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巧用函数轻松实现合理分班

巧用函数轻松实现合理分班
巧用函数轻松实现合理分班

班级授课制下,为学生分班是学校的常规工作。有时是为新生分班,有时是为特殊需要分班。无论如何分班,分班一定要科学合理,既要充分满足学生公平受教育的权利,又要充分满足教师公平竞争的权利;既要有利于学生的近期发展,更要有利于学生的后续发展。

分班标准因学段和学校的不同而不同,但班与班之间力求保持一种平衡。目前,小学新生和中职学校各专业多按性别分班,普通中学多按升学科目总分和学生性别分班。按性别均分有利于班级内部和谐与外部平等竞争;按成绩分班有利于对教师合理考核,调动教师的工作积极性。

如果生多班多,分班的工作量是很大的,需要借助电脑分班。特别是中学,涉及两维标准,分班是令人头痛的。如果能借用函数,实现起来会更容易。下面就以200人分为4个班为例,介绍如何利用WPS表格的内置函数按照总分和性别二维标准,既轻松又科学地分班。

1.分配学生

1.1准备数据

启动WPS表格,按图1制好表格表头。

图1 新生名单表头

将包含姓名、性别和学科成绩的数据录入或复制、粘贴到表中。要得到总分,先拖选C3:J202区域,再单击工具栏上的求和按钮“”。

拖选A2:J202区域,执行“数据→排序”命令,在打开的对话框中的“主要关键字”下拉列表“”中选择“总分”,在其右侧选择“降序”,在“次要关键字”下拉列表中选择“性别”,在其右侧选择“升序”,单击“确定”,完成排序。参见图2。

图2 排序设置

分别在G3、G4单元格中输入“1”“2”,拖选这两个单元格,鼠标放在此区域右下角,会出现一个小“十”字时,拖动鼠标至G202,松开鼠标,则序号被自动填充。此时的序号与名次基本一致,只有少数学生是同分数不同名次,如F4、F5单元格。

1.2轮次方式

采用首尾相接封闭式循环方式划分学生。首先看男生,男生前16名学生分别到1、2、3、4、4、1、2、3、3、4、1、2、2、3、4、1各班。我们试着来分析一下。因为是分成4个班,第一次小分配时,男生第1至4名学生分别到1、2、3、4各班。由于这次分配最“吃亏”的是4班,其次是3班,再次是2班,所以接下来的3次小分配享有优先权的依次为4班、3班、2班,即第5至8名学生分别到4、1、2、3各班,第9至12名学生分别到3、4、1、2各班,第13至16名学生分别到2、3、4、1各班。这样,4次小分配就组成了1次首尾相接封闭式循环。女生的分配方式与男生完全相同,但循环方向相反,即为“4、3、2、1、1、4、3、2、2、1、4、3、3、2、1、4”。如果说在分配男生时,对某些班不利,而在分配女生时,就恰好作了天衣无缝的弥补。这样,各班不仅学生成绩比较均衡,而且男女生搭配也很合理。

1.3输入公式

H3=MOD(MOD((ROW()-ROW($A$3)),4)-INT((ROW()-ROW($A$3))/4),4)+1。I3=4-MOD(MOD((ROW()-ROW($A$3)),4)-INT((ROW()-ROW($A$3))/4),4)。

J3=IF(B3="男",VLOOKUP(COUNTIF($B$3:B3,"男"),G:I,2),VLOOKUP(COUNTIF($B$3:B3,"女"),G:I,3))。

在H3单元格的公式中,“ROW()”表示活动单元格的行号。“ROW($A$3)),4)”表示数据区域第1行即A3单元格所在的那一行的行号。“MOD((ROW()-ROW($A$3)),4)”表示用活动单元格的行号减去3的差除以“4”个班的余数。INT函数表示对一个值去尾取整。整个公式用来确定第几班作为循环分生的起点。如果把公式中的“4”换成“n”,就是一个通用公式。

在G3单元格的公式中,IF函数是一个表示逻辑检测的函数;VLOOKUP函数用于在数据表的首列查找指定的数值,并由此返回数据表当前行中指定列处的数值,COUNTIF是对指定条件计数。公式意思是,如果B3单元格是“男”性,则按照“男”性数量在H至J区域中搜索第“2”列,即H列中代表班序的数值,否则就按照“女”性数量在H至J区域中搜索第“3”列,即I列中代表班序的数值。

1.4填充公式

拖选H3:J3区域,鼠标放在此区域右下角,会出现一个小“十”字时,拖动鼠标

至J202,松开鼠标,则公式被自动填充至H4:J202区域。

1.5数据微调

由于是4个班,所以一次封闭式循环就是42人,即16名学生。尽管男、女生总数是班数“4”的整倍数,但男生或女生数不一定是16的整倍数,所以,按上述方式分班后,各班人数可能会不相等。另外,可能还存在着学科不均衡、纪律后进生集中、学生智能偏向趋同等一些偏颇和需要,这些,可以视情况决定是否微调。下面以调整学科成绩为例来说明微调过程。

复制A2:J202区域数据,将鼠标放在另一表中的A1单元格,执行“编辑→选择性粘贴→数值”命令。紧接着以“分班”为“主要关键字”对数据排序。然后执行“数据→分类汇总”命令,在打开的对话框中的“分类字段”的下拉列表中选择“分班”,在“汇兑方式”的下拉列表中选择“平均值”,在“选定汇总项”中选择“语文”“数学”“英语”“总分”。参见图3。

图3 设置分类汇总

如此操作后,工作表左上角位置会出现“123”字样,单击“2”,会出现各班及年级的平均分。参见图4。

图4 分类汇总结果

观察本例各班“总分”的平均分,发现2班的成绩劣于4班。如此周密地分班,为什么还会出现这种情况呢?只要按“分班”“计数”“分班”的方式重新进行分类汇总,就会发现2班、4班分别是51人,49。原来,在按轮次分班时,“尾子”学生在2班多“轮”了1次。另外,1班与2班相比,语文、数学强而英语弱

发现这些问题后,再回到第一次分类汇总界面,单击工作表左上角的“3”,展开各班数据,在表中进行增、减行操作,一番剪切、粘贴,将学生作适当调整。

2.张榜公示

调好数据后,作一些格式上的处理,将分班名单张榜公示,接受学生、家长、教师和社会和监督,增加分班的透明度。学生在不知教师的情况下,一般不会有大的情绪。

3.调配教师

“择校热”“择班热”的实质是“择师热”。分班结束后,学校应按照教师的教学能力、经验、业绩、年龄、健康、性格等情况,合理均匀地进行师资力量搭配,班主任抽签决定班次。

纵观整个分配过程,函数设置科学,公平公正,操作灵便,能轻松实现合理分班的初衷。当然,不用函数公式,也能达到目的,只是操作更繁杂。方法是:先将学生按性别和总分排序,再分别按首尾相接封闭式循环方式轮次。

青岛版小学信息技术五年级下册《巧用函数效率高》教案及反思

青岛版小学信息技术五年级下册《巧用函数 效率高》教案及反思 (1)了解常用函数的含义。 (2)掌握常用函数的使用方法。 (3)掌握利用数学函数进行数据统计的能力。 (4)培养学生自主探索的能力。 (1)重点:常用函数的使用。 (2)难点:自动填充。 电子教室程序、网络硬件与软件、板书内容的贴纸。 有些数据是有一定规律的,可以概括为数学中的常用函数,在Excel中可以用公式来表示这些函数,这节课就让我们来学习一下函数的使用吧! 1、求和函数SUM ①启动Excel,打开“五年级运动会成绩统计表”工作薄。 ②选定五一班总成绩所在单元格G3。 ③单击编辑栏,在编辑栏中输入“=SUM”,敲回车键。结果会自动填入G3。 ④继续完成其他的成绩统计。 知识点:在Excel中有一种自动填充功能,就是将鼠标指到选定单元格右下角的黑方块上,光标会变成黑十字形状,然后按住鼠标左键,向下拖动到需要的单元格,被选中

的单元格的内容就变成相应的公式。 2.平均值函数AVERAGE ①单击要填入平均分的单元格B10,单击工具栏上的“粘贴函数”按钮,打开“粘贴函数”对话框。 ②在“粘贴函数”对话框“函数分类”列表框中选择“常用函数”,在“函数名”列表框中选择平均值函数AVERAGE,单击“确定”按钮。 ③在函数编辑栏中单击“AVERAGE”栏“Number1”输入框的“拾取”按钮。 ④在工作表中选择要求平均值的单元格G3、G4、G5、G6、G7、G8、G9。 ⑤单击输入框中右侧的“返回”按钮,回到刚才的对话框,单击“确定”按钮就可以了。 知识点:①如果求平均值的单元格不连续,也可以用Ctrl键来配合鼠标进行选取。 ②在Excel中还有一个很特殊的函数应用方法,那就是先选定数据区域,然后在状态栏右击鼠标,就会出现相应的计算函数,选择具体的函数后会在状态栏出现计算结果。 3.最大值函数MAX 教师演示操作要领 学生上级实践操作 讨论交流出现的问题

二次函数解决实际问题归纳.doc

二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤: 1、基本思路:理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性; 2、基本步骤:审题一建模(建立二次两数模型)一解模(求解)一回答(用生活语言回答,即问什么答什么)。 二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题 解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点:①设未知数在“当某某为何值时,什么最大(最小、最省)”的设问中,“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 (1)利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量,设未知数时,总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况:①自变量x是所涨价多少或降价多少;②自变量x是最终销售价格。 例:商场销售M型服装时,标价75元/件,按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动,每件在8折的基础上再降价x元,已知每天销售数量y (件)与降价x (元)之间的函数关系式为y=20+4x(x > 0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 (2)利用二次函数解决面积最值 例:已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点(不与正方形顶点重合),且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时,五边形EBCFP面积最小,最小面积多少? 2、用二次函数解抛物线形问题

常见情形具体方法 抛物线形 建筑物问 题 几种常见的抛物线形建筑物有拱 形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形 门窗等 (1)建立适当的平面直角坐标系,将抛物线形状的 图形放到坐标系之中; (2)从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条 件; (3)利用待定系数法求出抛物线的表达式; (4)运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线 (轨迹)问 题 运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行 轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记(1)解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型,将实际问题转化为数学问题,其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式; (2)把哪一点当作原点建立坐标系,将会直接关系到解题的难易程度或是否可解; (3)一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系,这样得出的二次函数的表 达式最为简单。 巧记实际问题要解决,正确建模是关键;根据题意的函数,提取配方定顶点;抛物线有对称轴,增减特性可看图;线轴交点是顶点,顶点纵标最值出。 练习 1:某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在 图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么? 2:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x 元(X为正整数),每个月的销售利润为y元. (1)求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围吋,每个月的利润不低于2200元? 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。(1)试求a的值; (2)公司在试销过程中进行了市场调查,发现试销量y (件)与每件售价x (元)满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W(元),求每天销售利润W(元)与每件售价x (元)之间的函数关系式;当每件售价为多少时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?

构造函数法解不等式问题(学生版)

专题2.3构造函数法解不等式问题(小题) 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握,导数是函数单调性的延伸,如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ,则单调性就变的相当隐晦了,另外在导数中的抽象函数不等式问题中,我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性,而是包含()f x 的一个新函数的单调性,因此构造函数变的相当重要,另外题目中若给出的是'()f x 的形式,则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数,因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ,因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如:'()0f x >,则我们知道原函数()f x 是单调递增的,若'()10f x +>,我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的,因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程,只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数,那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候,但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可,例如()g x 的原函数是不能准确的找到的,但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ,则也能大致将那个函数看成是原函数,例如'()()g x m x x =,或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式,我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结: 关系式为“加”型: (1)'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+(2)'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+(3)'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+(注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型

巧用EXCEL函数解决财务报表中的复杂问题

财会探析 巧用 E X C E L 函数 解决财务报表中的复杂问题 董亚娣中国兵器工业第二O 五研究所 付,其中繁锁复杂的工作,往往要浪费很多的时间和劳动力, 使得会计人员整天埋头于简单重复的劳动之中。大家都知道 EXCEL 处理数据计算简捷快速,灵活方便,有着得天独厚的优 势,但假如我们能够再灵活运用其中的函数就可以大大减轻报 表的工作量,提高工作效率。以下就我工作中的一些体会,讲 出来与大家共同学习和探讨。 一、利用 L O O KUP()函数实现查询筛选功能 以我们单位的材料出库报表为例,以前是材料会计每月月底 根据当月出库单统计好每个部门及项目出库材料的金额,然后 根据其每个项目的项目代号查找相对应的科目代码,以便于生 成会计凭证。由于每个月材料的出库量特别大,并且涉及的项 目又特别多,既有科研项目、又有产品生产项目,其中又包括 军品、民品等,仅就每月从科目代码表中查找每个项目代号所 对应科目代码的工作量就特别大,并且每个材料库、每个月都要 这样重复查找科目代码,长此以往,就浪费了材料会计大量的工 作时间。 这时我们就可以应用lookup()函数解决这个问题。我们可 以把科目代码库作为EXCEL 文档的一个工作表,用lookup()函 数实现表间查询及调用,即可达到在输入项目代号的同时,实现科 目代码的自动调用。该函数的基本形式是lookup(lookup_value, lookup_vector,result_vector)。其有三个基本参数,其中 Lookup_value为函数lookup所要查找的数值,它可以为数字、文 本、逻辑值或包含数值的名称或引用。Lookup_vector为函数所要 查找的范围,并且是只包含一行或一列的区域,其数值可以为文本、 数字或逻辑值,并且必须按升序排序,否则,函数不能返回正确的 结果,如果函数找不到lookup_value,则查找lookup_vector 中 小于或等于lookup_value 的最大数值。如果lookup_value 小于 lookup_vector 中的最小值,函数LOOKUP 返回错误值#N/A。 result_vector 为函数返回值所在的范围, 其范围大小必须与 lookup_vector 相同。在本例中,Lookup_value就是材料会计输入 的项目代号,lookup_vector为科目代码库中项目代号所在的范围, result_vector为科目代码库中科目代码所在的范围。应用这个函 数,使得我们的材料会计只要在EXCEL 表格中输入任一个项目代 号,其所对应的科目代码就自动出现在引用该函数的地方,这样就

导数运算中构造函数解决抽象函数问题

导数运算中构造函数解决抽象函数问题 【模型总结】 关系式为“加”型 (1)'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[ ]'f x xf x f x x x -= ! (3)'()()0xf x nf x -≥ 构造121 ()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论) 小结:1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典型例题: 例1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数,'()()()'()0f x g x f x g x +<,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集 变式:设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集. 例 2.已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-,若有穷数列*()()()f n n N g n ??∈???? 的前n 项和等于3132,则n 等于 . 变式:已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()() x f x a g x =,且'()()()'()f x g x f x g x <,

用二次函数解决问题优秀教案

用二次函数解决问题 【教学目标】 1.会运用二次函数的有关知识求实际问题中的最大值或最小值; 2.能根据具体问题中的数量关系,用相关的二次函数知识解决实际问题。【教学重点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 【教学难点】 如何根据实际情况把现实生活中的相关问题转化为二次函数问题。 【教学过程】 一、温习旧知: 二次函数图像与性质 二、示标导学:

三、反馈练习: 四、拓展练习 (2014年四川资阳,第22题9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y1(元/台)与采购数量x1(台)满足y1=﹣20x1+1500(0<x1≤20,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元/台)与采购数量x2(台)满足y2=﹣10x2+1300(0<x2≤20,x2为整数)。 (1)经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于 1200元,问该商家共有几种进货方案? (2)该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完。在(1)的条件下,问采购空调多少台时总利润最大?并求最大利润。 【作业布置】 1.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件。 (1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降低多少元时,商场平均每天盈利最多?

2. 3.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间。市场调查发现,若每箱以50元销售,平均每天可销售90箱;价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱。 (1)写出平均每天销售量y(箱)与每箱售价x(元)之间的函数表达式(注明范围); (2)求出商场平均每天销售这种年奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数表达式;(每箱利润=售价-进价) (3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标,并求出当x=40,70时W的值,在直角坐标系中画出函数图象的草图; (4)由函数图象可以看出,当牛奶售价为多少时,平均每天的利润最大?最大利润是多少? 4.(2014?武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x (1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表: 时间x(天)1≤x<5050≤x≤90 售价(元/件)x+4090

抽象函数问题的求解策略探究完整版

抽象函数问题的求解策 略探究 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

抽象函数问题的求解策略探究 湖南省黄爱民赵长春 函数是每年高考的热点,而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,以及对一般和特殊关系的认识。因此备受命题者的青睐,在近几年的高考试题中不断地出现。然而,由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性,大多数学生在解决这类问题时,感到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。 一、具体模型策略 例1.已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时f(x)的取值范围是。 解析:令f(x)=a x(0<a<1)易得0<f(x)<1。 评析:借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法,可以迅速得到正确答案。 二、类比联想策略 例2.已知f(x)是定义在实数集R上的函数,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(-2)=1 则f(2006)=() A B C D+ 2121

分析:由条件知,f(x+2)= 1()1() f x f x +-(*),又f(-1)=2 ,逐步推出f(2006),显然比较繁锁,若将(*)式与1tan tan()41tan x x x π++=-进行类比,则结构形式类似,而y=tanx 的周期为π=4×4 π .于是便产生一个念头:f(x)也有可能是周期函数,周期为4×2=8. 1() 11(2)11()(4)[(2)2],1()1(2)() 11()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ++ ++-+=++===-+ -+-- 1(8)[(4)4]()1() f x f x f x f x ∴+=++=-=- 于是猜想成立。 ∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8) =-(2)1f -=-从而应选B 。 评析:由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立,因而可以通过考察一些具 体函数,巧妙类比联想,以找到解题的突破口,最后利用具体函数的一些性质探索出抽象 函数的解题思路。 三、运用函数性质策略 例3.定义在R 上的单调函数()y f x =满足2(3)log 3f =,且对任意的x 、y R ∈都有 ()()()f x y f x f y +=+ (1)求证:()f x 为奇函数(2)若(3)(392)0x x x f k f +--<对任意x R ∈恒成立,求实数 k 的取值范围。 解:令0x y ==,代入()()()f x y f x f y +=+ 得:(0)2(0)f f = ∴(0)0f =

小学数学奥数精讲速算与巧算

在进行加减运算时,为了又快又准确,除了要熟练地掌握计算法则外,还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”,就是将算式中的数分成若干组,使每组的运算结构都是整十、整百、整千……的数,再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。 一、先讲加法的巧算,加法具有以下两个运算律: 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。即: a+b=b+a 其中,a,b各表示任意数字。例如,5+6=6+5 一般地,多个数相加,任意改变相加的顺序,其和不变。例如, a+b+c+d=d+b+c+a=… 其中,a,b,c,d各表示任意一数。 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数,或者,先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。即: a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

其中,a,b,c,各表示任意一数。例如: 4+9+7=(4+9)+7=4+(9+7) 一般地,多个数相加,可先对其中几个数相加,再与其他数相加。把加法交换律和加法结合律综合起来运用,就得到加法的一些巧算方法。 1、凑整法。 先把加在一起为整十、整百、整千……的加数加起来,然后再与其他的数相加。 例1:计算(1)23+54+18+47+82 (2)1350+49+68+51+32+1650 2、借数凑整法 有些题目直观上凑数不明显,这时可“借数”凑整。例如,计算976+85,可在85中借出24,即把85拆分成24+61,这样就可以先用976加上24,“凑”成1000,然后再加61。 例2:计算(1)57+64+238+46

(2)4993+3996+5997+848 二、减法和加减法混合运算的巧算。 加、减法有如下一些重要性质: 1、在连减或加、减混合运算中,如果算式中没有括号,那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如: a-b-c=a-c-b,a-b+c=a+c-b 2、在加、减法混合运算中,去括号时,如果括号前面是“+”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号不变,如果括号前面是“-”号,那么去掉括号后,括号内的数的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。例如: a+(b-c)=a+b-c a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c 3、在加、减法混合运算中,添括号时,如果添加的括号前面是“+”号,那么括号内的数原来的运算符号不变,如果添加的括号前面是“-”号,那么括号内的数的原来的运算符号“+”变为“-”,“-”变为“+”。例如:

教案小学五年级信息技术教案巧用函数效率高

五年级信息技术教学设计 课题:《巧用函数效率高》 执教:姚哥庄小学杜宾 一、教材分析: 本节课是第2单元《数据处理初步》的第4课,前面三课学习了EXCEL电子表格的基本概念、窗口组成,以及在工作表中的基本操作(数据输入、修改、选定操作区域、自动填充、编辑工作表、用公式计算等)。本节内容是对数据处理的简便操作,是用公式计算的进一步操作,是对前面三课内容的全面应用,又为以后的其它数据处理起到铺垫、引导作用,起着承前启后的重要作用。因此,使学生掌握本节课的知识技能和学习方法对以后的学习过程是非常重要的。 本课内容涉及到三个函数:求和函数、平均值函数、最大值函数;有三个知识点:函数的基本概念、单元格区域的选择、拾取按钮的应用。 平均值函数是本课重点,使用拾取按钮选择单元格区域的操作比较容易出错,是本节课的难点。 二、学情分析: 五年级年龄段学生已经有了一定的自学与合作探究能力,随着学习的领域拓展,学生对新的电脑应用充满求知欲,学习积极性一般都比较高涨,有强烈的求胜和探索精神,形成了自我初步的自学、阅读、思考习惯。通过前三课的学习,他们对电子表格的基本窗口操作已有了一定基础,认识到了电子表格可以解决日常学习生活中的许多数据处理问题,同学之间的交流合作与评价已渐渐成为自然行为,如果充分调动他们的求知、求胜欲望与合作积极性,相信每位学生都能掌握本节基本操作。 三、教学目标: 知识目标:理解EXCEL常用函数的意义。 技能目标:掌握常用函数的使用方法;掌握利用数学函数进行数据统计的能力。 情感目标:培养学生对数学知识合理利用的习惯、养成利用新知识解决生活问题、友好合作、勇于交流积极自主探索的习惯,培养学生合理支配金钱的好习惯。 四、教学重点与难点: 求平均值函数的应用是重点内容。 选择不同单元格区域是本节课难点。 五、教学策略: 采用“问题——探究”、“任务驱动”式教学,以老师置疑、提出任务为引导,学生主动探究合作学习为主线,全面展开教学活动,小组合作探究、解决问题为主要活动,教师点拨演示活动视内容难易不同适当进行。教师评价学生及时、恰当、中肯,避免泛泛而谈,充分调动学生学习的积极性。 根据本节课教学目标和学习内容,首先复习前面的知识,为本节课做好知识铺垫。采用“任务驱动”“自主探究”“小组合作”“适当演示”的教学方法。 教师适当运用多媒体教学系统演示、总结,引导学生理清本节课的知识点。

构造可导函数解抽象函数

大方向教育个性化辅导教案 教师: 徐琨 学生: 张杰 学科: 数学 时间: 课 题(课型) 教 学 目 标或考 点 分 析: 导数运算中构造函数解决抽象函数问题 教学重难点: 教学方法: 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练 【模型总结】 关系式为“加”型 (1)'()()0f x f x +≥ 构造[()]'['()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造[()]''()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥ 构造11[()]''()()['()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)'()()0f x f x -≥ 构造2()'()()'()()[]'()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)'()()0xf x f x -≥ 构造2()'()()[]'f x xf x f x x x -= (3)'()()0xf x nf x -≥ 构造121()'()()'()()[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论) 典型例题: 例 1.设()()f x g x 、是R 上的可导函数,'()()()'()0f x g x f x g x +<,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集 变式:设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数,当0x <时,'()()()'()0f x g x f x g x +>,(3)0g -=,求不等式()()0f x g x <的解集.

二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题,主要是解答题,也有少量的选择和填空题,常见问题有以几何为背景问题,以球类为背景问题,以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。 一. 以几何为背景问题 原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境,修建了环境幽雅的环城公园,为了给公园内的草评定期喷水,安装了一些自动旋转喷水器,如图所示,设喷水管AB 高出地面1.5m ,在B 处有一个自动旋转的喷水头,一瞬间喷出的水流呈抛物线状.喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角,水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ,水流的落地点为D .在建立如图所示的直角坐标系中: (1)求抛物线的函数解析式; (2)求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ? 【答案】(1)213222y x x =-++;(2)(2+m . 【解析】 试题分析:(1)把抛物线的问题放到直角坐标系中解决,是探究实际问题常用的方法,本题关键是解等腰直角三角形,求出抛物线顶点C (2,3.5)及B (0,1.5),设顶点式求解析式; (2)求AD ,实际上是求当y=0时点D 横坐标. 在如图所建立的直角坐标系中, 由题意知,B 点的坐标为(01.5),, 45CBE BEC ∠=∴,△为等腰直角三角形, 2BE ∴=, 点坐标为(23.5), (1)设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠,

则抛物线过点(01.5),顶点为(23.5), , 当0x =时, 1.5y c == 由22b a -=,得4b a =-, 由24 3.54ac b a -=,得2 616 3.54a a a -= 解之,得0a =(舍去),1422a b a =-∴=-=,. 所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++. 考点:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用 点评:此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.结合实际问题并从 中抽象出函数模型,试着用函数的知识解决实际问题,学会数形结合解答二次函数的相关题型. 原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中,某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园的BC x 边长为(m ),花园的面积为y (m ). (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)满足条件的花园面积能达到200 m 吗?若能,求出此时x 的值;若不能,说明理由; (3)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x 取何值时,花园的面积最大?最大面积为多少? 【答案】(1)x x y 202 12+- =)150(≤

奥数知识点 速算与巧算

速算与巧算 引导: 1、计算(凑十法)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、计算(凑整法)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 2+13+25+44+18+37+56+75 3、计算(用已知求未知)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 5+6+7+8+9+10 4、计算(改变运算顺序)10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 5、计算(带着“+”、“-”号搬家)1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 一、凑十法:利用个位数相加之和都等于10的技术 题1、计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 这种逐步相加的方法,好处是可以得到每一步的结果,但 缺点是麻烦、容易出错;而且一步出错,以后步步都错。若是 利用凑十法,就能克服这种缺点。 二、凑整法:同学们还知道,有些数相加之和是整十、整百的数,如: 巧用这些结果,可以使那些较大的数相加又快又准。像10、20、30、40、50、60、70、80、90、100等等这些整十、整百的数就是凑整的目标。 题2、计算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解:这是求1到19共10个单数之和,用凑整法做:

题3、计算 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解:这是求2到20共10个双数之和,用凑整法做: 题4、计算 2+13+25+44+18+37+56+75 解:用凑整法: 三、用已知求未知 利用已经获得较简单的知识来解决面临的更复杂的难题这是人们认识事物的一般过程,凑十法、凑整法的实质就是这个道理,可见把这种认识规律用于计算方面,可使计算更快更准。题5、计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解:由例2和例3,已经知道从1开始的前10个单数之和及从2开始的前10个双数之和,巧用这些结果计算这道题就容易了。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 =(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)+(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)=100+110(这步利用了例2和例3的结果)=210 题6、计算:5+6+7+8+9+10 解:可以利用前10个自然数之和等于55这一结果。 5+6+7+8+9+10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)-(1+2+3+4)=55-10=45 四、改变运算顺序 在只有加减运算的算式中,有时改变加、减的运算顺序可使计算显得十分巧妙! 题7、计算:10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解:改变一下运算顺序,先减后加,就使运算显得非常“漂亮”。 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5

九年级数学下册-利用二次函数解决抛物线形拱桥问题练习

利用二次函数解决抛物线形拱桥问题练习 知|识|目|标 1.通过对抛物线形的拱桥有关问题的分析,会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形拱桥的有关实际问题. 2.通过对抛物线形的隧道有关问题的分析,会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形隧道的有关实际问题. 目标一会利用二次函数解决拱桥问题 例1 教材问题3针对训练如图5-5-7,一座抛物线形拱桥架在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔顶部3 m时,水面宽AB为6 m. (1)以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系,求该抛物线相应的函数表达式; (2)连续几天的暴雨,使水位暴涨,测量知桥孔顶部到水面的距离为4 3 m,此时水面宽CD 为多少? 图5-5-7 【归纳总结】解决抛物线形拱桥问题的步骤 (1)建立合适的平面直角坐标系; (2)依据题意,求出函数表达式; (3)根据要求解决问题. 目标二会利用二次函数解决隧道问题 例2 教材补充例题如图5-5-8所示,一条内设双向道隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为8 m,宽AB为 2 m,以BC所在的直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,y轴是抛物线的对称轴,顶点E到坐标原点O的距离为6 m. (1)求抛物线相应的函数表达式; (2)一辆货运卡车高4 m,宽2.4 m,它能通过该隧道吗? 图5-5-8

【归纳总结】解决能否通过隧道问题的关键点 车辆通过隧道问题一般情况是以抛物线的对称轴为车辆的对称轴进行解答. (1)当已知宽度时,将宽度转化为相应的自变量代入到二次函数表达式中,求出高度(函数值).若求得的高度小于车辆的高度,则车辆不能通过;若求得的高度大于车辆的高度,则车辆能通过. (2)当已知高度时,可以将车辆的高度(函数值)代入到二次函数表达式中,求解一元二次方程,得到两个根,若两个根之间的差的绝对值大于车辆的宽度,则车辆能通过;若两个根之间的差的绝对值小于车辆的宽度,则车辆不能通过. 知识点一建立适当坐标系,用二次函数知识解决 抛物线形拱桥的实际问题 此类问题往往以桥拱最高点为坐标原点,以水平线为x轴,铅垂线为y轴,建立平面直角坐标系,然后根据题意确定坐标系内特殊点的坐标,从而确定二次函数表达式,再根据实际问题求出相应的二次函数中的问题,注意要检验结果. 知识点二建立适当坐标系,用二次函数知识解决 抛物线形建筑物中的实际问题 日常生活中常见的抛物线形建筑物,如抛物线形大门、抛物线形隧道、抛物线形大棚等.建立的坐标系不同,得出的二次函数表达式也不同,但实际求得的结果是一致的.应注意选择便于解决问题的坐标系. 你知道吗?平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线.如图5-5-9所示,甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手之间的距离为4 m,距地面均为1 m,学生丁、丙分别站在与甲拿绳的手水平距离为2.5 m,1 m处,绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶,已知学生丁的身高是1.625 m,求学生丙的身高. 图5-5-9 解:由抛物线的对称性可知,丙的身高与丁的身高相同,为1.625 m. 上述解答正确吗?若不正确,请说明理由,并写出正确的解答过程.

抽象函数的解题方法与技巧

抽象函数的解题方法与技巧 摘要:抽象函数是没有具体的解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发,考虑其定义,性质,加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法,换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词:抽象函数;性质;求值;解析式 ;解题方法;技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题,这类问题通过对函数性质结构的代数表述,能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对函数性质的代数推理和论证能力,考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则,没有明确的表示形式,因其抽象性和综合型,对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 (1)定义域:函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ,()[]x g f 而言,其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ,其中()x g 和()x h 的地位是等价的,故取值范围是一样的。 (2)值域:函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ,它们的值域是相同的。

二次函数在实际问题中的应用

孟老师12月23日初三学案 二次函数在实际问题中的应用 一抛物线形的物体 研究抛物线的问题,需要建立适当的平面直角坐标系,根据已知条件,求出相关点的坐标,确定解析式,这是解答其它问题的基础,. (2012?益阳)已知:如图,抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A(,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处. (1)求原抛物线的解析式; (2)学校举行班徽设计比赛,九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明 通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等 于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据:,,结果可保留根号) 2(2010?南充)如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内? (2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内? 二应用二次函数解决实际问题中的最值 求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法,常用的是后两种方法. 二次函数的性质在实际生活中的应用

专训1 用二次函数解决问题的四种类型

专训1用二次函数解决问题的四种类型名师点金:利用二次函数解决实际问题时,要注意数形结合,巧妙地运用二次函数解析式实行建模,从而达到应用二次函数的某些性质来解决问题的目的. 建立平面直角坐标系解决实际问题 题型1拱桥(隧道)问题 1.如图是某地区一条公路上隧道入口在平面直角坐标系中的示意图,点A和A1、点B 和B1分别关于y轴对称.隧道拱部分BCB1为一段抛物线,最高点C离路面AA1的距离为8 m,点B离路面AA1的距离为6 m,隧道宽AA1为16 m. (1)求隧道拱部分BCB1对应的函数解析式. (2)现有一大型货车,装载某大型设备后,宽为4 m,装载设备的顶部离路面均为7 m,问:它能否安全通过这个隧道?并说明理由. (第1题) 题型2建筑物问题 2.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线组成,为了牢固,每段防护栏需要间距0.4 m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点到底部距离为0.5 m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为() (第2题)

A.50 m B.100 m C.160 m D.200 m 题型3物体运动类问题 3.如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上的落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)处竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计). (1)如果竖直摆放5个圆柱形桶,网球能不能落入桶内? (2)当竖直摆放多少个圆柱形桶时,网球可以落入桶内? (第3题) 建立二次函数模型解决几何最值问题 题型1利用二次函数解决图形高度的最值问题 (第4题) 4.如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的高度为________米.

构造函数法解决导数不等式问题教学设计公开课

构造函数法解决导数不等式问题 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握,导数是函数单调性的延伸,如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ,则单调性就变的相当隐晦了,另外在导数中的抽象函数不等式问题中,我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性,而是包含()f x 的一个新函数的单调性,因此构造函数变的相当重要,另外题目中若给出的是'()f x 的形式,则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数,因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ,因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如:'()0f x >,则我们知道原函数()f x 是单调递增的,若'()10f x +>,我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的,因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程,只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数,那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候,但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可,例如()g x 的原函数是不能准确的找到的,但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ,则也能大致将那个函数看成是原函数,例如'()()g x m x x = ,或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式,我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。 构造函数模型总结: 关系式为“加”型: (1)'()()0f x f x +≥ 构造''[()][()()]x x e f x e f x f x =+ (2)'()()0xf x f x +≥ 构造''[()]()()xf x xf x f x =+ (3)'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()]n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+ (注意对x 的符号进行讨论) 关系式为“减”型 (1)' ()()0f x f x -≥ 构造'''2()()()()()[]()x x x x x f x f x e f x e f x f x e e e --== (2)' ()()0xf x f x -≥ 构造''2()()()[]f x xf x f x x x -= (3)' ()()0xf x nf x -≥构造'1''21()()()()()[]()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--== (注意对x 的符号进行讨论)

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