计算方法及实现
浙江工业大学计算方法及实现期末论文
计算方法—牛顿迭代法
摘要
迭代法分为精确迭代和近似迭代，而在17世纪提出的牛顿迭代法即属于近似迭代，是一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法。其基本思路是经讲非线性函数f(x)线性化，从而将非线性方程f(x)=0近似的转化为线性方程求解。这里我们就来讨论下牛顿迭代发从演变到修正的过程，以及在学习和生活中的各种应用，充分的了解它的功能以及优缺点。
关键词：牛顿迭代算法；近似解；改进
Abstract
Iteration iteration is divided into precise and approximate iterative, and raised in the 17th century that are approximate Newton iteration iteration is an approximate method of solving equations, namely Newton Raphson iteration method. The basic idea is that by speaking nonlinear function f (x) linear, nonlinear equation thus f (x) = 0 approximated into linear equations. Here we come to discuss the next Newton iteration made from the process of evolution to fix, as well as learning and life in a variety of applications, a full understanding of its features and advantages and disadvantages.
Keywords : Newton iterative algorithm; approximate solution; improvement;
引言
牛顿拉夫森迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。众所周知，多数方程就不存在求根公式，所以要求精确的根可以说是根本不可能，那么怎么样才能寻找到合适的方法求出跟就显得很是重要，这时牛顿迭代法就依据其在方程f(x)=0的単根附近具有平方收敛，而且还可以用来求方程的重根、福根的优点成为了求解此类方程的重要的方法之一。除此之外，它还具有适用面广，收敛速度快等优点。
牛顿迭代法方法简单，每次都是简单的重复计算，也比较适合编程人员编程，并且它还可以用增加迭代的次数来弥补自称位数少的不足。在此基础上它对的初值还可以自己取，即使中间的结果有偶然误差也不会对最后的结果获得造成影响。
那什么是牛顿迭代算法呢？下面来讲一下有关于牛顿迭代的原理等一些相关知识。
（一）牛顿迭代法的基本原理
1．牛顿迭代法原理
设已知方程0)(=x f 的近似根0x ,则在0x 附近)(x f 可用一阶泰勒多项式
))((')()(000x x x f x f x p -+=近似代替.因此, 方程0)(=x f 可近似地表示为0)(=x p .
用1x 表示0)(=x p 的根,它与0)(=x f 的根差异不大文献[1].
设0)('0≠x f ,由于1x 满足,0))((')(0100=-+x x x f x f 解得
)
(')
(0001x f x f x x -
= 重复这一过程,得到迭代格式
)
(')
(1n n n n x f x f x x -
=+
这就是著名的牛顿迭代公式,它相应的不动点方程为
)
(')
()(x f x f x x g -
=. 2. 牛顿迭代法的几何解析
牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与
x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)
()('+-=
k k k k x x x f x f ，整理后
也能得出牛顿迭代公式：
)(')(1k k k k x f x f x x -
=+。
3．牛顿迭代法的收敛性
计算可得2
)]
('[)(")()('x f x f x f x g -=,设*
x 是0)(=x f 的单根,有0)(',0)(**≠=x f x f ,则
0)]('[)(")()('2
****
=-=x f x f x f x g ,
故在*x 附近,有1)(' 4．牛顿迭代法的收敛速度 定理(牛顿法收敛定理) 设)(x f 在区间],[b a 上有二阶连续导数,且满足 0)()( ,)("max ,)(min x f M x f m b x a b x a ≤≤≤≤== 有M m a b 2< -.则对任意],[0b a x ∈,牛顿迭代格式收敛于0)(=x f 在],[b a 中的唯一实根*x ,并且: (1) .12,2*02*<-=≤ -x x m M q q M m x x n n (2) .221*--≤ -n n n x x m M x x (3) )('2) (")(lim **2**1x f x f x x x x n n n =--+∞→,牛顿迭代法为2阶收敛. 5.迭代法的变形——弦截法 1 单点弦截法 为避免牛顿迭代法中导数的计算，文献[2、7、8]可用平均变化率：0 0) ()(x x x f x f n n -- 来近似代替)('n x f ，于是得到如下迭代公式： )()() ()()()()()(000 001x f x f x f x x f x x x x f x f x f x x n n n n n n n n --=--- =+ 称为单点弦截法。单点弦截法具有明显的几何意义， 它是用联结点A(0x ，0y )与点B(n x ，n y )的直线，代 替曲线求取与横轴交点作为近似值1+n x 的方法，以后再过(0x ，0y )与(1+n x ，1+n y )两点，作直线求取与横轴的交点作为2+n x ，等等。其中(0x ，0y )是一个固定点，称为不动点，另一点则不断更换，故名单点弦截法。可以证明，单点弦截法具有收敛的阶r ＝1，即具有线性收敛速度。 2 双点弦截法 若把单点弦截法中的不动点(0x ，0y )改为变动点(1-n x ，1-n y )，则得到下面的双点弦截法的迭代公式： )()() ()()()()()(111 111-----+--=---=n n n n n n n n n n n n n x f x f x f x x f x x x x f x f x f x x 用弦截法求根的近似值，在几何上相当于过点(1-k x ，)(1-k x f )，和点(k x ，)(k x f )作弦，然后用弦与x 轴的交点的横坐标1+k x 作为*x 的新的近似值。由于在双点弦截法 中，构造的迭代公式在计算新的近似值1+k x 时，不仅用到点k x 上的函数值)(k x f ，而且还用到点1-k x 及其函数值，这就有可能提高迭代法的收敛速度。 与牛顿法一样，如果函数)(x f y =在其根*x 附近具有直到二阶的连续导数，且0)('≠x f ，则弦截法具 有局部收敛性，即当初始近似值充分接近于*x 时，按双点弦截法迭代公式得到的迭代序列收敛于根 *x 。可以证明弦截法具有超线性收速度，且收敛阶数为P ＝1.618。双点弦截法迭代公式与前面介绍的单点迭代法有明显的不同，就是在计算1+n x 时要用到前两步的计算结果 n x 、1-n x ，所以在使用迭代公式前，必须先给出两个初始值0x 、1x ，因此，这种迭代法 也称两步法，而单点迭代法称为一步法。 （二）牛顿迭代的修正 随着算法的逐步发展以及人们对算法研究的更加的透彻，并且伴随着算法在人们生产、生活和学习各个领域的中运用范围的扩大，使得牛顿迭代法在演变中逐步的得到修正，使得其功能更加的完备，计算的结果更加的精细和准确，更好的为人们的生产和生活服务。 研究人员逐步利用牛顿迭代法和微分中值定理文献[3、4、5、7]“中值点”的渐进性，提出了多点迭代： ) () () 1((') (1n n n n n n x f x f r x f x f x x '--- =+ 一种修正的Newton Raphsn 算法 给出了牛顿(Newton-Rapfson)算法的一种修正的形式，并证明了当2 1 ≠r 时修正的牛顿(Newton-Rapfson)算法是二阶收敛的，当参数2 1 = r 时是三阶收敛时，数值实验得出结果，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿(Newton-Rapfson)算法具有一定的优势.众所周知的，数值求解非线性方程0)(=x f 的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本的方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根.牛顿法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法.文献［9］中利用Newton-Rapfson 迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出的一种多点迭代的算法 . 设)(x f 满足下述条件： []b a c x f ,)(2∈，0)()( 0)('≠x f ，)(''x f 在[]b a ,上保号。 （A) 根据微分中值定理，即存在),(b a ∈ξ，使得：)()()('ξf a b a f b f =--，而2 1 l i m =--→a b a a b ξ. 因此，当b 与a 的距离无限接近时有： )(21 a b a -+≈ξ.也就是说，在区间),(b a 不甚大的时候，中值点ξ一定在其渐近的位置 )(21 a b a -+≈ξ附近，并随区间变小而趋于其渐近的位置.图所示的迭代算法构造图本 方案基于上述考虑，给出一种通过迭代点而选取另一个点，利用两个点进行迭代求近似根的新方法.这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它的点，但其计算精度却相当的高，它的某一种特殊情形恰是通常的Newton-Rapfson 迭代算法.为了更加直观起见，我们通过几何直观图来构造这种迭代算法.设)(x f 满足条件(A)，当选定初值0x (仅要求0)()(''0>?x f x f )，如图所示，作交点的切线交x 轴于B ??? ? ??-0,)()(0'00x f x f x ， AQ 线段的斜率为： O A D C P y x 图2 ? ??? ? ?--? ??? ??--)()()()()(0'0000'000x f x f x x x f x f x f x f . 由微分中值定理得知，存在??? ? ??-∈00'00,)() (x x f x f x ξ使得： ? ??? ? ?--? ??? ??--)()()()()(0'0000'000x f x f x x x f x f x f x f )(0'x f =. 而???? ??-+- ≈)()(21)()(0'000'00x f x f x x f x f x ξ，因此，我们取数?? ? ??∈1,21r ，在点 ??? ? ? ????? ??----)()()1(,)() ()1(0' 000'00 x f x f r x f x f x f r x P 作切线PC ，图中AD 平行于PC.即用点P 的导数???? ? ?--)()()1(0'00'x f x f r x f 取代点A 的导数，而继续用点A 的迭代格式得到的点D 的坐标 ??????? ? ????? ??---0,)()()1()(0' 00'00x f x f r x f x f x D . 重复上述过程，得到多点迭代公式： ??? ? ??--- =+)()()1() (''1k k k k k k x f x f r x f x f x x . (1) 其中[]b a x k ,∈， ,2,1=k . 下面我们对上述事实，从理论上加以严格的证明. 定理 设)(x f 满足条件(A)，则由多点迭代公式(1)产生的序列{n x }必收敛于[]b a ,上的唯一a ，这里[]b a x n ,∈，0)(=a f . 证明: 函数)(x f 在[]b a ,上连续，由连续函数根的存在定理，从0)()( )(x f 在[]b a ,上的根存在，又由条件0)('≠x f 以及)(''x f 保号知道，)('x f 在[]b a ,上不变 号，故)(x f 在[]b a ,上是单调函数，因此)(x f 在[]b a ,上的根a 存在且唯一.由定理条件曲线)(x f y =可有如下四种不同的情况： (1)0)(b f ，0)(''>x f ，则)('x f 单调上升，0)()(''>b f a f ； (2)0)(b f ，0)(''>x f ，则)('x f 单调下降，0)()(''>b f a f ； (3)0)(>a f ，0)(x f ，则)('x f 单调上升，0)()(''>b f a f ； (4)0)(>a f ，0)(b f a f . 通过对自变量的变号或者对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我们只需对其情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了. 若初值[]b a x n ,∈，a x >0，所以0)(0>x f ，故有 00' 00'001)()()1() (x x f x f r x f x f x x ? ??--- = ??? ? ??--- =)()()1() (0'00 '001x f x f r x f x f x x ??? ? ??---- =???? ? ?---+- =)()()1() )(()()()1() )(()(0' 00' 0'00'00'0'0x f x f r x f a x f x x f x f r x f a x f a f x ξξ. 一方面，),(0x a ∈ξ，且)()(0'0a x f x f -=.下证???? ??--<)()()1()(0'00''x f x f r x f x f .若???? ? ?-->)()()1()(0'00''x f x f r x f x f ，由)(' x f 的单调性有：x ，ξ<--)()()1(0'00x f x f r x ，又因)()()()()1(0'000'00x f x f x x f x f r x ->--，因此就有)()()('0'00'ξf x f x f x f ?-，与Newton 迭代算法的收敛性矛盾. 由(一)的假设及???? ? ?--<)()()1()(0'00''x f x f r x f f ξ可得： a a x x x f x f r x f a x f x x =->??? ? ??---- =)()()()1())((000'00 '0'01ξ. 一般地，若a x n =，同样可以证明由式(1)得到1+n x 满足n n x x a <<+1.依极限理论的必有极限.对式(1)两边取极限，由极限理论可求得0)('=a f .再由0)('≠x f ，[]b a x n ,∈，可知函数方程0)(=x f 在[]b a ,上的根是唯一的，因此有a a ='. 当1=r 时，式(1)即为Newton-Rapfson 迭代公式. 下面这种是一种三阶收敛的牛顿迭代法的修正形式 ｛ )()()(2) (111+++''- ='-='n n n n n n n n x f x f x x x f x f x x （三）牛顿迭代的应用 1.牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率 随着市场规模的扩大和机构投资者的增多，加上市场格局的变化，国债在证券市场中的地位和作用逐渐提高，许多投资者逐渐把目光转向国债市场。国债实时收益率是反映市场利率变化和衡量国债投资价值的重要指标，但是许多投资者对附息国债的实时收益率计算却无从下手。本文将介绍利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率。 2.附息国债实时收益率的理论计算公式 附息国债实时收益率也就是附息国债的内含收益率(或内部收益率，IRR )，文献[6]内含收益率以下面的公式为基础计[]10 算: () () () () () b 1 2 1 1 11111w w w w n w n c c c c M P y y y y y +++-+-= + + ++ + +++++ . (5) 式中：y ：附息国债实时收益率(内含收益率)；w ：交易结算日至下一利息支付日的天数以上一利息支付日(LIPD)至下一利息支付日(NIPD)之间的天数，即： 365w = 交易结算日至下一利息支付日的天数 天（366天） . c:每次支付的利息额；n ：剩余的利息支付次数；b P ：交易结算日的市场价格(全价，即：净价+累积利息)。 3.收益率的实际计算方法 下面以696券(696券于1996年6月14日发行，10年期，票面年利率为11. 83%，附息国债)为例，介绍附息国债实时收益率的具体计算方法。设1997年6月14日之前的某一天购入696券的价格为0P ，每百元每年的实时收益率为x ，离第一次发放利息(1997年6月14日)的时间为t(年数)，则： 发行一年后的除权价：10(1)11.83t p p x =+- 发行二年后的除权价：21(1)11.83p p x =+- 发行九年后的除权价：98(1)11.83p p x =+- 最后一年的到期本息为：9100(1)11.83p x =+- 上面一共10个方程可决定10个未知数：0p ,1p , 2p , , 9p ，将以上10个方程整理，消去1p , 2p , , 9p 得到 () () () () () 0129911.83 11.83 11.83 11.83 100 11111t t t t t p x x x x x ++++= + + ++ + +++++ . 从以上例子可以看出，设距离兑付期为n 年(取整数)的附息国债到期本金为M ，每年票面利息为:，购入价格为0P 的国债的到期收益率为x ，那么： () () 0011n i t n t i c M p x x ++==+ ++∑ . 此方程式中已知购入价格0P ，每年票面利息为c ，到期本金M ，剩余年数取整为n(注:这里的n 和(5)式中的n 有区别),t 为当前交易日至下一附息日的天数除以上一次利息支付日至下次利息支付日的天数，即t 为当前日至下一个利息支付日的年数。 这是一个非线性代数方程，一般不能直接求解，只能采用逐次通近的迭代方法求解，即当知道解的某一初始近似值0x 后，从它开始逐步逼近所要求的解x ，我们选用牛顿迭代法解以上方程。 4.用牛顿迭代法计算 牛顿迭代法是迭代法的一种，是求解函数方程的一种有效方法，其基本特征是计算格式简单且收敛较快。文献[10] 给定方程f(x) =0。以及根ξ的初始近似值0x ，并假设函数f (x)在0x 的邻域内导数存在。设0x x ξ+?=是方程f(x) =0。的根，即()0()0f x x f ξ+?==成立，将其在0x 处按泰勒公式展开得： 2 ' 00''0()()02!() x f x xf x f x ?+?++= . 略去含2x ?及以后各项得近似等式：'00()()0f x xf x +?= 因而得x ?的近似表达式：0' 0() () f x x f x ?=- 以x ?作为初始近似根0x 的改正值得：0100' 0() () f x x x x x f x =+?=-- 重复应用以上做法可得： 1' () (0,1,2,)() n n n n f x x x n f x +=- = . 此即为牛顿迭代公式。 对于方程：() () 0011n i t n t i c M p x x ++==+ ++∑ ，设y=1+x ，整理得： 1200n t n n p y cy cy cy cy M c +--------= . 设：120()n t n n f y p y cy cy cy cy M c +-=------- 则：'1120()()(1)2n t n n f y n t p y ncy n cy cy c +---=+------ 应用牛顿迭代公式：1' () () n n n n f y y y f y +=- ，选取误差c w ，y 的初始近似值为0y ，有： 010'0() () f y y y f y =- . 若10c y y w -<，则停止迭代，取1y y ≈，否则继续迭代 121'1() () f y y y f y =- . 对于11'1()()n n n n f y y y f y ---=- ，如果1n n c y y w --≥则继续1' () () n n n n f y y y f y +=-，否则停止迭代，得到方程的根1n y y +≈，国债收益率1x y ≈-。 根据以上牛顿迭代公式编计算程序，可求得附息国债的实时收益率。 总结 迭代算法是一种用途非常广泛的方法，这里不仅很好的介绍和诠释了这个方法，而且还涉及了有关于牛顿迭代法的修正，以及还有向大家展示了牛顿迭代法的一种变形方法—弦截法。都是为了让大家更加的了解和运用也牛顿迭代法，最后还给出了用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率的思路。希望今后的生产和生活中大家可以灵活运用。 参考文献 [1]徐萃薇，孙绳武.计算方法引论（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007,37～39. [2]朱建新，李有法等.数值计算方法（第三版）高等教育出版社.2004,22～23. [3]陈新一．Newton 迭代法的一个改进【J 】．数学的实践与认识，2006，32(2)：291～294． [4] 张荣，薛圜民．修正的j 次收敛的牛顿迭代法【J 】．大学数学，2005，21(1)：80—82． [5]王晓峰.一种修正的牛顿迭代法[J]，2010，33（1）长春理工大学学报，178-179. [6]霍文文主编.债券投资技巧[M].上海:上海科技出版社，2001年8月版.33～39. [7]袁东锦 NUMERICAL ANALYSIS.东南大学出版社.2005,40～41. [8]HeJi-huan.Improvement of Newton interation menthod [J].InternationalJou rnal of Nonlinear Science and Numerical Simulation 20001(3):239-240. [9] 钱宝琮.中国数学史[M].北京：科学出版社，1992. [10]E.Hairer,S.P.N ￠rsett,G.Wanner.Solving Ordinary Different Equations Ⅰ(Nonstiff Problems).Second Edition.科学出版社.2006150～154. 回收率包括绝对回收率和相对回收率。 绝对回收率也称提取回收率，包括萃取回收率。提取回收率在最新的“化学药物临床药代动力学研究的技术指导原则"z中是这样定义的”从生物样品基质中回收得到分析物质的响应值除以标准品产生的响应值即为分析物的提取回收率。也可以说是将供试生物样品中分析物提取出来供分析的比例。”其具体做法是取标准品，以流动相（最好同样品进样溶剂）溶解，做一个5点的标准曲线，另取三个浓度的标准品，加入到空白生物基质中，处理后进样测定，每浓度5个样品，这样来计算绝对回收率。 相对回收率的做法和上面不同的是标准曲线也是加入到基质中配成的。 如果做绝对回收率时，如果标准曲线不是直接进样，而是同样品处理，只是不加基质是不对的，因为这样会使操作和系统的其它一些影响因素被掩盖。比如有机相的转移不完全，处理容器的吸附等。绝对回收率的目的就是要看你能将分析物从样品中提取出来用于分析的比例。 之所以用标准曲线，而不是单点相比，是因为萃取回收率小于100%，有的只有百分之二三十或更低，依药物性质和方法而定，这样一来峰面积只有标准品峰面积的百分之几十，如果峰面积浓度的关系不是过原点的直线，而是有截距或线性不好，那么就有偏差了，这个好理解。另外单点也是需要进几次样来重复的，不然也有误差。既然进几次，不如换成几个点做标准曲线，几种误差都可以消去。 峰面积与浓度是对应关系的，我不认为这两者的比有什么差别。实际也是拿峰面积代进去算。 to lydialydia 比如有一个药绝对回收率设三个点20、100、500ng/ml,取相应标准品加入空白基质中，使成此三个浓度（每浓度5个样品），处理后进样。另取标准品以回收率样品进样溶剂溶解，5个点分别为10、50、100、250、500ng/ml。样品峰面积代入标准曲线算出浓度，与理论浓度比即得回收率。相对回收率只是将标准曲线的5个点也是加入空白基质处理。 1）绝对回收率（萃取回收率或提取回收率） 反映方法的萃取效率，与样品检测灵敏度有关。例如：分别取一定量被测药物标准品两份，其中一份加到空白样品中，按设定方法处理、进样测定，测定色谱峰面积A测，另一份用纯品溶剂溶解并稀释至同浓度，进样测得峰面积A真，回收率＝A测/A真×100％ 应考察高、中、低三个浓度，高浓度在标准曲线上限附近，低浓度在定量限附近，中间取一个浓度。 对于回收率的大小与变异不宜苛求，一般添加量在10－6～10－9g，绝对回收率达50％～80％令人满意。 内标法：分别取相同量的药物标准品和内标物两份，其中一份加到空白样品中，按设定方法处理，测定药物和内标峰面积，求出比值R测＝A药/A内。另一份用纯溶剂溶液进样，测得药物和内标峰面积，计算其比值，回收率＝R测/R真×100％。 内标法中要求药物与内标物各自用外标法测得的绝对回收率应相近，两者相差小于10％，否则回收率偏离100％太远。 2）方法回收率 取一系列浓度的药物标准品加到空白体液中，按设定的分析方法测定，根据标准品浓度及相应的测定信号绘制标准曲线，然后取高、中、低浓度的药物标准品加到空白体液中，按标准曲线制备方法同法测定，每个浓度至少平行测定5份，测得值代入方程，与加入量比较，即为方法回收率，除定量限外，各浓度测得的平均值偏离实际加入量应小于15％，定量限这点应小于20％。 回收率测定时，不管采用何种方法，要求添加的药物量必需与实际测量相近；必须与实际存在的状态相似；必须同时做空白实验。否则测得结果不可靠，因此报道方法的回收率时，必须说明添加量。 人力资源管理师三级（三版）计算题汇总 历年考点：定员，劳动成本，人工成本核算，招聘与配置，新知识：劳动定额的计算 一、劳动定额完成程度指标的计算方法 1.按产量定额计算产量定额完成程度指标=（单位时间内实际完成的合格产品产量/产量定额）×100% 2.按工时定额计算工时定额完成程度指标=（单位产品的工时定额/单位产品的 【能力要求】： 一、核定用人数量的基本方法（原） （一）按劳动效率定员根据生产任务和工人的劳动效率，以及出勤率来计算。 实际上是根据工作量和劳动定额来计算。适用于：有劳动定额的人员，特别是以手工操作为主的工种。公式中：工人劳动效率=劳动定额×定额完成率。劳动定额可以分为工时定额和产量定额两种基本形式，两者转化关系为： 所以无论采用产量定额还是工时定额，两者计算的结果都是相同的。一般来说，某工种生产产品的品种单一，变化较小而产量较大时，宜采用产量定额来计算。可采用下面的公式： 如果把废品率考虑进来，则计算公式为： 二、劳动定员 【计算题】： 某企业主要生产 A、B、C 三种产品，三种产品的单位产品工时定额和 2011年的订单如表所示。预计该企业在 2011 年的定额完成率为 110%，废品率为 2.5%，员工出勤率为95%。 请计算该企业 2011 年生产人员的定员人数 【解答】： A 产品生产任务总量=150×100=15000（工时） B 产品生产任务总量=200×200=40000（工时） C 产品生产任务总量=350×300=105000（工时） D 产品生产任务总量=400×400=160000（工时） 总生产任务量=15000+40000+105000+160000=320000（工时） 2011 年员工年度工日数=365-11-104=250（天/人年） 【解答】： %求四阶线性方程组的MA TLAB程序 clear Ab=[0.001 2 1 5 1; 3 - 4 0.1 -2 2; 2 -1 2 0.01 3; 1.1 6 2.3 9 4];%增广矩阵 num=[1 2 3 4];%未知量x的对应序号 for i=1:3 A=abs(Ab(i:4,i:4));%系数矩阵取绝对值 [r,c]=find(A==max(A(:))); r=r+i-1;%最大值对应行号 c=c+i-1;%最大值对应列号 q=Ab(r,:),Ab(r,:)=Ab(i,:),Ab(i,:)=q;%行变换 w=Ab(:,c),Ab(:,c)=Ab(:,i),Ab(:,i)=w;%列变换 n=num(i),num(i)=num(c),num(c)=n;%列变换引起未知量x次序变化for j=i:3 Ab(j+1,:)=-Ab(j+1,i)*Ab(i,:)/Ab(i,i)+Ab(j+1,:);%消去过程 end end %最后得到系数矩阵为上三角矩阵 %回代算法求解上三角形方程组 x(4)=Ab(4,5)/Ab(4,4); x(3)=(Ab(3,5)-Ab(3,4)*x(4))/Ab(3,3); x(2)=(Ab(2,5)-Ab(2,3)*x(3)-Ab(2,4)*x(4))/Ab(2,2); x(1)=(Ab(1,5)-Ab(1,2)*x(2)-Ab(1,3)*x(3)-Ab(1,4)*x(4))/Ab(1,1); for s=1:4 fprintf('未知量x%g =%g\n',num(s),x(s)) end %验证如下 %A=[0.001 2 1 5 1; 3 -4 0.1 -2 2;2 -1 2 0.01 3; 1.1 6 2.3 9 4]; %b=[1 2 3 4]'; %x=A\b; %x1= 1.0308 %x2= 0.3144 %x3= 0.6267 %x4= -0.0513 用两种方式实现表达式自动计算 数据结构（双语） ——项目文档报告用两种方式实现表达式自动计算 专业：计算机科学与技术应用 班级： 指导教师：吴亚峰 姓名： 学号： 目录 一、设计思想 (01) 二、算法流程图 (01) 三、源代码 (03) 四、运行结果 (15) 五、遇到的问题及解决 (16) 六、心得体会 (17) 一、设计思想 A: 中缀表达式转后缀表达式的设计思想： 我们借助计算机计算一个算数表达式的值，而在计算机中，算术表达式是由常量，变量，运算符和括号组成。由于运算符的优先级不同又要考虑括号。所以表达式不可能严格的从左到右进行，因此我们借助栈和数组来实现表达式的求值。栈分别用来存储操作数和运算符。 在计算表达式的值之前，首先要把有括号的表达式转换成与其等值的无括号的表达式，也就是通常说的中缀表达式转后缀表达式。在这个过程中，要设计两个栈，一个浮点型的存储操作数，用以对无符号的表达式进行求值。另一个字符型的用来存储运算符，用以将算术表达式变成无括号的表达式；我们要假设运算符的优先级：( ) , * /, + - 。首先将一标识号‘#’入栈，作为栈底元素；接着从左到右对算术表达式进行扫描。每次读一个字符，若遇到左括号‘（’，则进栈；若遇到的是操作数，则立即输出；若又遇到运算符，如果它的优先级比栈顶元素的优先级数高的话，则直接进栈，否则输出栈顶元素，直到新的栈顶元素的优先级数比它低的，然后将它压栈；若遇到是右括号‘）’，则将栈顶的运算符输出，直到栈顶的元素为‘（’，然后，左右括号互相底消；如果我们设计扫描到‘#’的时候表示表达式已经扫描完毕，表达式已经全部输入，将栈中的运算符全部输出，删除栈底的标识号。以上完成了中缀表达式转后缀表达式，输出无括号的表达式，若遇数值，操作数进栈；若遇运算符，让操作数栈的栈顶和次栈顶依次出栈并与此运算符进行运算，运算结果入操作数栈；重复以上的步 回收率的计算方法 有机磷类 国标： 假设取5PPM某农药0.5毫升加入到10克蔬菜样品中，则其每克蔬菜样品中农药无损失，100%回收的话，其10克蔬菜样品中农药浓度为X=（5×0.5）/10=0.25PPM 当将上述蔬菜样品经过前处理后，进行进样分析，其浓度结果按照公式： ρ（标样质量浓度）×V1（提取液体积）×V3（定容体积）×V4（标样进样体积）×A1（样品峰面积）W（含量）= m（样品质量）×V2（分取体积）×V5（样品进样体积）×A（标准样品峰面积） 因此，通过假设可知，V1（提取液体积）和V2（分取体积）应该一样均为100毫升二氯甲烷，因为有机磷农药前处理未进行分取，是100%浓缩的。注ρ=5PPM。 所以，ρ×100×2×1×A1 ρ×A1 W（含量）= = 10×100×1×A 5A W（含量）ρA1 回收率= ×100% = X X×5A 农业部行标： 假设取5PPM某农药0.5毫升加入到25克蔬菜样品中，则其每克蔬菜样品中农药无损失，100%回收的话，其25克蔬菜样品中农药浓度为X=（5×0.5）/25=0.1PPM 当将上述蔬菜样品经过前处理后，进行进样分析，其浓度结果按照公式： ρ（标样质量浓度）×V1（提取液体积）×V3（定容体积）×V4（标样进样体积）×A1（样品峰面积）W（含量）= m（样品质量）×V2（分取体积）×V5（样品进样体积）×A（标准样品峰面积） ρ×50×5×1×A1 ρ×A1 W（含量）= = 25×10×1×A A W（含量）ρA1 回收率= ×100% = X X×A 菊酯类 国标： 假设取5PPM某农药0.5毫升加入到20克蔬菜样品中，则其每克蔬菜样品中农药无损失，100%回收的话，其20克蔬菜样品中农药浓度为X=（5×0.5）/20=0.125PPM 当将上述蔬菜样品经过前处理后，进行进样分析，其浓度结果按照公式： ρ（标样质量浓度）×V1（提取液体积）×V3（定容体积）×V4（标样进样体积）×A1（样品峰面积）W（含量）= m（样品质量）×V2（分取体积）×V5（样品进样体积）×A（标准样品峰面积） 因此，通过假设可知，V1（提取液体积）为30毫升正己烷加30毫升丙酮，总计为60毫升。V2（分取体积）为3毫升过柱体积。注ρ=5PPM。 所以，ρ×60×1×1×A1 ρ×A1 W（含量）= = 20×3×1×A A W（含量）ρA1 回收率= ×100% = X X×A 农业部行标： 同有机磷计算方法。 注：以上W（含量）即为准确测量的蔬菜样品农药残留浓度，单位为PPM或mg/kg ，若换算成μg/kg 则需要乘以1000。 复利终值与现值 由于利息的因素，货币是有时间价值的，从经济学的观点来看，即使不考虑通胀的因素，货币在不同时间的价值也是不一样的；今天的１万元，与一年后的１万元，其价值是不相等的。例如，今天的１万元存入银行，定期一年，年利１０％，一年后银行付给本利共１．１万元，其中有０．１万元为利息，它就是货币的时间价值。货币的时间价值有两种表现形式。一是绝对数，即利息；一是相对数，即利率。 存放款开始的本金，又叫“现值”，如上例中的１万元就是现值；若干时间后的本金加利息，叫“本利和”，又叫“终值”，如上例的１．１万元就是终值。 利息又有单利、复利之分。单利的利息不转为本金；复利则是利息转为本金又参加计息，俗称“利滚利”。 设ＰＶ为本金（复利现值）ｉ为利率ｎ为时间（期数）Ｓ为本利和（复利终值） 则计算公式如下： １．求复利终值 Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n （１） ２．求复利现值 ＰＶ＝Ｓ／（１＋ｉ）＾n （２） 显然，终值与现值互为倒数。 公式中的（１＋ｉ）＾n 和１／（１＋ｉ）＾n 又分别叫“复利终值系数”、“复利现值系数”。可分别用符号“Ｓ（ｎ，ｉ）”、“ＰＶ（ｎ，ｉ）”表示，这些系数既可以通过公式求得，也可以查表求得。 例１、本金３万元，年复利６％，期限３年，求到期的本利和（求复利终值）。 解:Ｓ＝ＰＶ（１＋ｉ）＾n 这（１＋ｉ）＾n 可通过计算，亦可查表求得， 查表，（１＋６％）＾3＝１．１９１ 所以Ｓ＝３万×１．１９１＝３．５７３万元（终值） 例２、５年后需款３０００万元，若年复利１０％，问现在应一次存入银行多少？（求复利现值） 解：ＰＶ＝Ｓ×１／（１＋ｉ）＾n＝３０００万×１／（１＋１０％）＾5查表，１／（１＋１０％）＾5＝０．６２１ 所以，Ｓ＝３０００万×０．６２１＝１８６３万元（现值） 加标回收率 有空白加标回收和样品加标回收两种 空白加标回收：在没有被测物质的空白样品基质中加入定量的标准物质，按样品的处理步骤分析，得到的结果与理论值的比值即为空白加标回收率。 样品加标回收：相同的样品取两份，其中一份加入定量的待测成分标准物质；两份同时按相同的分析步骤分析，加标的一份所得的结果减去未加标一份所得的结果，其差值同加入标准物质的理论值之比即为样品加标回收率。 加标回收率的测定，是实验室内经常用以自控的一种质量控制技术.对 于它的计算方法，给定了一个理论公式： 加标回收率=(加标试样测定值—试样测定值)加标量X 100%. 理论公式使用的约束条件 加标量不能过大，一般为待测物含量的0.5?2.0倍，且加标后的总含量不应超过方法的测定上限；加标物的浓度宜较高，加标物的体积应很小，一般以不超过原始试样体积的1%为好。加标后引起的浓度增量在方法测定上 限浓度C的0.4~0.6(C)之间为宜。对分光光度计来说，吸光度A在0.7以下，读数较为准确。 回收率计算结果不受加标体积影响的几种情况 F列情况下，均可以采用公式(2)计算加标回收率 (1) 样品分析过程中有蒸发或消解等可使溶液体积缩小的操作技术时，尽 管因加标而增大了试样体积，但样品经处理后重新定容并不会对分析结果产生影响?比如采用酚二磺酸分光光度法分析水中的硝酸盐氮(GB7480287),样品及加标样品经水浴蒸干后，需要重新定容到50 mL再行测定。 ⑵样品分析过程中可以预先留出加标体积的项目，比如采用离子选择电 极法分析水中的氟化物(GB7484287),当样品取样量为35 mL、加标样取 5.0mL以内时，仍可定容在50 mL ,对分析结果没有影响。 (3)当加标体积远小于试样体积时，可不考虑加标体积的影响?比如采用4- 氨基安替比林萃取光度法分析水中的挥发酚(GB7490287),加标体积若为 1.0 mL ,而取样体积为250 mL时,加标体积引起的误差可以忽略不计。 理论公式约束条件的含义 加标物的浓度宜较高，加标物的体积应很小”的含义便更加清晰：在计算加标试样浓度C2时，应尽可能减小标准溶液的取样体积V 0.只有这样，分别采用公式(3)和(4)的计算结果才会相等.由此可见,采用浓度值法计算加标回收率时，任意加大加标试样的体积，将会导致回收率测定结果偏低。 对加标量的规定： 1. 加标量应尽量与样品中待测物质含量相等或相近，并注意对样品容积的 影响 2. 当样品中待测物质含量接近方法检出限时，加标量应控制在校准曲线的 低浓度范围；当样品中待测物含量小于方法检出限时，以检出限的量作 为待测物质的含量加标 计算方法公式总结 绪论 绝对误差 e x x * =-，x *为准确值，x 为近似值。 绝对误差限 ||||e x x ε*=-≤，ε为正数，称为绝对误差限 相对误差* r x x e e x x **-==通常用r x x e e x x *-==表示相对误差 相对误差限||r r e ε≤或||r r e ε≤ 有效数字 一元函数y=f （x ） 绝对误差 '()()()e y f x e x = 相对误差''()()()()()()() r r e y f x e x xf x e y e x y y f x =≈= 二元函数y=f （x 1,x 2） 绝对误差 12121212 (,)(,)()f x x f x x e y dx dx x x ??=+?? 相对误差121122 1212(,)(,)()()()r r r f x x x f x x x e y e x e x x y x y ??=+?? 机器数系 注：1. β≥2，且通常取2、4、6、8 2. n 为计算机字长 3. 指数p 称为阶码（指数），有固定上下限L 、 U 4. 尾数部 120.n s a a a =± ，定位部p β 5. 机器数个数 1 12(1)(1)n U L ββ-+--+ 机器数误差限 舍入绝对 1|()|2 n p x fl x ββ--≤截断绝对|()|n p x fl x ββ--≤ 舍入相对1|()|1||2 n x fl x x β--≤截断相对1|()|||n x fl x x β--≤ 秦九韶算法 方程求根 ()()()m f x x x g x *=-，()0g x ≠，*x 为f （x ）=0的m 重根。 二分法 一、设计思想 一．中缀式计算结果的设计思想： 此种算法最主要是用了两个栈：用两个栈来实现算符优先，一个栈用来保存需要计算的数据numStack（操作数栈）,一个用来保存计算优先符priStack（操作符栈）。从字符串中获取元素，如果是操作数，则直接进操作数栈，但如果获取的是操作符，则要分情况讨论，如下：（这里讨论优先级时暂不包括“（”和“）”的优先级） 1.如果获取的操作符a的优先级高于操作符栈栈顶元素b的优先级，则a直接入操作符栈; 2.如果获取的操作符a的优先级低于操作符栈栈顶元素b的优先级，则b出栈，a进栈，并且取出操作数栈的栈顶元素m，再取出操作数栈新的栈顶元素n，如果b为+，则用n+m，若为减号，则n-m，依此类推，并将所得结果入操作数栈； 3.如果获取的是“（”，则直接进操作符栈； 4.如果获取的是“）”，则操作符栈的栈顶元素出栈,做类似于情况2的计算，之后把计算结果入操作数栈，再取操作符栈顶元素，如果不是“（”，则出栈，重复操作，直到操作符栈顶元素为“（”，然后“（”出栈； 5.当表达式中的所有元素都入栈后，看操作符栈中是否还有元素，如果有，则做类似于情况2 的计算，并将结果存入操作数栈，则操作数栈中最终的栈顶元素就是所要求的结果。 二．中缀转后缀及对后缀表达式计算的设计思想： 中缀转后缀时主要用了一个操作符栈和一个用来存放后缀表达式的栈，从表达式中依次获取元素，如果获取的是操作数，则直接存入s3栈中，如果获取的是操作符也需分情况讨论，如下：（这里讨论优先级时暂不包括“（”和“）”的优先级） 1. 如果获取的操作符a的优先级高于操作符栈栈顶元素b的优先级，则a直接入操作符栈; 2. 如果获取的操作符a的优先级低于操作符栈栈顶元素b的优先级，则b出栈，a进栈，并且将b存入到操作符栈中； 3.如果获取的是“（”，则直接进操作符栈； 4.如果获取的是“）”，则操作符栈的栈顶元素出栈,并依次存入到操作符栈中，直到操作符栈栈顶元素为“（”，然后将“（”出栈； 5.当表达式中的所有元素都入栈或存入到操作符栈之后，看操作符栈中是否还有元素，如果有，则依次出栈，并且依次存入到操作符栈中，最后打印操作符栈中的字符串，则此字符串即为要求的后缀表达式。 对后缀表达式的计算方法：主要用到了一个操作数栈，从操作符栈中依次取出元素，如果是操作数，则进栈，如果是操作符，则从操作数栈中依次取出两个栈顶元素a1和a2,如果操作符是“/”,则计算a2/a1,将计算结果再次进栈，依此类推，最终栈顶元素即为计算的最终结果。 在这两种算法中，应该特别注意一点：人的习惯，用户在输入表达式时，容易这样输入，如：3*4（3+2），这样是不可取的，应必须要用户输入3*4*（3+2），这是在设计思想上错误提示的很重要一点，否则计算不全面！ 二、算法流程图 第一个图是直接计算的流程图，图中反应除了这种方法的大致设计思路，但是有些细节没有反映出来，比如说，怎样把字符型数据转换为浮点型数据，就没有反映出来。特别说明 准备两份：一份待测样品A，一份加入一定量标准B，然后用加标测的结果减去理论值,回收率等于B-A/B*100% 4.6. 5. 回收率 4.6. 5.1. 在检测的样品中添加一定量的标准物质，测试添加进去的标准物质的回收率，可以衡量前处理或测试过程中的基体干扰、样品的交叉污染、样品损失、仪器性能等，故回收率试验一直是化学实验室质量控制中重要的手段之一。 4.6. 5.2. 进行回收率测试时，应选择具有代表性的样品，样品应均匀性良好，目标测试物质具有一定的含量。 4.6. 5.3. 回收率测试时，称取上述选择的经预处理的样品两份，其中一份中加入目标测试物质，加入量是样品中目标测试物质量的50％－150％。两份样品同时经过前处理后，同时上机测试，计算回收率。 4.6. 5.4. 回收率＝(V2c2-V1c1)×100％/V0c0 其中：c2：加标样品测试值，ug/mL V2：加标样品体积，mL c1：未加标样品测试值，ug/mL V1：未加标样品体积，mL c0：加入标准溶液的浓度，ug/mL V0：加入标准溶液体积，mL 本计算公式是基于加标样品和未加标样品的质量一致的前提，如两者不一致，则应折算为一致的质量。 4.6. 5.5. 回收率的范围一般控制为80％－120％，根据项目的不同，由实验室技术指导进行适当调整。回收率的测定结果记录在《回收率测定记录表》中。 4.6. 5. 6. 回收率测试的另外一种形式是，如果怀疑样品溶液基体对测试结果有影响，则可以直接在样品溶液中加入一定体积的标准溶液，测试此加标液的浓度，计算加标回收率，此时可以衡量溶液基体对测试有无影响。 以上摘自我们公司的程序文件中关于结果质量保证中关于加标回收率测定， 回收率试验它也叫加标回收，即在测定样品的同时，于同一样品的子样品中加入一定量的标准物质进行测定，将其测定结果扣除样品的测定值，除以加入量，计算回收率。它可以反映测试结果的准确度。 目的就是控制实验的准确度。加标回收衡量准确度,做平行样是用来衡量精密度的.这两个手段是实验室质量保证上经常用到的措施. 测量方法确认技术分成以下几类。 (1)准确度试验(标准物质分析试验、回收率试验、不同方法的比对试验)。 (2)精密度试验(室内重复性、中间精密度、协同试验、极差试验)。 (3)检出限的确定。 (4)测量范围试验。 (5)影响结果因素的系统评价。 5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。” 6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。” 7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。 8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。 9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。 钢架结构重量计算方法 材料重量计算 圆钢重量（公斤）=0.00617×直径×直径×长度 方钢重量（公斤）=0.00785×边宽×边宽×长度 六角钢重量（公斤）=0.0068×对边宽×对边宽×长度 八角钢重量（公斤）=0.0065×对边宽×对边宽×长度 螺纹钢重量（公斤）=0.00617×计算直径×计算直径×长度 角钢重量（公斤）=0.00785×（边宽+边宽-边厚）×边厚×长度 扁钢重量（公斤）=0.00785×厚度×边宽×长度 钢管重量（公斤）=0.02466×壁厚×（外径-壁厚）×长度 六方体体积的计算 公式① s20.866×H/m/k 即对边×对边×0.866×高或厚度 各种钢管(材)重量换算公式 钢管的重量=0.25×π×(外径平方-内径平方)×L×钢铁比重其中：π= 3.14 L=钢管长度钢铁比重取7.8 所以，钢管的重量=0.25×3.14×(外径平方-内径平方)×L×7.8 * 如果尺寸单位取米（M）,则计算的重量结果为公斤（Kg） 钢的密度为：7.85g/cm3 （注意：单位换算） 钢材理论重量计算 钢材理论重量计算的计量单位为公斤（kg ）。其基本公式为： W（重量，kg ）=F(断面积mm2)×L(长度，m)×ρ(密度， 1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！” 2.老人们都笑了，自巨石上起身。而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。 常用计算方法 1．超越方程的求解 一超越方程为 x (2ln x – 3) -100 = 0 求超越方程的解。 [算法]方法一：用迭代算法。将方程改为 01002ln()3 x x =- 其中x 0是一个初始值，由此计算终值x 。取最大误差为e = 10-4，当| x - x 0| > e 时，就用x 的值换成x 0的值，重新进行计算；否则| x - x 0| < e 为止。 [程序]P1_1abs.m 如下。 %超越方程的迭代算法 clear %清除变量 x0=30; %初始值 xx=[]; %空向量 while 1 %无限循环 x=100/(2*log(x0)-3); %迭代运算 xx=[xx,x]; %连接结果 if length(xx)>1000,break ,end %如果项数太多则退出循环（暗示发散） if abs(x0-x)<1e-4,break ,end %当精度足够高时退出循环 x0=x; %替换初值 end %结束循环 figure %创建图形窗口 plot(xx,'.-','LineWidth',2,'MarkerSize',12)%画迭代线'.-'表示每个点用.来表示，再用线连接 grid on %加网格 fs=16; %字体大小 title('超越方程的迭代折线','fontsize',fs)%标题 xlabel('\itn','fontsize',fs) %x 标签 ylabel('\itx','fontsize',fs) %y 标签 text(length(xx),xx(end),num2str(xx(end)),'fontsize',fs)%显示结果 [图示]用下标作为自变量画迭代的折线。如P0_20_1图所示，当最大误差为10-4时，需要迭代19次才能达到精度，超越方程的解为27.539。 [算法]方法二：用求零函数和求解函数。将方程改为函数 100()2ln()3f x x x =-- MATLAB 求零函数为fzero ，fzero 函数的格式之一是 x = fzero(f,x0) 其中，f 表示求解的函数文件，x0是估计值。fzero 函数的格式之二是 x = fzero(f,[x1,x2]) 一、设计思想 （一）先将输入的中缀表达式转为后缀再计算的设计思想 我们所熟知的计算表达式为中缀表达式，这之中包含运算符的优先级还有括号，这对我们来说已经习以为常了，但是在计算机看来，这是非常复杂的一种表达式。因此我们需要有一种更能使计算机理解的不用考虑优先级也不包括括号的表达式，也就是后缀表达式。我们可以借助栈将其实现。 首先，我们需要将中缀表达式转换为后缀表达式，这也是这个算法的关键之处。我们将创建两个栈，一个是字符型的，用来存放操作符；另一个是浮点型的，存放操作数。 接着，开始扫描输入的表达式，如果是操作数直接进入一个存放后缀表达式的数组，而操作符则按照优先级push进栈（加减为1，乘除为2），若当前操作符优先级大于栈顶操作符优先级或栈为空，push进栈，而当其优先级小于等于栈顶操作符优先级，则从栈内不断pop出操作符并进入后缀表达式数组，直到满足条件，当前操作符才能push 进栈。左括号无条件入栈，右括号不入栈，而不断从栈顶pop出操作符进入后缀表达式数组，直到遇到左括号后，将其pop出栈。这样当扫描完输入表达式并从操作符栈pop 出残余操作符后并push进栈，后缀表达式数组中存放的就是我们所需要的后缀表达式了。 扫描后缀表达式数组，若是操作数，将其转换为浮点型push进数栈；若是操作符，则连续从数栈中pop出两个数做相应运算，将结果push进数栈。当扫描完数组后，数栈顶便为最终结果，将其pop出，输出结果。 （二）一边扫描一边计算的设计思想 由于第一种算法需要进行两遍扫描，因此在性能上不会十分优秀。而此种算法只用扫描一遍，当扫描完输入的表达式后便可以直接输出最终结果。是第一种算法的改进版，性能上也得到提升，与第一种算法所不同的是其需要同时使用两个栈，一个操作符栈，一个数栈。 当扫描表达式时，若是操作数则将其转换为浮点型后直接push进数栈，而若是操作符则按照优先级规则push进操作符栈（加减为1，乘除为2），若当前操作符优先级大于栈顶操作符优先级或栈为空，push进栈，而当其优先级小于等于栈顶操作符优先级，则从栈内不断pop出操作符，直到满足条件，当前操作符才能push进栈。左括号无条件入栈，右括号不入栈，而不断从栈顶pop出操作符，直到遇到左括号后，将其pop出栈。这中间pop出操作符后直接从数栈中pop出两个数并计算，将结果push进数栈。括号的处理与第一个算法相同。 扫描完成后，从操作符栈pop出残余操作符，从数栈中pop出两个数并计算并进行计算，将结果push进数栈。数栈顶便为最终结果，将其pop出，输出结果。 两种算法各有各的优缺点，第一种算法过程比较清晰，使我们能够更加容易理解栈的使用规则，但是其性能不如第二种。第二种算法相比第一种来说性能提高了，但是理解起来就不如第一种那么清晰了。 PU 资料 聚氨酯计算公式中有关术语及计算方法 1. 官能度 官能度是指有机化合物结构中反映出特殊性质(即反应活性)的原子团数目。对聚醚或聚酯多元醇来说，官能度为起始剂含活泼氢的原子数。 2. 羟值 在聚酯或聚醚多元醇的产品规格中，通常会提供产品的羟值数据。 从分析角度来说，羟值的定义为：一克样品中的羟值所相当的氢氧化钾的毫克数。 在我们进行化学计算时，一定要注意，计算公式中的羟值系指校正羟值，即 羟值校正 = 羟值分析测得数据 + 酸值 羟值校正 = 羟值分析测得数据 - 碱值 对聚醚来说，因酸值通常很小，故羟值是否校正对化学计算没有什么影响。 但对聚酯多元醇则影响较大，因聚酯多元醇一般酸值较高，在计算时，务必采用校正羟值。 严格来说，计算聚酯羟值时，连聚酯中的水份也应考虑在内。 例，聚酯多元醇测得羟值为224.0，水份含量0.01%，酸值12，求聚酯羟值 羟值校正 = 224.0 + 1.0 + 12.0 = 257.0 3. 羟基含量的重量百分率 在配方计算时，有时不提供羟值，只给定羟基含量的重量百分率，以OH%表示。 羟值 = 羟基含量的重量百分率×33 例，聚酯多元醇的OH%为5，求羟值 羟值 = OH% × 33 = 5 × 33 = 165 4. 分子量 分子量是指单质或化合物分子的相对重量,它等于分子中各原子的原子量总和。 （56.1为氢氧化钾的分子量） 例，聚氧化丙烯甘油醚羟值为50，求其分子量。 对简单化合物来说，分子量为分子中各原子量总和。 羟值 官能度分子量1000 1.56??= 3366 50 1000 31.56=??= 分子量 1、Newdon迭代法求解非线性方程 function [x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps) %牛顿迭代法解线性方程 %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps) %x:近似解 %k:迭代次数 %t:运算时间 %f:原函数，定义为内联函数 ?:函数的倒数，定义为内联函数 %x0:初始值 %eps:误差限 % %应用举例： %f=inline('x^3+4*x^2-10'); ?=inline('3*x^2+8*x'); %x=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %[x k]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6 %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1) if nargin==3 eps="0".5e-6; end tic; k=0; while 1 x="x0-f"(x0)./df(x0); k="k"+1; if abs(x-x0) < eps || k >30 break; end x0=x; end t=toc; if k >= 30 disp('迭代次数太多。'); x="0"; t="0"; end 2、Newdon迭代法求解非线性方程组 function y="NewdonF"(x) %牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数 %定义是必须定义为列向量 y(1,1)=x(1).^2-10*x(1)+x(2).^2+8; y(2,1)=x(1).*x(2).^2+x(1)-10*x(2)+8; return; function y="NewdonDF"(x) %牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数的导数 y(1,1)=2*x(1)-10; y(1,2)=2*x(2); y(2,1)=x(2).^+1; y(2,2)=2*x(1).*x(2)-10; return; 以上两个函数仅供下面程序的测试 function [x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps) %牛顿迭代法解非线性方程组 %[x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps) %x:近似解 %k:迭代次数 %t:运算时间 %f:方程组（事先定义） ?:方程组的导数（事先定义） %x0:初始值 %eps:误差限 % %说明：由于虚参f和df的类型都是函数，使用前需要事先在当前目录下采用函数M文件定义% 另外在使用此函数求解非线性方程组时，需要在函数名前加符号“@”，如下所示 % %应用举例： %x0=[0,0];eps=0.5e-6; %x=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %[x k]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6 %[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) 初中化学计算题常用的两种方法 第一讲 差量法 差量法是依据化学反应前后的某些“差量”（固体质量差、溶液质量差、气体体积差、气体物质的量之差等）与反应物或生成物的变化量成正比而建立的一种解题法。 例1.同温同压下，某瓶充满O 2共重116g ，充满CO2时共重122g ，充满某气体共重114g ，则该气体相对分子质量为（ ） A 、28 B 、60 C 、32 D 、14 （122-116）/（44-32）=（122-114）/（44-M （气体）） 解之得，M （气体）=28。 故答案为（A ） 例2. 用氢气还原10克CuO ，加热片刻后，冷却称得剩余固体物质量为8.4克， 则参加反应CuO 的质量是多少克？ 例3. 将CO 和CO 2的混合气体2.4克，通过足量的灼热的CuO 后，得到CO 2的质量 为3.2克，求原混合气体中CO 和CO 2的质量比？ 例4. 将30克铁片放入CuSO4溶液中片刻后，取出称量铁片质量为31.6克，求参 加反应的铁的质量？ 例5. 已知同一状态下，气体分子间的分子个数比等于气体间的体积比。把30mL 甲 烷和氧气的混合气体点燃，冷却致常温，测得气体的体积为16mL ，则原30mL 中甲烷和氧气的体积比？ 例6.给45克铜和氧化铜的混合物通入一会氢气后，加热至完全反应，冷却称量固 体质量为37克，求原混合物中铜元素的质量分数？ 答案：2、 8克 3、 7∶ 5 4、 11.2克 5、 8∶7 7∶23 6、 28.89% 练习1、将盛 有12克氧化铜的试管，通一会氢气后加热，当试管内残渣为10克时，这10克残渣中铜元素的质量分数？ 练习2、已知同一状态下，气体分子间的分子个数比等于气体间的体积比。现有CO 、O 2、CO 2混合气体9ml ，点火爆炸后恢复到原来状态时，体积减少1ml ，通过氢氧化 钠溶液后，体积又减少3。5Ml ，则原混和气体中CO 、O 2、CO 2的体积比？ 练习3、把CO 、CO2的混合气体3。4克，通过含有足量氧化铜的试管，反应完全后，将导出的气体全部通入盛有足量石灰水的容器，溶液质量增加了4。4克。 求⑴原混合气体中CO 的质量？ ⑵反应后生成的CO2与原混合气体中CO2的质量比？ 练习4、CO 和CO2混合气体18克，通过足量灼热的氧化铜，充分反应后，得到CO2的总质量为22克，求原混合气体中碳元素的质量分数？ 练习5、在等质量的下列固体中，分别加入等质量的稀硫酸（足量）至反应完毕时 溶液质量最大的是（ ） A Fe B Al C Ba （OH ）2 D Na 2CO 3 练习6、在CuCl 2和FeCl 3溶液中加入足量的铁屑m 克，反应完全后，过滤称量剩余 固体为m 克，则原混合溶液中CuCl 2与FeCl 3物质的量之比为（ ）（高一试题） 1∶1 B 3∶2 C 7∶ D 2∶7 练习7 P 克结晶水合物AnH20，受热失去全部结晶水后，质量为q 克，由此可得 该结晶水合物的分子量为（ ） 现在一般都用第二种方法，又分两种添加方法： 1 添加样品中含量一半的80%、100%和120%，每个两份 2 添加样品中含量一半的50%、100%和150%，每个两份。这两种都可以的 计算时添加后测得的含量与原来样品的含量一半之差作分子，添加的含量做分母，并计算这6个结果的RSD，小于3%即可。 关于加样回收率的讨论已有报道［１－３］，虽对加样回收率的两种计算方法均从不同侧面做了较透彻的讨论与选择，但均忽略了原样品（实际样品）中待测组分含量确定的方法及其误差性质对回收率结果可靠性的影响，有必要做进一步的探讨作为补充。设原样品中待测组分的真实量为Ｘｏ，待测组分纯品标准加入的真实量为Ｙｏ，为统一讨论，我们把Ｙｏ的获得及加入过程也看为一种测量，那么，Ｘｏ、Ｙｏ及其总量的测得量分别为Ｘ、Ｙ和Ｚ，它们的测量误差分别为ＥＸ、ＥＹ和ＥＺ，则目前回收率Ｒ有如下两种计算方法依据测得Ｘｏ的方法不同分以下两种情况讨论。 １成熟方法包括药典法及可靠的文献法。 由于选用的方法成熟可靠，测量误差小，则ＥＸ可忽略，而且Ｙｏ的获得及加入过程一般是可靠的，Ｅｙ亦可忽略，则（１）、（２）式可分别简化为（３）、（４）式：两式中，Ｒ唯一地与测量误差ＥＺ相关，理论上讲，可以用来检验拟订方法的准确度。２拟订方法同上讨论，Ｅｙ可以忽略，但由于Ｘ０是按拟订方法测得的，故ＥＸ不可盲目忽略，则（１）、（２）式可分别简化为（５）、（６）式：Ｒ并不唯一地与ＥＺ相关，还与测定原样品中Ｘｏ的误差ＥＸ有关，是否可以用来检验拟订方法的准确度需要做进一步的讨论。测量误差按其性质分为两类：偶然误差和系统误差，系统误差又包括恒定误差和比例误差。偶然误差可以通过增加试验次数来消除，本文不做更深讨论，而系统误差却会给测定带来固定方向的偏差。 ２．１系统误差为恒定误差：此时ＥＸ＝ＥＺ，所以（５）、（６）式可写为（７）、（８）式：即在该情况下，无论拟订方法的误差多大，回收率均为１００％。结果显然是不可靠的。 ２．２系统误差为比例误差：设比例误差的比例系数为Ｅ，则ＥＸ＝Ｅ·Ｘｏ，ＥＺ＝Ｅ·（Ｘｏ＋Ｙｏ），则（５）、（６）式可分别写成（９）、（１０）式：回收率的实质是单位真实量的测得量，而Ｅ是单位真实量的测量误差，所以Ｒ应等于１＋Ｅ，此时，用（９）式计算回收率是可靠的，而用（１０）式计算，Ｒ随Ｘｏ／（Ｘｏ＋Ｙｏ）的值变化而变化，当且仅当Ｘｏ／（Ｘｏ＋Ｙｏ）＝０，即Ｘｏ＝０或Ｙｏ为无穷大时，Ｒ＝１＋Ｅ。但前者回收率试验实质上已是模拟样品回收率，而后者已变为纯品回收率试验，均不在本文讨论范围之内。上面讨论的是两种极端情况，而在实际工作中，测量误差既包括恒定误差，又包括比例误差，文献认为：“仪器由于灵敏度等原因，测量一般为恒定误差，而方法误差也不全为比例误差，”另外，由于操作者造成的误差也往往表现为恒定误差，如对滴定终点指示剂变色的判断等。这说明目前定量研究的误差多属恒定误差，所以用拟订方法测定原样品中待测组分的含量后计算回收率的方法并不可靠。因此，虽然目前绝大多数药物分析工作者在做加样回收率计算时均使用（１）式，认为测得总量减去原样品测得量后即可消除原样品中待测组分含量及其测量误差的影响，但却未考虑到并非所有情况下均适用，反而会因此获得一个不真实的回收率，错误判断拟订方法的准确度。例：我们把某一测定方法假设为一根容量足够大的刻度吸量管，首先我们假设它有恒定误差，它的Ｏｍｌ刻度处实为１０ｍｌ，其余部分准确，即本吸量管有一１０ｍｌ的恒定误差，下面结合上述讨论对该吸量管（即某一测定方法）的准确度做一个检验。设Ｘ０＝２０ｍｌ，Ｙ０＝１０ｍｌ，则ＥＺ＝－１０ｍｌ。如用（３）、（４）式计算：（３）Ｒ＝１＋（－１０）／１０＝０％（４）Ｒ＝１＋（－１０）／（２０＋１０）＝６７％如用（５）、（６）两式计算：（５）Ｒ＝［１０＋（－１０）－（－１０）］／１０＝１００％（６）Ｒ＝（２０＋１０）＋（－１０）／２０＋１０＋１０＝１００％由上可见，对于一个设定的明显有很大误差的测定方法，用拟订方法测定Ｘ０后计算却得出了“理想”的回收率数据，可见如此计算在测定存在恒定误差的情况下是不可靠的；而用成熟方法测定Ｘ０后，均得出方法不准确的结论，但用两式计算，结果明显不同，我们认为造成这一现象的原因是对于每次测定来说，由于误差恒定，（３）式把本应该由整回收率包括绝对回收率和相对回收率
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