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中考数学圆知识点归纳

圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ? 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d 。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距 离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; d = r 点P 在⊙O 上 d < r (r > d 点P 在⊙O 内 d > r (r

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案

24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义:第一种:在一个平面内,线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心,线段0A叫作半径。第二种:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长, 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。( 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为CD, AB是弦,且CDLAE, C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如 上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相 等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。 (3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心 圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理

初三数学上册圆的知识点总结—全面资料

圆 章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +;外切(图2)? 有一个交点?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 r R d O E D C O D A B

九年级数学圆知识点归纳

:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3 )圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ?平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。(1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距 五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r,OP=d。 7、(1 (2 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。 2 9A(x1,y1)、B(x2,y2)。 d= r 直线与圆相切。 d< r(r > d直线与圆相交。 d > r(r d点P在⊙O内 d > r(r

中考圆知识点经典总结

圆知识点学案 考点一、圆的相关概念 1、圆的定义 在一个平面,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2、圆的几何表示 以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 (1)弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB) (2)直径 经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD) 直径等于半径的2倍。 (3)半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。 (4)弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。 弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。 大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示) 考点三、垂径定理及其推论 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为: 过圆心 垂直于弦 直径平分弦知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角。 2、弦心距 从圆心到弦的距离叫做弦心距。 3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 考点七、点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有: dr?点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 4、圆接四边形性质(四点共圆的判定条件) 圆接四边形对角互补。 考点九、直线与圆的位置关系 直线和圆有三种位置关系,具体如下: (1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点; (2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,

圆的知识点总结及典型例题.

圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 1

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆 心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线; (3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB =,ON=1,求MN的长; ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。 解:①∵AB =,半径OM⊥AB,∴AN=BN = ∵ON=1,由勾股定理得OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60° 2

初三数学圆的知识点整理

1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称 轴,圆心是它的对称中心(p110) 5.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。(逆定理: 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等。 10.定理3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的两条劣弧(优弧) 相等,相等的劣弧(优弧)所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆(P117) 12.顶点在圆上,并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理:(p119-120)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角;对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r

中考数学圆的知识点总结

2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个)

圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,POP在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO 2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB

初三数学二次函数与圆知识点总结材料

初三数学知识点总结 1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时,ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ; 其中a 、 b,、c 可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用围较小;公式法虽然适用围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少. 3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时,Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根; Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等). 4. 一元二次方程的根系关系: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式: .a c x x a b x x )2(a 2ac 4b b x ) 1(212122,1= -=+-±-=, ; ※ 5.当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+,;Δ=b 2-4ac 分析,不要求背记) (1)两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0; (2)两根互为倒数 ? a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0; (3)只有一个零根 ? a c = 0且a b -≠0 ? c = 0且b ≠0; (4)有两个零根 ? a c = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0; (5)至少有一个零根 ? a c =0 ? c=0; (6)两根异号 ? a c <0 ? a 、c 异号; (7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值? a c <0且a b ->0? a 、c 异号且a 、b 异号; (8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值? a c <0且a b -<0? a 、c 异号且a 、b 同号;

(完整版)初中数学圆知识点总结

A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d

D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD =

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8.直线和圆的位置关系: 设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr),圆心距.

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初中数学——《圆》 【知识结构】 ????? ??????? ? ? ? ?? ? ? ????? ??????? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???????????????????????????? ???????????????????????????????????????????? ???????? ?? ????????? ?? ??侧面积、全面积计算侧面展开图定义圆柱和圆锥形面积计算圆面积、扇形、组合图形周长计算圆周长、弧长、组合图画法应用边长、面积的计算计算半径、边心距、中心角计算概念正多边形正多边形与圆内含 内切相交外切外离圆和圆的位置关系切割线定理及推论相交弦定理及推论相交性质判定相切相离直线和圆的位置关系反证法点的轨迹圆内接四边形圆周角定理距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心垂径定理及推论基本性质三点定圆定理点与圆的位置关系定义圆的有关性质圆

一、圆及与圆相关的概念 二、圆的对称性 (1)圆既是轴对称图形,又是中心对称图形。 (2)对称轴——直径所在的直线,对称中心——圆心。 三、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 知2推3定理:①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 四、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 知1推3定理: ①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =;③OC OF =;④弧BA=弧BD 五、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 2、推论: 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角 所对的弧是等弧; 2 对的弦是直径。 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角 三角形。 六、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内 对角。 七、点与圆的位置关系 1、点在圆内? d r ?点A在圆外; 八、三点定圆定理——三角形外接圆 1、三点定圆:不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆。 3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。 九、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r

中考复习圆专题所有知识点和题型汇总全

《圆》题型分类资料 一.圆的有关概念: 1.下列说法:①直径是弦②弦是直径③半圆是弧,但弧不一定是半圆④长度相等的两条弧是等弧,正确的命题有() A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列命题是假命题的是() A.直径是圆最长的弦B.长度相等的弧是等弧 C.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧也相等 D.如果三角形一边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3.下列命题正确的是() A.三点确定一个圆B.长度相等的两条弧是等弧 C.一个三角形有且只有一个外接圆D.一个圆只有一个外接三角形 4.下列说法正确的是( ) A.相等的圆周角所对的弧相等B.圆周角等于圆心角的一半 C.长度相等的弧所对的圆周角相等D.直径所对的圆周角等于90° 5.下面四个图中的角,为圆心角的是( ) A.B.C.D. 二.和圆有关的角: 1. 如图1,点O是△ABC的内心,∠A=50 ,则∠BOC=_________ 图1 图2 2.如图2,若AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数为( ) A.116° B.64° C. 58° D.32° 3. 如图3,点O为优弧AB所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D的度数为

A 图3 图4 4. 如图4,AB、AC是⊙O的两条切线,切点分别为B、C,D是优弧BC上的一点,已知∠BAC=80°, 那么∠BDC=_________度. 5. 如图5,在⊙O中,BC是直径,弦BA,CD的延长线相交于点P,若∠P=50°,则∠AOD=. A 图5 图6 6. 如图6,A,B,C,是⊙O上的三个点,若∠AOC=110°,则∠ABC=°. 7.圆的内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7,则∠D的度数为。 8. 若⊙O的弦AB所对的劣弧是优弧的 1 3 ,则∠AOB= . 9.如图7,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=________ A 图7 图8 10.如图8,△ABC是O的内接三角形,点C是优弧AB上一点(点C不与A,B重合),设OABα ∠=,Cβ ∠=(1)当35 α=时,求β的度数; (2)猜想α与β之间的关系为 11.已知:如图1,四边形ABCD内接于⊙O,延长BC至E,求证:∠A+∠B C D=180°,∠DCE=∠A; 如图2,若点C在⊙O外,且A、C两点分别在直线BD的两侧,试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系;

《圆》中考数学知识点_中考数学知识点总结

《圆》中考数学知识点_中考数学知识点总结 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5.与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角: 内角的一半:(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素,、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦 感谢您的阅读!

初中圆的知识点归纳

初中圆的知识点归纳 Prepared on 24 November 2020

《圆》章节知识点复习 一、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内; 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上; 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外; 二、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点; 三、圆与圆的位置关系 外离(图1)? 无交点 ? d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; 四、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ① AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相 B A D

等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 五、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =; ③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 六、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 2、圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠ 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=? ∴90C ∠=? ∴AB 是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ABC 中,∵OC OA OB == ∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=? B A B A O

初中数学圆知识梳理 题型归纳附答案-(详细知识点归纳 中考真题)

圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内; 2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上; 3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离(图1)? 无交点 ? d R r >+; 外切(图2)? 有一个交点 ? d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+; 内切(图4)? 有一个交点 ? d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ? d R r <-; A

五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①AOB DOE ∠=∠;②AB DE =; ③OC OF =;④ 弧BA =弧BD 图4 图5 B D

2017年中考数学圆知识点总结

2017年中考数学圆知识点总结 1.不在同一直线上的三点确定一个圆。 2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 4.圆是定点的距离等于定长的点的集合 5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7.同圆或等圆的半径相等 8.到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 9.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等 10.推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 11定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 12.①直线L和⊙O相交 d

②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 dr 13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15.推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16.推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角 19.如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 20.①两圆外离dR+r ②两圆外切 d=R+r ③.两圆相交 R-rr) ④.两圆内切 d=R-r(Rr) ⑤两圆内含dr) 21.定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 22.定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 23.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 24.正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n 25.定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

九年级数学圆知识点总结

初三圆的知识点总结 如图:有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理,即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例:∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理: 圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 几何表达式举例: 3.“角、弦、弧、距”定理:(同圆或等圆中) “等角对等弦”;“等弦对等角”;“等角对等弧”;“等弧对等角”;“等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”;“等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦” . 几何表达式举例:(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4.圆周角定理及推论: (1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;(2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图) (3)“等弧对等角”“等角对等弧”;(4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图) (5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 .(如 图) (1)(2)(3) (4) 几何表达式举例: (1)∵∠ACB=2 1∠AOB ∴ …………… (2)∵ AB 是直径 ∴∠ACB=90° (3)∵∠ACB=90° ∴ AB 是直径 (4)∵ CD=AD=BD ∴ΔABC 是Rt Δ 5.圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 几何表达式举例:∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6.切线的判定与性质定理: 如图:有三个元素,“知二可推一”;需记忆其中四个定理. (1)经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线; (2)圆的切线垂直于经过切点的半径; ※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例: (1)∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 (2)∵OC 是半径 ∵AB 是切线∴OC ⊥AB (3) …………… 7.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等;圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例: ∵ PA 、PB 是切线∴ PA=PB ∵PO 过圆心∴∠APO =∠BPO 8.弦切角定理及其推论 : 几何表达式举例: A B C D O A B C D E O 平分优弧 过圆心 垂直于弦平分弦平分劣弧 ∴ AC BC AD BD == AE=BE A B C D E F O A B C O P A B O A B C D E A B C O A B C D ∵∴ ∥=AB CD AC BD A B C O 是半径垂直是切线

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