普通高中招生考试数学试卷
普通高中招生考试
数学试卷
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的，请将符合题意的选项字母填入题后的括号内． 1．(2013甘肃白银，1，3分)3的相反数是( )
A ．3
B ．-3
C ．
31 D ．3
1 【答案】B
2．(2013甘肃白银，2，3分)下列运算中，结果正确的是( )
A ．4a -a =3a
B ．a 10÷a 2=a 5
C ．a 2+a 3=a 5
D ．a 3·a 4=a 12 【答案】A
3． (2013甘肃白银，3，3分)下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其
中为中心对称图形的是( )
【答案】C
4． (2013甘肃白银，4，3分)如图是由两个相同的正方体和一个圆锥体组成的立体图形，
其主视图是( )
【答案】B
5． (2013甘肃白银，5，3分)如图，把一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对
边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°
【答案】C
6． (2013甘肃白银，6，3分)一元二次方程x 2+x -2=0根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．无实数根
D ．无法确定 【答案】A
7． (2013甘肃白银，7，3分)分式方程
3
2
1+=
x x 的解是( ) A ．x =-2 B ．x =1 C ．x =2 D ．x =3 【答案】D
8． (2013甘肃白银，8，3分)某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万
元．设每月的平均增长率为x ，则可列方程为( )
A ．48(1-x )2=36
B ．48(1+x )2=36
C ．36(1-x )2=48
D ．36(1+x )2=48 【答案】D
9． (2013甘肃白银，9，3分)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，在下列五个
结论中：①2a -b <0 ②abc <0 ③a +b +c <0 ④a -b +c >0 ⑤4a +2b +c >0，错误．．
的个数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
10．(2013甘肃白银，10，3分)如图，已知⊙P 的圆心在定角α∠(0°<α<180°) 的角平分线
上运动，且⊙P 与α∠的两边相切，则图中阴影部分的面积S 关于⊙P 的半径r (r >0)变化的函数图象大致是( )
【答案】C
二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案写在题中的横线上． 11．(2013甘肃白银，11，4分)分解因式：x 2-9=______． 【答案】(x +3)(x -3)
12．(2013甘肃白银，12，4分)不等式2x +9≥3(x +2)的正整数解是______． 【答案】1，2，3
13．(2013甘肃白银，13，4分)等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为______． 【答案】5，5或6，4
14．(2013甘肃白银，14，4分)如图，路灯距离地面8米，身高1．6米的小明站在距离灯
的底部(点O )20米的A 处，则小明的影子AM 长______米．
【答案】5
15．(2013甘肃白银，15，4分)如图，已知BC =EC ，∠BCE =∠ACD ，要使△ABC ≌△DEC ，
则应添加的一个条件为______．(答案不唯一，只需填一个)
【答案】AC =DC 或∠B =∠E 或∠A =∠D
16．(2013甘肃白银，16，4分)若代数式
11
2
--x 的值为零，则x =______． 【答案】3
17．(2013甘肃白银，17，4分)已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别是方程x 2-4x +3=0的两根，且圆
心距O 1O 2=t +2，若这两个圆相切．．，则t =_______． 【答案】0或2
18．(2013甘肃白银，18，4分)定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2-3a +b ，
如：3★5=32-3×3+5．若x ★2=6，则实数x 的值是_______． 【答案】－1或4
三、解答题(一)：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(2013甘肃白银，19，6分)计算：01
)3(8)
4
1(45cos 2-----?-π．
【答案】解：原式=122)4(2
2
2----?=12242--+=23-．
20．(2013甘肃白银，20，6分)先化简，再求值：11112
-÷??? ??+-
x x x ，其中x =2
3
-． 【答案】解：11112
-÷??? ??
+-
x x x =x
x x x x )
1)(1(1-+?+=x -1． 当x =2
3
-
时，x -1=25123-=--．
21．(2013甘肃白银，21，8分)两个城镇A 、B 与两条公路l 1、l 2位置如图所示．电信部门需
在C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A 、B 的距离必须相等，到两条公路l 1，l 2的距离也必须相等，那么点C 应选在何处？请在下图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C ．(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)
【答案】解：如图所示：
22．(2013甘肃白银，22，8分)某市在地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况
警示牌BCEF (如图所示)．已知立杆AB 的高度是3米，从侧面D 点测得路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况警示牌宽BC 的值．
【答案】解：在Rt △ABD 中，∠BAD =90°，∠ADB =45°，AB =3，∴AD =AB =3． 在Rt △ADC 中，∠DAC =90°，∠ ADC =60°，AD AC ADC =∠tan ． ∴AD
BC
AB +=?60tan ． ∴3
33BC
+=
． ∴333-=BC ． 答：路况警示牌宽BC 为)333(-米．
23．(2013甘肃白银，23，10分)如图，一次函数221-=
x y 与反比例函数x
m
y =的图象相交于点A ，且点A 的纵坐标为1．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象写出当x >0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
【答案】解：(1)把y =1代入221-=
x y 得221
1-=x ，解得x =6，所以点A 的坐标为(6，1)，把点A 的坐标(6，1)代入x m y =得6
1m
=，解得m =6．所以反比例函数的解析式为
x
y 6
=．(2)x >6．
四、解答题(二)：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤．
24．(2013甘肃白银，24，8分)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计
了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别．摸球之前将袋内的小球搅匀．甲先摸两次，每次摸出一个球(第一次摸后不放回)．把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1
分，否则甲得0分．如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分．得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．
(1)运用列表或画树状图求甲得1分的概率； (2)请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？ 【答案】
甲得1分的情况有：(1，2)，(1，3)， (2，1)，(2，3)， (3，1)，(3，2)，所以甲得1分的概率为P =
2
1126=． 或画树状图如下：
甲得1分的情况有：(1，2)，(1，3)， (2，1)，(2，3)， (3，1)，(3，2)，所以甲得1
分的概率为P =
2
1126=． (2) 乙得1分的概率为41．甲得1分的概率为2
1
．所以这个游戏不公平．
25．(2013甘肃白银，25，10分)在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使购买
的课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其它四个类别对部分同学进行了抽样调查(每位同学只选一类)．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查一共抽查了________名同学； (2)条形统计图中，m =_____，n =_______；
(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是________度；
(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其它类读物多少册比较合理？
【答案】解：(1) 200． (2) 40， 60． (3) 72． (4) 30÷200×6000＝900．购买其它类读物900册比较合理．
26．(2013甘肃白银，26，10分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，
过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF ． (1)线段BD 与CD 有何数量关系，为什么？
(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？请说明理由．
【答案】解：(1)BD =CD ．理由如下：
∵AF ∥BC ， AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形．∴AF =BD ． ∵AF ∥BC ， ∴∠AFE =∠DCE ， ∠F AE =∠CDE ， 又E 是AD 的中点，∴AE =DE ． ∴△AFE ≌△DCE ． ∴AF =CD ． 又AF =BD ，∴BD =CD ． (2) △ABC 满足AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下： ∵AB =AC ，BD =CD ，∴AD ⊥BC ． ∴∠ADB =90°． 又四边形AFBD 是平行四边形，∴四边形AFBD 是矩形．
27．(2013甘肃白银，27，10分)如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．
(1)若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；
(2)若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．
【答案】解：(1) ∵OC ⊥AB ，∴AE =21AB =2
1×8=4． 又OA =OC =5，在Rt △AOE 中，OE =
3452222=-=-AE OA ． ∴CE =OC -OE =5-3=2． 在Rt △AEC 中，
tan ∠BAC =
2
1
42==AE EC ． (2) AD 与⊙O 相切．理由如下：延长AO 交⊙O 于点F ，连结FC 、BC ．
∵OC ⊥AB ，∴BC ⌒＝AC ⌒．∴∠ABC =∠BAC ，又∠DAC =∠BAC ，∴∠DAC =∠ABC ．又∠ABC =∠AFC
，
∴∠DAC =∠AFC
．
∵AF
为
⊙O
直
径
，
∴∠ACF =90°． ∴∠AFC +∠CAF =90°． ∴∠DAC +∠CAF =90°． 即∠DAF =90°． ∴AD 与⊙O 相切．
28．(2013甘肃白银，28，12分)如图，在直角坐标系xoy 中，二次函数y =x 2+(2k -1)x +k +1的
图象与x 轴交于O 、A 两点． (1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6．求点B 的坐标；
(3)对于(2)中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使∠POB =90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】解：(1)把点O (0，0)代入y =x 2+(2k -1)x +k +1得：0＝k +1．解得k =-1． ∴y =x 2-3x ． (2)设B (m ，m 2-3m )．当y =0时，x 2-3x =0．x =0或x =3．所以点A 坐标为(3，0)．则有：
6332
1
2=-??m m ．解得：m =-1或m =4． 这时B (-1，4)或(4，4)． ∵点B 在对称轴右边，∴点B 的坐标为 (4，4)． (3)存在． 如图， ∵点B 的坐标为 (4，4)． ∴∠BOA =45°． 而∠POB =90°，∴∠POA =45°． 故可设P (n ，-n )． 把点P (n ，-n )代入y =x 2-3x 得：-n =n 2-3n ． ∴n =0(舍去)或n =2． ∴P (2，-2)． 这
时，OB =244422=+，OP =22222
2=+．
∴△POB 的面积为：
822242
1
21=??=?OP OB ．