第一章 随机事件和概率
一. 填空题
1. 设A, B, C 为三个事件, 且
=-=??=?)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____。
解.
)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-
=)(C B A P ??-)(B A P ?= 0.97-0.9 = 0.07
2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______。
解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B
51
1)()()()()|(2
10
2
621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P
注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品
所以B AB B A =?,; }{二件都是合格品=A
3. 随机地向半圆
a x ax y (202
-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π
的概率为______。
解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆。 则
121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数。 所以
2
2
a k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π
的区域}
πππ1
21)2141(2)),((22211+
=+=?=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ?B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______。
解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3-0.6 = 0.1
3.01.0
4.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .
5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________。 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B.
由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.
所以 P(AB) = P(A) + P(B)-P(A + B) = 0.5 + 0.65-0.85 = 0.3.
6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3)。 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,
)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1-0.9×0.8×0.7=0.496.
7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________。 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.
P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC 。 P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)-P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C)
= 0.7×0.8 +0.7×0.9-0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1-0.686 = 0.314.
8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______。
解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.
P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)
=
+???21336.04.07.0c +???6.04.07.02233c 334.07.0? ++?????2132134.06.07.03.0c c +???32134.07.03.0c 3
2134.03.07.0???c
= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096
= 0.43624.
9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,
31,51, 则此密码被译出的概率_____。
解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则
41
)(,31)(,51)(=
==C P B P A P .
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)
= P(A) + P(B) + P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)
=53413151413141513151413151=
??+?-?-?-++.
二.单项选择题.
1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为
(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案。
2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是
(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案。
3. 设A, B 是任意二个事件, 则
(A) P(A ?B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ?B)P(AB)≤P(A)P(B)
(C) P(A -B)P(B -A)≤P(A)P(B)-P(AB) (D)
41
)()(≥
--A B P B A P 。 解. P(A + B)P(AB)-P(A)P(B) = (P(A) + P(B)-P(AB))P(AB)-P(A)P(B) =-P(A)(P(B)-P(AB)) + P(AB)(P(B)-P(AB) =-(P(B)-P(AB))(P(A)-P(AB)) =-P(B -A)P(A -B) ≤ 0 所以(B)是答案 。
4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为
(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B)
解. (B)是答案。
5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则
(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0.
解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案。
6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ?B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是
(A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B)
解. )
()()
()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥== (当B = Ω时等式成立). (B)是答案。 7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立
的是
(A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+
(B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B) (C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)
(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)
解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到
)()
()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +
=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)。 (B)是答案。
三. 计算题
1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的,
求一批产品被认为是合格的概率。
解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)
=2794.050
100
15
4995501005095=+c c c c c
2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率。
解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}
P(A ) =91243
15310=c c , P(A) = 1-P(A ) = 9167
3. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;
ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;
iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率。
解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20
i. P(不是北京|男生) =20178068= ii. P(男生|北京学生) =532012= iii. P(北京男生) =10012
iv. P(女生|非北京学生) =8012
v. P(免修英语男生) =10032
4. 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;
ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率。
解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3)。 A 表示第二次比赛都是新球。 于是
312339)(c c c B P i i i -=, 31239
)|(c c B A P i
i -=
)
()(1)()|()()(3
6033937132938231939330923123
023********
0c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=
146.0484007056)201843533656398411()220(12
==??+??+??+??=
ii. 215484007056)220(20
184)()()|()|(2
333=
??==A P B P B A P A B P
5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率。 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M
假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球}
P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)n m m M N N m n n M N N +?
++++?+++=111
))(1()1(n m M N Nm N n +++++=
第二章 随机变量及其分布
一、填空题
1. 设随机变量X ~B(2, p), Y ~B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95
, 则P(Y ≥ 1) = _________。
解.
94
951)1(1)0(=
-=≥-==X P X P
94)1(2=-p , 31
=
p
2719321)0(1)1(3
=
???
??-==-=≥Y P Y P 2. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162,
85,43,21, 则c = ______。
解. 2
,16321628543211==+++=c c c c c c
3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率。 P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.
P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.
解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)-P(X < a) = F(a)-F(a -0) P(X > a) = 1-F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)-F(x 1)
4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442
=+++k kx x 有实根的概率为_____。
解. k 的分布密度为?????=051)(k f 其它5
0≤≤k
P{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162
≥--k k }
= P{k ≤-1或k ≥ 2} =535
152=?dk 5. 已知
2
}{,}{k b
k Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____,联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____。
解. 123a a a ++=,611a =,149b b b ++=,
3649b =
()X Y +的联合分布为
ab = 216α,
539=
α α
249)3()1()3,1()2(==-===-===-=ab
Y P X P Y X P Z P
α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z P
α251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z P
α723)1()3()1,3()2(==
-===-====ab
Y P X P Y X P Z P
6. 已知()X Y +联合密度为??
?+=0)
sin(),(y x c y x ? 其它
4
,0π
≤
≤y x , 则c = ______,
Y 的边缘概率密度=)(y Y ?______。
解.
1
2,
1)sin(4/0
4
/0
+==+??c dxdy y x c ππ
所以??
?++=0)
sin()12(),(y x y x ? 其它
4
,0π
≤
≤y x
当 40π
≤
≤y 时
))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4
0y y dx y x dx y x y Y +-+=++==?
?∞
+∞-π
??π
所以
?????+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y π? 其它4
0π
≤
≤y
7. 设平面区域D 由曲线2,1,01
e x x y x y ====
及直线围成, 二维随机变量
()X Y +在D 上服从均匀分布, 则()X Y +关于X 的边缘密度在x = 2处的值为
_______。 解. D 的面积 =
21
21
=?
e dx x . 所以二维随机变量(X, Y)的密度为:
???
??=021),(y x ? 其它D
y x ∈),(
下面求X 的边沿密度:
当x < 1或x > e 2时, 0)(=x X ?
当1 ≤ x ≤ e 2时,
?
?===∞
+∞-x X x dy dy y x x 10
2121),()(??, 所以41)2(=
X ?. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则
)
(1
21n X X X n X +++= 服从______。
解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.
μ==??? ??∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, n X D n
X n D n
i i
n i i 2
1
2
1)(11σ=
=??? ??∑∑==
所以
)
,
(~2
n N X σμ
9. 如果()X Y +的联合分布用下列表格给出,
且X 解.
21
3161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=
+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα
1
32
)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P
??????
?
+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P
两式相除得β
αβα
=
++181
91, 解得 βα2=, 92,91==αβ. 10. 设()X Y +的联合分布律为
则1. Z X Y =+的分布律 ______; 2. 的分布律______;
iii. 2
2U X Y =+-的分布律_______。 解.
二. 单项选择题
1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数
(A)??????
?=22
1
0)(x F 0022≥<≤-- (C) ?????=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤ =1310)(x x F 212100 ≥<≤ 解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λ λ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足 (A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k e c k X P k λ λ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负. 所以(B)是答案. 3. X ~N(1, 1), 概率密度为?(x), 则 (A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ?? (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案. 4. ,X Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 (A) ()X Y + (B) X + Y (C) X 2 (D) X -Y 解. X ~ ?? ?=01)(x ? 其它10≤≤x , Y ~?? ?=01)(y ? 其它1 0≤≤y . 所以 (X, Y)~ ?? ?=01),(y x ? 其它1 ,0≤≤y x .所以(A)是答案. 5. 设函数?????? ?=1 20)(x x F 11 00 >≤<≤x x x 则 (A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数. (C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数. 解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案. 6. 设,X Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则()max Z X Y =+)的分布函数是 (A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是 解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 ) ()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案. 7. 设,X Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则()min Z X Y =+的分布函数是 (A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y (C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1-[1-)(z F X ][1-)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )] (1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案. 8. 设X 的密度函数为)(x ?, 而 ,)1(1 )(2 x x +=π?则Y = 2X 的概率密度是 (A) )41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12 y +π (D) y arctan 1 π 解. ) 2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22' 'y y y y F y F y X X Y Y += ??? ??+?=?=??? ?? ==ππ?? (B)是答案. 9. 设随机变量()X Y +的联合分布函数为???=+-0),()(y x e y x ? 其它0,0>>y x , 则 2Y X Z += 的分布密度是 (A) ?????=+-021)() (y x Z e Z ? 其它0,0>>y x (B) ?????=+-0)(2 y x Z e z ? 其它0,0>>y x (C) ?? ?=-04)(2z Z ze Z ? 00≤>z z (D) ?????=-021)(z Z e Z ? 00≤>z z 解. 2Y X Z += 是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 212 10=?∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案. 注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时, 0)(=z F Z 当z ≥ 0时, ??≤+=≤+=≤+=≤=z y x Z dxdy y x z Y X P z Y X P z Z P z F 2),()2()2()()(? =12222020 +--=??????-----??z z z x z y x e ze dx dy e e ==)()(' z F z Z Z ????-042z ze 00 ≤>z z , (C)是答案. 10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是 (A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X -Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X -Y ≤ 1} = 1/2 解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ~ N(1, 2), X -Y ~ N(-1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案. 11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是 (A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数: ))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时 101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时 )2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= y e y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1 当y < 0时 )2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P 于是 1, 2()1,02 0, 0y Y y F y e y y λ-≥?? =-≤? ,只有y = 2一个间断点, (D)是答案. 三. 计算题 1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5. P(X = i) = P(前i -1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1 ?-i , i = 1, 2, 3, 4. 当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发 子弹). 所以 P(X = 5) = 4 )1.0(. 于是分布律为 2. , 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度. i. 每次取出的产品不放回;2. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取. 解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i. 13)()1(1= ==A P X P 133 1210)()|()()2(11212? ====A P A A P A A P X P 133 1221110)()|()|()()3(11223321? ?====A P A A P A A P A A A P X P 133 1221111)()|()|()|()4(1122334? ??===A P A A P A A P A A P X P ii. 每次抽取后将原产品放回 1310 133)()()()()(1 111 1---? ? ? ??====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …) iii. 13)()1(1= ==A P X P 133 1311)()|()()2(11212? ====A P A A P A A P X P 133 1321312)()|()|()()3(112123321? ?====A P A A P A A A P A A A P X P 133 1321311)()|()|()|()4(1121231234? ??===A P A A P A A A P A A A A P X P 3. 随机变量X 的密度为??? ??-=01)(2x c x ? 其它1 || ) 21 ,21(-内的概率. 解. πππ ?1 ,2 2|arcsin 21)(11011 2 = ===-==? ?-∞+∞ -c c c x c dx x c dx x 31 62|arcsin 2 11 ))2/1,2/1((2 /102/12 /12 =?= =-=-∈? -πππ πx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为 1. ||1()0, x x ?<=??其它 , 2. , 01()2, 120, x x x x x ?≤?=-≤≤???其它 求1,2i 的分布函数F(x). 解1. 当x ≤ 1时, ??∞ -∞ -===x x dt dt t x F 0 0)()(? 当-1< x < 1时, ?? ∞ --+ +-= -==x x x x x dt t dt t x F 21arcsin 1 112 )()(21 2π π π ? 当x ≥ 1时, ?? ∞ --=-==x dt t dt t x F 1 12 )()(11 2π ? 所以 ???????+ +-=121arcsin 110)(2x x x x F ππ 1111≥<<--≤x x x 2. 当x < 0时, ??∞-∞-===x x dt dt t x F 0 0)()(? 当0 ≤ x < 1时, ?? ∞-= ==x x x tdt dt t x F 2)()(2 0? 当1 ≤ x < 2时, 1 22)2()()(2 1 1 -+-=-+==?? ?∞ -x x dt t tdt dt t x F x x ? 当2 ≤ x 时, 1 )2()()(2 110???∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ? 所以 ????? ????-+-=11 2220)(2 2 x x x x F 221100 ≥<≤<≤ 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数 ???? ??--=3200)20(exp 2401 )(2x x π?, -∞ < x < +∞ 试求:1. 测量误差的绝对值不超过30的概率; 2. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率. 解. 因为 ???? ??--=3200)20(exp 2401 )(2x x π?, -∞ < x < +∞, 所以X ~N(20, 402). i. {}?? ? ???<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931. (其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数) ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1-P(三次误差的绝对值都超过30) = 88.012.01)4931.0(13 =-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为 ??? ??=0100)(2x x ? 100100≤ 问在150小时内,1. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少?2. 三只电子元件全 损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少? 解. X 的密度 ??? ??=0100)(2x x ? 100100≤ . 所以 31 100)150(150 1002== dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1-31= 32 . i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) = 2783= p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) = 271 )1(3= -p iii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =9432312 13= ?? ? ????? ??c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为?? ?=01)(d ? 其它6 5≤≤d 假设 42 D X π= , X 的分布函数为F(x). )()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π 当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时 ? ?? ? ??≤ ≤-=≤=≤=πππx D x P x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54π π < F(x) = 0 当时 即πππ925,645≤≤≤≤x x ? ?? ? ??≤ ≤-=≤=≤=πππx D x P x D P x X P x F 44)()()(2 = 5 4145 -= ?π π x dt x 当 x > 9π时 1 )()(6 5 ===??∞ -dt dt t x F x ? 所以 ???????-=1540)(πx x F πππ π994 25425>≤≤< x x x 密度?????==01)(')(x x F x π? 其它ππ9425≤≤x 8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0-1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布 分别为表1、表2所示 表1 表2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0) 41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布. 解. X (X, Y) 3 .053 21)1()1|1()1,1(=?=======X P X Y P Y X P 1 .053 61)1()1|2()2,1(=?=======X P X Y P Y X P 2 .053 31)1()1|3()3,1(=?=======X P X Y P Y X P 1 .052 41)0()0|1()1,0(=?=======X P X Y P Y X P 2 .052 21)0()0|2()2,0(=?=======X P X Y P Y X P 1 .052 41)0()0|3()3,0(=?=======X P X Y P Y X P 所以Y 5 .06.03 .0)1()1,0()1|0(==≠≠== ≠=Y P Y X P Y X P 5 .06.03 .0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P 所以 9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量 Y X Z = 的分布密度. 解. X ~?????=091)(x X ? 其它90≤≤x , Y ~??? ??=091)(x Y ? 其它9 0≤≤y 因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为 (X, Y)~??? ??=0811),(y x ? 其它9,0≤≤y x , )()()(z Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时, 0)(=z F Z 当 0 < z < 1时 , y = xz (z < 1) z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 9921811811)()()()(1??==≤=≤=≤=??当z ≥ 1时 ??=≤=≤=≤=2 811 )()( )()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F z z 21 1)992181(811-=?-?= y = zx (z > 1) 所以 ? ?????? ==2'21210)()(z z F z Z Z ? 1100≥<<≤z z z D 2 10. 设(X, Y)的密度为 ?? ?--=0)1(24),(y x y y x ? 其它1 ,0,0<+>>y x y x 求:1. )21|(),|(),(=x y x y x X ???, 2. ) 21 |(),|(),(=y x y x y Y ??? 解. 1. ?∞ +∞ -=dy y x x X ),()(?? 当x ≤ 0 或 x ≥ 1时, ),()(==?∞ +∞ -dy y x x X ?? 当0 < x < 1时, 3 10)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==? ?-∞ +∞-?? 所以 ???-=0)1(4)(3x x X ? 其它10< 所以 ? ?? ??---==0)1() 1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ??? 其它1 ,0,0<+>>y x y x 所以 ?? ?-==0)21(24)2 1 |(y y x y ? 其它2 1 0< 2. ?∞+∞ -=dx y x y Y ),()(?? 当y ≤ 0 或 y ≥ 1时, ),()(==?∞ +∞ -dx y x y Y ?? 当0 < y < 1时, 2 10)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==? ?-∞ +∞-?? 所以 ???-=0)1(12)(2y y y Y ? 其它10< 所以 ? ?? ??---==0)1() 1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ??? 其它1 ,0,0<+>>y x y x 所以 ?? ?-==0) 21(4)21|(x y x ? 其它 2 1 0< 第三章 随机变量的数字特征 一. 填空题 1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X -Y) = _______. 解. D(2X -Y) = 4D(X) + D(Y) = 12 2. 已知随机变量X ~N(-3, 1), Y ~N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X -2Y + 7, 则Z ~____. 解. 因为Z = X -2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)-2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X -2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ~N(0, 5) 3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 276166126 11= ?++?+? (i = 1, 2, …, n) 又设∑==n i i X X 1, 则 27)()()(11n X E X E X E n i i n i i = ==∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495. 5. 设随机变量X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布, 随机变量 ?????-=1 01Y 00 0<=>X X X , 则方差D(Y) = _______. 解. X ~??? ??=031)(x ? 其它2 1≤≤-x Y 因为 33)0()1(20= =>==?dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P 31 31)0()1(01= =<=-=?-dx X P Y P 于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98 )]([)()(22= -=Y E Y E Y D 6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布? ??? ? ?2.08.010, 则∑==3 1 i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________. 解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.48 7. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ~N(0, 1), Y 在[-1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______. 解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0. 8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为: ?? ?=02)(x x ? 其它10≤≤x , ?? ?=--0)() 5(y e y ? 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 32 2)()(10= ?==??∞+∞-xdx x dx x x X E ? 6 )()(5 )5(=?==? ? ∞ +--∞ +∞ -dy e y dy y y Y E y ? 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 4 9. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1-2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-= =4639441262 =?+?+ 二. 单项选择题 1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X -Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)-E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(2 2=-=Y E X E UV E . 所以 cov(X,Y) = E(UV)-E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有 (A) X 与Y Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3. 0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案. 3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为 (A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3 《概率论与数理统计》练习题7答案7 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设随机事件A 、B 互斥,(), (),P A P P B q ==则()P A B =( )。 A 、q B 、1q - C 、 p D 、1p - 答案:D 2、某类灯泡使用时数在500小时以上的概率为0.5,从中任取3个灯泡使用,则在使用500小时之后无一损坏的概率为:( )。 A 、 18 B 、2 8 C 、38 D 、 4 8 答案:A 3、设ξ的分布函数为1()F x ,η的分布函数为2()F x ,而12()()()F x aF x bF x =-是某随机 变量ζ的分布函数,则, a b 可取( )。 A 、32, 55a b = =- B 、2 3a b == C 、13 , 22a b =-= D 、13 , 22 a b ==- 答案:A 4、设随机变量ξ,η相互独立,其分布律为: 则下列各式正确的是( )。 A 、{}1P ξη== B 、{}14 P ξη== C 、{}12 P ξη== D 、{}0P ξη== 答案:C ^^ 5、两个随机变量的协方差为cov(,)ξη=( )。 A 、() () 2 2 E E E ηηξξ-- B 、()()E E E E ξξηη-- C 、()()2 2 E E E ξηξη-? D 、()E E E ξηξη-? 答案:D 6、设随机变量ξ在11,22?? -???? 上服从均匀分布sin ηπξ=的数学期望是( )。 A 、0 B 、1 C 、 1π D 、2π 答案:A 7、设12100,,,ξξξ???服从同一分布,它们的数学期望和方差均是2,那么 104n i i P n ξ=?? <<≥???? ∑( )。 A 、 12 B 、212n n - C 、12n D 、1 n 答案:B 8、设12, , , n X X X 是来自正态总体2(, )N μσ的样本( )。 A 、2 11~(,)n i i X X N n μσ==∑ B 、2 11()~(0, )n i X N n n σμ=-∑ C 、22 2111()~(1)n i i X n n μχσ=?--∑ D 、22 21 11()~()n i i X X n n χσ=?-∑ 答案:B 9、样本12(,, , )n X X X ,2n >,取自总体ξ,E μξ=,2D σξ=,则有( )。 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 填空题(每小题4分,共32分). 1.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2.设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题(每小题4分,共32分). 1.设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2.设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3.设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4.若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5.设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6.设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求:开一页;题目类型:简答题和大题;考试时间:100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解:因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解: . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥)(故从而解得)所以() (而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3.随机变量X 与Y 相互独立,下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值,请将表中其 4.设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布,求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解:因为当时没有实根时,即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?,故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+,而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ,从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<? 5.设离散型随机变量X 的可能取值为 -1,0,1,3,相应的概率依次为,16 7 165163161,,, 求概率)2(≤X P 。 解:由题意可知,16 73}P{X ,1651}P{X ,1630}P{X ,161-1}P{X ======= = 所以.16 9 167- 13}P{X -11}P{X 0}P{X -1}P{X 2)|X P(|=====+=+==≤ 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8 概率论与数理统计复习题(1) 一. 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立,则=-)(B A P ;若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0,则=-)(B A P 。 2.)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ,则=)(B P 。 3.设),(~2σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 长度愈 愈好。但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 。 二.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3,试求: (1)该时期内这个地区遭受水灾的概率; (2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三.高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,又知若敌机中一弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。(1)求敌机被击落的概率;(2)若敌机被击落,求它中两弹的概率。 四. X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。(1)求常数k 和c ;(2) 求X 的分布函数F(x); 五. (X,Y )的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 (1)常数k ;(2) X 与Y 是否独立;(3)XY ρ; 六..设X ,Y 独立,下表列出了二维随机向量(X ,Y )的分布,边缘分布的部分概率,试 将其余概率值填入表中空白处. 作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 概率统计试题分析 1 一、填空题 1、已知3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ,求( )P A B = 0.2 。 2、设X 和Y 相互独立,都在区间[1,3]上服从均匀分布,记事件 }{}{a Y B a X A >=≤=,,且7 ()9 P A B = ,则常数 a = 5733 a =或。 3、某机构有一个9人组成的顾问小组,如每个顾问提出正确意见的概率是7.0,现在该机构对某事可行与否征求各位顾问的意见, 并按多数人意见做出决策,做出正确决策的概率= (写出计算表达式)9 9950.70.3k k k k C -=??∑ 4、设(0,1)X U :,则2ln Y X =-的概率密度为 21, 0()2 00 y Y e y f y y -?>?=??≤? 5、如果存在常数)0(,≠a b a , 使()1P Y aX b =+=,且 +∞< 22 1 1(1)~(4)n i i n X χ=-∑ 8、设∧ θ是θ的无偏估计,()0D θ∧ >,则比较大小2 ()E θ∧ > 2 θ 二、(10分)对有100名学生的班级考勤情况进行评估,从课堂上随机点了10位同学的名字,如果班上学生的缺勤人数从0到2是等可能的,并且已知该班考核为全勤,计算该班实际上确实全勤的概率。 解 设i A 表示实际缺勤人数0,1,2i =,所以1 ()3 i P A = 设B 表示点名为全勤(优秀)1010010100 ()i i C P B A C -=,0,1,2i = 0002 ()() 110 ()0.369298 ()() i i i P A P B A P A B P A P B A == = =∑ 三、(12分)设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为: ()201,02 ,3 xy x x y f x y ?+ <<<=???其它 , 试求:(1)()()X Y f x f y 与;(2)X Y 与是否独立?(3)求()1<+Y X P 解 (1) 222 0201 ()2() 330 X xy x x dy x x f x ?<<+=+?=????其它 120110()() 3360 Y xy y x dx y f y ?<<2 +=+?=????其它 (2)因()()(,),X Y f x f y f x y ≠,X Y 故与不独立. 《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案: 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票,则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案:D 2、如果,A B 为任意事件,下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容,则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立,则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容,则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案:B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?,则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案:A 4、设,ξη相互独立,并服从区间[0,1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0,2]上的均匀分布, B 、ζξη=-服从[- 1,1]上的均匀分布, C 、{,}Max ζξη=服从[0,1]上的均匀分布, D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案:D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案:B 6、设1ξ,2ξ都服从区间[0,2]上的均匀分布,则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案:B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=,则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案:D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本,其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ,则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案:A 9、在参数的区间估计中,给定了置信度,则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定; B 、将由有关随机变量的分布唯一确定; C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取; D 、可以任意规定。 答案:C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β,则必有( )。 浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 ( A ) (2009 ~ 2010 第 一 学 期) 2010-1-14 任课教师 学院: 班级: 上课时间:星期 ____,_____节 学号: 姓名: 一、选择题(每题 2 分 , 共 10 分) 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 ( ) ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 ( ) 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 ( ) (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 ( ) (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 ( ) (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题(每空 3 分 , 共 30 分) 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ). 第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解:由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本,求P X : 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1),故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X : 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值,S 为样 本方差,问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2), 2 ~ 2(1)。 1 —n 7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立,从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本,它们的样本方差分别为S2,M,求P(S2 4S ; 0)。 解: S2 P(S24S2 0) P(S24S;) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1),又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01 已知二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 ,; ,, 010104),(y x xy y x f 则X 与Y 相互独立 【解:由二维连续型随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ?? ?<<<<=其他。 , ; ,, 010104),(y x xy y x f 可得两个边缘密度函数分别为: ?? ?<<==?∞+∞ -其他。, ; , 0102),()(x x dy y x f x f X ?? ?<<==? ∞ +∞ -其他。 , ; , 0102),()(y y dx y x f y f Y 从而可得)()(),(y f x f y x f Y X ?=,所以X 与Y 相互独立。 ■12、设二维随机变量(X , Y ) ~4,01,01 (,)0,xy x y f x y <<<=?? 其它,求 (1) X 的边缘密度函数()X f x ; (2)概率()P Y X ≥; ■13、某供电站供应该地区1000户居民的用电,各户用电相对独立,已知每户日用电量(单位:度)服从[6,12]上的均匀分布,求这1000户居民日用电量超过9100度的概率。 ■14、在次品率为0.3的一大批产品中任取400件,利用中心极限定理计算取得的400件产品中次品数在110与125之间的概率。 ■15、一大批种子的良种率为0.9,从中任取500粒,求良种数超过460粒的概率。 ■12、【解:(1)当01x ≤≤时,1 ()(,)42,X f x f x y dy xydy x +∞ -∞ = ==? ? 故2,01 ()0,X x x f x others ≤≤?=? ? 当01y ≤≤时,1 ()(,)42,Y f y f x y dx xydx y +∞ -∞ = ==? ? 故2,01 ()0,Y y y f y others ≤≤?=?? (2)因为(,)()()X Y f x y f x f y = 故X 与Y 是相互独立 (3)2 1 1 000()440.52 x x P X Y dx xydy x dx >===??? ()1()0.5P Y X P X Y ≥=->=】 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1.事件的关系 2.运算规则(1)(2)(3)(4) 3.概率满足的三条公理及性质:(1)(2)(3)对互不相容的事件,有(可以取)(4)(5) (6),若,则,(7)(8) 4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.几何概率 6.条件概率(1)定义:若,则(2)乘法公式:若为完备事件组,,则有(3)全概率公式: (4) Bayes公式: 7.事件的独立 性:独立(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分 布 1.离散随机变量:取有限或可列个值,满足(1),(2)(3)对 任意, 2.连续随机变量:具有概率密度函数,满足(1)(2); (3)对任意, 4.分布函数,具有以下性质(1);(2)单调非降;(3)右连续;(4),特别;(5)对离散随机变量,; (6)为连续函数,且在连续点上, 5.正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数,则有(1);(2);(3) 若,则;(4)以记标准正态分布的上侧分位 数,则 6.随机变量的函数(1)离散时,求的值,将相同的概率相加;(2)连续,在的取值范围内严格单调,且有一阶连续导 数,,若不单调,先求分布函数,再求导。第三章随机向量 1.二维离散随机向量,联合分布列,边缘分布,有(1);(2 (3), 2.二维连续随机向量,联合密度,边缘密度,有 (1);(2)(4)(3);,3.二维均匀分布,其中为的面积 4.二维正态分布 且; 5.二维随机向量的分布函数有(1)关于单调非降;(2)关 于右连续;(3);(4),,;(5);(6)对 二维连续随机向量, 6.随机变量的独立性独立(1) 离散时独立(2)连续时独立(3)二维正态分布独立,且 7.随机变量的函数分布(1)和的分布的密度(2)最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1.期望 (1) 离散时 (2) 连续 时, ;,; (3) 二维时, (4); (5);(6);(7)独立时, 2.方差(1)方差,标准差(2); (3);(4)独立时, 3.协方差 (1);;;(2)(3);(4)时, 称不相关,独立不相关,反之不成立,但正态时等价;(5) 4.相关系数;有, 5.阶原点矩,阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1.Chebyshev不等式 2.大数定律 3.中心极限定理(1)设随机变量独立同分布, 或,或 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次,观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是:S= ; (2) 一枚硬币连丢3次,观察出现正面的次数. 样本空间是:S= ; 2.(1) 丢一颗骰子. A :出现奇数点,则A= ;B :数点大于2,则B= . (2) 一枚硬币连丢2次, A :第一次出现正面,则A= ; B :两次出现同一面,则= ; C :至少有一次出现正面,则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: (1)A 、B 、C 都不发生表示为: .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为: . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为: .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为: . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为: .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为: . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S :则 (1)=?B A ,(2)=AB ,(3)=B A , (4)B A ?= ,(5)B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ,则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1.丢甲、乙两颗均匀的骰子,已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签,其中2个“中”,第一人随机地抽一个签,不放回,第二人再随机地抽一个 签,说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球,第二盒中有5个红球5个白球,随机地取一盒,从中 随机地取一个球,求取到红球的概率。 一.填空题(每空题2分,共计60分) 1、A 、B 是两个随机事件,已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ,则=)B A (p 0.6 , =)B -A (p 0.1 ,)(B A P ?= 0.4 , =)B A (p 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2只,则第一次、 第二次取红色球的概率为: 1/3 。(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 9/25 。(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 21/55 。 3、设随机变量X 服从B (2,0.5)的二项分布,则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现从由甲厂、 乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。 (1)抽到次品的概率为: 0.12 。 (2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为: 0.5 . 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右,则=a 0.1, =)(X E 0.4, Y X 与的协方差为: - 0.2 , 2Y X Z +=的分布律为: 6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.815 , (~,12N Y X Y 则+= 5 , 16 )。 7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则: =-)2(Y X E - 4 ,=-)2(Y X D 6 。 8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ,)(,)(,则=+)(Y X D 30 9、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本,X 为样本均值,2S 为样本方差。则:~X N (8 , 8/13 ), ~16252 S )25(2χ, ~5 2/8s X - )25(t 。 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ). 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本,求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解:由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值,2 S 为样 本方差,问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布? 解: 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ, ~(0,1)N ,故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立,从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本,它们的样本方差分别为22 12,S S ,求2212(40)P S S ->。 解: 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --,又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=概率统计练习题答案
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