中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克

2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学

1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程

111x y n

+=

恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ．

解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010．

设1

1k

k n p p α

α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的

小于n 的正约数个数为

1(21)(21)1

2

k αα++- ，

故1(21)(21)4021k αα++= ．

由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB

?=?且DQ BP AQ CP

?=?，求证：PQ BC

⊥．

证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB

?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC．

由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆．

由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP

?=?，所以EB ED EC EA

?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为

∠EBC=1

2∠DFC=1

2

∠AFB=∠ECB，所以E P B C

⊥．

Q

P

M

N

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

F

N

M

P

Q

3．设正实数,,,a b c d 满足1abcd =，求证：

11119254

a b c d a b c d

++++

≥+++．

证法一：首先我们证明，当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．不妨设a b =，令

s a b c d

=+++，则有

2

111192929(2)c d a s a a b c d

a b c d a

cd

s

a

s

+++++

=

+

+

=

+-+

+++ 3

2

292()a a s a

s =

-++

．

若2

a ≥

则232s a b c d a a

a

=+++≥+

≥

，因此将s 视为变量，上式最小值在22s a a

=+

时取到，此时

3

2

32

292292992()2(2)2a a s a a a a s a

s

a

a

s

a

s

s

-++

=

-++

+

=

++

=+

79977925416

16

16

4

2

4

s s s

=

+

+

≥

?+=

+

=

．（这里用到了224s a a

=+

≥）

若02

a <<

3

2

3

3

292222()265(2)5a a s a a a a a a a

s

a

a

a

-++

≥

-+=

++->

+254

≥=>

．

因此当,,,a b c d 中有两个相等时，不等式成立．

下面假设,,,a b c d 两两不等，不妨设a b c d >>>．由于1ad b c c abcd c

???==，故由

上面的分析得

11119254

ad ad b c c b c c

c c

++++

≥+++．

下面我们只需证明

1111911119ad ad a b c d a b c d

b c c b c c

c c

++++

≥++++

++++++． ①

而 ①119192c ad a

d

a b c d

ad

c

b c

c

?

+

+

≥

+

+

+++++

2

9

()

()(

2)

ac cd c ad

ad a d c ad acd

c

a b c d b c c

+--?

≥

?+-

-+++++

()()

9

()()

()(2)

a c c d a c c d ad acd

c

a b c d b c c

----?

≥

?

+++++

19

()(

2)

ad ad

a b c d b c c

?

≥

+++++

()(

2)9ad a b c d b c ad

c

?+++++≥

2ad b c c ?++≥2ad a b c d b c

c

+++>++）

3ad c c

?+≥

而最后一式可以用均值不等式推出，这样就证明了结论．

证法二：采用调整法.

不妨设a b c d ≤≤≤，并记11119(,,,)f a b c d a b c d a b c d

=

++++

+++.

先往证：(,,,))f a b c d f b d ≥. (*) 事实上，上式等价于

119a c a b c d

++

≥

+

+++

ac

?

≥

（因为20-≥）

()9a b c d b d ac

?++++≥

（因为b d +≥=）

(9a c ac ?++

≥ ①

而11abcd a a c c ac =≥????≤?

≥

且a c +≥，故

①左边169

ac a

≥+≥=>=①右边.所以(*)成立.

(*)说明，(,,,)

f a b c d（其中a b c d

≤≤≤）的最小值（或极小值）总是在a c

=，即a b c

==时取得.欲得到该四元函数的下界，我们就可不妨设(,,,)

a b c d=()3

111

,,,

t t t

t，这里1

t≥；这也说明了只需证明对1

t

?≥，总有

()3

111

25

,,,

4

t t t

f t≥， (**)

就证明了原不等式成立.

代入，可知

()3

111

25

,,,

4

t t t

f t≥

33

8743

265432

65432

3

1925

3

4

12257675120

(1)(121427362412)0

1214273624120

t

t

t t

t t t t

t t t t t t t

t t t t t t

?++≥

+

?-+-+≥

?----+++≥

?---+++≥

5432

(1)(1211330630)420

t t t t t t

?-+--+++≥②

而1

t≥

，533

1263

t t t

+≥=>，

422

113030.

t t

+≥=>

故5432

(1)(1211330630)420

t t t t t t

-+--+++>，②成立.

至此，(**)成立，原不等式得证.

4．有n （3n ≥）名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰比赛一次（比赛无平局）． 赛后发现，可以将这些选手排成一圈，使得对于任意三名选手,,A B C ，若,A B 在圈上相邻，则,A B 中至少有一人战胜了C ．求n 的所有可能值．

解：n 的所有可能值为所有大于等于3的奇数．理由如下．

当n 是大于等于3的奇数时，设21n k =+，n 名选手编号为1221,,...,k A A A +，构造比赛结果如下：选手i A （121i k ≤≤+）战胜了242,,...,i i i k A A A +++（令21k j j A A ++=，1,2,...,21j k =+）

，输给了其它选手．现在将这些选手按照1221,,...,k A A A +的顺序顺时针排成一圈，对于任意三名选手,,A B C ，若,A B 在圈上相邻，不妨设t A A =，1t B A +=，t r C A +=（121t k ≤≤+，22r k ≤≤），则r 与1r -中至少有一个为不大于2k 的偶数，故,A B 中至少有一人战胜了C ．因此，当n 是大于等于3的奇数时，可能发生题目所述的情况．

另一方面，当n 是大于等于4的偶数时，假设题目所述的情况出现，将这n 名选手按照在圈上的位置顺时针记为12,,...,n A A A ，不妨设1A 战胜了2A ，由题目条件知23,A A 中至少有一人战胜了1A ，故3A 战胜了1A ，再由12,A A 中至少有一人战胜3A 可知2A 战胜了3A . 依此类推可知对任意1i n ≤≤，i A 战胜了1i A +（其中11n A A +=）. 对于每个i A （1i n ≤≤），他输给了1i A -（其中0n A A =），将剩下2n -人两两相邻配对，由条件知

i A 至少输掉了

22

n -场，再加上输给1i A -的一场至少输掉

2

n 场. 因此n 名选手共输掉至

少

2

2

n

场，但这与2

2

(1)2

2

n n n n

C -=

<矛盾！因此当n 是大于等于4的偶数时，不可能

发生题目所述的情况．

综上所述，n 的所有可能值为所有大于或等于3的奇数．

5．给定实数α，求最小实数()λλα=，使得对任意复数12,z z 和实数[0,1]x ∈，若

112||||z z z α≤-，则1212||||z xz z z λ-≤-．

解：如图，在复平面内，点,,A B C 对应的复数分别为122,,z z xz ．显然，点C 在线段OB

上．向量BA

对应的复数为12z z -．向量C A

对应的复数为12z xz -．由112||||z z z α≤-，

得

O A BA

α≤ ．于是，

{}

{}{}12

112

1212

max

max

max ,max ,max ,z xz AC

OA BA z z z z z z z α

-===-=--

故()max{,1}λαα=．

6．是否存在正整数m ，n 使得2011n m +为完全平方数？请证明你的结论．

证明：假设存在正整数m ，n 使得20211n m k +=，其中k ∈ ．则

2

20

1010

11()()

n

k m

k m k m =-=-+．

故存在整数,0αβ≥使得

101011,11.

k m k m αβ?-=??+=??①②

比较①，②，得αβ<．②－①，得10211(111)m αβα-=-．

设111m m γ=，其中1,m γ∈ ，11 1m ，则1010111211(111)m γαβα

-?=-． 因为11 1012m ，11 111βα

--，故10γα=，从而101211

1m βα-=-． 由费马小定理，1011(m od 11)m ≡，故10122(m od 11)m ≡，但11110(mod 11)βα--≡，矛盾． 故不存在正整数m ，n 使得2011n m +为完全平方数．

7．从左到右编号为12,,,n B B B 的n 个盒子共装有n 个小球，每次可以选择一个盒子k B ，进行如下操作：(1) 若1=k 且1B 中至少有1个小球，则可从1B 中移1个小球至2B 中；(2) 若n k =且n B 中至少有1个小球，则可从n B 中移1个小球至1n B -中；(3) 若12-≤≤n k 且k B 中至少有2个小球，则可从k B 中分别移1个小球至1+k B 和1-k B 中．求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球．

解：对于任意两个向量),,,(21n x x x =x 和),,,(21n y y y =y ，若存在n k ≤≤1使得

k k k k y x y x y x >==--,,,1111 ，则记y

x ．用一非负整数向量),,,(21n x x x =x 表示各

盒子中的小球数目．经过一次对k B 的操作后，各盒子中的小球数目从x 变为k α+x ，其

中1(1,1,0,,0)α=- ，2(0,,0,1,2,1,0,,0)k k α-=-

个

（12-≤≤n k ），(0,,0,1,1)n α=-

．当

2

k ≥时，总有x x k α+．因此，对于任意初始状态，总可以通过一系列对n B B ,,2 的

操作（只要2≥k 且k B 中至少有两个小球，就对k B 施行操作），使得操作后的小球数目

),,,(21n y y y =y 满足21≥?≤k y k ，．若12===n y y ，则已经满足题目要求；否则

有21≥y ．设i 是满足0=i y 的最小整数，通过一系列对11,,-i B B 的操作，可以使得小球数目变为),,,1,,1,1(11n i y y y +-．具体操作如下：

121122

1

,,,,,,1111111111(,1,,1,0,,,)(,1,,1,0,1,,,)(,1,,1,0,1,1,,,)(,0,1,,1,,,)(1,1,,1,,,)i i B B B B B B

i n i n B i n i n i n y y y y y y y y y y y y y y y --+++++?????→?????→

→→??→- ．

重复以上操作，最终可使小球数目满足题目要求．

8．如图，⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得DE ∥BC ．⊙1O 为△ADE 的内切圆，1O B 交DO 于点F ，1O C 交EO 于点G . ⊙O 切BC 于点M ，⊙1O 切DE 于点N ．求证：MN 平分线段FG ．

证法一：若A B A C =，则图形关于B A C ∠的平分线成轴对称，结论显然成立．下面不妨设A B A C >，如图二．设线段B C 的中点为L ，连接1O L 交线段F G 于点R ．连接1O N 并延长交直线B C 于点K ，作AT BC ⊥于T ，交直线D E 于点S ．连接A O ．显然1O 在线段A O 上．首先由梅涅劳斯定理，得

11

1O F BD AO

FB

D A O O ??=，

11

1O G C E AO

G C EA O O ??=．

①

由于//D E B C ，故

BD CE DA

EA

=

，因此

11O F O G F B

G C

=

，即//F G B C ，故

1FR

BL GR

CL

=

=，因此R

是F G 的中点．下面只需证明,,M R N 三点共线． 由梅涅劳斯定理的逆定理，我们只需证明

11

1O R LM K N

RL M K N O ??=． ②

由于//F R B L ，故

111O R O F O O A D R L

F B

A O

D B

=

=

?

（第二个等号用到了①），故我们只需证明

11

1O O AD LM K N AO

D B M K N O ?

??=．

③

由于1,,,//O K DE OM BC AT BC DE BC ⊥⊥⊥，故1,,O K O M AT 三条直线彼此平行，由平行线分线段成比例定理得

1O O M K A O

M T

=，将此式代入③，我们只需证明

1

1AD LM K N

D B M T N O ??=．

④

N

M

G

O

1 O

F E

D

C

B A

由于//,,D E B C K N D E S T

B C ⊥

⊥，故四边形K N S T 为矩形，因此K N S T =．再由

//D S B T

得

A D A S D B

ST

=

，代入④中，我们只需证明

1N O L M M T

A S

=． ⑤

记,,BC a AC b AB c ===，则

2

a b c

B M +-=

（旁切圆性质），2

a B L =

，

2

2

2

2

2

2

cos 22a c b

a c b

BT c ABC c ac

a

+-+-=∠=?=

，

故

22

2()2c b

LM BL BM a c b a c b M T

BT BM

a b c

a

--=

=

=-+--++．

另一方面，

1

22AD E

AD E S N O D E a

AD D E AE S AS AD D E AE a b c D E

++===

++++ ，故⑤式成立，证毕．

图二

证法二：设⊙O 、⊙O 1半径分别为1r r 、．显然1,,O O A 共线，

11111111122

11221

2//(sin )(sin )BO O D BO O O C EO O A A AB

AC

D E BC BD C E

S AB O O O F FD S r BD S AC O O O G G E S r C E ?????

??=

????==??????==

???

O F O G F D G E ?=?////F G D E B C ． S

T K R L A

B C

D

E F O

O

1 G M

N

连接ON 并延长交BC 于K ．当A B C A C B ∠=∠时，由对称性，命题成立．下面不妨设

A B C A C B

∠<∠．

如图三，连接11,,,,O M O M O B M D D O .由1//O N O M 知

111sin

2

2

O N M M O O C B S S r O O D D -==

鬃

①

11

11111

sin sin 2221sin

cos

2

2

2

BOO BDO C

C

BO O O r O O S O G O F B B G E

D F

S BD D O r BD 鬃鬃===

=鬃鬃

②

（112

2

cos

sin

,B B

r BO r DO =?=?）

()11

11

sin cot cot 2

222D M N M EN B C S S N K D N

N E BD B r r D D 骣÷

?-=

?=

鬃-÷?÷

?桫 ③

由②、③知

()11111sin 1

2

sin cot cot

22

2

cos

2

sin sin

cot cot 2

222sin

2

D M N M EN C r O O O G B

C S S r B

D B B G E

r B D B C B C r O O C B r O O ．

D D 鬃骣÷

?-=

鬃? ÷?÷?桫鬃骣÷

?=鬃鬃-÷?

÷?桫-=鬃

结合①知

()2D M N M E N M O N O G S S S G E

D D -=．

因为

:2:O G O G D F EG G E O E O D O E 骣÷

?=

+÷?÷

?桫 所以 M N D

M EN

M O N O F O G D F EG S S S O D

O E

O D O E D D D 骣÷

???+ ÷?÷?桫

M N D M O N M E N M O N

O F S D F S O G S E G S O D O E

D D D D ?鬃+ =

④

而 M

E N

M

O N

N

M

G

S O G

E G S S O E

D D D ? =，

所以 M N D M O N

N M G O F S D F S S O D

D D D ? =.

同理 M

N D

M

O N

N

M F

O F S D F S S O D

D D D ? =

．

由④知N M G N M F S S D D =，所以MN 平分线段FG ．

N M

G

O

1 O

F E

D

C

B

A

K

图三