考研数学必做课后习题(同济)

高等数学课后习题解读

总习题一：

1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。

2是无穷小的阶的比较

3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可

7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了

8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了

9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可

10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可

11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可

12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握

13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要

综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题

总习题二：

1填空题，不多说了，重点

2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a 处的情况是不清楚的。而对(A)项来说只能保证右导数存在。只有(D)项是能确实的推出可导的

3物理应用现在基本不要求了

4按定义求导数，不难，应该掌握

5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可

6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可

7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容

8求二阶导数，同上题

9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可

10求隐函数的导数，重要，常考题型

11求参数方程的导数，同样是常考题型

12导数的几何应用，重要题型

13、14、15不作要求

综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路

总习题三

1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握

2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会

3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可

4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处

5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题

6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法

9非常见题型，了解即可

10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握

11不等式，一般可用导数推征，典型题

12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点

18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要

19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想

20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大

综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……

积分的题目是做不完的。

当然，如果你以那种不破楼兰终不还的决心和气势，最终把所有题目搞定了，这还是值得恭喜的，尽管可能这会花掉很多时间，但仍然是值得的……因为这有效的锻炼了思维。

总习题五

1填空，重要，但第(2)、(3)问涉及广义积分，不作要求

2典型题，前3题用定积分定义求极限，需重点掌握，尤其是要体会如何把和式改写为相应的积分式，积分区间和被积函数如何定，这个是需要适当的练习才能把握好的，后2题涉及积分上限函数求导，也是常见题型

3分别列出三种积分计算中最可能出现的错误，需细心体会，重要

4利用定积分的估值证明不等式，技巧性较强

5两个著名不等式的积分形式，不作强制要求，了解即可

6此题证明要用5题中的柯西不等式，不作要求

7计算定积分，典型题

8证明两个积分相等，可用一般方法，也可利用二重积分的交换积分次序，设计巧妙的重点题目

9同样是利用导数证明不等式，只不过对象变得比一般函数复杂，是积分上限函数，但本质和第三章的类似题目无区别，不难掌握

10分段求积分，典型题

11证明积分第一中值定理，要用到连续函数的介值定理，难度高于积分中值定理的证明，可作为提高和锻炼性质的练习

综上，总习题五需要重点掌握的题目是1、2、3、7、8、9、10

定积分的应用一块的考察，现在更偏重的是几何应用

1物理应用，跳过

2所涉及到的图形较为复杂，是两个圆，其中第二个是旋转了一定角度的圆，不易看出，此题可作为一个提高性质的练习

3重点题，积分的几何应用和极值问题相结合，常考题型之一

4旋转体体积，需注意的是绕哪条线形成的旋转体，所绕的轴不同的话，结果不同

5求弧长，非典型题，了解即可

6、7、8均为物理应用，不作要求，有兴趣的不妨一试

综上，总习题六实际上就2、3、4题需要引起注意

第七章空间解析几何，只对数一的同学有要求，数二三四的就直接pass吧

总习题七

1填空，向量代数的基本练习，必不可少

2、3、4、5都是平面向量几何的题目，不太重要，不过适当练习可以培养起用向量的方式来思考问题的习惯

7、8、9、10、11都是与向量有关的运算，包括加(减)，数乘、点积(相应的意义是一个向量在另一个向量的投影)、两向量的夹角、叉积(相应的意义是平行四边形的面积)，要通过这些题目熟悉向量的各种运算，重要

12用证明题的形式来考察对混合积的掌握，需掌握

13按定义写点的轨迹方程，解析几何中的常见题，了解基本做法即可

14旋转曲面相关题目，非常重要，要搞清楚绕某一轴旋转后的旋转曲面写法

15、16求平面的方程，顺带可复习平面方程的类型，这类问题的解决办法一般是先从立体几何中考虑，想到做法再翻译成解析几何的语言，重在思路的考察，需多加练习17求直线方程，同上题

18解析几何与极值的混合问题，也是一类典型题

19、20考察投影曲线和投影面，这部分知识是多重积分计算的基础，要重点掌握

21画出曲面所围的立体图形，有一定难度，是对空间想象能力的锻炼，尽量都掌握综上，总习题七需重点掌握的题目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

下册的内容有很多数二数三数四不考，因此我在解读习题时尽量标注出是数一要求的，大家平时也多查查考纲或者翻翻计划，这样对于哪些考哪些不考就更清楚了。

总习题八：

1填空，很重要

2选择，着重考查一条说法，偏导数存在未必可微，这个是无论数几都需要的，还有就是偏导数的几何应用，这个只数一要求

3基本题，求二元函数的定义域和极限，因为是初等函数，直接用“代入法”求极限就可以了

4典型题，判断极限存在性，考察如果证明一个二元函数的极限是不存在的(常用方法是取两条路径)

5典型题，求偏导数，注意在连续区间内按求导法则求，在间断点处只能按定义求

6求高阶偏导数，到二阶的题目需要熟练掌握

7微分的概念，简单题目，直接按微分和增量的定义即可

8重点题型，对一个二元函数，考察其在某点的连续性、偏导存在情况和可微性，务必熟练此类题目

9、10、11、12复合函数求偏导的链式法则，重点题型，要多加练习的一类题目，复合函数中哪些自变量是独立的，哪些是不独立的，还有各自对应关系，判断好这些是解题的关键

13、14分别是极坐标和直角坐标情形下偏导数的几何应用，数一要求

15、16方向导数相关题目，该知识点与第十一章联系密切，重要，数一要求

17、18多元函数的极值问题，典型题，且通常都是结合条件极值来考，这类题目一定要熟练，其中08年真题中一道极值题目就是把17题中的柱面改成锥面，其它完全一样，由此可见对课本要重新重视。

综上，总习题八需要重点掌握的题目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13(数一)、14(数一)、15(数一)、16(数一)、17、18

第九章的内容中，二重积分以外的内容是数二三四不要求的，就不在题号后一一写明了

总习题九

1选择题，实际是考察多重积分的对称性，属于典型题，在多重积分的情况下，对称性的应用比定积分要复杂，重要，第(1)小问是三重积分，只数一要求，第(2)小问是二重积分

2、3基本题型，计算二重积分或者是交换二重积分的顺序，需要熟练掌握

4利用交换积分次序证明等式，体会一下方法即可

5基本题型，利用极坐标计算二重积分，实际上在计算多重积分时本就要求根据不同的积分区域选择合适的坐标系，这是一个基本能力，重要

6确定三重积分的积分区域，比较锻炼空间想象能力的一类题，重要

7计算三重积分，基本题型，仍然要注意区域不同，所选坐标系不同

8重积分的几何应用，从二重积分的角度，或者从三重积分的角度都可以求解，此题要求数二三四考生也掌握

9、10、11是重积分的物理应用，不作要求

综上，总习题九需要重点掌握的题目是1、2、3、5、6、7、8

第十章的内容全部针对数一

总习题十

1填空，相关知识点是两类线、面积分之间的联系，重要

2选择，考察的是第一类曲面积分的对称性，与重积分的对称性类同，重点题型。需要注意，第二类线、面积分与第一类会有所不同，因为第二类线、面积分的被积元也有符号，这是和第一类线、面积分的区别

3计算曲线积分，基本题型，需要多加练习，六个小题基本覆盖了曲线积分计算题的类型

4计算曲面积分，基本题型，要求同上题。注意在计算线、面积分时，方法很多，常用的有直接转化成定积分或二重积分，或用Green公式，Guass定理，在用这两个定理时又要注意其成立的条件是所围区域不能有奇点，甚至不是闭区域要先补线或者补面，此类题目一定要熟练掌握

5全微分的相关等价说法，典型题，顺带可回顾一下与全微分有关的一系列等价命题

6、7线面积分的物理应用，不作要求

8证明，涉及的知识点多，覆盖面广，通过此题的练习可回忆和巩固线面积分的几乎所有知识点(把梯度和方向导数包括进来了)，推荐掌握

9从流量的角度出发理解第二类曲面积分，基本题型

10用Stokes定理积分空间曲线积分，基本题型，01年考过

综上，总习题十需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是级数，数二数四不要求，其中傅立叶级数对数三无要求

总习题十一

1填空，涉及级数敛散性的相关说法，重要

2判断正项级数的收敛性，典型题，综合应用比较、比值、根值三种方法，在用比较判别法时实际就是比较两个通项是否同阶无穷小，这样可让思路更清晰

3抽象级数的概念题，重点题型之一，要利用级数收敛的相关性质判断

4设置了陷阱的概念题，因为比较判别法只对正项级数成立，也是重点题型之一

5判断级数的绝对收敛和条件收敛，典型题，通过这些练习来加强对这类题目的熟练度6利用收敛级数的通项趋于零这一说法来判断极限，体会方法即可

7求幂级数的收敛域，典型题，要多加练习，注意搞清楚收敛域、收敛半径、收敛区域的区别

8求幂级数的和函数，典型题，重要，一般求和函数都不用直接法而用间接法，即通过对通项作变形(逐项积分或求导等)，再利用已知的常见函数的展开式得到结果，注意求出和函数不要忘记相应的收敛域。

9利用构造幂级数来求数项级数的和，也是一类重要题型

10将函数展开为幂级数，与8是互为反问题，仍是多用间接展开法，方法上异曲同工，需要熟练掌握，同样注意不要忘记收敛域

11、12傅立叶级数的相关题目，基本题，此类题目记得相应的系数表达式就可解决，一般来说至少要掌握周期为pi的情形。注意傅氏级数展开的系数公式难记，只能平时多加回顾，还有不要忽略了在非连续点展开后的傅氏级数的收敛情况(即狄利赫莱收敛定理) 综上，总习题十一需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二阶以上的方程对数四不作要求，下面不再详细说明

总习题十二

1填空，涉及微分方程理论的若干说法，基本题，第(2)问只数一要求

2通过解的形式观察出相应的微分方程，典型题，其中第(2)问更重要

3、4求解不同类型的微分方程，通过这些题目的练习，基本对各种方程的解法有一定了解，同时也培养了一些解题思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的几个小题只数一有要求

5微分方程的几何应用，基本题

6微分方程的物理应用，不作要求

7由积分方程推导微分方程，典型题，要求掌握

8用变量代换化简微分方程，典型题，只对数一有要求，注意在代换过程中要搞清楚变量和变量的对应关系

9涉及微分方程基本理论的题目，非常见题型，但可体会其出题思路

10欧拉方程的练习，数一要求

第 1 章第1 节映射与函数

习题1－1 －4(1) (2) (3)(7) (8)(9) (10), 5(1)(2) (3)(4), 7(1),8,9(1)(2), 13,15(1)

(2)(3)(4),17,18

第 1 章第2 节数列的极限习题1－2 －1(1) (2) (4) (5) (7) (8)

第1 章第3 节函数的极限习题1－3 －1,2,3,4

第 1 章第4 节无穷小与无穷大习题1－4 －1,4,5,6,8

第1 章第5 节极限运算法则习题1－5 －1(1) (2) (3) (4) (6)(7) (10) (11) (12) (14),2(1) (2),3(1),4(1) (2) (3) (4), 5(1) (3)

第 1 章第6 节极限存在准则两个重要极限习题1－6 －1(1) (2)(4) (5) (6),

2(1)(2) (3),4 (2)(3) (4 )(5)

第 1 章第7 节无穷小的比较习题1－7 －1,2,3(1) (2),4(2) (3)(4)

第 1 章第8 节函数的连续性与间断点习题1－8 －1,2(1) (2),3(1) (2) (4),4,5

第1 章第9 节连续函数的运算与初等函数的连续性习题1－9 －1,3(2) (4) (5) (6), 4(1) (4)(5)(6),5,6

第 1 章第10 节闭区间上连续函数的性质习题1－10 －1,2,3,4

第 1 章总复习题总复习题一1,2,3(1)(2),5,9(1)(2) (4)(5)(6),11,12,13

第 2 章第1 节导数概念习题2－1 －

3,6(1)(2)(3),7,8,9(1)(2)(4)(5)(7),11,13,14,16(1),17 ,18

第 2 章第2 节函数的求导法则习题2－2 －2(1)(6)(7)(9),3 (2)(3),4,7(1)(3)(6) (8)(9),8(8)(9),9, 10(1)(2), 11(2)(4) (6)(8)(9) (10)

第2 章第3 节高阶导数习题2－3 －3,4,9,10(1) (2), 11(1)(2)(3)(4)

第2 章第4 节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数习题2－4 －

2,4(1)(2)(3),7(1)(2), 8(1)(3)(4),9(2),10,11

第2 章第5 节函数的微分习题2－5 －1,2,3(1)(4)(7)(8)(10), 4(1)(2)(3)(5)(7)(8), 5,6

第 2 章总复习题二总复习题二1,2,3,6(1)(2),7,8(1)(3)(4)(5), 9(1),11,12(1)(2),13,14,16

第 3 章第1 节微分中值定理习题3－1 －1,2,3,4,5,6,7,8, 9,11,12,13,15

第 3 章第2 节洛必达法则习题3－2 －1(1)(2)(3)(4)(5) (6) (9)(12)(14)(15),2,3,4

第 3 章第3 节泰勒公式习题3－3 －2,3,4,5,6,7,10(1)(2) (3)

第 3 章第4 节函数的单调性与曲线的凹凸性习题3－4 －3(2)(3)(5)(6),4,5(1) (2)(3) (4),6,7, 9(1)(2)(3)(4) (5)(6), 10(1) 3),11,12,14,15

第 3 章第5 节函数的极值与最大值最小值习题3－5 －1(1) (2)(4) (5)(7)

(8)(9)(10), 4(1) (2) (3), 5,6,7,8,9,10, 11,12,13,14

第 3 章第6 节函数图形的描述习题3－6 －1,3,4,5

第 3 章第7 节曲率习题3－7 －1,2,3,4,5,6, 7,8

第 3 章总复习题三总复习题三1,2(1),2(2),4,5,6,9, 10(1)(3)(4),11(2)(3),12,14,17,19,20

第 4 章第1 节不定积分的概念与性质习题4－1 －2(1)(2)(7)(10)(13) (14) (17)(18) (19) (21) (22)(24) (25),5

第 4 章第2 节换元积分法习题4－2 －

2(1)(3)(6)(9)(12)(15)(18)(24)(26)(30)(33)(36),2(16) (21)(37)(39)(42) (44)

第 4 章第3 节分部积分法习题4－3 －1,2,3,4,6,7,8,9,11, 12,14,16,17,18,20,24

第 4 章第4 节有理函数积分习题4－4 －

1,2,3,5,6,7,9,10,12,14,15,17,18,19,21,23,24

第 4 章总复习题四总复习题四1,2,3,5,6,8,9,10,12,15,16,18,19,21,23,24,25,26,29,30, 32,33,35,36,38,39

第 5 章第1 节定积分概念与性质习题5―1 3(3)(4),11,12(2)(3),13(5)

第 5 章第2 节微积分的基本公式习题5―2 2,3,4,5(2)(3), 6

(6)(12),7(4),8(1),9(2),10,11,12

第5 章第3 节定积分的换元法和分部积分法习题5―3

1(9)(10)(12)(13)(15)(18)(21)(22)(24),2,3,5,6,7(7)(10)(13)

第5 章第4 节反常积分习题5―4 1(4)(10),2,3

第5 章总复习题五总复习题五1(1)(2)(4),2(2)(4),3(1),4(1) (2),5(1), 6,7,8(1),10(1) (2)(4)(8),11,12,14

第6 章第1 节定积分的元素法

第 6 章第2 节定积分在几何学上的应用习题6―2 1(1)(4),2(1),3,4,5(1)(2),7,6,8(2) 9,11,12,14 15(1) (3)(4),17,19,21,22,24,25,28,29

第 6 章第3 节定积分在物理学的应用习题6―3 1,2,3,4,6,7,8,9,11

第 6 章总复习题总复习题六1,2,3,4,7,8,9

第7 章第1 节微分方程基本概念习题7―1 1(1)(2)(4)(5),2(3) (4),4(2),5(1),6

第7 章第2 节可分离变量的微分方程习题7―2 1(1)(3)(5)(6)(8),3,4,6

第7 章第3 节齐次方程习题7―3 1(1)(4)(5),2(1),3, 4(1)(2)(4)

第7 章第4 节一阶线性微分方程习题7―4 1(1)(4)(8),1(10),2(1)(5),

7(1)(2)(3)(4),8(1)(4)(5)

第7 章第5 节可降阶的高阶微分方程习题7―5 1(1)(4)(7)(8)(10), 2(1)(2)(4)(5),3

第7 章第6 节高阶线性微分方程习题7―6 1(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9), 4(2)(3)(4)

第7 章第7 节常系数齐次线性微分方程习题7―7 1(1)(5)(7)(8)(10), 2(1)(2)(4)(5)

第7 章第8 节常系数非齐次线性微分方程习题7―8 1(1) (3) (4)(5)(7) (9) (10), 2(1) (2) (4),6

第7 章第9 节欧拉方程习题7―9 1,2,6,7

第7 章总复习题总复习题七1,2,3(1)(2) (3) (4)(7) (8) (9), 4(1)(3)(4),5,7,10(1)

第8 章第1 节向量及其线性运算习题8―1 11,12,15,17,18

第8 章第2 节数量积、向量积、混合积习题8―2 3,4,6,7,9,10

第8 章第3 节曲面及其方程习题8―3 2,5,7,9, 10(1)(2)(3)(4)

第8 章第4 节空间曲线及其方程习题8―4 3,4,7,8 平面及其方程

第8 章第5 节平面及其方程习题8―5 1,2,3,5,9

第8 章第6 节空间直线及其方程习题8―6 1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12, 13,15

第8 章总复习题总复习题八1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2), 15,17,19,20

第9 章第1 节多元函数基本概念习题9―1 2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8

第9 章第2 节偏导数习题9―2 1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2), 9(1)

第9 章第3 节全微分习题9―3 1(1)(2)(4),2,3,5

第9 章第4 节多元复合函数的求导法则习题9―4 2,4,6,7,8(1)(2),10,11, 12(1)(4) 第9 章第5 节隐函数的求导公式习题9―5 1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3)

第9 章第6 节多元函数微分学的几何应用习题9―6 3,4,6,7,9,10,12

第9 章第7 节方向导数与梯度习题9―7 2,3,5,7,8,10

第9 章第8 节多元函数的极值及其求法习题9―8 1,2,5,6,7,9,11

第9 章第9 节二元函数泰勒公式习题9―9 1,3

第9 章总复习题总复习题九1,2,3,5,6,8,9, 12,15,16,17,20

第10 章第 1 节二重积分的概念与性质习题10―1 2,4,5

第10 章第 2 节二重积分的计算法习题10―2

1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14( 1)(2),15(1)(2)(3),16

第10 章第 3 节三重积分习题10―3 1(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1)

第10 章第 4 节重积分的应用习题10―4 1,2,5,6,8,10,14

第10 章总复习题总复习题十1,2(1) (3),3(1)(2) 6,8(1)(2),10,11,12

第11 章第 1 节对弧长的曲线积分习题11―1 1,3(3)(4)(5)(7),4

第11 章第 2 节对坐标的曲线积分习题11―2 3(1) (2)(3) (5) (6)(7),

4(1)(2)(3),7(1)(2),8

第11 章第 3 节格林公式及其应用习题11―3 1,2(1)(2),3,4(1)(2),

5(1)(2)(4),6(1)(3)(4), 8(1) (3)(5) (6)(7)

第11 章第 4 节对面积的曲面积分习题11―4 1,4(1)(2),5(1), 6(1)(2)(3),7,8

第11 章第 5 节对坐标的曲面积分习题11―5 3(1)(2)(4),4(1)(2)

【重磅】同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟

悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学同济大学第六版 总复习六答案

总 习 题 六 1. 一金属棒长3m , 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m ). 问x 为何值时, [0, x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足?? +=+30011211 1dt t dt t x . 因为212]12[1 100-+=+=+?x t dt t x x , 1]12[2111213030=+=+?t dt t , 所以 1212=-+x , 4 5=x (m). 2. 求由曲线ρ=a sin θ, ρ=a (cos θ+sin θ)(a >0)所围图形公共部分的面积. 解 ?++?=432 222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 2432224 1)2sin 1(28a d a a -=++=?πθθπππ. 3. 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 且当x ∈[0, 1]时, y ≥0. 试确定a 、b 、c 的值, 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为9 4, 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小. 解 因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0, 0), 所以c =0, 从而 bx ax y +=2.

抛物线bx ax y +=2与直线x =1, y =0所围图形的面积为 23)(1 02b a dx bx ax S +=+=?. 令9423=+b a , 得9 68a b -=. 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 )235()(22102 2ab b a dx bx ax V ++=+=?ππ )]9 68(2)968(315[22a a a a -+-+=π. 令0)]128(181********[=-+-?+2=a a a d dV π, 得3 5-=a , 于是b =2. 4. 求由曲线2 3x y =与直线x =4, x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 所求旋转体的体积为 πππ7512722240274023=?=?=?x dx x x V . 5. 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积. 解 )2(1223 12?--??=dx x x V π 22 224cos )sin 2(4 sin 2ππππ=+=-?-tdt t t x 令. 6. 抛物线22 1x y =被圆322=+y x 所需截

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

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同济大学高等数学2

同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

同济大学版高等数学期末考试试卷

同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

同济大学第六版高等数学综合测试题

第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

同济大学版高等数学期末考试试卷

《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 分，共 ?分） ．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ） （?）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （ ）()||f x x = 和 ( )g x = （ ）()f x x = 和 ( )2 g x = （ ）()|| x f x x = 和 ()g x = ．函数( )() 20ln 10 x f x x a x ≠=+?? =? 在0x =处连续，则a = （ ） （?） （ ） 1 4 （ ） （ ） ．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ） （?）1y x =- （ ）(1)y x =-+ （ ）()()ln 11y x x =-- （ ） y x = ．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ） （?）连续且可导 （ ）连续且可微 （ ）连续不可导 （ ）不连续不可微 ．点0x =是函数4 y x =的（ ） （?）驻点但非极值点 （ ）拐点 （ ）驻点且是拐点 （ ）驻点且是极值点

．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ） （?）只有水平渐近线 （ ）只有垂直渐近线 （ ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （ ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 ． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ） （?）1f C x ?? -+ ??? （ ）1f C x ?? --+ ??? （ ）1f C x ?? + ??? （ ）1f C x ?? -+ ??? ． x x dx e e -+?的结果是（ ） （?）arctan x e C + （ ）arctan x e C -+ （ ）x x e e C --+ （ ） ln()x x e e C -++ ．下列定积分为零的是（ ） （?）424arctan 1x dx x π π-+? （ ）44 arcsin x x dx ππ-? （ ）112x x e e dx --+? （ ）()1 2 1 sin x x x dx -+? ?．设()f x 为连续函数，则 ()1 2f x dx '?等于（ ） （?）()()20f f - （ ）()()11102f f -????（ ）()()1 202f f -????（ ）()()10f f - 二．填空题（每题 分，共 ?分） ．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = ．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '= ．21 x y x =-的垂直渐近线有条 ． ()21ln dx x x = +?

高等数学同济课后答案

总习题一 1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、 解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、 设

2-5高等数学同济大学第六版本

2-7 1. 已知y =x 3-x , 计算在x =2处当?x 分别等于1, 0.1, 0.01时的?y 及dy . 解 ?y |x =2, ?x =1=[(2+1)3-(2+1)]-(23-2)=18, dy |x =2, ?x =1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =1=11; ?y |x =2, ?x =0.1=[(2+0.1)3-(2+0.1)]-(23-2)=1.161, dy |x =2, ?x =0.1=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.1=1.1; ?y |x =2, ?x =0.01=[(2+0.01)3-(2+0.01)]-(23-2)=0.110601, dy |x =2, ?x =0.01=(3x 2-1)?x |x =2, ?x =0.01=0.11. 2. 设函数y =f (x )的图形如图所示, 试在图(a )、(b )、(c )、(d )中分别标出在点x 0的dy 、?y 及?y -d y 并说明其正负. 解 (a )?y >0, dy >0, ?y -dy >0. (b )?y >0, dy >0, ?y -dy <0. (c )?y <0, dy <0, ?y -dy <0. (d )?y <0, dy <0, ?y -dy >0. 3. 求下列函数的微分: (1)x x y 21+=; (2) y =x sin 2x ; (3)12+=x x y ; (4) y =ln 2(1-x ); (5) y =x 2e 2x ;

(6) y=e-x cos(3-x); (6) dy=y'dx=[e-x cos(3-x)]dx=[-e-x cos(3-x)+e-x sin(3-x)]dx =e-x[sin(3-x)-cos(3-x)]dx . (8) dy=d tan2(1+2x2)=2tan(1+2x2)d tan(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)d(1+2x2) =2tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)?4xdx =8x?tan(1+2x2)?sec2(1+2x2)dx. 4.将适当的函数填入下列括号内,使等式成立:

同济大学高等数学1期末试题(含答案)

1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解