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上海中考专题训练题专题训练及答案

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1.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分4分)

在Rt △ABC 中,?=∠90C ,2=BC ,Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转,使点C 落在斜边AB

上的点D ,设点A 点E 重合,联结AE ,过点E 作直线EM 与射线CB 垂直,交点为M . (1)若点M 与点B 重合如图10,求BAE ∠cot 的值;

(2)若点M 在边BC 上如图11,设边长x AC =,y BM =,点M 与点B 不重合,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)若EBM BAE ∠=∠,求斜边AB 的长.

2.(本题满分14分,其中第(1)小题各4分,第(2)、(3)小题各5分)

如图,已知在梯形ABCD 中,AD 38运动时间为t (单位:s ).

(1)求证: DE =CF ;

(2)设x = 3,当△PAQ 与△QBR 相似时,求出t 的值;

(3)设△PAQ 关于直线PQ 对称的图形是△PA'Q ,当t 和x 分别为何值时,点A'与圆心O

恰好重合,求出符合条件的t 、x 的值.

4.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)

如图,已知在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90o,AB =4,AD=3,5

5

2sin =

∠BCD ,A M )

图10 A C 图11

A B C D

M N E F

(图1)

A B C D M N

E F (第25题图)

第25题图

点P 是对角线BD 上一动点,过点P 作PH ⊥CD ,垂足为H . (1)求证:∠BCD =∠BDC ;

(2)如图1,若以P 为圆心、PB 为半径的圆和以H 为圆心、HD 为半径的圆外切时,求

DP 的长;

(3)如图2,点E 在BC 延长线上,且满足DP =CE ,PE 交DC 于点F ,若△ADH 和△ECF 相似,求DP 的长. 、5.

6、(本题满分14分,其中第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题4分)

已知:⊙O 的半径为3,OC ⊥弦AB ,垂足为D ,点E 在⊙O 上,ECO BOC ∠=∠,射线CE CE 与射线OB 相交于点F .设,AB x = CE y = (1)求y 与x 之间的函数解析式,并写出函数定义域; (2)当OEF ?为直角三角形时,求AB 的长;

(3)如果1BF =,求EF 的长.

A

B

C

H

P

D (第25题图1)

A

B

C

H

P

D E

F

(第25题图2)

(备用图2)

第25题

C

备用图1

7.(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分)

已知:如图七,在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A =90°,AD =6,AB =8,sinC =

5

4

,点P 在射线DC 上, 点Q 在射线AB 上,且PQ⊥CD,设DP =x ,BQ =y .

(1)求证:点D 在线段BC 的垂直平分线上; (2)如图八,当点P 在线段DC 上,且点Q 在线 段AB 上时,求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域;

(3)若以点B 为圆心、BQ 为半径的⊙B 与以点C 为圆心、CP 为半径的⊙C 相切,求线段DP 的长.

(图八)

B

P

A C

D

Q (

图七

)

A

B

C

D (

备用)

A

B

C

D

1.解:(1)当点M 与点B 重合,由旋转得:2==BD BC ,ED AC =, EBD CBA ∠=∠,?=∠=∠90C EDB ∵CB EM ⊥∴

∠EBC ∴?=∠=∠45EBD CBA …………1分 ∴?=∠=∠

45CBA CAB ∴2==CB AC

∴22=AB …………………………………1分 ∴2==DB DE

∴222-=AD ……………………………1分 ∴12cot -==

∠DE

AD

BAE ………………1分 (2)设EM 与边AB 交点为G 由题意可知:?=∠+∠9021,?=∠+∠903CBA 又32∠=∠,∴CBA ∠=∠1∵CBA EBD ∠=∠,

∴EBD ∠=∠1,∵BDE EDG ∠=∠,∴△EDG ∽△BDE ∴ED

DG BD ED =…………………………………………1分 ∵2==BD BC ,x ED AC ==

∴x

DG

x =2,∴22x DG =…………………………1分

由题意可知:AB

BC

BG MB ABC =

=∠cos 42+=x AB ,2

42

x

GB -=

∴42

2

422+=-x x y ……………………1分 ∴44

42

2

2++-=x x x y ……………………1分 定义域为20<

(3)当点M 在边BC 上时,由旋转可知:EB AB =,∴BAE AEB ∠=∠

设?=∠x CBA ,则?=∠x ABE ,∵EBM BAE ∠=∠,分别延长EA 、BC 交于点H ∴?=∠=∠=∠x EMB BAE AEB 2,∵?=∠+∠+∠180AEB BAE ABE ∴36=x 易得:?=∠=∠=∠36ABE ABH H ,?=∠=∠=∠72AEB BAE HBE ∴BE AB AH ==,HE HB =,∵?=∠90ACB ,∴2==BC HC

∴4==HE HB ,∴△BAE ∽△HBE ,∴BE

AE

HB AB =

,又AB BE = AB HA HE AE -=-=4,∴

AB

AB

AB -=44,∴522±-=AB (负值舍去) ∴522+-=AB …………………………2分

当点M 在边CB 的延长线上时,∵BAE AEB ∠=∠,EBM BAE ∠=∠

∴EBM AEB ∠=∠∴AE ∥MC ∴CBA BAE ∠=∠ ∵EBA CBA ∠=∠∴EBA CBA EBM ∠=∠=∠

∴?=∠60CBA ,∵AB BC

CBA =∠cos ,2=BC

∴4=AB …………………………2分 综上所述:522+-=AB 或4.

A M )

A C

2.解

(1)∵ AD

1

22

EF AM AD ==

=38ADN MENF S S ?=四边形5

8

AME DMF ADN

S S S ???+=5

8

AME DMF ADN ADN S S S S ????+=22AME ADN S AM S AD ??=22DMF ADN S DM S AD ??=4DM AD AM x =-=-22(4)516168x x -+=2

430x x -+=11x =23

x =AB BN

NC CD =AN AD BN AN =5105

x

x =-210250x x -+=5x =5

BN CN ==4

5AN AN

=AN

=1分)

∴∠OHC=90°

∵⊙O 与BC 边切于点G ∴OG =6,OG ⊥BC ∴∠OGC=90°

∵矩形ABCD ∴∠C =90° ∴四边形OGCH 是矩形 ∴CH =OG

∵OG =6 ∴CH =6 (1分) ∵矩形ABCD ∴AB =CD ∵AB =12 ∴CD =12 ∴DH =CD ﹣CH =6 ∴DH = CH

∴O 是圆心且OH ⊥DC ∴EH =FH (2分) ∴DE =CF . (1分)

(2)据题意,设DP =t ,PA =10-t ,AQ =3t ,QB =12-3t ,BR =(0 < t < 4). (1分)

∵矩形ABCD ∴∠A =∠B =90° 若△PAQ 与△QBR 相似,则有 ①

BR AQ QB AP = t t t t 5.133-12-10= 5

14

=t (2分) ②

QB AQ BR AP = t

t

t t 31235.1-10-= 146921-=t 或14692-2-=t (舍)(2分) (3)设⊙O 与AD 、AB 都相切点M 、N ,联结OM 、ON 、OA . ∴OM ⊥AD ON ⊥AB 且OM =ON =6 又∵矩形ABCD ∴∠A =90° ∴四边形OMAN 是矩形

又∵ OM =ON ∴四边形OMAN 是正方形 (1分) ∴MN 垂直平分OA

∵△PAQ 与△PA'Q 关于直线PQ 对称 ∴PQ 垂直平分OA

∴MN 与PQ 重合 (1分)

∴ MA = PA = 10-t = 6 ∴ t = 4 (1分) ∴AN = AQ = x t = 6 ∴x =

2

3

(1分) 第25题图(1)

第25题图(2)

3

∴当t = 4 和x =

时点A'与圆心O恰好重合.

2

4

5

6.解:(1)过点O 作OH⊥CE,垂足为H

∵在圆O 中,OC⊥弦AB ,OH⊥弦CE ,AB =x ,CE =y

∴1122BD AB x =

=,11

22

EH EC y == ………………………………1分

∵在Rt△ODB 中,2

2

2

OD BD BO += ………1分

∵OC=OE ∴∠ECO=∠CEO ∵∠ECO =∠BOC

∴∠CEO=∠BOC 又∵∠ODB=∠OHE=90°,OE=OB

∴△ODB≌△EHO ∴EH=OD …………………………1分

∴2

362

2

x y -=

∴y =……………………………………………………………………1分 函数定义域为(0<x <6)………………………………………………………1分 (2)当△OEF 为直角三角形时,存在以下两种情况: ①若∠OFE =90o,则∠COF =∠OCF =45o ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=45°

又∵OA=OB ∴∠OAB= ∠ABO=45°, ∴∠AOB=90° ∴△OAB 是等腰直角三角形

∴232=?=

OB AB …………………………………………………2分

②若∠EOF =90o , 则∠OEF =∠COF =∠OCF =30o……………………1分 ∵∠ODB=90°, ∴∠ABO=60°

又∵OA=OB

∴△OAB 是等边三角形

∴AB=OB=3…………………………………………………………………2分

(3)①当CF =OF =OB –BF =2时,

可得:△CFO ∽△COE ,CE =2

9

2=CF OC ,

∴EF =CE –CF =2

5

229=-. ……………………………………………2分

②当CF =OF =OB +BF =4时,

可得:△CFO ∽△COE ,CE =4

9

2=CF OC ,

∴EF =CF –CE =4

7

494=-. ……………………………………………2分

7、(本题满分14分,第(1)小题4分,第(2)小题5分,第(3)小题5分) 解:(1)作DH⊥BC 于H (见图①) …………(1分)

在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°, ∴∠B =90°, ∠BHD=90° ∴四边形ABHD 是矩形

∴DH =AB ,BH=AD …………(1分) 又∵AD =6,AB =8 ∴DH =8,BH=6

在Rt △DHC 中, sinC =

5

4

,可设DH=4k, DC=5k ∴DC=10, HC=681022=-,

∴B H=HC=6 …………(1分) 又∵DH⊥BC

∴点D 在线段BC 的垂直平分线上 …………(1分) (2)延长BA 、CD 相交于点S (见图②), …………(1分)

∵AD∥BC 且BC =12 ∴AD=2

1

BC ∴

2

1===BC AD SC SD SB SA ∴SD=DC=10,SA=AB=8 ∵DP =x ,BQ =y, SP=x+10 由△SPQ~△SAD 得4

5

==SA SD SP SQ ………(1分) ∴)10(45

+=

x SQ …………(1分) 2

7

45)10(4516+-=+-=x x BQ

∴所求解析式为2

7

45+-=x y , …………(1分) 定义域是0≤x ≤

5

14

…………(1分) (说明:若用勾股定理列出:2

2

2

2

2

2

PC BC QB DP AQ AD -+=-+亦可,方法多样.)

(3)由图形分析,有三种情况:

(ⅰ)当点P 在线段DC 上,且点Q 在线段AB 上时,只有可能两圆外切,

由BQ+CP=BC ,12102745=-++-

x x ,解得3

2

=x (ⅱ)当点P 在线段DC 上,且点Q 在线段AB 的延长线上时,两圆不可能相切,

…………(2分) (ⅲ)当点P 在线段DC 的延长线上,且点Q 在线段AB 的延长线上时,

此时2

7

45-=

x BQ , CP = x-10 …………(1分) 若两圆外切,BQ+CP=BC ,即12102745=-+-x x ,解得3

34

=x …………(1分)

若两圆内切,BC CP BQ =-,即

12)10(2

7

45=---x x 12)10(27

45=---x x 解得22=x 12)10(2

7

45-=---x x 解得74-=x (不合题意舍去) …………(1分)

综上所述,⊙B 与⊙C 相切时,线段DP 的长为32,3

34

或22 .

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