2020年中考数学复习冲刺小卷10 尺规作图1

10 尺规作图

一、选择题:

1．（2019·江苏初三期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，

交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于1

2

MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若

点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为

A．a=b B．2a+b=–1 C．2a–b=1 D．2a+b=1

【答案】B

【解析】根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，

则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，

∴2a+b=–1．故选B．

2．（2019·江苏初三期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．

故选C．

3．（2019·江苏初三学业考试）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图:①分别以B，C为圆心，以大

于1

2

BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接C D．若

CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为

A．90°B．95°C．100°D．105°

【答案】D

【解析】根据作图过程，可知MN是线段BC的垂直平分线，

∴BD=CD，

∴∠B=∠DCB，

∵CD=AC，∠A=50°，

∴∠A=∠CDA=50°，

∴∠ACD=80°，∠CDB=130°，

∵在△BCD中，BD=CD，∠CDB=130°，

∴∠B=∠DCB=25°，

∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=105°.

故答案为D.

4．（2019·江苏中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是

A．（1，0）B．（–1，2）C．（0，0）D．（–1，1）

【答案】B

【解析】作线段AB，线段CD，作线段AB的垂直平分线MN，线段CD的垂直平分线EF，直线MN 交直线EF于点K，点K即为旋转中心．

观察图象可知旋转中心()K 1,2-， 故选B ．

二、填空题：

5．（2019·江苏中考模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；再分别以M ，N 为圆心，以大于

1

2

MN 的长为半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交BC 于点D ，若CD =2，BD =2.5，P 为AB 上一动点，则PD 的最小值为_____．

【答案】2

【解析】由作法得AD 平分∠BAC ， ∴点D 到AB 的距离等于DC =2， ∴PD 的最小值为2． 故答案为2．

【点睛】本题考查了作图–基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的性质和垂线段最短．

三、解答题：

6．（2019·江苏初三期中）如图⊙O 是△ABC 的外接圆，AB =AC ，P 是⊙O 上一点，

（1）请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P 的平分线（用虚线画出图形印可，不需要写作法）

（2）结合图②，简要说明你这样画的理由．

【解析】（1）如图①，连接AP，即为所求角平分线；

如图②，连接AO并延长，与⊙O交于点D，连接PD，即为所求角平分线．

（2）∵AD是直径，

∴??

=，

ABD ACD

又∵AB=AC，

∴??

=，

AB AC

∴??

=，

BD CD

所以PD平分∠BPC．

7．（2019·无锡市玉祁初级中学初三期中）如图，已知△AB C.（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P到AB边和BC边的距离相等，且⊙P经过A，B两点（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）若∠B=60°，AB=6，求⊙P的半径．

【解析】（1）如图，⊙P为所作；

（2）∵点P到AB边和BC边的距离相等，∴OP平分∠ABC，

∴∠ABP=1

2

∠ABC=

1

2

×60°=30°，

∵PH垂直平分AB，

∴BH=1

2

AB=3，

在Rt△PBH中，PH 3

3，

∴PB=2PH3

即⊙P的半径为3．

【点睛】本题考查了作图–复杂变换：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

8．（2019·江苏初三月考）实践：如图△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）

（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O.

（2）以O为圆心，OC为半径作圆.

综合运用：在你所作的图中，

（1）AB与⊙O的位置关系是_____.（直接写出答案）

（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径.

【解析】（1）①作∠BAC 的平分线，交BC 于点O ；

②以O 为圆心，OC 为半径作圆．AB 与⊙O 的位置关系是相切．

（2）相切； ∵AC =5，BC =12， ∴AD =5，AB =

=13，

∴DB =AB –AD =13–5=8，

设半径为x ，则OC =OD =x ，BO =（12–x ） x 2+82=（12–x ）2， 解得：x =．

答：⊙O 的半径为．

9．（2019·江苏初三月考）实践操作

如图，ABC ?是直角三角形，90ACB ∠=?，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中表明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）①作BAC ∠的平分线，交BC 于点O ；②以O 为圆心，OC 为半径作圆． 综合运用 在你所作的图中，

（2）AB 与⊙O 的位置关系是；（直接写出答案） （3）若5AC =，12BC =，求⊙O 的半径．

（4）在（3）的条件下，求以BC 为轴把△ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积． 【解析】（1）如图1所示；

（2）直线AB 与⊙O 相切，理由是： 如图1，作OE ⊥AB 于E ， ∵AO 平分∠BAC ， 而OE ⊥AB ，OC ⊥AC ， ∴OE =OC ，

∴AB 为⊙O 的切线； 故答案为：相切；

（3）设⊙O 的半径为r ，则OC =OE =r ，

在Rt △ABC 中，∵AC =5，BC =12，

∴AB=22

512

=13，∵S△AOB+S△AOC=S△ABC，

∴1

2

×13r+

1

2

×5r=

1

2

×5×12，解得r=

10

3

，

即⊙O的半径为10 3

.

（4）如图2，S侧=π?AC?AB=π×5×13=65π.

10．（2019·江苏中考模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的基础上，过点P画PE∥AC交BC边于E，联结EQ，则四边形APEQ是什么特殊四边形？证明你的结论．

【解析】（1）如图，射线BQ即为所求．

（2）结论：四边形APEQ是菱形．

理由：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠C=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵PE∥AC，

∴∠PEB=∠C，

∠BAP=∠BEP，

∵BP=BP，∠ABP=∠EBP，

∴△ABP≌△EBP（AAS），

∴PA=PE，

∵∠AQP=∠QBC+∠C，∠APQ=∠ABP+∠BAP，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ，

∴PE=AQ，

∵PE∥AQ，

∴四边形APEQ是平行四边形，

∵AP=AQ，

∴四边形APEQ是菱形．

【点睛】本题考查作图–复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

11．（2019·江苏省盐城市射阳县实验初级中学中考模拟）如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E．

（1）请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）然后证明当：AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG时，DE=BF．

【解析】（1）以B为圆心、适当长为半径画弧，交AB、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心、大

于1

2

MN长为半径画弧，两弧相交于点P，过B、P作射线BF交AC于F．

（2）证明如下：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C．∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠FBC，

又∵∠ABC=2∠ADG，∴∠D=∠FBC，

在△ADE与△CBF中，

DAC C AD BC

D FBC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

∴△ADE≌△CBF（ASA），

∴DE=BF．

12．（2019·江苏初三期中）如图，已知在△ABC中，∠A=90°．

⑴请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作

法和证明）；

（2）在（1）的条件下，若∠B=45°，AB=1，⊙P切BC于点D，求劣弧?AD的长．

【解析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于点P，以点P为圆心，AP为半径作圆

.

（2）如图，∵P与AB，BC两边都相切，

∴∠BAP=∠BDP=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠APD=360°?90°?90°?45°=135°，

∴∠DPC=45°，

∴△DPC是等腰直角三角形，

∴DP=DC，

在Rt△ABC中，AB=AC=1，

∴CB2，

∵BP=BP，AP=PD，

∴Rt △ABP ≌Rt △DBP ， ∴BD =AB =1，

∴CD =PD =AP =2?1， ∴劣弧AD 的长=

135(21)180

π-=323

4-.

【点睛】本题考查了切线的判定、圆的作图以及弧长的计算，首先掌握切线的判定方法：①无交点，作垂线段，证半径；②有交点，作半径，证垂直；本题利用了第①种判定方法；并熟练掌握弧长计算公式：l =

180

n r

π（弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 13．（2019·江苏初三期中）如图OA ，OB 是两条射线，点C ，D 分别在射线OA ，OB 上.

（1）求作⊙P ，使它与OA ，OB ，CD 都相切.（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，∠DOC =30°，求∠DPC 的度数.

【解析】（1）分别作∠CDB 和∠DCA 的角平分线，交于P 点，过P 作DB 边的垂线，以P 点到垂足间的距离为半径，以P 为圆心画圆.

（2）

∠DPC =180°－∠CDP －∠DCP

=180°－1

2

CDB

∠－

1

2

ACD

∠

=180°－1

2

（CDB

∠+ACD

∠）

=180°－1

2

（∠O+∠OCD＋∠O＋∠ODC）

=180°－1

2

（∠O+180°）

=90°－1

2

∠O

=75°.

【点睛】本题的解题关键是掌握三角形的内角和定理的应用以及角平分线的性质.

14．（2019·江阴初级中学初三月考）已知：△ABC中，∠C=90°．

（1）如图1，若AC=4，BC=3，DE⊥AC，且DE=DB，求AD的长；

（2）如图2，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F，使得点F到边AC的距离等于FB（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）．

【解析】（1）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5．∵DE⊥AC，∠C=90°，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

∴DE

BC

=

AD

AB

，即

5

3

AD

-

=

5

AD

，解得：AD=

25

8

，故AD的长为

25

8

．

（2）如图2所示，作∠B的平分线BG，交AC于G，作BG的垂直平分线MN，交AB于F，则点F 即为所求．

【点睛】本题主要考查了复杂作图以及相似三角形的判定与性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15．（2019·江苏初三期末）如图，△ABC中

（1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB 2＋PC 2=BC 2的所有点P 构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC 、BC 距离相等的点P ．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP ，若BC =15，AC =14，AB =13，求BP 的长． 【答案】（1）见解析；（2）BP =35 【解析】（1）如图：

垂直平分线得1分；画出圆O 得1分，角平分线得1分，确定点P 得1分．

（2）由（1）作图，设⊙O 与AC 的交点为H ，连接BH ，∴∠BHC =90° ∵BC =15，AC =14，AB =13

设AH =x ∴HC =14－x ∴22222

131514BH x x ＝－＝－(－）

解得：x =5∴AH =5∴BH =12.

连接OP ，由（1）作图知CP 平分∠BCA ∴∠PCA =∠BCP 又∵OP =OC ∴∠OPC =∠BCP ∴∠OPC =∠PCA ∴OP ∥CA ∴OP ⊥BH 与点Q ∴BQ =

12BH =6又BO =15

2

∴OQ =

9

2

∴PQ =3∴BP =35

【点睛】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形.

△的角平分线．

16．（2019·江苏中考真题）如图，AD是ABC

（1）作线段AD的垂直平分线EF，分别交AB、AC于点E、F；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法．）

（2）连接DE、DF，四边形AEDF是________形．（直接写出答案）

【答案】（1）见解析；（2）菱形.

【解析】（1）如图，直线EF即为所求作的垂直平分线．

△的角平分线，且EF是AD的垂直平分线，可知四边形AEDF的对角线互相（2）根据AD是ABC

垂直，因此为菱形.

17．（2020·江苏初三期中）如图，△ABC中，AB=A C．

（1）用无刻度的直尺和圆规作△ABC的外接圆；（保留画图痕迹）（2）若AB=10，BC=16，求△ABC的外接圆半径．

【解析】（1）如图所示即为△ABC的外接圆

（2）连接OB、OA，交BC于点D，

∵OB=OA，

∴AD⊥BC，

根据垂径定理，得

BD=DC=1

2

BC=8，∠ODB=90°，

在在Rt△ABD中，根据勾股定理，得

2222

1086 AD AB BD

--=在Rt△BOD中，根据勾股定理，得OB2=OD2+BD2，

即OB2=（OB–6）2+82

解得OB=25

3

．

答：△ABC的外接圆半径为25

3

．

【点睛】本题主要考查三角形外接圆，勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键. 18．（2019·江苏初三期中）（已有经验）

我们已经研究过作一个圆经过两个已知点，也研究过作一个圆与已知角的两条边都相切，尺规作图如图所示：

（迁移经验）

（1）如图①，已知点M和直线l，用两种不同的方法完成尺规作图：求作⊙O，使⊙O过M点，且与

直线l相切．（每种方法作出一个

．．圆即可，保留作图痕迹，不写作法）

（问题解决）

如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．

（2）已知⊙O经过点C，且与直线AB相切．若圆心O在△ABC的内部，则⊙O半径r的取值范围为．（3）点D是边AB上一点，BD=m，请直接写出边AC上使得∠BED为直角时点E的个数及相应的m 的取值范围．

【解析】（1）如图，

（2）如图：

此时圆O的半径最小，∵圆O与AB相切，

∴CD⊥AB，根据直角三角形的面积公式可得：

AC BC AB CD

=

··

根据勾股定理可得：22

AB=+=

6810

∴10CD=8×6

CD=4.8，即此时圆的半径r=2.4

如图，当圆心O在AC边上时，根据题意设OC=OD=x，则AO=8–x

∵∠ODA =∠BCA =90°，且∠A =∠A ∴△AOD ∽△ABC ∴

AO AB

OD BC =，8106

x x -=解得x =3 ∴2.43r ≤< （3）如图：

根据圆周角定理∠BED 为直角时，则以BD 为直径的圆与AC 交于点E ，当OE ⊥AC 时，此时有一个点E 符合条件，由题意可知：OE =12m ，AO =1

10-m 2

∵OE ∥BC

∴OE AO BC AB

=，11

1022610

m m -= 解得：m =7.5

当BD =AB 时，点E 与点C 重合，此时m =10 ∴7.510m m ==或时，有1个点E 符合题意

07.5m <<时，有0个点E 符合题意 7.510m <<时，有2个点E 符合题意.

【点睛】熟练掌握尺规作图方法，切线性质，及对于取值范围的临界点分析是本题的解题关键. 19．（2019·江苏中考模拟）已知ABC V ，

()1用无刻度的直尺和圆规作ABD V ，使ADB ACB.∠∠=且ABD V 的面积为ABC V 面积的一半，

只需要画出一个ABD V 即可(作图不必写作法，但要保留作图痕迹)

()2在ABC V 中，若ACB 45∠=o ，AB 4=，则ABC V 面积的最大值是______

【答案】（1）详见解析；（2）442

+

∠即为所求．

【解析】()1如图1所示，ABD

()2如图2所示，作以AB为弦，且AB所对圆心角为90o的O

e，

Q点轨迹为圆上不与AB重合的任一点，

C

∴当C在位置上时，高最长，

故面积最大，

Q，

AB4

=

AP BP OP 2∴===，

则OC OA 22==，

PC 222∴=+，

ABC ∴V 的面积为()

11

AB PC 422244222

??=??+=+，

故答案为442+．

【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键判断出点C 是以AB 为弦的圆上、圆的确定及线段的中垂线的尺规作图等知识点．

20．（2019·江苏初三期中）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°．

（1）利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作BC 的垂直平分线EF ，交AB 、BC ，分别于点E 、F ； ②在射线EF 上取一点D （异于点E ），使∠DBC =∠EBC ； ③连接CE 、CD 、B D ．

（2）判定四边形CEBD 的形状，并说明你的理由； （3）若AC =5，AB =12，求EF 的长．

【解析】（1）如图所示；

（2）四边形CEBD 是菱形， ∵EF 垂直平分BC ， ∴CD =BD ，CE =BE ，