高考数学30道压轴题训练(含答案)

2012年高考数学30道压轴题训练(答案)

1．椭圆的中心是原点O

，它的短轴长为(,)0F c （0>c

）的准线l 与x 轴相交于点

A ，2OF FA

=，过点

A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若。，求直线PQ 的方程；

（3）设AP AQ λ=u u u r u u u r

（1λ>），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明

FM FQ λ=-u u u u r u u u r

. (14分)

2． 已知函数)(x f 对任意实数x 都有1)()1(=++x f x f ，且当]2,0[∈x 时，|1|)(-=x x f 。

（1）

)](22,2[Z k k k x ∈+∈时，求)(x f 的表达式。

（2） 证明

)(x f 是偶函数。

（3） 试问方程

01

log )(4

=+x

x f 是否有实数根？若有实数根，

指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。当

3．（本题满分12分）如图，已知点F （0，1），直线L ：y=-2，及圆C ：1)3(22

=-+y x

。

（1） 若动点M 到点F

（2） 过点F 的直线g 交轨迹（3） 过轨迹E 上一点P 坐标及S 的最小值。

4.以椭圆2

22y a x +＝1（a

能作出多少个符合条件的三角形.

5 已知，二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 及一次函数g （x ）＝－bx ，其中a 、b 、c ∈R ，a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0.

（Ⅰ）求证：f （x ）及g （x ）两函数图象相交于相异两点；

（Ⅱ）设f （x ）、g （x ）两图象交于A 、B 两点，当AB 线段在x 轴上射影为A 1B 1时，试求|A 1B 1|的取值范

围.

6 已知过函数f （x ）=123

++ax x 的图象上一点B （1，b ）的切线的斜率为－3。

（1） 求a 、b 的值；

（2） 求A 的取值范围，使不等式f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立； （3） 令()()132++--=tx x x f x g

。是否存在一个实数t ，使得当]1,0(∈x 时，g （x ）有最大

值1？

7 已知两点M （－2，0），N （2，0），动点P 在y 轴上的射影为H ，︱PH ︱是2和→

→

?PN PM 的等比中项。

（1） 求动点P 的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；

（2） 若以点M 、N 为焦点的双曲线C 过直线x+y=1上的点Q ，求实轴最长的双曲线C 的方程。

8．已知数列{a n }满足a

a a

a b a a a a a a a n n

n n n n +-=+=>=+设,2),0(322

1

1

（1）求数列{b n }的通项公式；

（2）设数列{b n }的前项和为S n ，试比较S n 与8

7的大小，并证明你的结论.

9．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1

为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线

x y =对称．

（Ⅰ）求双曲线C 的方程； （Ⅱ）设直线

1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （-2，0）及AB

的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围；

（Ⅲ）若Q 是双曲线C 上的任一点，21F F 为双曲线C 的左，右两个焦点，从1F 引21QF F ∠的

平分线的垂线，垂足为N ，试求点N 的轨迹方程． 10.

)(x f 对任意R x ∈都有.2

1

)1()(=-+x f x f

（Ⅰ）求

)21(f 和)( )1()1(N n n

n f n f ?-+的值． （Ⅱ）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1

()2()1(f n

n f n f n f +-+++ΛΛ，数列}{n a 是

等差数列吗？请给予证明；

（Ⅲ）令.16

32,,1

442

232221n

S b b b b T a b n n n n n

-

=++++=-=

ΛΛ 试比较n T 与n S 的大小．

11. ：如图，设OA 、OB 是过抛物线y 2＝2px 顶点O 的两条弦，且OA →·OB →

＝0，求以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点P 的轨迹.(13分)

12.知函数f (x )＝log 3(x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3)的定义域为R

(1)求实数m 的取值集合M ；

(2)求证：对m ∈M 所确定的所有函数f (x )中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m 的值和x 的值.

13.设关于x 的方程2x 2-tx-2=0的两根为),(,βαβα<函数f(x)=

.1

42+-x t

x (1). 求f()()βαf 和的值。

（2）。证明：f(x)在[],βα上是增函数。 （3）。对任意正数x 1、x 2,求证：βαα

ββα-<++-++2)()(

2

1212121x x x x f x x x x f

14．已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项的和.对于任意的*

n N ∈，都有()

2

41n n S a =+.

I 、求数列{}n a 的通项公式.

II 、若2n

n tS ≥对于任意的*n N ∈恒成立，求实数t 的最大值.

15.( 12分)已知点H （－3，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ

上，且满足

·PM =0，=－

2

3

， （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；

（2）过点T （－1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E （x 0,0），使得△ABE 为等边三角形，求x 0的值.

16.（14分）设f 1(x )=

x

+12

,定义f n +1 (x )=f 1［f n (x )］,a n =2)0(1)0(+-n n f f ,其中n ∈N *.

(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；

(2)若T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+2na 2n ,Q n =1

4442

2+++n n n

n ,其中n ∈N *,试比较9T 2n 与Q n 的大小.

17． 已知→

a =（x,0），→

b =（1，y ），（→

a +

3→b ）⊥（→a –3→

b ）．

（I ） 求点P （x ，y ）的轨迹C 的方程；

（II ） 若直线L ：y=kx+m(m ≠0)与曲线C 交于A 、B 两点，D （0，–1），且有 |AD|=|BD|，试求m

的取值范围． 18．已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足()()(),f p q f p f q +=?1

(1).3

f =且

（1）当n N +∈时，求

)(n f 的表达式；

（2）设),()

(+∈=N n n nf a n

求证：1

3

;4n

k k a =<∑

（3）设1(1)

(),,()

n

n n k k nf n b n N S b f n +=+=

∈=∑试比较11n

k k

S =∑

与6的大小．

19．已知函数

),10(log )(≠>=a a x x f a 且若数列：),(),(,221a f a f …，

)(42),(*∈+N n n a f n 成等差数列.

（1）求数列}{n a 的通项n a ； （2）若}{,10n a a 数列<<的前n 项和为S n ，求n n S ∞

→lim ；

（3）若)(,2n n n a f a b a ?==令，对任意)(,1

t f

b N n n -*>∈都有,求实数t 的取值范围.

20．已知△OFQ 的面积为.,62m FQ OF =?且

（1）设

θ的夹角与求向量FQ OF m ,646<<正切值的取值范围；

（2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），2)14

6

(

,||c m c OF -==， 当||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.

（3）设F 1为（2）中所求双曲线的左焦点，若A 、B 分别为此双曲线渐近线l 1、l 2上的动

点，且2|AB|=5|F 1F|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

21、已知函数

13)(2++=bx x x f 是偶函数，c x x g +=5)(是奇函数，正数数列{}n a 满足

11211=+-+=++)a a a (g )a a (f ,a n n n n n n

① 求{}n a 的通项公式；

②若{}n a 的前n 项和为n S ，求n n S ∞

→lim .

22、直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝2

1

．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．

（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足2

1

=

，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且

||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由．

23、．设函数

,2

41

)(+=

x

x f （1）求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；

（2）记*),()

1()1

()2()1()0(N n f n

n f n f n f f a n

∈+-++++=K 求数列}{n a 的通

项公式及前n 项和.

24. 已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.当X ≥0时, )(x f =1

72

++-

x x x

. (I)

求当X<0时,

)(x f 的解析式;

(II) 试确定函数y =)(x f (X ≥0)在[)+∞,1的单调性，并证明你的结论.

(III) 若21

≥x 且22≥x ，证明：|)(1x f －)(2x f |<2.

25、已知抛物线

x y 42=的准线与x 轴交于M 点，过M 作直线与抛物线交于A 、B 两点，若线段AB

的垂直平分线与X 轴交于D (X 0,0) ⑴求X 0的取值范围。

⑵△ABD 能否是正三角形？若能求出X 0的值，若不能，说明理由。

26、已知□ABCD ，A （-2，0），B （2，0），且∣AD ∣=2 ⑴求□ABCD 对角线交点E 的轨迹方程。

⑵过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，且∣MN ∣=238，MN 的中点到Y 轴的距离为3

4，求椭圆的方程。

⑶与E 点轨迹相切的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，求∣PQ ∣的最大值及此时l 的方程。

27．（14分）（理）已知椭圆)1(12

22>=+a y a

x ，直线l 过点A （－a ，0）和点B （a ，ta ）

（t ＞0）交椭圆于M.直线MO 交椭圆于N.（1）用a ，t 表示△AMN 的面积S ； （2）若t ∈[1，2]，a 为定值，求S 的最大值.

28．已知函数f (x )=

bx +c

x +1

的图象过原点，且关于点（-1，1）成中心对称. （1）求函数f (x )的解析式；

（2）若数列{a n }（n ∈N*）满足：a n >0，a 1=1，a n +1= [f (a n )]2

，求数列{a n }的通项公式a n ，并证明你的

结论. 30、已知点集},|),{(y y x L ?==其中),1,1(),1,2(+=-=b b x 点列),(n n n b a P 在L

中，1P 为L 与

y 轴的交点，等差数列}{n a 的公差为1，+∈N n 。

（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式；

x

（2）若),2(|

|5

1≥?=

n P P n c n n

求)(lim 21n n c c c +++∞→Λ；

（3）若

),()

2()

12()(+∈???=-==N k k n b k n a n f n n 是否存在+∈N k 使得),(2)11(k f k f =+若存

在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

21．经过抛物线

24y x =的焦点F 的直线l 与该抛物线交于A 、B 两点. (12分)

（1）若线段AB 的中点为(,)M x y ,直线的斜率为k ,试求点M 的坐标,并求点M 的轨迹方程 （2）若直线l 的斜率2k

>,且点M 到直线340x y m ++=的距离为15

,试确定m 的取值范围.

“高考数学30道压轴题训练”答案

1（1

）解：由题意，可设椭圆的方程为(22

212x y a a +=>。

由已知得,

().

222

22a c a c c c ?-=?

?=-??

解得2a c == 所以椭圆的方程为22162

x y +=

，离心率e 。 （2）解：由（1）可得A （3，0）。

设直线PQ 的方程为()3y k x =-。由方程组,()22

162

3x y y k x ?+

=???=-?

得()2

22231182760k

x k x k +-+-=，依题意()212230k ?=->

，得33

k -

<<

。 设(,),(,)1122P x y Q x y ，则21221831k x x k +=+， ① 2122276

31

k x x k -=+。 ②

由直线PQ 的方程得(),()112233y k x y k x =-=-。于是

()()[()]22121212123339y y k x x k x x x x =--=-++。 ③ ∵0OP OQ ?=u u u r u u u r

，∴12120x x y y +=。 ④

由①②③④得2

51k

=

，从而()533

k =±

-。 所以直线PQ

的方程为30x -=

或30x +-=

（3，理工类考生做）证明：(,),(,)112233AP x y AQ x y =-=-u u u r u u u r

。由已知得方程组

(),,

,

.

121

222

1122223316216

2x x y y x y x y λλ-=-??=???+=???+=? 注意1λ>，解得2

51

2x λλ

-=

因(,),(,)1120F M x y -，故

(,)((),)1121231FM x y x y λ=--=-+-u u u u r (,)(,)121122y y λλλλ

--=-=-。

而(,)(,)222122FQ x y y λλ

-=-=u u u r ，所以FM FQ λ=-u u u u r u u u r 。

2 ①f(x)=

12--k x (2k≦x≦2k+2, k∈Z) ②略 ⑶方程在[1，4]上有4个实根

3 ①x 2

=4y ②x 1x 2=-4 ⑶P(±2,1) S MIN =

7

4 .解：因a ＞1，不防设短轴一端点为B （0，1）

设BC ∶y ＝kx ＋1（k ＞0）

则AB ∶y ＝－

k

1

x ＋1 把BC 方程代入椭圆， 是（1＋a 2k 2）x 2＋2a 2kx ＝0

∴|BC |＝

2

222

121k a k

a k

++，同理|AB |＝

2

2

2

2

21a k a k ++

由|AB |＝|BC |，得k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0

（k －1）［k 2＋（1－a 2）k ＋1］＝0 ∴k ＝1或k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0

当k 2＋（1－a 2）k ＋1＝0时，Δ＝（a 2－1）2－4

由Δ＜0，得1＜a ＜3

由Δ＝0，得a ＝

3，此时，k ＝1

故，由Δ≤0，即1＜a ≤3时有一解

由Δ＞0即a ＞

3时有三解

5 解：依题意，知a 、b ≠0

∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0 ∴a ＞0且c ＜0 （Ⅰ）令f （x ）＝g （x ）， 得ax 2＋2bx ＋c ＝0.（*）

Δ＝4（b 2－ac ）

∵a ＞0，c ＜0，∴ac ＜0，∴Δ＞0 ∴f （x ）、g （x ）相交于相异两点 （Ⅱ）设x 1、x 2为交点A 、B 之横坐标

则|A 1B 1|2＝|x 1－x 2|2，由方程（*），知

|A 1B 1|2＝2

2

224)(444a

ac

c a a ac b -+=- 22

24()a c ac a

=

++ 24()1(**)c

c a

a ??=++????

∵0

20a b c a c a b

++=??+>?

>?，而a ＞0，∴

2c

a

>- ∵020a b c a c c b

++=??+

12

c a <- ∴1

22c a -<<- ∴4［（a c ）2＋a

c ＋1］∈（3，12）

∴|A 1B 1|∈（3，23）

6、解：（1）()x f '=ax x 232+

依题意得k=

()1'f =3+2a=－3， ∴a=－3

()1323+-=∴x x x f ，把B （1，b ）代入得b=()11-=f

∴a=－3，b=－1 （2）令

()x f '=3x 2－6x=0得x=0或x=2

∵f （0）=1，f （2）=23－3×22＋1=－3 f （－1）=－3，f （4）=17 ∴x ∈[－1，4]，－3≤f （x ）≤17

要使f （x ）≤A －1987对于x ∈[－1，4]恒成立，则f （x ）的最大值17≤A －1987 ∴A ≥2004。

（1） 已知g （x ）=－()

tx x tx x x x

+-=++-+-3223

1313

∴()t x x g

+-=2'

3

∵0＜x ≤1，∴－3≤－3x 2＜0，

① 当t ＞3时，t －3x 2＞0，()0'

>x g 即

∴g （x ）在]1.0(上为增函数，

g （x ）的最大值g （1）=t －1=1,得t=2（不合题意,舍去） ② 当0≤t ≤3时,

()t x x g +-=2'3

令()x g

'

=0,得x=

3

t 列表如下:

g （x ）在x=

3

t 处取最大值－3

3???

?

??t ＋t

3

t

=1

∴t=3

427=

2233＜

3

t 3

∴x=

3

t ＜1 ③当t ＜0时，()t x x g

+-=2'

3＜0，∴g （x ）在]1.0(上为减函数，

∴g （x ）在]1.0(上为增函数，

∴存在一个a=

2

2

33，使g （x ）在]1.0(上有最大值1。

7、解:（1）设动点的坐标为P （x,y ）,则H （0,y ）,()0,x PH

-=→

,→

PM =（－2－x,－y ）

→

PN =（2－x,－y ）

∴→

PM ·→

PN =（－2－x,－y ）·（2－x,－y ）=22

4y x

+-

x PH =→

由题意得∣PH ∣2=2·→

PM ·→

PN 即()2

22

42y x x

+-=

即14

82

2=+y x ，所求点P 的轨迹为椭圆 （2）由已知求得N （2，0）关于直线x+y=1的对称点E （1，－1），则∣QE ∣=∣QN ∣ 双曲线的C 实轴长2a=

10=≤-=-ME QE QM QN QM （当且仅当Q 、E 、M 共线时

取“=”），此时，实轴长2a 最大为

10

所以，双曲线C 的实半轴长a=

2

10

又2

3,221222=-=∴==

a c

b NM

c Θ ∴双曲线C 的方程式为12

3252

2=-y x 8.（1）1

2

1-=

n n

b

（2）0

8

12

11161

81)21212121161(81)212121(872441684=--=-+?+?+<-++++=-K K n S 9．解：（Ⅰ）设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0

∵该直线与圆1)2(22

=-+y x

相切，

∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．…………………………………………2分

故设双曲线C 的方程为122

22=-a

y a x ．

又双曲线C 的一个焦点为 )0,2(

∴222

=a

，12=a ．

∴双曲线C 的方程为12

2=-y x ．………………………………………………4分

（Ⅱ）由???=-+=1

12

2y x mx y 得022)1(2

2=---mx x m ．

令22)1()(2

2---=mx x m x f

直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根． 因此?????????

>--<->?012

01202

2

m m m 解得21<

,1(2

2m m m --，

∴直线l 的方程为)2(221

2

+++-=x m m y ．………………………………6分 令x=0，得8

17)41(22

22222+

--=++-=m m m b ．

∵)2,1(∈m ，

∴)1,22(8

17

)41(22+-∈+--m

∴),2()22,(+∞---∞∈Y b ．………………………………………………8分 （Ⅲ）若Q 在双曲线的右支上，则延长2QF 到T ，使||||1QF QT =， 若Q 在双曲线的左支上，则在2QF 上取一点T ，使||||1QF QT =．

根据双曲线的定义2||2=TF ，所以点T 在以)0,2(2F 为圆心，2为半径的圆上，即点T 的轨

迹方程是

)0(4)2(22≠=+-x y x ①…………………………………………10分 由于点N 是线段T F 1的中点，设),(y x N ，),(T T y x T ．

则???

????=-=222T

T y y x x ，即???=+=y y x x T T 222．

代入①并整理得点N 的轨迹方程为122

=+y x

．)2

2

(-

≠x ………………12分 10 解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21(=+=-+f f f f ．所以4

1

)21(=f ．……2分

令n x 1=，得21)11()1(=-+n f n f ，即2

1)1()1(=-+n n f n f ．……………4分

（Ⅱ）)1()1

()1()0(f n n f n f f a n +-+++=Λ

又)0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+=Λ………………5分

两式相加

2

1

)]0()1([)]1()1([)]1()0([2+=

+++-+++=n f f n n f n f f f a n Λ． 所以N n n a n ∈+=,4

1

，………………7分

又41

414111=+-++=-+n n a a n n ．故数列}{n a 是等差数列．………………9分

（Ⅲ）n

a b n n 4

144=-=

2

2221n n b b b T +++=Λ

)1

31211(16222n ++++

=Λ ])

1(1

3212111[16-++?+?+≤n n Λ………………10分

)]1

11()3121()211(1[16n n --++-+-+=Λ………………12分

n S n

n =-=-=16

32)12(16

所以n n S T ≤……………………………………………………………………14分 11．设直线OA 的斜率为k ，显然k 存在且不等于0

则OA 的方程为y ＝kx 由???y ＝kx

y 2＝2px

解得A (2p k 2，2p k )

……4分

又由，知OA ⊥OB ，所以OB 的方程为y ＝－1

k

x

由??

?y ＝－1k x

y 2＝2px

解得B (2pk 2，－2pk ) ……4分

从而OA 的中点为A '(p k 2，p

k )，OB 的中点为B '(pk 2，－pk )

……6分

所以，以OA 、OB 为直径的圆的方程分别为 x 2＋y 2－

2px k 2－2py

k

＝0 ……① x 2＋y 2－2pk 2x ＋2pky ＝0 ……② ……10分

∵P (x ，y )是异于O 点的两圆交点，所以x ≠0，y ≠0

由①－②并化简得y ＝(k －1

k )x ……③

将③代入①，并化简得x (k 2＋1

k 2－1)＝2p ……④

由③④消去k ，有x 2＋y 2－2px ＝0

∴点P 的轨迹为以(p ，0)为圆心，p 为半径的圆(除去原点). ……13分

12．(1)由题意，有x 2－2mx ＋2m 2＋9

m 2－3

＞0对任意的x ∈R 恒成立

所以△＝4m 2－4(2m 2＋9

m 2－3)＜0 即－m 2－9

m 2－3＜0

∴(m 2－3

2

)2＋27

m 2－3

＞0

由于分子恒大于0，只需m 2－3＞0即可 所以m ＜－3或m ＞ 3 ∴M ＝{m |m ＜－3或m ＞3}

……4分

(2)x 2－2mx ＋2m 2＋9m 2－3＝(x －m )2＋m 2＋9m 2－3≥m 2＋9

m 2－3

当且仅当x ＝m 时等号成立.

所以，题设对数函数的真数的最小值为m 2＋9

m 2－3 ……7分 又因为以3为底的对数函数为增函数 ∴f (x )≥log 3(m 2＋9

m 2－3

)

∴当且仅当x ＝m (m ∈M )时，f (x )有最小值为log 3(m 2＋9

m 2－3) ……10分

又当m ∈M 时，m 2－3＞0 ∴m 2＋9m 2－3＝m 2－3＋9

m 2－3

＋3≥2

(m 2－3)·9

m 2－3

＋3＝9

当且仅当m 2－3＝9

m 2－3，即m ＝±6时，

log 3(m 2＋

9m 2－3)有最小值log 3

(6＋9

6－3

)＝log 39＝2 ∴当x ＝m ＝±6时，其函数有最小值2.

13．解析：（1）。，由根与系数的关系得，.1,2

-==+αββα

t

).16(2

1

1682)(2414)(222

2++-=+-==-+-=+-=

∴t t t t t f ααβαβααααα 同法得f().16(2

1

)2t t -+=

β (2).证明：Θf /(x)=

,)1()

22(2)1(2)4()1(42

22222+---=+--+x tx x x x t x x 而当x ],[βα∈时， 2x 2-tx-2=2(x-,0))(≤-βαx 故当x ],[βα∈时, f /(x)≥0, ∴ 函数f(x)在[],βα上是增函数。 （3）。证明：

,0)(,0)(21121212122121<+-=-++>+-=-++x x x x x x x x x x x x x x βαββααβαβα

ββαα<++<

∴2121x x x x , 同理βα

βα<++<2

121x x x x .

).()()(),()(

)(2

1212121αα

βββαβαf x x x x f f f x x x x f f -<++-<-<++<∴故

又f().()(

)2

121ββ

ααf x x x x f <++<两式相加得:

),()()()(

)]()([2

1212121αβα

ββααβf f x x x x f x x x x f f f -<++-++<--

即

).()()()(

2

1212121αβα

ββαf f x x x x f x x x x f -<++-++

而由（1），f(αββα2)(,2)-=-=f 且f()()()()αβαβf f f -=-,

∴ βαα

ββα-<++-++2)()(

2

1212121x x x x f x x x x f .

14(I)2111144(1), 1.

S a a a ==+∴=Q 当

2

n ≥时,()()

22

1144411n

n n n n a S S a a --=-=+-+,

()22

112n n n n a a a a --∴+=-,又{a n }各项均为正数,12n

n a a -∴-=.数列{}n a 是等差数列,

2 1.n a n ∴=-

(II)

2

n S n =,若2n

n tS ≥对于任意的*

n N ∈恒成立,则22min n t n ??≤????

.令2

2n

n b n =,.当3

n ≥时,

221222(1)1(1)21

n n b n n n n n

b n n n ++-+==>+++.又

1238

2,1,9

b b b ===

，

∴{}228min min 9

n n b n ??==????.∴ t 的最大值是8

9.

15.（1）设点M 的坐标为(x ,y )，由PM =－23MQ ,得P (0,－2

y ),Q (3x

,0), 2分

由HP ·PM =0，得（3，－

2y ）(x ,2

3y

)=0,又得y 2=4x ,

5分

由点Q 在x 轴的正半轴上，得x ＞0,

所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点.

6分

（2）设直线l :y =k (x +1),其中k ≠0,代入y 2=4x ,得k 2x 2+2(k 2－2)x +k 2=0,① 7分

设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),

则x 1,x 2是方程①的两个实根，∴x 1+x 2=－2

)

2(2k k 2-,x 1x 2=1,

所以，线段AB 的中点坐标为(2

22k k -,k 2

),

8分

线段AB 的垂直平分线方程为y －k 2=－k 1

(x －2

22k

k -),

9分

令y =0,x 0=22k +1,所以点E 的坐标为(22

k

+1,0)

因为△ABE 为正三角形，所以点E （

2

2k +1,0）到直线AB 的距离等于23

｜AB ｜,

而｜AB ｜=2

212

21)()(y y x x -+-=2

214k

k -·2

1k +, 10分

所以，24132k k -=k

k 2

12+,

11分

解得k =±

23,得x 0=3

11. 12分

16.（1）f 1(0)=2,a 1=

2212+-=4

1

,f n +1(0)=f 1［f n (0)］=)0(12n f +,

a n +1=2)0(1)0(11+-++n n f f =2

)

0(121

)0(11

++-+n n f f =)0(24)0(1n n f f +-=－212)0(1)0(+-n n f f =－2

1a n ,

4分

∴数列｛a n ｝是首项为

41,公比为－21的等比数列，∴a n =41(－2

1)n －

1. 6分

（2）T 2n =a 1+2a 2+3a 3+…+(2n －1)a 2n －1+2na 2n , －

21T 2n =(－21a 1)+(－21)2a 2+(－21)3a 3+…+(－21)(2n －1)a 2n －1+(－2

1

)·2na 2n =a 2+2a 3+…+(2n －1)a 2n －na 2n ,

8分

两式相减得

23

T 2n =a 1+a 2+a 3+…+a 2n +na 2n , 所以，23T 2n =

2

11)21(1412+

?

?????--n +n ×41(－21)2n －1=61－61(－21)2n +4n (－21)2n －1,

10分

T 2n =91－91(－21)2n +6n (－21)2n －1=91(1－n n 2213+). ∴9T 2n =1－n

n 22

13+, Q n =1－

2

)

12(1

3++n n , 12

分

当n =1时，22n =4,(2n +1)2=9,∴9T 2n ＜Q n ; 当n =2时，22n =16,(2n +1)2=25,∴9T 2n ＜Q n ; 13分

当n ≥3时，22n =［（1+1）n ］2

=(C 0

n +C 1

n +C 2

n +…+C n

n )2＞(2n +1)2,∴9T 2n ＞Q n . 14分

17．解（I ）→

a +

3→

b =（x,0）+3(1,y)=(x+3,3 y),

→a –3→

b =（x, 0）-3(1,y)= (x -3,–3 y).Θ(→

a +3→

b )⊥(→

a -3→

b ),

∴(→

a +

3→

b )·(→

a -3→

b )=0, ∴(x+3)( x -3)+3y·(-3y)=0,

故P 点的轨迹方程为2

213

x y -=． （６分）

（II ）考虑方程组22

,

1,3

y kx m x y =+???-=?? 消去y ，得（1–3k 2）x 2-6kmx-3m 2-3=0 (*)

显然1-3k 2≠0,

?=(6km)2-4(1-3k 2)( -3m 2-3)=12(m 2+1-3k 2)>0.

设x 1,x 2为方程*的两根，则x 1+x 2=2316k km -，x 0=2

213132k

km x x -=+, y 0=kx 0+m=

2

31k m -, 故AB 中点M 的坐标为（2

313k km -，

2

31k

m

-）, ∴线段AB 的垂直平分线方程为y -

2

13m k -=（-k 1）23()13km x k --,

将D （0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k 2-1,

故m 、k 满足222

130,

431,

m k m k ?+->?=-? 消去k 2得 m 2-4m>0, 解得 m<0或m>4.

又Θ4m=3k 2-1>-1, ∴ 1,4

m >- 故m ∈(-41

,0)Y (4,+∞)．

（１２分）

18．(1)解 由已知得211

()(1)(1)(1)()(2)33

f

n f n f f n f n =-?=?-=?-=L

111

()(1)()33

n n f -=?=． (4分)

(2)证明 由(1)可 知

1

(),3

n n a n =?设n T =

1

n

k

k a

=∑

则211112()().333

n n

T n =?+?++?L