1.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分)
在Rt △ABC 中,?=∠90C ,2=BC ,Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转,使点C 落在斜边AB
上的点D ,设点A 点E 重合,联结AE ,过点E 作直线EM 与射线CB 垂直,交点为M . (1)若点M 与点B 重合如图10,求BAE ∠cot 的值;
(2)若点M 在边BC 上如图11,设边长x AC =,y BM =,点M 与点B 不重合,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)若EBM BAE ∠=∠,求斜边AB 的长.
2.(本题满分14分,其中第(1)小题各4分,第(2)、(3)小题各5分)
如图,已知在梯形ABCD 中,AD 38运动时间为t (单位:s ).
(1)求证: DE =CF ;
(2)设x = 3,当△PAQ 与△QBR 相似时,求出t 的值;
(3)设△PAQ 关于直线PQ 对称的图形是△PA'Q ,当t 和x 分别为何值时,点A'与圆心O
恰好重合,求出符合条件的t 、x 的值.
4.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)
如图,已知在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90o,AB =4,AD=3,5
5
2sin =
∠BCD ,A M )
图10 A C 图11
A B C D
M N E F
(图1)
A B C D M N
E F (第25题图)
第25题图
点P 是对角线BD 上一动点,过点P 作PH ⊥CD ,垂足为H . (1)求证:∠BCD =∠BDC ;
(2)如图1,若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时,求
DP 的长;
(3)如图2,点E 在BC 延长线上,且满足DP =CE ,PE 交DC 于点F ,若△ADH 和△ECF 相似,求DP 的长. 、5.
6、(本题满分14分,其中第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)
已知:⊙O 的半径为3,OC ⊥弦AB ,垂足为D ,点E 在⊙O 上,ECO BOC ∠=∠,射线CE CE 与射线OB 相交于点F .设,AB x = CE y = (1)求y 与x 之间的函数解析式,并写出函数定义域; (2)当OEF ?为直角三角形时,求AB 的长;
(3)如果1BF =,求EF 的长.
A
B
C
H
P
D (第25题图1)
A
B
C
H
P
D E
F
(第25题图2)
(备用图2)
第25题
C
备用图1
7.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)
已知:如图七,在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A =90°,AD =6,AB =8,sinC =
5
4
,点P 在射线DC 上, 点Q 在射线AB 上,且PQ⊥CD,设DP =x ,BQ =y .
(1)求证:点D 在线段BC 的垂直平分线上; (2)如图八,当点P 在线段DC 上,且点Q 在线 段AB 上时,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;
(3)若以点B 为圆心、BQ 为半径的⊙B 与以点C 为圆心、CP 为半径的⊙C 相切,求线段DP 的长.
(图八)
B
P
A C
D
Q (
图七
)
A
B
C
D (
备用)
A
B
C
D
1.解:(1)当点M 与点B 重合,由旋转得:2==BD BC ,ED AC =, EBD CBA ∠=∠,?=∠=∠90C EDB ∵CB EM ⊥∴
∠EBC ∴?=∠=∠45EBD CBA …………1分 ∴?=∠=∠
45CBA CAB ∴2==CB AC
∴22=AB …………………………………1分 ∴2==DB DE
∴222-=AD ……………………………1分 ∴12cot -==
∠DE
AD
BAE ………………1分 (2)设EM 与边AB 交点为G 由题意可知:?=∠+∠9021,?=∠+∠903CBA 又32∠=∠,∴CBA ∠=∠1∵CBA EBD ∠=∠,
∴EBD ∠=∠1,∵BDE EDG ∠=∠,∴△EDG ∽△BDE ∴ED
DG BD ED =…………………………………………1分 ∵2==BD BC ,x ED AC ==
∴x
DG
x =2,∴22x DG =…………………………1分
由题意可知:AB
BC
BG MB ABC =
=∠cos 42+=x AB ,2
42
x
GB -=
∴42
2
422+=-x x y ……………………1分 ∴44
42
2
2++-=x x x y ……………………1分 定义域为20< (3)当点M 在边BC 上时,由旋转可知:EB AB =,∴BAE AEB ∠=∠ 设?=∠x CBA ,则?=∠x ABE ,∵EBM BAE ∠=∠,分别延长EA 、BC 交于点H ∴?=∠=∠=∠x EMB BAE AEB 2,∵?=∠+∠+∠180AEB BAE ABE ∴36=x 易得:?=∠=∠=∠36ABE ABH H ,?=∠=∠=∠72AEB BAE HBE ∴BE AB AH ==,HE HB =,∵?=∠90ACB ,∴2==BC HC ∴4==HE HB ,∴△BAE ∽△HBE ,∴BE AE HB AB = ,又AB BE = AB HA HE AE -=-=4,∴ AB AB AB -=44,∴522±-=AB (负值舍去) ∴522+-=AB …………………………2分 当点M 在边CB 的延长线上时,∵BAE AEB ∠=∠,EBM BAE ∠=∠ ∴EBM AEB ∠=∠∴AE ∥MC ∴CBA BAE ∠=∠ ∵EBA CBA ∠=∠∴EBA CBA EBM ∠=∠=∠ ∴?=∠60CBA ,∵AB BC CBA =∠cos ,2=BC ∴4=AB …………………………2分 综上所述:522+-=AB 或4. A M ) A C 2.解 : (1)∵ AD 1 22 EF AM AD == =38ADN MENF S S ?=四边形5 8 AME DMF ADN S S S ???+=5 8 AME DMF ADN ADN S S S S ????+=22AME ADN S AM S AD ??=22DMF ADN S DM S AD ??=4DM AD AM x =-=-22(4)516168x x -+=2 430x x -+=11x =23 x =AB BN NC CD =AN AD BN AN =5105 x x =-210250x x -+=5x =5 BN CN ==4 5AN AN =AN =1分) ∴∠OHC=90° ∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6,OG ⊥BC ∴∠OGC=90° ∵矩形ABCD ∴∠C =90° ∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG ∵OG =6 ∴CH =6 (1分) ∵矩形ABCD ∴AB =CD ∵AB =12 ∴CD =12 ∴DH =CD ﹣CH =6 ∴DH = CH ∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH (2分) ∴DE =CF . (1分) (2)据题意,设DP =t ,PA =10-t ,AQ =3t ,QB =12-3t ,BR =(0 < t < 4). (1分) ∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△PAQ 与△QBR 相似,则有 ① BR AQ QB AP = t t t t 5.133-12-10= 5 14 =t (2分) ② QB AQ BR AP = t t t t 31235.1-10-= 146921-=t 或14692-2-=t (舍)(2分) (3)设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ,联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形 又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 (1分) ∴MN 垂直平分OA ∵△PAQ 与△PA'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA ∴MN 与PQ 重合 (1分) ∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 (1分) ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x = 2 3 (1分) 第25题图(1) 第25题图(2) 3 ∴当t = 4 和x = 时点A'与圆心O恰好重合. 2 4 5 6.解:(1)过点O 作OH⊥CE,垂足为H ∵在圆O 中,OC⊥弦AB ,OH⊥弦CE ,AB =x ,CE =y ∴1122BD AB x = =,11 22 EH EC y == ………………………………1分 ∵在Rt△ODB 中,2 2 2 OD BD BO += ………1分 ∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ∵∠ECO =∠BOC ∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°,OE=OB ∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分 ∴2 362 2 x y -= ∴y =……………………………………………………………………1分 函数定义域为(0<x <6)………………………………………………………1分 (2)当△OEF 为直角三角形时,存在以下两种情况: ①若∠OFE =90o,则∠COF =∠OCF =45o ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=45° 又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°, ∴∠AOB=90° ∴△OAB 是等腰直角三角形 ∴232=?= OB AB …………………………………………………2分 ②若∠EOF =90o , 则∠OEF =∠COF =∠OCF =30o……………………1分 ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=60° 又∵OA=OB ∴△OAB 是等边三角形 ∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分 (3)①当CF =OF =OB –BF =2时, 可得:△CFO ∽△COE ,CE =2 9 2=CF OC , ∴EF =CE –CF =2 5 229=-. ……………………………………………2分 ②当CF =OF =OB +BF =4时, 可得:△CFO ∽△COE ,CE =4 9 2=CF OC , ∴EF =CF –CE =4 7 494=-. ……………………………………………2分 7、(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分) 解:(1)作DH⊥BC 于H (见图①) …………(1分) 在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°, ∴∠B =90°, ∠BHD=90° ∴四边形ABHD 是矩形 ∴DH =AB ,BH=AD …………(1分) 又∵AD =6,AB =8 ∴DH =8,BH=6 在Rt △DHC 中, sinC = 5 4 ,可设DH=4k, DC=5k ∴DC=10, HC=681022=-, ∴B H=HC=6 …………(1分) 又∵DH⊥BC ∴点D 在线段BC 的垂直平分线上 …………(1分) (2)延长BA 、CD 相交于点S (见图②), …………(1分) ∵AD∥BC 且BC =12 ∴AD=2 1 BC ∴ 2 1===BC AD SC SD SB SA ∴SD=DC=10,SA=AB=8 ∵DP =x ,BQ =y, SP=x+10 由△SPQ~△SAD 得4 5 ==SA SD SP SQ ………(1分) ∴)10(45 += x SQ …………(1分) 2 7 45)10(4516+-=+-=x x BQ ∴所求解析式为2 7 45+-=x y , …………(1分) 定义域是0≤x ≤ 5 14 …………(1分) (说明:若用勾股定理列出:2 2 2 2 2 2 PC BC QB DP AQ AD -+=-+亦可,方法多样.) (3)由图形分析,有三种情况: (ⅰ)当点P 在线段DC 上,且点Q 在线段AB 上时,只有可能两圆外切, 由BQ+CP=BC ,12102745=-++- x x ,解得3 2 =x (ⅱ)当点P 在线段DC 上,且点Q 在线段AB 的延长线上时,两圆不可能相切, …………(2分) (ⅲ)当点P 在线段DC 的延长线上,且点Q 在线段AB 的延长线上时, 此时2 7 45-= x BQ , CP = x-10 …………(1分) 若两圆外切,BQ+CP=BC ,即12102745=-+-x x ,解得3 34 =x …………(1分) 若两圆内切,BC CP BQ =-,即 12)10(2 7 45=---x x 12)10(27 45=---x x 解得22=x 12)10(2 7 45-=---x x 解得74-=x (不合题意舍去) …………(1分) 综上所述,⊙B 与⊙C 相切时,线段DP 的长为32,3 34 或22 .