2009年中国数学奥林匹克(CMO)

2009中国数学奥林匹克解答

一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．

（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?；

（2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论．

，

二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．

三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A 是一个正2n +1边形，

{}1221,,,+=n A A A P ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．

C

B

四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21 满足 1min 1=-≤<≤j i n

j i a a ．求∑=n

k k a 1

3

的最小值．

五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？

六、给定整数3≥n ，证明：存在n 个互不相同的正整数组成的集合S ，使得对S 的任意两个不同的非空子集A ，B ，数

A

x

A

x ∑∈ 与

B

x

B

x ∑∈

是互素的合数．（这里∑∈X

x x 与X 分别表示有限数集X 的所有元素之和及元素个数．）

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

2008中国数学奥林匹克解答

2008中国数学奥林匹克解答 第一天 1. 设锐角 △ABC 的三边长互不相等. O 为其外心, 点A '在线段AO 的延长线上, 使得 BA A CA A ''∠=∠. 过点A '分别作1A A AC '⊥, 2A A AB '⊥, 垂足分别为1A , 2A . 作A AH BC ⊥, 垂足为A H . 记△12A H A A 的外接圆半径为A R , 类似地可得B R , C R . 求证: 1112A B C R R R R ++=, 其中R 为△ABC 的外接圆半径.（熊斌提供） 证明 首先, 易知,,,A B O C '四点共圆. 事实上，作△BOC 的外接圆，设它与AO 相交于点P 不同于A '，则BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠，于是，△PA C '?△PA B '，可得A B A C ''=，故AB AC =，矛盾。 所以01802BCA BOA C ''∠=∠=-∠, 1A CA C '∠=∠. 22cos sin A H A AA A AA C AC AA '==∠=∠', 22 A A AH A AC B π '∠=∠=-∠. 所以△2A A AH ∽△A AC '. 同理, △1A A H A ∽△A BA '. 所以21,A A A H A ACA A H A ABA ''∠=∠∠=∠, 则 12212A A A A H A A H A A H A π∠=-∠-∠ 2ACA ABA π''=-∠-∠ 22A A A ππ?? =∠+-∠=-∠ ??? . 所以, 121212 2sin 2sin A A R R R A A A R A A A H A ∠==∠2sin 2sin R A R AA A AA ∠==''∠. 作AA ''⊥A C '，垂足为A ''，因为1ACA A CA C '''∠=∠=∠，所以A AA AH ''=，于是 ()02sin cos cos sin 90ABC A A S AH AH AA AA AA C A a A A '' '= === '∠∠∠-∠,

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

2009中国数学奥林匹克解答

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答 问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切 于点 B.设经过点M且与L平 行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直 线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

江苏2010年高考+(世上最难+最牛试卷)+数学

一、2010年江苏高考数学考卷解读 2010年高考已经落下帷幕，本次数学试题突出数学学科特点，考查基础与考查能力并重，有创新题、题目梯度明显，区分度较高。考生的评价集中为一个字“难”，许多题目看似简单，但要真正解决得分却很难。运算量很大，甚至部分同学的最后两题都没来得及看。接下来我们来具体分析试题。 1、基础题 试题第1题、第2题、第3题、第4题、第5题、第6题、第7题分别考查考纲中的集合的性质与集合的运算、复数的运算、古典概型、频率直方图的运用、函数的奇偶性、双曲线的标准方程与集合性质、算法流程图，基本集中在对A、B级要求的考查。难度与计算量均不大。大多数考生都应该能顺利解决。 第9题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离的计算，只要判断准确接下来的计算也不成问题。 第11题主要考查分段函数、函数的单调性以及不等式，难度虽不大，但分情况讨论对于部分函数基础较薄弱的考生稍有难度。 第15题主要考查向量，并与平时常用的解析法结合，在处理过程中需要稍加小心，容易出现计算上的失误。 第16题以四棱锥为模型，主要考查立体几何中线线、线面垂直以及多面体的体积，需要证明过程完整、理由充分，有部分考生虽然会做，但论证过程写的不够完善而导致失分。 总体看以上列举的考题考查的考点明确，难度与平时练习相当，

考生的失分会较少。 2、中档题 第8题、第10题、第12题主要考查导数的集合意义、数列的概念、三角函数的图像、不等式的解法与不等式的性质中比较容易的考点，只要平时的基本功扎实，解决这几个问题应该不难。重点在与考题与平时练习题的联系。 第17题测量电视塔的高度，本题的原型在苏教版数学必修5第11页第3题，它进行了改编，并添加了初中的相似三角形、解直角三角形这些知识的运用，在此基础上，考查了解斜三角形、基本不等式的运用。题目本身难度不大，但在这些知识点的融合中，有部分考生往往会失去方向，似乎有很多途径来解决问题，但要找到一个真正适合的方法不容易。 第19题主要考查等差数列的概念和通项公式与不等式的证明，本题主要是难下手，许多考生就在这一环节上缺少有效的突破，最终无功而返。 3、难题 第13题主要考查三角变换与运用解三角形知识进行三角运算，综合性较高，边、角、三角函数名称错综复杂，处理这类问题在运算、代换等运用方面需要恰当。否则导致运算量偏大，却得不到最后结果。第14题构造等腰梯形，求其周长的平方与面积的比值的最小值，将几何图形与函数模型相结合，具有高度的综合性，有想法，当深入解决问题时发现对于函数知识的要求相当高。

中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学 1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ． 解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010． 设1 1k k n p p α α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的 小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- ， 故1(21)(21)4021k αα++= ． 由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?，求证：PQ BC ⊥． 证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB ?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC． 由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆． 由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP ?=?，所以EB ED EC EA ?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB，所以E P B C ⊥． Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是

历届数学奥林匹克参赛名单

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。 我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。 2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名） 陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、 佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中） --------------------------------------------------------- 历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为： 年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数 1959 1 罗马尼亚罗马尼亚7 1960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克5 1961 3 匈牙利匈牙利 6 1962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利7 1963 5 波兰前苏联8 1964 6 前苏联前苏联9 1965 7 前东德前苏联8 1966 8 保加利亚前苏联9 1967 9 前南斯拉夫前苏联13 1968 10 前苏联前东德12 1969 11 罗马尼亚匈牙利14 1970 12 匈牙利匈牙利14 1971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利15 1972 14 波兰前苏联14 1973 15 前苏联前苏联16 1974 16 前东德前苏联18 1975 17 保加利亚匈牙利17 1976 18 澳大利亚前苏联19

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

全国小学数学奥林匹克竞赛试卷

全国小学数学奥林匹克竞赛试卷 考生注意：本试卷共12道题，每题10分，满分120分，前10道题为填空题，只写答案；最后两道题为解答题，必须写出解题过程，只写答案不得分。 1．计算： 151051284963642321251552012415931062531??+??+??+??+????+??+??+??+??＝( ) 2．有一个分数约成最简分数是115，约分前分子分母的和等于48，约分前的分数是（ ） 3．762001＋252001 的末两位数字是（ ） 4．甲、乙、丙、丁四人去买电视，甲带的钱是另外三人所带钱总数的一半，乙带的钱是另外三人所带钱总数的31，丙带的钱是另外三人所带钱总数的41，丁带了910元，四人所带的总钱数是（ ）元。 5．若2836，4582，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，那么除数与余数的和为（ ） 6．两人从甲地到乙地，同时出发，一人用匀速3小时走完全程，另一个用匀速4小时走完全程，经过（ ）小时，其中一人所剩路程的长是另一人所剩路程的长的2倍。 7．设A ＝6229，B ＝626160 293031 ，比较大小：A （ ）B 。 8．今有桃95个，分给甲、乙两班学生吃，甲班分到的桃有 92 是坏的，其它是好的；乙班分到的桃有16 3是坏的，其它是好的，甲、乙两班分到的好桃共有（ ）个。 9．如下图示：ABCD 是平行四边形，AD ＝8cm ，AB ＝10cm ，∠DAB ＝300，高CH ＝4cm1，弧BE 、DF 分别以AB 、CD 为 半径，弧DM 、BN 分别以AD 、CB 为半径，那么阴影部分的面积为（ ）平方厘米（取π＝3）。 10．假设某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3点18分时，时针和分针所形成的锐角是（ ）度。 11．已知AB 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 、K 代表十个互不相同的大于零的自然数，要使下列等式成立，A 最小是（ ）。 12．从A 市到B 市有一条笔直的公路，从A 到B 共有三 段，第一段的长是第三段的长的2倍，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行进，在第二段公路上速度提高了 125%，乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度前进时，在第二段上把速度提高了80%，甲、乙两汽车分别从A 、B 两市同时出发，相向而行，1小时20分钟后，甲汽车在走了第二段公路的处与从B 市而来 B C A D I F G E K ＋ ＝ ＋ E ＋ H H ＋ I H ＋ I · 3 6 5 4 2 1

2010IMO中国国家队练习题42题

2010IMO中国国家队培训42题 各位队员大家好，下面是我为挑选的一些问题，供各位在4月-6月自己练习用，请每位队员认真思考、琢磨。要求用A4纸写解答，每张纸上写上题号，每个没做过的问题都要求写出详细解答过程，以此锻炼自己的书写、表达能力。对做过的题目，如有好的解答(不必刻意去追求)也请写出。平均分配时间，在6月10日报到时上交，可以包含在80个作业题内。希望大家在这段时间内水平能再上一个台阶。 1．设凸四边形ABCD有一个内切圆,圆心为O,直线AC,BD交于点P;AB,CD交于点Q;AD,BC交于点R.证明:OP⊥QR. 2．设ΔABC、ΔPQR满足：A、P分别是QR、BC的中点,直线QR、BC分别是∠BAC、∠QPR的内角平分线.证明：AB+AC=PQ+PR. 3．以O1,O2,O3为圆心的三个圆有一个公共交点Q,它们两两相交所得的另外一个交点分别为A,B,C.证明:若A,B,C三点共线,则Q,O1,O2,O3四点共圆. 4．设ABCD为一个凸四边形,O为该四边形的对角线的交点.证明:若三角形OAB,OBC,OCD,ODA的内切圆半径相同,则四边形ABCD为菱形.

5．设P 为三角形ABC 所在平面上一点,一个过P 的圆Γ分别交三角形PBC,PCA, PAB 的外接圆于点A 1,B 1,C 1,直线PA 1,PB 1,PC 1分别交边BC,CA,AB 于点A 2,B 2, C 2,直线PA,PB,PC 分别交圆Γ于点A 3,B 3,C 3.证明: (1) 点A 2,B 2,C 2三点共线; (2) 直线A 1A 3,B 1B 3,C 1C 3三线共点. 6．圆内接四边形ABCD 的对角线AC=1,设AB,BC,CD,DA 的长分别为a,b,c,d.证明:数ad+bc 夹在c b 和b c 之间. 7．对每个正整数n,证明:存在唯一(在不相似的意义下)的三角形ABC,使得∠MBH=n ∠ABM=n ∠CBH,这里M,H 为BC 上的点,BM 为该三角形的一条中线,而BH 为高.并求三角形ABC 的各内角的大小(用n 表示). 8．设平行四边形ABCD 内有一点P ，ΔP AD 、ΔPBC 的外接圆还交于Q ，ΔP AB 、