角形的内切圆》专题练习

《三角形的内切圆》专题练习 一、选择题 1．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（） A．130°B．60°C．70°D．80° 2．下列图形中一定有内切圆的四边形是（） A．梯形B．菱形C．矩形D．平行四边形 3．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，?连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70° 二、填空题 1．一个直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的内切圆半径为。 2．一个等边三角形的边长为4，则它的内切圆半径为。 3．在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则它的内切圆半径为。 4．顶角为120°的等腰三角形的腰长为4cm，则它的内切圆半径为。 三、解答下列各题 1．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求AD、BE、CF的长。

2．如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、AB 、AC 分别相切于点D 、E 、F ， ⑴探求∠EDF 与∠A 的度数关系。 ⑵连结EF ，△EDF 按角分类属于什么三角形。 ⑶I 是△EDF 的内心还是外心？ 3．如图，Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，圆O 与圆M 外切，圆O 与线段AC 、线段BC 、线段AB 相切于点E 、D 、F ，圆M 与线段AC 、线段BC 都相切，其中AB ＝5，BC ＝12。求： （1）圆O 的半径r ； （2）2 tan C ； （3）2sin C ； （4）圆M 的半径M r 。

4．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。 5．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。 （Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1； （Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2； （Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径r n的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙O n依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙O n与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙O n-1均与AB边相切，求r n。