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一元函数微积分基本练习题及答案

一元函数微积分基本练习题及答案
一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题

1、求.)(cos lim 2

1

x x x → 2、6

sin )1(lim

2

2

x

dt e x t

x ?-→求极限。

3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x

x x -→ 4、2

1

0sin lim x x x x ??

? ??→ 5、?

?+∞

→x

t x

t x dt

e dt e 0

20

2

2

2)(lim 6、

)

1ln(1

lim -→+x e x x

7、x

x x e x cos 11

20

)

1(lim -→+ 8、 x

x x x x

x ln 1lim 1+--→

9、)

1ln()2(sin )

1)((tan

lim

2

30

2

x x e x x x +-→ 10、1

0lim(

)3

x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞

→x

x e x 12、

)cot 1(lim 2

20x x x -→ 13、[]

)1(3sin 1

lim 11x e x x ---→

14、()

??

???=≠+=0

021)(3

x A x x x f x

在0=x 点连续,则A =___________

二、导数题

1、.sin 2

y x x y ''=,求设

2、.),(0y x y y e e xy y

x

'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2

3

的单调区间与极值求函数-=x x x f

4、要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小,

这时底直径与高的比是多少?

5、

)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()

(x f

n

6、y

x

y x = 求dy 7、?

=x x

dt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '

8、设

???≤+>+=0

401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.

9、设

)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy

10、设x

x

x

e

e e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设y

y x =, 求dy .

12、设x

n e n x x x x f -++++=)!

!21()(2 ,n 为正整数,求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续,0)0(≠f ,又)(2

x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=,

求)0(f '.

14、设)(x f 在]1,0[上连续,)1,0(内可导,0)1()0(==f f ,1)2

1

(=f . 证明:)1,0(∈?ξ使1)(='ξf

15、设函数0)(>x f 且二阶可导,)(ln x f y =,则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ,则=dy __________ 17、x

x

y sin =,求y '

18、求函数2

1x x

y +=

的极值

19、()y x y +=sin ,求22dx

y

d

20、()

x

x y cos sin =,求

dx

dy 21、求过原点且与曲线5

9

++=x x y 相切的切线方程。

22、

x x y ln )(ln =,求y '

23、设

?

??≤>+=1,1,)(2x x x b ax x f 试求b a ,使)(x f 在1=x 点连续、可导.

24、设f 可导,

)(sin )(sin x x f e f e y =,求dx

dy

25、设)cos(2

2

y x e xy y

+=+ , 求dy 26、设

2

1arccos x y -=,则='y

27、设)2)(1()(--=x x x x f …)100(-x ,则=')0(f 28、设)(x f 二阶可导,.0)0(,0)(=>''f x f 证明:

x

x f )

(在()0,∞-和()+∞,0上都单增. 29、设???

??<+≥+=0

201)(x b

x x x

a x f 在0=x 点可导, 求

b a , .

30、设

x

a x a x a a

a x y ++= , 求 y ' .

31、设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e

y

x 确定,则 ==0x dy

32、设)1ln()(x x f += ,则 =)0()

10(f

33、设u u f 是)(的已知可导函数,求函数)

()(x f x

b a f y =的导数,其中a 与b 均为不等于1

的正数。 34、求满足关系式

?

?-+=x x

dt t x tf x dt t f 0

)()(的可微函数)(x f

35、设0)(>x f 在),0(∞内可导且1)(lim =+∞→x f x .若x h

h e x f hx x f 1

10))

()((lim =+→,求)(x f .

36、设

)sin arcsin(x a y = ,求y '及y ''

37、设?

=

x

x

dt t f x F 101

)()(, 其中)(t f 连续,求)(x F '

38、2

sin

x

y =,则 y ’ =___________

39、设

?

-=-x

x x dt x t f 0

2)23sin()( ,其中f 连续,求)(x f

40、设?????=≠=0,0

,sin 1)(2

x x x x x f 求)2(πf ' , )0(f '

41、计算?+424

1x x t dt

dx d

三、积分题

1、求

arccos xdx ?. 2、?

++.4

1

2dx x x 求 3、求

?

4、?-+x x x e

e dx e 5、

?

-+10

2

1x

x dx

6、

?

+)

1(x x dx

7、

?+

dx x )1ln(

8、求心形线)cos 1(θ+=a r

在第二象限所围成的面积.

9、证明曲线)0(3

23

23

2>=+a a y x 上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。

10、求

333+-=x x y 的极值,并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。

11、计算 ?-+=22

21cos ππ

dx e x e I

x x 12、dx e e x x

?-1

2

13、计算

dx x

x ?

+)

1ln( 14、?

-9

22x x dx

15、已知1)0(=f ,3)2(=f ,5)2(='f ,计算dx x f x I ?

''=

1

)2(

16、求x y sin =)0(π≤≤x 与x 轴所围图形绕1=y 的旋转体积。

17、?xdx x arctan 18、

dx x

x ?

-2

29

19、

?

+)1(x x dx 20、?--22

3

cos cos π

πdx x x

21、

?-dx x x 2)1(ln 22、?-+221)1(x x xdx

23、

2sin 12

dx x ?

24、求圆 16)5(2

2

=-+y x 绕x 轴旋转所成环体的体积V

25、

?=+dx x x x

)

1(arctan 26、求 ?dx x x 2sin sin ln 27、求x y sin =与x y 2sin =在[]π,0上所围图形的面积

28、若x 2

sec 是)(x f 的一个原函数,则=?

dx x f x )(

29、

dx x ?--2

2

228 30、?+

dx x

x )ln 1

ln (ln 31、在曲线x

e y -= )0(≥x 上找一点,使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最

大,并求出该面积值。

四、证明题

1、.1xe e x x

>>时,证明不等式:当

2、证明

x

x

x f )11()(+=在),0(∞+ 内严格单增

3、

. )( )1

( ]1

,

0[ ,...,3,2),1()0(]1,0[)(n n n ξξξf n

f n n n f f x f =+-∈==使得,存在试证,对于上连续,且在设函数

4、的值。试求的高阶无穷小量,是时,其中当处的增量为在任一点设函数 )1( .y(0) x 0x ,x 1x

y y )( 2

y x x y y παα=?→?++??=

?= 5、设0)0(=f ,0)(<''x f ,证明:0,21>?x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +<+。 6、设()()()()()4321----=x x x x x f ,则方程()0'=x f 有几个不同的实根?

并证明之。 7、设

)(t f 为连续的奇函数,试问?=x

dt t f x g 0

)()( 的奇偶性如何,并证明你的结论.

8、试证:当0>x 时,2

arctan 1π

->x x (9分) 9、证明不等式

x x x

x

<+<+)1ln(1 , 0>x (本题10分) 10、设函数[]1,0)(在x f 连续,在)1,0(可导,且满足)2

1()(51

5

4f dx x f =?

求证:存在???

???∈1,21ξ使0)(='ξf 。

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0'x f x f , 则在),0(+∞内有( ) (A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( ) (A )必要条件。 (B) 充分条件。 (C )充要条件。 (D )既非必要,又非充分条件。 答B 4.设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ,则0=x 必是

)(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。 (C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x

数学考研:一元函数微分学的知识点和常考题型

数学考研:一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义(数三经济意义),会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解),了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题,主要是确定目标函数和约束条件,判定所讨论区间。

一元函数微积分重点

微积分的基本内容可以分为三大块:一元函数微积分,多元函数微积分(主要是二元函数),无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点,应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。 一、熟记基本内容 事实上,数学三考微积分相关内容的题目都不是太难,但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟,所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方,但参考一下一些辅导资料,如《微积分过关与提高》等,能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理,加深对定理、公式的印象,增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考,并不时提出问题,这才是好的读懂知识的方法。 二、紧抓内容重点 在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别,就是内容没有那么强的故事性,同时所述理论有一定抽象性,所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时,能够联系其在几何上的表现来理解,并思考其实质含义及应用。三大块内容中,一元函数的微积分是基础,定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的,必须引起注意。多元函数微积分,主要是二元函数微积分,这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握,考点就那几个,需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。 三、检测学习效果 大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里,我们常常会看到,平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的,而那些平时总抱着小说看,还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病,这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候,如果充分了解其特点,就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用,可做做《考研数学客观题1500题》,必定能达到所希望的结果。微积分的解答题注重计算及综合应用能力,平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量,也能检测复习效果。 高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点:

一元函数微分学综合练习题

第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ,则b =________. 2. 若当0x →时,1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小,则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续,则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时,1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤

一元函数微积分学内容提要

第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数:(138-141页) 1、函数的定义:对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类:基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称);复合函数([()]y f x ?=);初等函数(由常数和基本初等函数构成的,且只能用一个式子表达的函数);分段函数;隐函数;幂指函数(()()g x y f x =);反函数。 3、函数的特性:奇偶性;单调性;周期性;有界性. 二、极限: 1、极限的概念:(141-142页) 定义1:(数列极限)给定数列{}n x ,如果当n 无限增大时,其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ,即a x n -无限趋近于零,则称数列{}n x 以a 的极限,或称数列{}n x 收敛于a ,记为a x n n =∞ →lim ,若{}n x 没有极限,则称数列{} n x 发散。 定义2:(0x x →时函数)(x f 的极限)设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义,当x 无限趋向于0x (0x x ≠)时,函数)(x f 的值无限趋向于 A ,则称0x x →时, )(x f 以A 为极限,记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限:设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义,当0x x <且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的左极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限:设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义,当0x x >且无限趋向 于0x 时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称0x x →时,)(x f 的右极限为A ,记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3:(x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限)设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义, 若x 无限增大时,函数)(x f 的值无限趋向于常数A ,则称当∞→x 时,

微积分——多元函数及二重积分知识点(教学内容)

教育类别+ 241 第四章 矢量代数与空间解析几何 微积分二大纲要求 了解 两个向量垂直、平行的条件,曲面方程和空间曲线方程的概念,常用二次曲面的方程及其图 形,空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角,利用平面、直线的相互絭(平行、 垂直、相交等)解决有关问题,点到直线以及点到平面的距离,求简单的柱面和旋转曲面的方程,求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解 空间直角坐标系,向量的概念及其表示,单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),用坐标表达式进行向量运算的方法, 平面方程和直线方程及其求法. 第一节 矢量代数 一、内容精要 (一) 基本概念 1.矢量的概念 定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量,长度为0的矢量称为零矢量,用0表示,方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。 定义4.2两个矢量a 与b ,若它们的方向一致,大小相等,则称这两个矢量相等,记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方(因为既没有改变大小,也没改 变方向),这种矢称为自由矢量,这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式,},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致,且0||a a a 。 因此,告诉我们求矢量a 的一种方法,即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ,则 .||0a a a 若},{321a a a a ,知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴,Oy 轴,Oz 轴正向的夹角,而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算 设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a

一元函数积分知识点完整版

一元函数积分知识点完整版

牛顿—莱布尼兹定理为: 设)(x f 在],[b a 上连续,)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数,则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3: 已知?+=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ,求)('x f )0(≥x 一.考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解:需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质,学会用性质化简积分。 问题4: 设)(x f 在 ]1,0[上连续,A dx x f =?20)cos (π,则 ==?π 20)cos (dx x f I _______。 二.利用定积分的定义求某些数列极限 讲解:需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有: ∑?=∞→--+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑?=∞→---+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5:

求∑=∞→+=n i n i n n i n w 12tan lim 三.考察基本积分表 讲解:需要掌握基本初等函数的积分公式。 四.考察分项积分方法 讲解:利用不定积分(定积分)线性性质把复杂函数分解成几个简单函数的和,再求积分。 问题6: 求下列不定积分: dx x x ?++2cos 1cos 12 五.考察定积分的分段积分方法 讲解:利用定积分的区间可加性把复杂的区间分解成几个简单区间的和,再求积分。 问题7: 计算以下定积分: {}?-+22cos ,5.0min )1(ππdx x x 六.考察不定积分的分段积分方法 讲解:有时被积函数是用分段函数的形式表示的,这时应该采用分段积分法。 问题8:

一元函数微积分基本练习题及答案

一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续,则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=,求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐,体积为V ,问底半径r 和高h 等于多少时,才能使表面积最小,

微积分教学大纲

《微积分》教学大纲 课程代码: 名称:微积分学 授课专业:工业设计专业 学时数:100 一、课程的目的和要求 学生能够通过本课程的学习,获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时,这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。 更重要的是,在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解,并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习,提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力,全面提高学生的数学素质。 二、课程教学内容 第一部分函数 主要内容:函数的概念与性质,复合函数、初等函数的概念。 要求: 1、理解函数的概念,能列出简单实际问题中的函数关系。 2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性; 3、理解反函数和复合函数的概念; 4、理解初等函数的概念和性质。 重点:函数的的概念与性质。 难点:列出问题中的函数关系,反函数和复合函数的概念。 第二部分极限与连续 主要内容:极限的概念,极限四则运算,无穷小、无穷大的概念,函数连续的概念。 要求: 1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求); 2、掌握极限四则运算法则,会用两个重要极限求极限; 3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念; 4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念,了解函数间断的概念; 5、了解初等函数的连续性,了解在闭区间上连续函数的性质. 重点:极限的四则运算法则。 难点:极限的概念,连续的概念。 第三部分导数与微分 主要内容:导数和微分的概念,导数和微分的运算。 要求: 1、理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义,了解函数的可导与连续之间的关系; 2、熟练掌握导数和微分的运算法则、导数的基本公式,了解高阶导数概念,能熟练求初等函数的一阶、二阶导数(n>2阶导数不作要求); 3、掌握复合函数和隐函数的求导法; 4、会求曲线的切线与法线方程,了解微分在近似计算中的应用。

一元函数微分

第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39,中等题40—106,难题107—135。 1.设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时,必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2. 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数,且当0'x f x f , 则在),0(+∞内有( ) (A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3.已知)(x f 在],[b a 上可导,则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的( ) (A )必要条件。 (B) 充分条件。 (C )充要条件。 (D )既非必要,又非充分条件。 答B 4.设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数,则=n ( ) (A) 1. (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5.设函数)(x f 在)1,1(-内有定义,且满足)1,1(,)(2 -∈?≤x x x f ,则0=x 必是 )(x f 的( ) (A )间断点。 (B )连续而不可导的点。

(C )可导的点,且0)0(='f 。 (D )可导的点,但0)0(≠'f 。 答C 6.设函数f(x)定义在[a ,b]上,判断何者正确?( ) (A )f (x )可导,则f (x )连续 (B )f (x )不可导,则f (x )不连续 (C )f (x )连续,则f (x )可导 (D )f (x )不连续,则f (x )可导 答A 7.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是:( ) (A )0x 点的切向量 (B )0x 点的法向量 (C )0x 点的切线的斜率 (D )0x 点的法线的斜率 答C 8.设可微函数f(x)定义在[a ,b]上,],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是:( ) (A )0x 点的自向量的增量 (B )0x 点的函数值的增量 (C )0x 点上割线值与函数值的差的极限 (D )没意义 答C 9.x x f = )(,其定义域是0≥x ,其导数的定义域是( ) (A )0≥x (B )0≠x (C )0>x (D )0≤x 答C

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域,对应法则; 几种特殊的函数(复合函数、初等函数等); 函数的几种特性(有界性、单调性、周期性、奇偶性) 2. 极限 (1)概念 无穷小与无穷大的概念及性质; 无穷小的比较方法;(高阶、低阶、同阶、等价) 函数的连续与间断点的判断 (2)计算 函数的极限计算方法(对照极限计算例题,熟悉每个方法的应用条件) 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系; 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质; 消去零因子法; 无穷小因子分出法; 根式转移法; 利用左右极限求分段函数极限; 利用等价无穷小代换(熟记常用的等价无穷小); 利用连续函数的性质; 洛必达法则(掌握洛必达法则的应用条件及方法); ∞∞或00型,) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限(理解两个重要极限的特点);1sin lim 0=→x x x ,1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ,e x x x =+∞→)11(lim , 一般地,0)(lim =?x ,∞=ψ)(lim x ,)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 (1)导数的概念:增量比的极限;导数定义式的多样性,会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义:曲线上某点的切线的斜率 (2)导数的计算:

基本初等函数求导公式; 导数的四则运算法则;(注意函数积、商的求导法则) 复合函数求导法则(注意复合函数一层层的复合结构,不能漏层) 隐函数求导法则(a :两边对x 求导,注意y 是x 的函数;b :两边同时求微分;) 高阶导数 2 微分 函数微分的定义,dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则(函数极限的计算) 函数的单调性与极值,最值、凹凸性与拐点的求法

中南财经政法大学微积分复习重点

杨皓&罗捍东微积分重点综合来源:汪凤的日志 杨皓&罗捍东微积分重点综合 考试范围Unit6~Unit9 6,8章为绝对重点! 第六章定积分 30% 见到和即可判断是否为定积分 积分上限函数求导(牛顿莱布尼兹公式的应用) 定积分计算(还愿、定积分性质、奇偶、分段、三角函数) 定积分几何应用(面积、体积、最值,其中体积只考旋转法)一定要画图!!定积分经济应用广义积分初步老师米有说 第七章无穷级数 15% 正项级数敛散性判别(小题) 常数项级数(条件收敛绝对收敛) 幂级数(收敛半径域和函数) 幂级数展开(仅间接展开最基本的少并且easy) 第八章多元函数微积分学 40% 8.1不考 偏导数 全微分及其应用(不要鸟定义) 多元复合函数求导法则(抽象符合——从简啊从简) BUT 也是难点。。。 多元函数的极值与最值10’+ 二重积分(化、换次序、求直角极坐标) No 8.8 第九章微分方程初步 <15% 一阶微分方程只考最最直接简单的 应用题from定积分应用平面面积旋转V 多元函数极值最值 课后习题&练习册重要啊! When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace,

And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you, And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fled And paced upon the mountains overhead And hid his face amid a crowd of stars. The furthest distance in the world Is not between life and death But when I stand in front of you Yet you don't know that I love you. The furthest distance in the world Is not when I stand in front of you Yet you can't see my love But when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together. The furthest distance in the world Is not being apart while being in love

微积分(上) 知识点重点复习整理 交大

《微积分》(上)复习 第一部分(第一章,第二章) 函数、极限与连续 一、要求 1.函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和洛必达法则求极限 3.连续函数连续(左、右连续)与间断 理解并会应用有界闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A.极限的求法(1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与Taylor展式法 (8)其他(微积分性质,数列的性质)

1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x (等价小量与洛必达) 2.已知()x f 三阶可导,2030)(6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-,求 解:2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x (洛必达) 3.1 21)1 2(lim ->-+x x x x x (重要极限) 4.已知a 、b 为正常数,x x x x b a 3 0)2(lim +>-求 解:令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-(变量替换) 5.) 1ln(1 2) (cos lim x x x +>- 解:令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x (变量替换) 6.设)('x f 连续,0)0(',0)0(≠=f f ,求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f (洛必达与微积分性质) 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续,求a 解:令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x (连续性的概念)

一元函数微积分学在物理学上的应用(1)

一元函数微积分学在物理学上的应用 速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心 [][]1.(),()(). 3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量 速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。 2.设物体绕定轴旋转,在时间间隔0,t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t). 3.一根杆从一端点算起,,段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),(). 5.T C (T )=q (T ). 6. (),(). Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x). 4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 . 2 2 12,5360,(),2 M 55,12,360,(),()52 2 cm AB AM M A x g m x x x m k m x x m x x ρρ='=== = =2 设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比,杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点 处的线密度(x)= 5x 解:m(x)=kx 令得所以(x)= 变力作功:变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()b a w F x dx =? 5 1.53[05] [05][,]2 9.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx x w x dx πππ+??=??∴= ?=?例2(1)(功)一圆柱形的注水桶高为,底圆半径为,桶内盛满了水,试问要把桶内的 水全部吸出需作多少功?解:作轴如图所示 取深度为积分变量,它的变化区间为,相应于,上任一小区间的一薄层水的高度为,因此如的单位为,这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为 所求的功为25823462() 2 kJ π?? ≈

高等数学 一 微积分 考试必过归纳总结 要点重点

高等数学(一)微积分 一元函数微分学( 第三章、第四章) 一元函数积分学(第五章) 第一章函数及其图形第二章极限和连续 多元函数微积分(第六章) 高数一串讲 教材所讲主要内容如下: 全书内容可粗分为以下三大部分: 第一部分 函数极限与连续(包括级数) 第二部分 导数及其应用(包括多元函数) 第三部分 积分计算及其应用 (包括二重积分和方程) 第一部分 函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型: 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 二、 极限与连续 常见考试题型: 1、求函数或数列的极限。 2、考察分段函数在分段点处极限是否存在, 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。 5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。 每年必有的考点 第三部分导数微分及其应用 常见考试题型: 1、导数的几何意义; 2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。 3、求函数的导数:复合函数求导,隐含数求导,参数方程求导; 4、讨论函数的单调性和凹凸性,求曲线的拐点; 5、求闭区间上连续函数的最值; 6、实际问题求最值。 每年必有的考点 第四部分积分计算及应用 考试常见题型 1、不定积分的概念与计算; 2、定积分的计算; 3、定积分计算平面图形的面积; 4、定积分计算旋转体的体积; 5、无穷限反常积分 6、二重积分 7、微分方程 最近几年考题中,积分计算的题目较多,而且也有一定的难度。 第一部分函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型: 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 log log x的定义域是___________. 2007.7 例1..函数y= 23 知识点:定义域

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻 域、有界集。 3、初等函数:正割函数sec是余弦函数cos的倒数;余割函数是正弦函数的倒数;反三角函 数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、 比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点和第二类间断点,左、右极限都存在的是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积和商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx.

《高等数学》(上)一元函数微分学复习题

《高等数学》(上)“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ,求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导,且0)0(=f ,1)0(='f ,2)0(=''f ,求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续,且22)(lim 2=-→x x f x ,求)2(f '. 4.若)(sin x f y =,求dy . 5.若函数)(x f 可导,)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少? 6.设函数)1ln()(2x x f -=,求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ,求)0(-'f 、)0(+'f ,并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ,b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1,求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23,求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定,求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点,求b a ,.

微积分上重要知识点总结

1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、 有界集。 3、初等函数:正割函数sec是余弦函数cos的倒数;余割函数是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比 较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点和第二类间断点,左、右极限都存在的是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点和可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点是第二类间断点. 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续. 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积和商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx.

高等数学讲义-- 一元函数微分学

24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 (甲)内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义,自变量x 在0x 处有增量x ?,相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在,则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数(也称微商),记作0()f x ',或0 x x y =' , x x dx dy =, )(x x dx x df =等,并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在,则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式,令x x x ?+=0,0x x x -=?,则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数:0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数:0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2.导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在,则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线的斜率。 切线方程:000()()()y f x f x x x '-=-

高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点

全书内容可粗分为以下三大部分:第一部分函数极限与连续(包括级数) 第二部分导数及其应用(包括多元函数) 第三部分积分计算及其应用(包括二重积分和方程) 第一部分函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型: 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 二、极限与连续 常见考试题型: 1、求函数或数列的极限。 2、考察分段函数在分段点处极限是否存在,函数是否连续。 3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。 5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。 每年必有的考点 第三部分导数微分及其应用 常见考试题型: 1、导数的几何意义; 2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。 3、求函数的导数:复合函数求导,隐含数求导,参数方程求导; 4、讨论函数的单调性和凹凸性,求曲线的拐点; 5、求闭区间上连续函数的最值; 6、实际问题求最值。 每年必有的考点 第四部分积分计算及应用 考试常见题型 1、不定积分的概念与计算; 2、定积分的计算; 3、定积分计算平面图形的面积; 4、定积分计算旋转体的体积; 5、无穷限反常积分 6、二重积分 7、微分方程 最近几年考题中,积分计算的题目较多,而且也有一定的难度。

第一部分 函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型: 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 例1..函数 ___________. 知识点:定义域 约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。 解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥, 要使23log log 0x ≥成立, 只有3log 1x ≥,即3x ≥. 注:我们所求定义域的函数一般都是初等函数,而初等函数:由基本初等函数,经过有限次的 +-×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。 基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期):

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