2011女子数学奥林匹克
2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学
1.求出所有的正整数n ,使得关于,x y 的方程
111x y n
+=
恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y .
解:由题设,20()()xy nx ny x n y n n --=?--=.所以,除了x=y=2n 外,x n -取2n 的小于n 的正约数,就可得一组满足条件的正整数解(x , y ).故2n 的小于n 的正约数恰好为2010.
设1
1k
k n p p α
α= ,其中1,,k p p 是互不相同的素数,1,,k αα 是非负整数.故2n 的
小于n 的正约数个数为
1(21)(21)1
2
k αα++- ,
故1(21)(21)4021k αα++= .
由于4021是素数,所以1k =,1214021α+=,12010α=. 所以,2010n p =,其中p 是素数.
2.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB、CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q.若M F C D N F AB
?=?且DQ BP AQ CP
?=?,求证:PQ BC
⊥.
证明:连接AF、BF、CF、DF.由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形,FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高.由M F C D N F AB
?=?,知△AFB∽△DFC,从而∠AFB=∠CFD,∠FAB=∠FDC.
由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA,又因FB=FA,FD=FC,所以△BFD≌△AFC.由此可得∠FAC=∠FBD,∠FCA=∠FDB.从而A、B、F、E四点共圆,C、D、E、F四点共圆.
由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC,即直线EP是∠BEC的角平分线,从而EB/EC=BP/CP.同理,ED/EA=QD/AQ.由于DQ BP AQ CP
?=?,所以EB ED EC EA
?=?.由此可得ABCD为圆内接四边形,且点F为其外接圆的圆心.这时,因为
∠EBC=1
2∠DFC=1
2
∠AFB=∠ECB,所以E P B C
⊥.
Q
P
M
N
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
N
M
P
Q
3.设正实数,,,a b c d 满足1abcd =,求证:
11119254
a b c d a b c d
++++
≥+++.
证法一:首先我们证明,当,,,a b c d 中有两个相等时,不等式成立.不妨设a b =,令
s a b c d
=+++,则有
2
111192929(2)c d a s a a b c d
a b c d a
cd
s
a
s
+++++
=
+
+
=
+-+
+++ 3
2
292()a a s a
s =
-++
.
若2
a ≥
则232s a b c d a a
a
=+++≥+
≥
,因此将s 视为变量,上式最小值在22s a a
=+
时取到,此时
3
2
32
292292992()2(2)2a a s a a a a s a
s
a
a
s
a
s
s
-++
=
-++
+
=
++
=+
79977925416
16
16
4
2
4
s s s
=
+
+
≥
?+=
+
=
.(这里用到了224s a a
=+
≥)
若02
a <<
3
2
3
3
292222()265(2)5a a s a a a a a a a
s
a
a
a
-++
≥
-+=
++->
+254
≥=>
.
因此当,,,a b c d 中有两个相等时,不等式成立.
下面假设,,,a b c d 两两不等,不妨设a b c d >>>.由于1ad b c c abcd c
???==,故由
上面的分析得
11119254
ad ad b c c b c c
c c
++++
≥+++.
下面我们只需证明
1111911119ad ad a b c d a b c d
b c c b c c
c c
++++
≥++++
++++++. ①
而 ①119192c ad a
d
a b c d
ad
c
b c
c
?
+
+
≥
+
+
+++++
2
9
()
()(
2)
ac cd c ad
ad a d c ad acd
c
a b c d b c c
+--?
≥
?+-
-+++++
()()
9
()()
()(2)
a c c d a c c d ad acd
c
a b c d b c c
----?
≥
?
+++++
19
()(
2)
ad ad
a b c d b c c
?
≥
+++++
()(
2)9ad a b c d b c ad
c
?+++++≥
2ad b c c ?++≥2ad a b c d b c
c
+++>++)
3ad c c
?+≥
而最后一式可以用均值不等式推出,这样就证明了结论.
证法二:采用调整法.
不妨设a b c d ≤≤≤,并记11119(,,,)f a b c d a b c d a b c d
=
++++
+++.
先往证:(,,,))f a b c d f b d ≥. (*) 事实上,上式等价于
119a c a b c d
++
≥
+
+++
ac
?
≥
(因为20-≥)
()9a b c d b d ac
?++++≥
(因为b d +≥=)
(9a c ac ?++
≥ ①
而11abcd a a c c ac =≥????≤?
≥
且a c +≥,故
①左边169
ac a
≥+≥=>=①右边.所以(*)成立.
(*)说明,(,,,)
f a b c d(其中a b c d
≤≤≤)的最小值(或极小值)总是在a c
=,即a b c
==时取得.欲得到该四元函数的下界,我们就可不妨设(,,,)
a b c d=()3
111
,,,
t t t
t,这里1
t≥;这也说明了只需证明对1
t
?≥,总有
()3
111
25
,,,
4
t t t
f t≥, (**)
就证明了原不等式成立.
代入,可知
()3
111
25
,,,
4
t t t
f t≥
33
8743
265432
65432
3
1925
3
4
12257675120
(1)(121427362412)0
1214273624120
t
t
t t
t t t t
t t t t t t t
t t t t t t
?++≥
+
?-+-+≥
?----+++≥
?---+++≥
5432
(1)(1211330630)420
t t t t t t
?-+--+++≥②
而1
t≥
,533
1263
t t t
+≥=>,
422
113030.
t t
+≥=>
故5432
(1)(1211330630)420
t t t t t t
-+--+++>,②成立.
至此,(**)成立,原不等式得证.
4.有n (3n ≥)名乒乓球选手参加循环赛,每两名选手之间恰比赛一次(比赛无平局). 赛后发现,可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手,,A B C ,若,A B 在圈上相邻,则,A B 中至少有一人战胜了C .求n 的所有可能值.
解:n 的所有可能值为所有大于等于3的奇数.理由如下.
当n 是大于等于3的奇数时,设21n k =+,n 名选手编号为1221,,...,k A A A +,构造比赛结果如下:选手i A (121i k ≤≤+)战胜了242,,...,i i i k A A A +++(令21k j j A A ++=,1,2,...,21j k =+)
,输给了其它选手.现在将这些选手按照1221,,...,k A A A +的顺序顺时针排成一圈,对于任意三名选手,,A B C ,若,A B 在圈上相邻,不妨设t A A =,1t B A +=,t r C A +=(121t k ≤≤+,22r k ≤≤),则r 与1r -中至少有一个为不大于2k 的偶数,故,A B 中至少有一人战胜了C .因此,当n 是大于等于3的奇数时,可能发生题目所述的情况.
另一方面,当n 是大于等于4的偶数时,假设题目所述的情况出现,将这n 名选手按照在圈上的位置顺时针记为12,,...,n A A A ,不妨设1A 战胜了2A ,由题目条件知23,A A 中至少有一人战胜了1A ,故3A 战胜了1A ,再由12,A A 中至少有一人战胜3A 可知2A 战胜了3A . 依此类推可知对任意1i n ≤≤,i A 战胜了1i A +(其中11n A A +=). 对于每个i A (1i n ≤≤),他输给了1i A -(其中0n A A =),将剩下2n -人两两相邻配对,由条件知
i A 至少输掉了
22
n -场,再加上输给1i A -的一场至少输掉
2
n 场. 因此n 名选手共输掉至
少
2
2
n
场,但这与2
2
(1)2
2
n n n n
C -=
<矛盾!因此当n 是大于等于4的偶数时,不可能
发生题目所述的情况.
综上所述,n 的所有可能值为所有大于或等于3的奇数.
5.给定实数α,求最小实数()λλα=,使得对任意复数12,z z 和实数[0,1]x ∈,若
112||||z z z α≤-,则1212||||z xz z z λ-≤-.
解:如图,在复平面内,点,,A B C 对应的复数分别为122,,z z xz .显然,点C 在线段OB
上.向量BA
对应的复数为12z z -.向量C A
对应的复数为12z xz -.由112||||z z z α≤-,
得
O A BA
α≤ .于是,
{}
{}{}12
112
1212
max
max
max ,max ,max ,z xz AC
OA BA z z z z z z z α
-===-=--
故()max{,1}λαα=.
6.是否存在正整数m ,n 使得2011n m +为完全平方数?请证明你的结论.
证明:假设存在正整数m ,n 使得20211n m k +=,其中k ∈ .则
2
20
1010
11()()
n
k m
k m k m =-=-+.
故存在整数,0αβ≥使得
101011,11.
k m k m αβ?-=??+=??①②
比较①,②,得αβ<.②-①,得10211(111)m αβα-=-.
设111m m γ=,其中1,m γ∈ ,11 1m ,则1010111211(111)m γαβα
-?=-. 因为11 1012m ,11 111βα
--,故10γα=,从而101211
1m βα-=-. 由费马小定理,1011(m od 11)m ≡,故10122(m od 11)m ≡,但11110(mod 11)βα--≡,矛盾. 故不存在正整数m ,n 使得2011n m +为完全平方数.
7.从左到右编号为12,,,n B B B 的n 个盒子共装有n 个小球,每次可以选择一个盒子k B ,进行如下操作:(1) 若1=k 且1B 中至少有1个小球,则可从1B 中移1个小球至2B 中;(2) 若n k =且n B 中至少有1个小球,则可从n B 中移1个小球至1n B -中;(3) 若12-≤≤n k 且k B 中至少有2个小球,则可从k B 中分别移1个小球至1+k B 和1-k B 中.求证:无论初始时这些小球如何放置,总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.
解:对于任意两个向量),,,(21n x x x =x 和),,,(21n y y y =y ,若存在n k ≤≤1使得
k k k k y x y x y x >==--,,,1111 ,则记y
x .用一非负整数向量),,,(21n x x x =x 表示各
盒子中的小球数目.经过一次对k B 的操作后,各盒子中的小球数目从x 变为k α+x ,其
中1(1,1,0,,0)α=- ,2(0,,0,1,2,1,0,,0)k k α-=-
个
(12-≤≤n k ),(0,,0,1,1)n α=-
.当
2
k ≥时,总有x x k α+.因此,对于任意初始状态,总可以通过一系列对n B B ,,2 的
操作(只要2≥k 且k B 中至少有两个小球,就对k B 施行操作),使得操作后的小球数目
),,,(21n y y y =y 满足21≥?≤k y k ,.若12===n y y ,则已经满足题目要求;否则
有21≥y .设i 是满足0=i y 的最小整数,通过一系列对11,,-i B B 的操作,可以使得小球数目变为),,,1,,1,1(11n i y y y +-.具体操作如下:
121122
1
,,,,,,1111111111(,1,,1,0,,,)(,1,,1,0,1,,,)(,1,,1,0,1,1,,,)(,0,1,,1,,,)(1,1,,1,,,)i i B B B B B B
i n i n B i n i n i n y y y y y y y y y y y y y y y --+++++?????→?????→
→→??→- .
重复以上操作,最终可使小球数目满足题目要求.
8.如图,⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆,点D 、E 分别在线段AB 、AC 上,使得DE ∥BC .⊙1O 为△ADE 的内切圆,1O B 交DO 于点F ,1O C 交EO 于点G . ⊙O 切BC 于点M ,⊙1O 切DE 于点N .求证:MN 平分线段FG .
证法一:若A B A C =,则图形关于B A C ∠的平分线成轴对称,结论显然成立.下面不妨设A B A C >,如图二.设线段B C 的中点为L ,连接1O L 交线段F G 于点R .连接1O N 并延长交直线B C 于点K ,作AT BC ⊥于T ,交直线D E 于点S .连接A O .显然1O 在线段A O 上.首先由梅涅劳斯定理,得
11
1O F BD AO
FB
D A O O ??=,
11
1O G C E AO
G C EA O O ??=.
①
由于//D E B C ,故
BD CE DA
EA
=
,因此
11O F O G F B
G C
=
,即//F G B C ,故
1FR
BL GR
CL
=
=,因此R
是F G 的中点.下面只需证明,,M R N 三点共线. 由梅涅劳斯定理的逆定理,我们只需证明
11
1O R LM K N
RL M K N O ??=. ②
由于//F R B L ,故
111O R O F O O A D R L
F B
A O
D B
=
=
?
(第二个等号用到了①),故我们只需证明
11
1O O AD LM K N AO
D B M K N O ?
??=.
③
由于1,,,//O K DE OM BC AT BC DE BC ⊥⊥⊥,故1,,O K O M AT 三条直线彼此平行,由平行线分线段成比例定理得
1O O M K A O
M T
=,将此式代入③,我们只需证明
1
1AD LM K N
D B M T N O ??=.
④
N
M
G
O
1 O
F E
D
C
B A
由于//,,D E B C K N D E S T
B C ⊥
⊥,故四边形K N S T 为矩形,因此K N S T =.再由
//D S B T
得
A D A S D B
ST
=
,代入④中,我们只需证明
1N O L M M T
A S
=. ⑤
记,,BC a AC b AB c ===,则
2
a b c
B M +-=
(旁切圆性质),2
a B L =
,
2
2
2
2
2
2
cos 22a c b
a c b
BT c ABC c ac
a
+-+-=∠=?=
,
故
22
2()2c b
LM BL BM a c b a c b M T
BT BM
a b c
a
--=
=
=-+--++.
另一方面,
1
22AD E
AD E S N O D E a
AD D E AE S AS AD D E AE a b c D E
++===
++++ ,故⑤式成立,证毕.
图二
证法二:设⊙O 、⊙O 1半径分别为1r r 、.显然1,,O O A 共线,
11111111122
11221
2//(sin )(sin )BO O D BO O O C EO O A A AB
AC
D E BC BD C E
S AB O O O F FD S r BD S AC O O O G G E S r C E ?????
??=
????==??????==
???
O F O G F D G E ?=?////F G D E B C . S
T K R L A
B C
D
E F O
O
1 G M
N
连接ON 并延长交BC 于K .当A B C A C B ∠=∠时,由对称性,命题成立.下面不妨设
A B C A C B
∠<∠.
如图三,连接11,,,,O M O M O B M D D O .由1//O N O M 知
111sin
2
2
O N M M O O C B S S r O O D D -==
鬃
①
11
11111
sin sin 2221sin
cos
2
2
2
BOO BDO C
C
BO O O r O O S O G O F B B G E
D F
S BD D O r BD 鬃鬃===
=鬃鬃
②
(112
2
cos
sin
,B B
r BO r DO =?=?)
()11
11
sin cot cot 2
222D M N M EN B C S S N K D N
N E BD B r r D D 骣÷
?-=
?=
鬃-÷?÷
?桫 ③
由②、③知
()11111sin 1
2
sin cot cot
22
2
cos
2
sin sin
cot cot 2
222sin
2
D M N M EN C r O O O G B
C S S r B
D B B G E
r B D B C B C r O O C B r O O .
D D 鬃骣÷
?-=
鬃? ÷?÷?桫鬃骣÷
?=鬃鬃-÷?
÷?桫-=鬃
结合①知
()2D M N M E N M O N O G S S S G E
D D -=.
因为
:2:O G O G D F EG G E O E O D O E 骣÷
?=
+÷?÷
?桫 所以 M N D
M EN
M O N O F O G D F EG S S S O D
O E
O D O E D D D 骣÷
???+ ÷?÷?桫
M N D M O N M E N M O N
O F S D F S O G S E G S O D O E
D D D D ?鬃+ =
④
而 M
E N
M
O N
N
M
G
S O G
E G S S O E
D D D ? =,
所以 M N D M O N
N M G O F S D F S S O D
D D D ? =.
同理 M
N D
M
O N
N
M F
O F S D F S S O D
D D D ? =
.
由④知N M G N M F S S D D =,所以MN 平分线段FG .
N M
G
O
1 O
F E
D
C
B
A
K
图三
2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8:00-12:00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,定义为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得为3的倍数,但不是5的倍数? ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图,⊙与⊙相交于点C ,D ,过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ,B ,点P 在⊙的弧AD 上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在 ⊙的弧BD 上,QD 与线段BC 的延长线交于点N .O 是△ABC 的外心.求证: 的充要条件为P ,Q ,M ,N 四点共圆. 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ,b ,c 满足3a b c ++=.求证: 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤. 四、设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p ,q ,r ,使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+? 广西 南宁 第二天 11月11日 上午8:00-12:00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为2007,且最大的角等于最小角的两倍? 六、求所有的正整数n ,使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ,满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点,AP ,BP ,CP 分别交边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,已知△DEF ∽△ABC ,求证:P 是△ABC 的重心. 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,.再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明:存在连续个棋子(不计黑白), 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L . 2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角,不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ,过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明:AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0,则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明:对于任意实数2M >,总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a : (1) 对每个正整数i ,有i i a M >; (2) 当且仅当整数0n ≠时,存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ . 第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。 参考答案 第一天 1. 如图2,联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠,X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ,这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行,既不改变题设也 不改变结论。同样,不妨设12p y y y <<< 。于是,假设数表的每一行从左到右是递增的,每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =,不妨设122a =。否则,将整个数表关于主对 目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20) 2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32,求证:3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点,点P在线段AD上,过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E,与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF,求证:DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n},使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n,将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘(由n行n列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立,求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点,F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点,过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证:CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有 一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进 首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 (2004年7月10日 8:00 — 12:00 温州) 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ,求证:39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点,点P 在线段AD 上,过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ,与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF , 求证:DM=DN 三、(1)是否存在正整数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 (2)是否存在正无理数的无穷数列{}n a ,使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ,将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘(由n 行n 列方格构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数,且大于它所在列至少2004个方格内所填的数,则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 (2004年7月11日 8:00 — 12:00 温州) 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立,求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点,F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点,过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证:CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛),每支球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛,球n 的最大值。 注:A 、B 两队在A 方场地举行的比赛,称为A 的主场比赛,B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++,且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组(,,,x y z u )的个数。 2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明:2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. (1)若存在()1k k n ≤≤,使得()2 2 1p k +,则221p n ≤+. 于是,2p n ≤ <. (2)若对任意的()1k k n ≤≤,( ) 2 2 1p k +?,由条件,知存在1j k n ≤≠≤,使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是,|()()p k j k j -+. 当|()p k j -,则12p k j n n ≤-≤-<;当|()p k j +,则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<, 综上,2p n <. 2、已知n 为正整数,使得存在正整数12,,,n x x x 满足:()12 12100n n x x x x x x n +++=,求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702, 显然:由已知等式得 1n i i x n =≥∑,所以:1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立,则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====,可使上式等号成立 2007年女子数学奥林匹克 第一天 1.设m 为正整数,如果存在某个正整数n ,使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数(包括1和自身)的商,则称m 是“好数”。求证: (1)1,2,…,17都是好数; (2)18不是好数。 2.设△ABC 是锐角三角形,点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证:△ABC 是等腰三角形。 3.设整数)3(>n n ,非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4.平面内)3(≥n n 个点组成集合S ,P 是此平面内m 条直线组成的集合,满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证:n m ≤,并问等号何时成立? 第二天 5.设D 是△ABC 内的一点,满足∠DAC=∠DCA=30°,∠DBA=60°,E 是边BC 的中 点, F 是边AC 的三等分点,满足AF=2FC 。求证:DE ⊥EF 。 6.已知a 、b 、c ≥0,.1=++c b a 求证: .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7.给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ,三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根? 8.n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局。规定:胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手,也有一个棋手输给了其余m —1个棋手,就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ,求n 的最小值)(m f ,使得对具有性质)(m P 的任何赛况,都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上,最少取出11枚棋子,才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数,则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2, .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ,设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知,对5,4,3,2,1=i ,满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而,).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此,对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在 2015中国女子数学奥林匹克 第一天 2015年8月12日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 1.如图,在锐角△ABC 中,AB > AC ,O 为外心,D 为边BC 的中点. 以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F .过D 作DM ∥AO 交EF 于点M .求证:EM = MF .(郑焕供题) 2.设(0,1)a ∈,且 323 2 ()(14)(51)(35),()(1)(2)(31). f x ax a x a x a g x a x x a x a =+-+-+-=--+--+ 求证:对于任意实数x , ()f x 和()g x 中都至少有一个不小于1a +.(李胜宏供题) 3.把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色,使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格.试求黑色单位方格个数的最小值.(梁应德供题) 4.对每个正整数n ,记()g n 为n 与2015的最大公约数,求满足下列条件的有序三元数组(,,)a b c 的个数: 1) ,,{1,2,,2015}a b c ∈L ; 2) (),(),(),(),(),(),()g a g b g c g a b g b c g c a g a b c +++++这七个数两两不同.(王彬供题) 中国女子数学奥林匹克 第二天 2015年8月13日 上午8:00 ~ 12:00 广东深圳 深圳市高级中学 O M F E D C B A 5.有多少个不同的三边长为整数的直角三角形,其面积值是周长值的999倍?(全等的两个三角形看作相同的)(林常供题) 6.如图,两圆12,ΓΓ外离,它们的一条外公切线与12,ΓΓ分别切于点,A B ,一条内公切线与12,ΓΓ分别切于点,C D .设E 是直线,AC BD 的交点,F 是1Γ上一点,过F 作1Γ的切线与线段EF 的中垂线交于点M ,过M 作MG 切2Γ于点G .求证: MF MG =. (付云皓供题) 7.设12,,,(0,1)n x x x ∈L ,2n ≥.求证: 1212n n x x x < L L .(王新茂供题) 8.给定整数2n ≥.黑板上写着n 个集合,然后进行如下操作:选取黑板上两个互相不包含的集合,A B ,擦掉它们,然后写上A B I 和A B U .这称为一次操作.如此操作下去,直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止.对所有的初始状态和操作方式,求操作次数的最大可能值.(朱华伟供题) 试题解答 1.如图,在锐角△ABC 中,AB > AC ,O 为外心,D 为边BC 的中点.以AD 为直径作圆与边AB 、AC 分别交于点E 、F . 过D 作DM ∥AO 交EF 于点M . 求证:EM = MF . Γ2 Γ1 M G F E D C B A 图1 第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A,与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C,与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E;直线 A N和C D相交于点P;直线 B N 和C D相交于点Q. 证明:E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数,且满足a b c=1.证明: . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0 一、2010年江苏高考数学考卷解读 2010年高考已经落下帷幕,本次数学试题突出数学学科特点,考查基础与考查能力并重,有创新题、题目梯度明显,区分度较高。考生的评价集中为一个字“难”,许多题目看似简单,但要真正解决得分却很难。运算量很大,甚至部分同学的最后两题都没来得及看。接下来我们来具体分析试题。 1、基础题 试题第1题、第2题、第3题、第4题、第5题、第6题、第7题分别考查考纲中的集合的性质与集合的运算、复数的运算、古典概型、频率直方图的运用、函数的奇偶性、双曲线的标准方程与集合性质、算法流程图,基本集中在对A、B级要求的考查。难度与计算量均不大。大多数考生都应该能顺利解决。 第9题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离的计算,只要判断准确接下来的计算也不成问题。 第11题主要考查分段函数、函数的单调性以及不等式,难度虽不大,但分情况讨论对于部分函数基础较薄弱的考生稍有难度。 第15题主要考查向量,并与平时常用的解析法结合,在处理过程中需要稍加小心,容易出现计算上的失误。 第16题以四棱锥为模型,主要考查立体几何中线线、线面垂直以及多面体的体积,需要证明过程完整、理由充分,有部分考生虽然会做,但论证过程写的不够完善而导致失分。 总体看以上列举的考题考查的考点明确,难度与平时练习相当, 考生的失分会较少。 2、中档题 第8题、第10题、第12题主要考查导数的集合意义、数列的概念、三角函数的图像、不等式的解法与不等式的性质中比较容易的考点,只要平时的基本功扎实,解决这几个问题应该不难。重点在与考题与平时练习题的联系。 第17题测量电视塔的高度,本题的原型在苏教版数学必修5第11页第3题,它进行了改编,并添加了初中的相似三角形、解直角三角形这些知识的运用,在此基础上,考查了解斜三角形、基本不等式的运用。题目本身难度不大,但在这些知识点的融合中,有部分考生往往会失去方向,似乎有很多途径来解决问题,但要找到一个真正适合的方法不容易。 第19题主要考查等差数列的概念和通项公式与不等式的证明,本题主要是难下手,许多考生就在这一环节上缺少有效的突破,最终无功而返。 3、难题 第13题主要考查三角变换与运用解三角形知识进行三角运算,综合性较高,边、角、三角函数名称错综复杂,处理这类问题在运算、代换等运用方面需要恰当。否则导致运算量偏大,却得不到最后结果。第14题构造等腰梯形,求其周长的平方与面积的比值的最小值,将几何图形与函数模型相结合,具有高度的综合性,有想法,当深入解决问题时发现对于函数知识的要求相当高。 2016女子数学奥林匹克 (2016年8月12‐8月13日) 1、整数3n ≥,将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子,每个盒子各有n 张。其后允许操作如下:每次选其中两个盒子,在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明:总是可以通过有限次操作,使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===,ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P (不同于,B C ),满足 PA PB PC =+,求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点,证明:若AP 过BC 的中点, 则60BAC ∠。 3、,m n 是互素整数,且大于1。求证:存在正整数,,a b c 满足1a b m n c =+?,且(,)1c n =。 4、n 是正整数,{}12,,...,0,1,2,...,n a a a n ∈,对于整数1j n ≤≤,j b 是集合{}{}1,2,...,i i a j n ≥ 所含元素的个数。例如:对于1233,1,2,1n a a a ====,对应得到1233,1,0b b b ===。 ①证明:2 211 ()()n n i i i i i a i b ==+≥+∑∑。 ②证明:对于整数3k ≥,都有11()()n n k k i i i i i a i b ==+≥+∑∑。 5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++,已知11S =,对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明:对于任意正整数n ,都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ,使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ,每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行,这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心,AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心,,AO BC 交于L ,AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ,D 是I 在BC 上的投影,求:BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数,在坐标平面上,对于任意整数m ,定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ,定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ,使得对于任意直线l ,均存在与l 有关的实数()l β,满足:对于l 上任意两点,M N ,都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。 2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学 1.求出所有的正整数n ,使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y . 解:由题设,20()()xy nx ny x n y n n --=?--=.所以,除了x=y=2n 外,x n -取2n 的小于n 的正约数,就可得一组满足条件的正整数解(x , y ).故2n 的小于n 的正约数恰好为2010. 设1 1k k n p p α α= ,其中1,,k p p 是互不相同的素数,1,,k αα 是非负整数.故2n 的 小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- , 故1(21)(21)4021k αα++= . 由于4021是素数,所以1k =,1214021α+=,12010α=. 所以,2010n p =,其中p 是素数. 2.如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,边AB、CD的中垂线相交于点F,点M、N分别为边AB、CD的中点,直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q.若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?,求证:PQ BC ⊥. 证明:连接AF、BF、CF、DF.由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形,FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高.由M F C D N F AB ?=?,知△AFB∽△DFC,从而∠AFB=∠CFD,∠FAB=∠FDC. 由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA,又因FB=FA,FD=FC,所以△BFD≌△AFC.由此可得∠FAC=∠FBD,∠FCA=∠FDB.从而A、B、F、E四点共圆,C、D、E、F四点共圆. 由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC,即直线EP是∠BEC的角平分线,从而EB/EC=BP/CP.同理,ED/EA=QD/AQ.由于DQ BP AQ CP ?=?,所以EB ED EC EA ?=?.由此可得ABCD为圆内接四边形,且点F为其外接圆的圆心.这时,因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB,所以E P B C ⊥. Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q 目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24) 2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n,使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n(n是正整数)位女同学参加,每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时,发现这3n位女同学中的任何两位,在同一天担任执勤工作恰好是一次. (1)问:当n=3时,是否存在满足题意的安排?证明你的结论;(2)求证:n是奇数. 3.试求出所有的正整数k,使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点,且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线,交⊙O2于另一点A,连结AB,交⊙O1于另一点E,连结CE并延长,交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点,连结HE并延长,交⊙O1于点G,连结BG并延长,与AC的延长线交于点D.求证:AA AH=AA AC. 5.设P1,P2,?,P n(n≥2)是1,2,?,n的任意一个排列.求证: 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y),满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证:△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1,A2,?,A8是平面上任意取定的8个点,对平面上任意取定的一条有向直线l,设A1,A2,?,A8在该直线上的摄影分别是 第一天 2018年8月12日上午8∶00~12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的,不仅仅是为了数学而数学,其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手,因而提高数学,也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图,设点P 在△ABC 的外接圆上,直线CP 和AC 相交于点E ,直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ,边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证: 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点,12条棱和6 个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱? 4.求出所有的正实数a ,使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ,2A ,…,n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ,而且对于每个i A 中的任意两数b >c ,都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x 第二天 2018年8月13日上午8∶00~12∶00 长春 数学竞赛,它对牢固基础知识、发展智力,培养拔尖人才,是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ,y 满足3 x +3y =x -y ,求证: .1422<y x + 6.设正整数n ≥3,如果在平面上有n 个格点,,,?21P P n P 满足:当j i P P 为有理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数,那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数; (2)问:2018是否为好数? 7.设m ,n 是整数,m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数,求证: .11121m n m a a a n ++?++< 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的 边至少为多长? 1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad,简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。 我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年,当时仅派两名学生,并且成绩一般。我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。 2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔(Mar del Plata , Argentina)举行。入选国家队的六名学生是:(按选拔成绩排名) 陈景文(中国人民大学附属中学)、吴昊(辽宁师范大学附属中学)、左浩(华中师范大学第一附属中学)、 佘毅阳(上海中学)、刘宇韬(上海中学)、王昊宇(武钢三中) --------------------------------------------------------- 历届IMO的主办国,总分冠军及参赛国(地区)数为: 年份届次东道主总分冠军参赛国家(地区)数 1959 1 罗马尼亚罗马尼亚7 1960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克5 1961 3 匈牙利匈牙利 6 1962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利7 1963 5 波兰前苏联8 1964 6 前苏联前苏联9 1965 7 前东德前苏联8 1966 8 保加利亚前苏联9 1967 9 前南斯拉夫前苏联13 1968 10 前苏联前东德12 1969 11 罗马尼亚匈牙利14 1970 12 匈牙利匈牙利14 1971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利15 1972 14 波兰前苏联14 1973 15 前苏联前苏联16 1974 16 前东德前苏联18 1975 17 保加利亚匈牙利17 1976 18 澳大利亚前苏联19 全国小学数学奥林匹克竞赛试卷 考生注意:本试卷共12道题,每题10分,满分120分,前10道题为填空题,只写答案;最后两道题为解答题,必须写出解题过程,只写答案不得分。 1.计算: 151051284963642321251552012415931062531??+??+??+??+????+??+??+??+??=( ) 2.有一个分数约成最简分数是115,约分前分子分母的和等于48,约分前的分数是( ) 3.762001+252001 的末两位数字是( ) 4.甲、乙、丙、丁四人去买电视,甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半,乙带的钱是另外三人所带钱总数的31,丙带的钱是另外三人所带钱总数的41,丁带了910元,四人所带的总钱数是( )元。 5.若2836,4582,6522四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,那么除数与余数的和为( ) 6.两人从甲地到乙地,同时出发,一人用匀速3小时走完全程,另一个用匀速4小时走完全程,经过( )小时,其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。 7.设A =6229,B =626160 293031 ,比较大小:A ( )B 。 8.今有桃95个,分给甲、乙两班学生吃,甲班分到的桃有 92 是坏的,其它是好的;乙班分到的桃有16 3是坏的,其它是好的,甲、乙两班分到的好桃共有( )个。 9.如下图示:ABCD 是平行四边形,AD =8cm ,AB =10cm ,∠DAB =300,高CH =4cm1,弧BE 、DF 分别以AB 、CD 为 半径,弧DM 、BN 分别以AD 、CB 为半径,那么阴影部分的面积为( )平方厘米(取π=3)。 10.假设某星球的一天只有6小时,每小时36分钟,那么3点18分时,时针和分针所形成的锐角是( )度。 11.已知AB 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、K 代表十个互不相同的大于零的自然数,要使下列等式成立,A 最小是( )。 12.从A 市到B 市有一条笔直的公路,从A 到B 共有三 段,第一段的长是第三段的长的2倍,甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行进,在第二段公路上速度提高了 125%,乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度前进时,在第二段上把速度提高了80%,甲、乙两汽车分别从A 、B 两市同时出发,相向而行,1小时20分钟后,甲汽车在走了第二段公路的处与从B 市而来 B C A D I F G E K + = + E + H H + I H + I · 3 6 5 4 2 1 第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15:30——19:30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中,连续多年取得很好的成绩,这项竞赛是高中程度,不 包括微积分,但题目需要思考,我相信我是考不过这些小孩子的,因此有人觉得,好的数学家未必长于这种考试,竞赛胜利者也未必是将来的数学家,这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的;匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a >0,函数 f : (0,+∞) → R 满足f (a )=1.如果对任意正实数x ,y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ,①求证: f (x )为常数. 证明: 在①中令x =y =1,得 f 2(1)+f 2(a )=2 f (1), (f (1)-1)2 =0, ∴ f (1)=1。 在①中令y =1,得 f (x )f (1)+f (a x )f (a )=2 f (x ), f (x )=f ( a x ),x >0。 ② 在①中取y =a x ,得 f (x )f (a x )+f (a x )f (x )=2 f (a ), f (x )f ( a x )=1。 ③ 由②,③得:f 2(x )=1,x >0。 在①中取x =y ,得 f 2 )+f 2 )=2 f (t ), ∴ f (t )>0。 故f (x )=1,x >0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点.△OAD ,△OBC 的外接圆交于O ,M 两点,直线 OM 分别交△OAB ,△OCD 的外接圆于T ,S 两点.求证:M 是线段TS 的中点. 证法1: 如图,连接BT ,CS ,MA ,MB ,MC ,MD 。 ∵ ∠BTO =∠BAO ,∠BCO =∠BMO , 2010IMO中国国家队培训42题 各位队员大家好,下面是我为挑选的一些问题,供各位在4月-6月自己练习用,请每位队员认真思考、琢磨。要求用A4纸写解答,每张纸上写上题号,每个没做过的问题都要求写出详细解答过程,以此锻炼自己的书写、表达能力。对做过的题目,如有好的解答(不必刻意去追求)也请写出。平均分配时间,在6月10日报到时上交,可以包含在80个作业题内。希望大家在这段时间内水平能再上一个台阶。 1.设凸四边形ABCD有一个内切圆,圆心为O,直线AC,BD交于点P;AB,CD交于点Q;AD,BC交于点R.证明:OP⊥QR. 2.设ΔABC、ΔPQR满足:A、P分别是QR、BC的中点,直线QR、BC分别是∠BAC、∠QPR的内角平分线.证明:AB+AC=PQ+PR. 3.以O1,O2,O3为圆心的三个圆有一个公共交点Q,它们两两相交所得的另外一个交点分别为A,B,C.证明:若A,B,C三点共线,则Q,O1,O2,O3四点共圆. 4.设ABCD为一个凸四边形,O为该四边形的对角线的交点.证明:若三角形OAB,OBC,OCD,ODA的内切圆半径相同,则四边形ABCD为菱形. 5.设P 为三角形ABC 所在平面上一点,一个过P 的圆Γ分别交三角形PBC,PCA, PAB 的外接圆于点A 1,B 1,C 1,直线PA 1,PB 1,PC 1分别交边BC,CA,AB 于点A 2,B 2, C 2,直线PA,PB,PC 分别交圆Γ于点A 3,B 3,C 3.证明: (1) 点A 2,B 2,C 2三点共线; (2) 直线A 1A 3,B 1B 3,C 1C 3三线共点. 6.圆内接四边形ABCD 的对角线AC=1,设AB,BC,CD,DA 的长分别为a,b,c,d.证明:数ad+bc 夹在c b 和b c 之间. 7.对每个正整数n,证明:存在唯一(在不相似的意义下)的三角形ABC,使得∠MBH=n ∠ABM=n ∠CBH,这里M,H 为BC 上的点,BM 为该三角形的一条中线,而BH 为高.并求三角形ABC 的各内角的大小(用n 表示). 8.设平行四边形ABCD 内有一点P ,ΔP AD 、ΔPBC 的外接圆还交于Q ,ΔP AB 、 2007年中国西部数学奥林匹克(广西南宁,11月10日) 第一天 11月10日 上午8:00-12:00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,A T A ?≠?,定义()S A 为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得()S A 为3的倍数,但不是5的倍数? 二、如图,⊙1O 与⊙2O 相交于点C ,D ,过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ,B ,点P 在⊙1O 的弧AD 上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在⊙2O 的弧BD 上,QD 与线段BC 的延长线交于点N .O 是△ABC 的外心.求证:OD MN ⊥的充要条件为P ,Q ,M ,N 四点共圆. 三、设实数a ,b ,c 满足 3a b c ++=.求证: 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+. 四、设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p ,q ,r ,使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+? 六、求所有的正整数n ,使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,,满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点,AP ,BP ,CP 分别交边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,已知△DEF ∽△ABC ,求证:P 是△ABC 的重心. 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L .再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明:存在连续n 个棋子(不计黑白), 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L . 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,A T A ?≠?,定义()S A 为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得()S A 为3的倍数,但不是5的倍数? 解 对于空集?,定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?,令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ,则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-, 因此,3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况: 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-=87. 若3()S A ,5()S A ,则15()S A . 由于()36S T =,故满足3()S A ,5()S A 的()S A 的可能值为15,30.而 15=8+7=8+6+1=8+5+2=8+4+3=8+4+2+1 =7+6+2=7+5+3=7+5+2+1=7+4+3+1 =6+5+4=6+5+3+1=6+4+3+2 =5+4+3+2+1, 36-30=6=5+1=4+2=3+2+1. 故满足3()S A ,5()S A ,A ≠?的A 的个数为17. 所以,所求的A 的个数为87-17=70. 2011中国数学奥林匹克试题解答 1. 设12,,...,n a a a (3n ≥)是实数,证明 22111 ()2n n i i i i i n a a a M m +==?? -≤-????∑∑, 其中 11n a a +=,1max i i n M a ≤≤=,1min i i n m a ≤≤=,[]x 表示不超过x 的最大整数.(姚一隽提供) 证明 若2n k =(k 为正整数),则 22211111 2()(),n n n i i i i i i i i a a a a a n M m ++===??-=-≤?- ???∑∑∑ 从而 222 111 ()().22n n i i i i i n n a a a M m M m +==??-≤-=-????∑∑ 若21n k =+(k 为正整数),则对于循环排列的21k +个数,必有连续三项递增或递减(因为 21 21 21 111 1 ()()()0k k i i i i i i i i a a a a a a ++-+-==--=-≥∏∏,所以不可能对于每一个i ,都有1i i a a --与1i i a a +-异 号),不妨设为123,,a a a ,则有 222122313()()(),a a a a a a -+-≤- 从而 222 211131111 32()()(),n n n n i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a +++====??-=-≤-+- ???∑∑∑∑ 这就将问题化为了2k 个数的情形.我们有 22 2211311132()()2(),n n n i i i i i i i i a a a a a a a k M m ++===??-≤-+-≤- ??? ∑∑∑ 即 222111()(),2n n i i i i i n a a a k M m M m +==????-≤-=- ??????? ∑∑ 证毕.2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)
历届东南数学奥林匹克试题
2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题
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