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2018年考研数学二真题及答案

2018年考研数学二真题及答案

一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选

项是符合题目要求的. 1 若1)

(lim 2

12

=++→x x

x bx ax e ,则( )

A 1,21-==

b a B 1,21

-=-=b a C 1,21==b a D 1,2

1

=-=b a

2下列函数中不可导的是( )

A. )sin()(x x x f =

B.)sin()(x x x f =

C.

x x f cos )(= D.)

cos()(x x f =

3设函数??

?

??≥-<<--≤-=???≥<-=0

011

,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)

()(x g x f +在R 上连续,则( ) A 1

,3==b a B

2

,3==b a C

1

,3=-=b a D 2

,3=-=b a

4 设函数

)

(x f 在

]

1,0[上二阶可导,且

)(1

=?

dx x f 则 ( )

A 当0

)(<'x f 时,0)21(

)(<''x f 时,0)21(

C 当0210)(<>')(时,f x f

D 当0)2

1

(0)(<>''f x f 时, 5 dx x K dx e x

N dx x x M x ???-

--+=+=++=22

222

222)cos 1(,1,1)1(π

ππππ

π则M,N,K 大小关系为( ) A.K N M >> B.N K M >>

C.N M K >>

D.M N K >> 6

??

?

?=

-+-----1

220

1

2

2

)1()1(dy xy dx dy xy dx x x

x x

( )

A 35

B 65

C 37

D 67

7 下列矩阵中,与矩阵???

?? ??100110011相似的为()

A. ????? ??-100110111

B.?????

??-100110101

????? ??-100010111.C D.????

? ??-100010101

8设A,B 为n 阶矩阵,记)(x r 为矩阵x 的秩,)(Y X 表示分块矩阵,则( )

A.)()(A r AB A r =

B.)()(A r BA A r =

C.{})(m ax )(A r B A r =

D.)()(T T

B A r B A r =

二、填空题:9~14题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。 9 =-++∞

→]arctan )1[arctan(lim 2

x x x x

10 曲线x x y ln 22

+=在其拐点处的切线方程是

11

=+-?

+∞

dx x x 5

2

3

41

12 曲线4t sin cos 3

3

π=?????==在t

y t

x 对应点处的曲率为

13设函数),(y x z z =由方程xy e

z z =+-1

ln 确定,则

=??)

21,2(|x z

14设A 为3

阶矩阵,321,,ααα为线性无关的向量组,若

3233223211,2,2αααααααααα+-=+=++=A A A ,则A 的实特征值为

三、解答题:15~23小题,共94分。请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15(本题满分10分)

求不定积分dx e e x

x ?

-1arctan 2 16(本题满分10分) 已知连续函数)(x f 满足

20

1

)()(ax dt t x tf dt t f x

=-+??

(1)求)(x f

(2)若)(x f 在区间[0,1]上的平均值为1,求a 的值 17(本小题10分)

设平面区域D 由曲线)20(cos 1sin π≤≤???-=-=t t y t

t x 与x 轴围成,计算二重积分??+D

dxdy y x )2(

18(本小题10分)

已知常数12ln -≥k 证明:0)1ln 2ln )(1(2

≥-+--x k x x x

19(本题满分10分)将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成圆,三角形与正方形,这三段

分别为多长时所得面积之和最小,并求该最小值 20(本小题10分)

已知曲线)

(),点(点1,00,0),0(9

4:2

A O x x y L ≥=设P 是L 上的动点,S 是直线OA 与直线AP 与曲线L 所围图形的面积 ,若P 运动到点(3,4)时沿x 轴正向的速度是4,求此时

S 关于时间t 的变化率。 21(本小题11分) 设数列{}n x 满足:)2,1(1,01

1Λ=-=>+n e e x x n n x x n 证明{}n x 收敛,并求n n x lim +∞

22(本小题11分)

设实二次型2

312

322

32132,1)()()(),(ax x x x x x x x x x f +++++-=,其中a 为参数。 (1)求0),(32,1=x x x f 的解 (2)求),(32,1x x x f 的规范形 23(本小题11分)

已知a 是常数,且矩阵????? ??-=a a A 7203121可经初等列变换化为矩阵???

?

? ??-=a a B 7203121

(1)求a

(2)求满足B AP =的可逆矩阵p 答案:

1-5 BDDDC 6-8CAA 9, 1 10, 4x -3

11, ln 22

12, 2

3

13,1 4

14, 2 15,

16, ()()-x

1=2a1-e()e

2=

2

17,

2 =5+3ππ

18,

19,

)2m 单位:

20, ds

=10 dt

21, 略

22, ()

-20 11a=2x=k-12a2x=0

10

????

? ?

? ?

? ?

????,时,;,不等于时,

23, 1:

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