复旦大学数学分析答案

复旦大学数学分析答案

【篇一：复旦大学2009年数学分析考研真题】

s=txt>一．填空题

xln(1?x)

=_____

x?01?cosx

y(1?x)

(2)微分方程y=的通解是____,这是变量可分离方程

x

（1）lim（3）设

?

是锥面

(0?z?1)的下侧，则

?

??xdyd?z2

ydz?d3x(?1z)d?xdy____

(4)点（2，1，0）到平面3x+4y+5z=0的距离d=____ (5)设a=? ?21?

?,2阶矩阵b满足ba=b+2e,则b=____

??12?

(6)设随机变量x与y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则p{max(x,y)?1}?____ 一、选择题

（1）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f(x)?0，f(x)?0，?x为自变量x在

x

，处的增量，?y与dy分别为f(x)在点

x

处对应的增量与微分，若

?x?0，则（）

（a）0?dx??y （b）0??y?dy （c）?y?dy?0 （d）dy??y?0 （2）设f(x,y)为连续函数，则（a

）（c

）

?

?

d??f(rcos?,rsin?)rdr等于（）

1

n

xf(x,y)dy（b

）

0f(x,y)dy f(x,y)dx

0y

f(x,y)dx（d

）0

（3）若级数

?a

n?1?

?

收敛，则级数（）

（a）

?a

n?1?

n

收敛（b）

?(?1)a收敛

nn

n?1?

?

（c）

?anan?1收敛（d）?

n?1

an?an?1

收敛 2n?1

（4）设f(x,y)和?(x,y)均为可微函数，且?y(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在

约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（）（a）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0（b）若fx(x0,y0)?0，则

fy(x0,y0)?0 （c）若fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0 （d）若

fx(x0,y0)?0，则fy(x0,y0)?0

（5）设?1,?2,?,?s都是n维向量，a是m?n矩阵，则（）成立（Ａ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｂ）若?1,?2,?,?s线性相关，则a?1,a?2,?a?s线性无关（Ｃ）

若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性相关（Ｄ）

若?1,?2,?,?s线性无关，则a?1,a?2,?a?s线性无关

（６）设Ａ是３阶矩阵，将a的第2列加到第1列上得b，将b的第一列的?1倍加到

?110?

??

第2列上得c，记p??010?，则（）

?001???

（a）c?pap（b）c?pap （c）c?pap（d）c?pap

（7）设a，b为随机事件，p(b)?0，p?a|b??1,则必有（）（a）p?a?b??p(a)（b）p?a?b??p(b) （c）p(a?b)?p(a)（d）

p(a?b)?p(b)

2

（8）设随机变量x服从正态分布n(?1,?1)，y服从正态分布

n(?2,?2)，且

2

t

t

?1

?1

p{x??1?1}?py??2?1}，则（）

（a）?1??2 （b）?1??2 （c）?1??2 （Ｄ）?1??2

三、简答题

（1）设区域d?{(x,y)|x2?y2?1,x?0}，计算二重积分i?

1?xy

22??1?x?yd

（2）设数列{xn}满足0?x1??,xn?1?sinxn（n=1,2?）,求：（i）

证明limxn存在，并求之

x??

1

（ii）

?xn?1?xn2

计算lim?? x??

?xn?

（3）设函数f(u)在（0，?

）内具有二阶导数，且z?f满足等式

?2?0 2

?x?y

（i）

f(u)

?0 验证f(u)?u

（ii）

若f(1)?0,f(1)?1，求函数f(u)的表达式

（4）设在上半平面d?{(x,y)|y?0}内，函数f(x,y)是有连续偏导数，且对任意

2

的t?0都有f(tx,ty)?tf(x,y)

证明：对l内的任意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有

?

l

yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?0

（5）已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1?

?4x1?3x2?5x3?x4??1有３个线性无关的解

?ax?x?3x?bx?1

34?12

（Ｉ）证明方程组系数矩阵Ａ的秩 r(a)?2 （ii）求 a , b 的值及方程

组的通解

（6）设3阶实对称矩阵a的各行元素之和均为3，向

量?1?(?1,2,?1)t，?2?(0,?1,1)t

实线性方程组ax?0的两个解，（i）求a的特征值与特征向量（ii）求：正交矩阵Ｑ与对角矩阵Ａ，使得qaq?a

t

?1

?2,?1?x?0??1

（7）随机变量x的概率密度为fx(x)??,0?x?2令y?x2,f(x,y)为二

维随机变

?4

?0,其他??

量(x,y)的分布函数

（Ｉ）求Ｙ的概率密度fy(y) (ii)f??

?1?

??,0?x?1

?

(8)设总体x的概率密度f(x,0)??1??,1?x?2其中?实未知参数（0???1），

?0,其他?

x1,x2,?,xn为来自总体x的简单随即样本，记n为样本值

x1,x2,?,xn中小于

1的个数，求?的最大似然估计

【篇二：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】

题 4.1 微分和导数

⒈半径为

1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微

?43

?r

3

，每只球镀铜所需要铜的质量为

2

m???v?4??r?r?1.12

g。

?0

⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。证当x?0时，?y?微。当x?0时，

?y??

?

3

x2

在它的整个定义域中，除了x这一

?x

2

是?x的低阶无穷小，所以y

?

x2

在x?0不可

?x?x?o(?x),

所以y

?

在x?0是可微的。

习题 4.2 导数的意义和性质

1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶ lim

?x?0

f(x0??x)?f(x0)

?x

；

lim

x?x0

f(x)?f(x0)

x?x0

；

。

f(x0?(??x))?f(x0)

(??x)

??f(x0)。

lim

h?0

f(x0?h)?f(x0?h)

h

解 (1)lim

⑵⑶

f(x0??x)?f(x0)

?x

f(x)?f(x0)

x?x0

?x?0

??lim

?x?0

x?x0

lim?lim

f(x0?(x?x0))?f(x0)

x?x0

x?x0?0

?f(x0)。

lim

f(x0?h)?f(x0?h)

f(x0?h)?f(x0)

h

h?0

f(x0?h)?f(x0)

h

h?0

?lim

h?0

?lim

?2f(x0)

。

2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；

⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为

?y?x

?

2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)

?x

f(x)?lim

?y?x

?4x?3。

2

2

?4x?3?2?x，所以

?x?0

(2)由于(3)由于

f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。 f(?2)??5，法线方程为y??

1?5

[x?(?2)]?1?

x?75

。

(4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可

知不存在x，使得f(x)??，所以这样的点(a,b)不存在。 3．设f(x)为(??,??)上的可导函数，且在x?0的某个邻域上成立

f(1?sinx)?3f(1?sinx)?8x??(x)，

其中?(x)是当x?0时比x高阶的无穷小。求曲线y?处的切线方程。解记f(x)?由lim

lim

f(x)x

x?0

f(x)在(1,f(1))

可得limf(x)??2f(1)?0，即f(1)?0f(1?sinx)?3f(1?sinx)，

x?0

。

?lim

8x??(x)

x

x?0

?8

与

，

f(x)x

x?0

?f(1?sinx)?f(1)sinx??f(1?sinx)?f(1)sinx?

?lim???3lim??4f(1)???x?0x?0sinxx?sinxx???

得到f(1)?2。于是曲线y?f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y?2(x?1)。 4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反

射光必定经过它的另一个焦点。（见图4.2.5）

证设椭圆方程为

xa

22

?

yb

22

?1，a?b?0，焦点坐标为

a?b

2

2

(?c,0),c?

。假设(x0,y0)为椭圆

上任意一点，当y0斜率为tan?

??

bx0ay0

22

?0时结论显然成立。现设y0?0，则过此点的切线 y0x0?c

2

2

，(x0,y0)与焦点(?c,0)连线的斜率为tan?1?，和此连线与切线夹角的正切为k

x0a

22

?

tan?1?tan?1?tan?1tan?

。利用c2

?a?b

?

y0b

2

2

?1代入计算，得到

y0

k?

x0?c1?

y0

?

bx0ay0?bx0

222

2

?

ay0?bx0?cx0b

2

2

2

22222

(a?b)x0y0?acy0

?

ab?cx0b

2

222

cx0y0?acy0

?

b

2

cy0

。

x0?cay0

(x0,y0)与另一焦点(c,0)连线的斜率为tan?2? y0x0?c

，此连线与切线

夹角的正切为

tan??tan?21?tan?tan?2

??

bx0ay0

y0

22

?

y0x0?cbx0

2

?

cx0b?ay0?bx0

2

2

2

22222

1?

?2

x0?cay0

(a?b)x0y0?acy0

?

cx0b?ab

2

2

222

cx0y0?acy0

?

2

cy0

?k

。

由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。 5．证明：双曲线xy

?a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三

2

角形的面积恒为2a。

证假设(x0,y0)为双曲线上任意一点，则x率为yx

??

y0?a

2

，过这一点的切线斜

a

22

x0

??

y0x0

，切线方程为

y?y0??

y0x0

(x?x0)，

易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y0)和(2x0,0)。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为

s?

12

(2y0)(2x0)?2x0y0?2a

2

。

6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。

⑴ y⑶ y

?|sinx|；

⑵ y

??cosx

；

?e?|x|；

?f(x)?|sinx|

⑷ y?|ln(x?1)|.

解（1）对y，当x?0时，

f?(0)?lim

|sin?x|?|sin0|

?x

|sin?x|?|sin0|

?x

?x?0?

?lim

sin?x?x?x?sin?x

?x?0?

?1， ??1，

f?(0)?lim

?x?0?

?lim

?x?0?

所以x?0是不可导点。又由于函数y是周期为?的函数，所有不可导点为x?k? （2）y

为x?2k?

(k?z)，且f??(k?)??1，?f(x)?

f??(k?)?1。

?

x2

?，由（1）可知不可导点

2

(k?z)，且经计算得到

f??(2k?)??

?|x|

，f??(2k?)?

2

。

（3）y?

?

f(x)?e

不可导点只有x?0，且

e

f(0)?lim

?1

?x?0?

?x

??1，f(0)?lim

?

e

?x

?1

?x?0?

?x

?1。

（4）y?

f(x)?ln(x?1)f?(0)?limf?(0)?lim 不可导点只有x?0，且

?1， ?x

?ln(?x?1)

?lim??1。 ?x?0??x?lim

?x?0?

|ln(?x?1)|?ln1?x

|ln(?x?1)|?ln1

?x

ln(?x?1)

?x?0?

?x?0?

7．讨论下列函数在x

⑴⑶

?|x|1?asiny??

?0,

1x

?0处的可导性：

,(a?0)x?0,x?0;

⑵⑷

?x2,y??

?ax?b,

a

??ex2,y??

x?0,x?0;x?0,x?0.

?xex,

y??2

?ax,

x?0,x?0;

1?a

解（1）?lim

x?0

?y?x

|?x|?lim

?x?0

sin

1

?lim?|?x|asgn(?x)sin1??0

???x?0x??

?x

，所以函数

在x?0可导。

（2）如果函数在x?0可导，则必须在x?0连续，由f(0?)?可得b?0。当b?0时，f

?

f(0)?b

(0)?lim

?x?0?x

2

?x?0?

?0，f?(0)?lim

a?x?0?x

?x?0?

?a

，