概率统计例题解析
第一章 随机事件和概率
一. 填空题
1. 设A, B, C 为三个事件, 且
=-=??=?)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____。
解.
)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-
=)(C B A P ??－)(B A P ?= 0.97－0.9 = 0.07
2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______。
解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B
51
1)()()()()|(2
10
2
621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P
注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品
所以B AB B A =?,; }{二件都是合格品=A
3. 随机地向半圆
a x ax y (202
-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π
的概率为______。
解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆。 则
121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数。 所以
2
2
a k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π
的区域}
πππ1
21)2141(2)),((22211+
=+=?=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ?B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______。
解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1
3.01.0
4.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .
5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________。 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B.
由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.
所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.
6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3)。 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,
)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.
7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________。 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.
P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC 。 P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)
= 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.
8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______。
解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.
P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)
=
+???21336.04.07.0c +???6.04.07.02233c 334.07.0? ++?????2132134.06.07.03.0c c +???32134.07.03.0c 3
2134.03.07.0???c
= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096
= 0.43624.
9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,
31,51, 则此密码被译出的概率_____。
解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则
41
)(,31)(,51)(=
==C P B P A P .
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)
= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
=53413151413141513151413151=
??+?-?-?-++.
二．单项选择题.
1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为
(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案。
2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是
(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案。
3. 设A, B 是任意二个事件, 则
(A) P(A ?B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ?B)P(AB)≤P(A)P(B)
(C) P(A －B)P(B －A)≤P(A)P(B)－P(AB) (D)
41
)()(≥
--A B P B A P 。 解. P(A + B)P(AB)－P(A)P(B) = (P(A) + P(B)－P(AB))P(AB)－P(A)P(B) =－P(A)(P(B)－P(AB)) + P(AB)(P(B)－P(AB) =－(P(B)－P(AB))(P(A)－P(AB)) =－P(B －A)P(A －B) ≤ 0 所以(B)是答案 。
4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为
(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B)
解. (B)是答案。
5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则
(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0.
解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案。
6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ?B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是
(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B)
解. )
()()
()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥== (当B = Ω时等式成立). (B)是答案。 7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立
的是
(A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+
(B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B) (C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)
(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)
解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到
)()
()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +
=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)。 (B)是答案。
三. 计算题
1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的,
求一批产品被认为是合格的概率。
解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)
=2794.050
100
15
4995501005095=+c c c c c
2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率。
解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}
P(A ) =91243
15310=c c , P(A) = 1－P(A ) = 9167
3. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;
ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;
iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率。
解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20
i. P(不是北京|男生) =20178068= ii. P(男生|北京学生) =532012= iii. P(北京男生) =10012
iv. P(女生|非北京学生) =8012
v. P(免修英语男生) =10032
4． 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;
ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率。
解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3)。 A 表示第二次比赛都是新球。 于是
312339)(c c c B P i i i -=, 31239
)|(c c B A P i
i -=
)
()(1)()|()()(3
6033937132938231939330923123
023********
0c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=
146.0484007056)201843533656398411()220(12
==??+??+??+??=
ii. 215484007056)220(20
184)()()|()|(2
333=
??==A P B P B A P A B P
5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率。 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M
假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球}
P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)n m m M N N m n n M N N +?
++++?+++=111
))(1()1(n m M N Nm N n +++++=
第二章 随机变量及其分布
一、填空题
1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95
, 则P(Y ≥ 1) = _________。
解.
94
951)1(1)0(=
-=≥-==X P X P
94)1(2=-p , 31
=
p
2719321)0(1)1(3
=
???
??-==-=≥Y P Y P 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162,
85,43,21, 则c = ______。
解. 2
,16321628543211==+++=c c c c c c
3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率。 P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.
P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.
解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)
4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442
=+++k kx x 有实根的概率为_____。
解. k 的分布密度为?????=051)(k f 其它5
0≤≤k
P{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162
≥--k k }
= P{k ≤－1或k ≥ 2} =535
152=?dk 5. 已知
2
}{,}{k b
k Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立， 则a = ____, b = ____，联合概率分布_____， Z = X + Y 的概率分布为_____。
解. 123a a a ++=，611a =，149b b b ++=，
3649b =
()X Y +的联合分布为
ab = 216α,
539=
α α
249)3()1()3,1()2(==-===-===-=ab
Y P X P Y X P Z P
α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z P
α251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P
α723)1()3()1,3()2(==
-===-====ab
Y P X P Y X P Z P
6. 已知()X Y +联合密度为??
?+=0)
sin(),(y x c y x ? 其它
4
,0π
≤
≤y x , 则c = ______，
Y 的边缘概率密度=)(y Y ?______。
解.
1
2,
1)sin(4/0
4
/0
+==+??c dxdy y x c ππ
所以??
?++=0)
sin()12(),(y x y x ? 其它
4
,0π
≤
≤y x
当 40π
≤
≤y 时
))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4
0y y dx y x dx y x y Y +-+=++==?
?∞
+∞-π
??π
所以
?????+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y π? 其它4
0π
≤
≤y
7. 设平面区域D 由曲线2,1,01
e x x y x y ====
及直线围成, 二维随机变量
()X Y +在D 上服从均匀分布, 则()X Y +关于X 的边缘密度在x = 2处的值为
_______。 解. D 的面积 =
21
21
=?
e dx x . 所以二维随机变量(X, Y)的密度为:
???
??=021),(y x ? 其它D
y x ∈),(
下面求X 的边沿密度:
当x < 1或x > e 2时， 0)(=x X ?
当1 ≤ x ≤ e 2时，
?
?===∞
+∞-x X x dy dy y x x 10
2121),()(??, 所以41)2(=
X ?. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则
)
(1
21n X X X n X +++= 服从______。
解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.
μ==??? ??∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, n X D n
X n D n
i i
n i i 2
1
2
1)(11σ=
=??? ??∑∑==
所以
)
,
(~2
n N X σμ
9. 如果()X Y +的联合分布用下列表格给出,
且X 解.
21
3161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=
+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα
1
32
)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P
??????
?
+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P
两式相除得β
αβα
=
++181
91, 解得 βα2=, 92,91==αβ. 10. 设()X Y +的联合分布律为
则1. Z X Y =+的分布律 ______； 2. 的分布律______；
iii. 2
2U X Y =+-的分布律_______。 解.
二. 单项选择题
1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数
(A)??????
?=22
1
0)(x F 0022≥<≤-- (C) ?????=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤ =1310)(x x F 212100 ≥<≤ 解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λ λ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λ λ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案. 3. X ～N(1, 1), 概率密度为?(x), 则 (A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ?? (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案. 4. ,X Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) ()X Y + (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y 解. X ～ ?? ?=01)(x ? 其它10≤≤x , Y ～?? ?=01)(y ? 其它1 0≤≤y . 所以 (X, Y)～ ?? ?=01),(y x ? 其它1 ,0≤≤y x .所以(A)是答案. 5. 设函数?????? ?=1 20)(x x F 11 00 >≤<≤x x x 则 (A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数. (C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数. 解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案. 6. 设,X Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则()max Z X Y =+)的分布函数是 (A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是 解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 ) ()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案. 7. 设,X Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则()min Z X Y =+的分布函数是 (A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y (C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )] (1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案. 8. 设X 的密度函数为)(x ?, 而 ,)1(1 )(2 x x +=π?则Y = 2X 的概率密度是 (A) )41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12 y +π (D) y arctan 1 π 解. ) 2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22' 'y y y y F y F y X X Y Y += ??? ??+?=?=??? ?? ==ππ?? (B)是答案. 9. 设随机变量()X Y +的联合分布函数为???=+-0),()(y x e y x ? 其它0,0>>y x , 则 2Y X Z += 的分布密度是 (A) ?????=+-021)() (y x Z e Z ? 其它0,0>>y x (B) ?????=+-0)(2 y x Z e z ? 其它0,0>>y x (C) ?? ?=-04)(2z Z ze Z ? 00≤>z z (D) ?????=-021)(z Z e Z ? 00≤>z z 解. 2Y X Z += 是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 212 10=?∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时， 0)(=z F Z 当z ≥ 0时， ??≤+=≤+=≤+=≤=z y x Z dxdy y x z Y X P z Y X P z Z P z F 2),()2()2()()(? =12222020 +--=??????-----??z z z x z y x e ze dx dy e e ==)()(' z F z Z Z ????-042z ze 00 ≤>z z , (C)是答案. 10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是 (A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2 解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案. 11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是 (A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数: ))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时 101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时 )2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= y e y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1 当y < 0时 )2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P 于是 1, 2()1,02 0, 0y Y y F y e y y λ-≥?? =-≤ 三. 计算题 1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1 ?-i , i = 1, 2, 3, 4. 当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发 子弹). 所以 P(X = 5) = 4 )1.0(. 于是分布律为 2. , 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度. i. 每次取出的产品不放回;2. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取. 解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i. 13)()1(1= ==A P X P 133 1210)()|()()2(11212? ====A P A A P A A P X P 133 1221110)()|()|()()3(11223321? ?====A P A A P A A P A A A P X P 133 1221111)()|()|()|()4(1122334? ??===A P A A P A A P A A P X P ii. 每次抽取后将原产品放回 1310 133)()()()()(1 111 1---? ? ? ??====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …) iii. 13)()1(1= ==A P X P 133 1311)()|()()2(11212? ====A P A A P A A P X P 133 1321312)()|()|()()3(112123321? ?====A P A A P A A A P A A A P X P 133 1321311)()|()|()|()4(1121231234? ??===A P A A P A A A P A A A A P X P 3. 随机变量X 的密度为??? ??-=01)(2x c x ? 其它1 || ) 21 ,21(-内的概率. 解. πππ ?1 ,2 2|arcsin 21)(11011 2 = ===-==? ?-∞+∞ -c c c x c dx x c dx x 31 62|arcsin 2 11 ))2/1,2/1((2 /102/12 /12 =?= =-=-∈? -πππ πx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为 1. ||1()0, x x ?<=??其它 , 2. , 01()2, 120, x x x x x ?≤ 求1,2i 的分布函数F(x). 解1. 当x ≤ 1时, ??∞ -∞ -===x x dt dt t x F 0 0)()(? 当－1< x < 1时, ?? ∞ --+ +-= -==x x x x x dt t dt t x F 21arcsin 1 112 )()(21 2π π π ? 当x ≥ 1时， ?? ∞ --=-==x dt t dt t x F 1 12 )()(11 2π ? 所以 ???????+ +-=121arcsin 110)(2x x x x F ππ 1111≥<<--≤x x x 2. 当x < 0时， ??∞-∞-===x x dt dt t x F 0 0)()(? 当0 ≤ x < 1时， ?? ∞-= ==x x x tdt dt t x F 2)()(2 0? 当1 ≤ x < 2时， 1 22)2()()(2 1 1 -+-=-+==?? ?∞ -x x dt t tdt dt t x F x x ? 当2 ≤ x 时， 1 )2()()(2 110???∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ? 所以 ????? ????-+-=11 2220)(2 2 x x x x F 221100 ≥<≤<≤ 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数 ???? ??--=3200)20(exp 2401 )(2x x π?, －∞ < x < +∞ 试求:1. 测量误差的绝对值不超过30的概率; 2. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率. 解. 因为 ???? ??--=3200)20(exp 2401 )(2x x π?, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402). i. {}?? ? ???<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931. (其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数) ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) = 88.012.01)4931.0(13 =-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为 ??? ??=0100)(2x x ? 100100≤ 问在150小时内,1. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少?2. 三只电子元件全 损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少? 解. X 的密度 ??? ??=0100)(2x x ? 100100≤ . 所以 31 100)150(150 1002== dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32 . i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) = 2783= p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) = 271 )1(3= -p iii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =9432312 13= ?? ? ????? ??c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为?? ?=01)(d ? 其它6 5≤≤d 假设 42 D X π= , X 的分布函数为F(x). )()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π 当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时 ? ?? ? ??≤ ≤-=≤=≤=πππx D x P x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54π π < F(x) = 0 当时 即πππ925,645≤≤≤≤x x ? ?? ? ??≤ ≤-=≤=≤=πππx D x P x D P x X P x F 44)()()(2 = 5 4145 -= ?π π x dt x 当 x > 9π时 1 )()(6 5 ===??∞ -dt dt t x F x ? 所以 ???????-=1540)(πx x F πππ π994 25425>≤≤< x x x 密度?????==01)(')(x x F x π? 其它ππ9425≤≤x 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布 分别为表1、表2所示 表1 表2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0) 41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布. 解. X (X, Y) 3 .053 21)1()1|1()1,1(=?=======X P X Y P Y X P 1 .053 61)1()1|2()2,1(=?=======X P X Y P Y X P 2 .053 31)1()1|3()3,1(=?=======X P X Y P Y X P 1 .052 41)0()0|1()1,0(=?=======X P X Y P Y X P 2 .052 21)0()0|2()2,0(=?=======X P X Y P Y X P 1 .052 41)0()0|3()3,0(=?=======X P X Y P Y X P 所以Y 5 .06.03 .0)1()1,0()1|0(==≠≠== ≠=Y P Y X P Y X P 5 .06.03 .0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P 所以 9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量 Y X Z = 的分布密度. 解. X ～?????=091)(x X ? 其它90≤≤x , Y ～??? ??=091)(x Y ? 其它9 0≤≤y 因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为 (X, Y)～??? ??=0811),(y x ? 其它9,0≤≤y x , )()()(z Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时, 0)(=z F Z 当 0 < z < 1时 , y = xz (z < 1) z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 9921811811)()()()(1??==≤=≤=≤=??当z ≥ 1时 ??=≤=≤=≤=2 811 )()( )()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F z z 21 1)992181(811-=?-?= y = zx (z > 1) 所以 ? ?????? ==2'21210)()(z z F z Z Z ? 1100≥<<≤z z z D 2 10. 设(X, Y)的密度为 ?? ?--=0)1(24),(y x y y x ? 其它1 ,0,0<+>>y x y x 求:1. )21|(),|(),(=x y x y x X ???, 2. ) 21 |(),|(),(=y x y x y Y ??? 解. 1. ?∞ +∞ -=dy y x x X ),()(?? 当x ≤ 0 或 x ≥ 1时, ),()(==?∞ +∞ -dy y x x X ?? 当0 < x < 1时, 3 10)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==? ?-∞ +∞-?? 所以 ???-=0)1(4)(3x x X ? 其它10< 所以 ? ?? ??---==0)1() 1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ??? 其它1 ,0,0<+>>y x y x 所以 ?? ?-==0)21(24)2 1 |(y y x y ? 其它2 1 0< 2. ?∞+∞ -=dx y x y Y ),()(?? 当y ≤ 0 或 y ≥ 1时, ),()(==?∞ +∞ -dx y x y Y ?? 当0 < y < 1时, 2 10)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==? ?-∞ +∞-?? 所以 ???-=0)1(12)(2y y y Y ? 其它10< 所以 ? ?? ??---==0)1() 1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ??? 其它1 ,0,0<+>>y x y x 所以 ?? ?-==0) 21(4)21|(x y x ? 其它 2 1 0< 第三章 随机变量的数字特征 一. 填空题 1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X －Y) = _______. 解. D(2X －Y) = 4D(X) + D(Y) = 12 2. 已知随机变量X ～N(－3, 1), Y ～N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X －2Y + 7, 则Z ～____. 解. 因为Z = X －2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)－2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X －2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ～N(0, 5) 3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 276166126 11= ?++?+? (i = 1, 2, …, n) 又设∑==n i i X X 1, 则 27)()()(11n X E X E X E n i i n i i = ==∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495. 5. 设随机变量X 在区间[－1, 2]上服从均匀分布, 随机变量 ?????-=1 01Y 00 0<=>X X X , 则方差D(Y) = _______. 解. X ～??? ??=031)(x ? 其它2 1≤≤-x Y 因为 33)0()1(20= =>==?dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P 31 31)0()1(01= =<=-=?-dx X P Y P 于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98 )]([)()(22= -=Y E Y E Y D 6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布? ??? ? ?2.08.010, 则∑==3 1 i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________. 解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.48 7. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ～N(0, 1), Y 在[－1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______. 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0. 8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为: ?? ?=02)(x x ? 其它10≤≤x , ?? ?=--0)() 5(y e y ? 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 32 2)()(10= ?==??∞+∞-xdx x dx x x X E ? 6 )()(5 )5(=?==? ? ∞ +--∞ +∞ -dy e y dy y y Y E y ? 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 4 9. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1－2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-= =4639441262 =?+?+ 二. 单项选择题 1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X －Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)－E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(2 2=-=Y E X E UV E . 所以 cov(X,Y) = E(UV)－E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有 (A) X 与Y Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3. 0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案. 3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为 (A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设随机事件A 、B 互斥，(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案：D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5，从中任取3个灯泡使用，则在使用500小时之后无一损坏的概率为：( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案：A 3、设ξ的分布函数为1()F x ，η的分布函数为2()F x ，而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数，则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案：A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案：C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案：D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案：A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布，它们的数学期望和方差均是2，那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案：B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案：B 9、样本12(,, , )n X X X ，2n >,取自总体ξ，E μξ=，2D σξ=，则有( )。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其 4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===< 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 概率论与数理统计复习题（1） 一． 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。 2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。 3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。 二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三．高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。 四． X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。（1）求常数k 和c ；(2) 求X 的分布函数F(x)； 五． （X,Y ）的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 （1）常数k ；（2） X 与Y 是否独立；（3）XY ρ； 六．.设X ，Y 独立，下表列出了二维随机向量（X ，Y ）的分布，边缘分布的部分概率，试 将其余概率值填入表中空白处. 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 概率统计试题分析 1 一、填空题 1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，求( )P A B = 0.2 。 2、设X 和Y 相互独立，都在区间[1，3]上服从均匀分布，记事件 }{}{a Y B a X A >=≤=,，且7 ()9 P A B = ，则常数 a = 5733 a =或。 3、某机构有一个9人组成的顾问小组，如每个顾问提出正确意见的概率是7.0，现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见， 并按多数人意见做出决策，做出正确决策的概率= （写出计算表达式）9 9950.70.3k k k k C -=??∑ 4、设(0,1)X U :，则2ln Y X =-的概率密度为 21, 0()2 00 y Y e y f y y -?>?=??≤? 5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=，且 +∞< 22 1 1(1)~(4)n i i n X χ=-∑ 8、设∧ θ是θ的无偏估计，()0D θ∧ >，则比较大小2 ()E θ∧ > 2 θ 二、（10分）对有100名学生的班级考勤情况进行评估，从课堂上随机点了10位同学的名字，如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的，并且已知该班考核为全勤，计算该班实际上确实全勤的概率。 解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =，所以1 ()3 i P A = 设B 表示点名为全勤（优秀）1010010100 ()i i C P B A C -=，0,1,2i = 0002 ()() 110 ()0.369298 ()() i i i P A P B A P A B P A P B A == = =∑ 三、（12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为： ()201,02 ,3 xy x x y f x y ?+ <<< 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案： 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 （ A ） （2009 ～ 2010 第 一 学 期） 2010-1-14 任课教师 学院： 班级： 上课时间：星期 ____,_____节 学号： 姓名： 一、选择题（每题 2 分 , 共 10 分） 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 （ ） ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 （ ） 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 （ ） (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 （ ） (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题（每空 3 分 , 共 30 分） 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ). 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ，； ，， 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解：由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ， ； ，， 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为： ?? ?<<==?∞+∞ -其他。， ； ， 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 ， ； ， 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=，所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 一.填空题（每空题2分，共计60分） 1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ，则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ，)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、 第二次取红色球的概率为： 1/3 。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 9/25 。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为： 21/55 。 3、设随机变量X 服从B （2，0.5）的二项分布，则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ，方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 （1）抽到次品的概率为： 0.12 。 （2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为： 0.5 ． 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右，则=a 0.1, =)(X E 0.4， Y X 与的协方差为: - 0.2 ， 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ，9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 ， (~,12N Y X Y 则+= 5 ， 16 ）。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1，D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立，则： =-)2(Y X E - 4 ，=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ，）（，）（，则=+）（Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差。则：~X N （8 ， 8/13 ）， ~16252 S )25(2χ， ~5 2/8s X - )25(t 。 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=概率统计练习题答案
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