几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型”

一.【一线三等角概念】

“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。

二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧

D

C

A B

P

A P

锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧

P

P

P

锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧

D

C

A B

P

P

锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧

P

D

P

P

锐角直角钝角

三、【性质】

1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α2=α3易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟

如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解)

如图 3-3，当∠1=∠2 且1902

BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）

图 3-5

四、【“一线三等角”的应用】

1.应用的三种情况.

a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题；

c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.

注意：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.

2.适应场景：在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.

3.构造步骤：找角、定线、构相似

【引例】

例 1如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC 的边长．

思路引导：

【脑洞大开-三角构造】

例 1 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长.

横向构造纵向构造斜向构造

斜A相似构造：

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用 “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。 “一线三垂直”的性质： 1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长； 2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。 “一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种： 其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论 有一对对应边相等的情况。 【例1】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？

，△ACE ≌△CBD ，于是CD=AE=5cm ，【提示】根据“一线三垂直”模型的性质 CE=BD=2cm ，DE=5-2=3 （cm） 【例2】如图，在△ABC 中，CA=CB ，点D为B C 中点，CE⊥AD 于点E，交AB 于 D F。求证：A D=CF+DF. 点F，连接 【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。 ”到直线CF 上。如图，过 点 B 作 “转化 要把 从要证明的结论来看，需 A D 这条线段 BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G。 则易证△ACD ≌△CBG ，于是AD=CG=CF+FG ； BG=CD=BD ，BF=BF ，∠DBF= ∠GBF=45o ， 故△BDF ≌△BGF ，于是FD=FG ，所以AD=CF+DF 。

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一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角， 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下，如图 3-1 ，由∠ 1=∠ 2=∠ 3，易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 . 如图 3-1 ，若 CE=ED ，则△ AEC ≌△ BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠ 1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3，当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC901 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长BE 与 CF，交于点 P ，则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5 ，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用 1、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且APM B ∠=∠，AP=MP，求证：△APB≌△PMC。 分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据 已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ABC为等边三角形，60 APM? ∠=，BP=1, 2 3 CM=，求△ABC的边长。 3、如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,3,7,60 AD cm BC cm B? ==∠=，P为BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PM交DC于M，使得APM B ∠=∠。 （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）求AB的长； （3）在底边BC上是否存在一点P，使得DM:MC=5:3？若存在， 求出BP的长；若不存在，请说明理由。

4、如图，, ===， AB cm CD cm BD cm ⊥⊥，且6,4,14 AB BD CD BD 问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD BC <，且AD=5,AB=DC=2。 （1）如图a，P是AD上的一点，满足BPC A ∠=∠。 ①求证：△ABP∽△DPC；②求AP的长。 （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPE A ∠=∠，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么： ①当点Q在线段DC的延长线上时，设, AP x CQ y ==，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP的长。 6、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。 （1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设BM x =，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数 关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出

一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)

如图，AB=12米，CA丄AB于点A , DB丄AB于点B，且AC=4米，点P从B向A运动, 每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，△ CPA 与厶PQB全等？ D C / / F - f I A p S 如图①所示，在△ ABC中，/ C=90 0，AC=BC，过点C在厶ABC外作直线MN，AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证：MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交，AM丄MN于点M， BN丄MN于N ,(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图①图②

如图，已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点，DM平分/ ADC. (1) 求证：AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果 如图，△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?

【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示，在Rt ABC中，.ABC =90 ,点D在边AB上，使，过点D作EF _ AC，分别 交AC于点E，CB的延长线于点F。求证：AB=BF。( 8分) 如图(1)，已知AB 丄BD，ED 丄BD，AB=CD，BC=DE， ⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由.

初中几何模型：三垂直全等模型分析

三垂直全等模型 “三垂直模型”是初中必会的一种几何模型，它是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以这一知识点的掌握对于中考至关重要。 模型三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。 图①图② 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的。 图③图④ D E A B C 例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. D 证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC， A

∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°. ∴∠BAE ＝∠CED . 在△ABE 和△ECD 中， B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD . ∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC. 例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E D A 解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中， E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△CEB ≌△ADC . ∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm . 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标。

一线三等角典型例题

“　 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、（2015 年山东·德州卷） (1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP. (2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由. (3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与A B相切，求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H，使∠AHK = ∠ACD1．作 D1M ⊥KH，D2N ⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系，并加以证明． ( 2) 拓展延伸 1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线K1H1 ，K2H2，分别交直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1．作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由． 2如图8，若将①　中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)

一线三等角模型(K型、三垂直模型)应用

《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合：一线三等角模型（K 型/三垂直模型）应用 1．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直线MN 过A 点，分别过B 、C 向直线MN 作垂线，垂 足为E 、F 。求证： EF=BE+CF 。 （2）若将（1）中的直线MN 绕着A 点旋转，使直线MN 与BC 相交，如图（2），而其他条件不变时，（1）中的 结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，你能得到什么结论？请给出证明。 2．如图1，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． （1）试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论． （2）若连接EF 交GA 的延长线于H ，由（1）中的结论你能判断并证明EH 与FH 的大小关系吗？ （3）图2中的△ABC 与△AEF 的面积相等吗？（不用证明） A B C E F 图（1） M N A B C E F 图（2） M N

3．[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC． [问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得 ∠DCE＝°． [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数． [拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值． 4、课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），∠ACB=90°，AC=BC，从三角板的刻度可知AB=20cm，小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方（每块砖的厚度相等）为________cm． 5、如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间 的距离为2 , l2、l3之间的距离为3 ,则AC的长为。

几何模型：一线三等角模型知识讲解

几何模型：一线三等 角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧

三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED ，则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用

一线三等角模型综合题解

【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG． （1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明； （2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论； （3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

【例2】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF． （1）求证：△MEF∽△BEM； （2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EF⊥CD，求BE的长．

【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD 于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE∥AB； （2）设△PEQ 的面积为y（cm 2），求y 与t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=25 2S△BCD？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；(4)连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．

(完整word版)全等三角形之三垂直模型

全等三角形之三垂直模型 模块一：三垂直模型 1.已知：如图(1)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于E，CD⊥BD，求证：ED AE CD =- 2.已知：如图(2)，AB=BC，AB⊥BC，AE⊥BD于F，BC⊥CD，求证：EC AB CD =-

3. 已知：如图(3)，AB =EC ，AE ⊥ED ，BE ⊥AB ，CD ⊥CE ，求证：BC AB CD =+ 4. 如图，ABC ?是等腰直角三角形，DE 过直角顶点A ，90D E ∠=∠=?，则下列结论正确的个数有（ ） ①CD =AE ；②12∠=∠；③34∠=∠；④AD =BE . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图所示，AB BC ⊥，CD BC ⊥，垂足分别为B 、C ，AB =BC ，E 为BC 中点，AE BD ⊥于F ，若CD =4cm ，则AB 的长度为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 6. 如图，已知Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC =BC ，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ，BF AC P ，交CE 的延长线于点F ，求证：AC =2BF .

7. 如图，在直角梯形ABCD中，90 ABC ∠=?，AD BC P，AB=BC，E是AB的中点，CE BD ⊥.求证：AE=AD. 模块二：勾股定理的证明 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222 a b c +=. 以毕达哥拉斯内弦图为例： 22 222 222 1 ()4() 2 22 a b ab c a a b b ab c a b c +=?+ ++=+ += 等面积法 8. 如图，直线l过等腰直角三角形ABC顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是3和4，则AB的长是.

一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]

如图，AB=12 米，CA⊥AB 于点A，DB⊥ AB 于点B，且AC=4 米，点P 从 B 向 A 运动， 每分钟走1米，点Q从B点向D 运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟 如图①所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线MN，AM⊥M N 于点M，BN⊥MN 于点N． (1)求证：MN=AM＋BN． (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于N，(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图① 图②

如图,已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 1）求证：AM 平分∠DAB 2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ 3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。 如图，△ABE≌△EDC，E 在BD 上，AB⊥BD，垂足为B，△AEC 是等腰直角三角形吗？为什么？

练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F，求证AE=EF

交AC 于点E，CB 的延长线于点F。求证：AB=BF 。(8 分) 如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE， (1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由． 如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 是过点A 的直线，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于点E；如图所示，在Rt ABC中，ABC = 90，

一线三等角模型

专题九：“一线三角型”模型的应用1如图，在△ ABC中，AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ，AP=MP，求证：△ APB^A PMC 分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ ABC为等边三角形，.APM =60 , BP=1,CM =?，求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图，等腰梯形ABCD中, 60 ， P为BC上一点(不与B C重合)，连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证：△ ABP^A PCM (2)求AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长；若不存在，请说明理由

4、如图，AB I BD,CD _ BD ，且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问：在 BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似？如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD ：： BC ，且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ，P 是AD 上的一点，满足.BPC- A ①求证：△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满 足.BPE W^A ，PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP 二x,CQ 二y ，求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和 MN 垂直，如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ，梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系 式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCNS 积最大，并求出 占 ~~

中考数学压轴题专项汇编专题一线三等角模型

专题17 一线三等角模型 破解策略 在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ． 1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ． 321D B P A C （2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ． 3 C D P A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD （3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ． 231D B P A C 2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ． 32 1C P D B A 证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CPA ，∠C ＝180°－∠1－∠CPA ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ， ∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD 3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 异侧时． 如图，则有△ACP ∽△BP D ．

32 1C D B A P 证明：∵∠C ＝∠1－∠CPB ，∠BPD ＝∠3－∠CPB ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠BP D ． ∵∠1＝∠2，∴∠PAC ＝∠DBP ．∴△ACP ∽△BP D ． 例题讲解 例1：已知：∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上（不与点A ，B 重合）．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N ．记△ADM 的面积为S 1，△BND 的面积为S 2． （1）如图1，当△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝∠A 时，若AB ＝6，AD ＝4，求S 1S 2的值； （2）当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α． ①如图2，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1S 2的表达式（结果用a ，b 和a 的三角函数表示）． ②如图3，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1S 2的表达式． N F C M E B D A F N M E B D A C F N D A B E M C 图1 图2 图3 解：（1）如图4，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ． H G A D B E M C F N 则S 1S 2＝ 1 2 MG AD 12 NH BD ＝ 14 AD AM sin A BD BN sinB ． 由题意可知∠A ＝∠B ＝60o，所以sin A ＝sin B ＝32 ． 由“一线三等角模型”可知△AMD ∽△BDN ． ∴ AM AD BD BN ，从而AM BN ＝AD BD ＝8，∴S 1S 2＝12． （2）①如图5，分别过点M ，N 作AB 的垂线，垂足分别为G ，H ．

几何模型：一线三等角模型 (最终版)

初中几何模型之“一线三等角模型” 一.【一线三等角概念】 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.【一线三等角的分类】

2.1 全等篇_同侧 A P A P 锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

2.3 相似篇_同侧 D C A B P P 锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角

三、【性质】 1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α 2=α3易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。

3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.

5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 四、【“一线三等角”的应用】 1.应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题； c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题.

2020年九年级初中必会几何模型-三垂直模型

三垂直模型 【模型概述】 出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。 【基本模型】 图1 图2 【解读】 ⑴图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线； ⑵当△ABC和△CDE三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE； ⑶当△ABC和△CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有△ABC≌△CDE； ⑷证明思路：同角的余角相等 ⑸解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。 典型例题1-1 已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E。 ⑴如图1，①线段CD和BE的数量关系是 ②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。 ⑵如图2，结论②还成立吗？如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。

【小结】 典型例题1-2 如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（） 典型例题1-3 经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。 ⑴求抛物线的解析式； ⑵点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。 ⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长。

【小结】 变式训练1-1 如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=( ) 变式训练1-2 如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，(1)求C点的坐标；

几何模型：一线三等角模型

一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类 全等篇 C A P 锐角 D A B C 相似篇 C A P 锐角 D D D C C BA P B A P B同 侧 直角钝角 D D A A P P P B B C C 异侧 D D D C C BA P B A P B同 侧 直角钝角 D D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图3-1，若CE=ED，则△AEC≌△BDE.

3.中点型“一线三等角” 如图3-2 ，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图3-3 ，当∠1=∠2且BOC90 1 BAC时，点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， BOC 90 1 BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图3-4 （右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是△PEF的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图3-5 其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；

三垂直模型与全等综合的

【例9】等腰 Rt △ ABC 中 / ACB= 90°, AC=BC F 是BC 上的中点，连 AF ,作CDL AF 于E , 交AB 于D; 连 FD.求证：AD = 2BD 【例3】已知△ ABC 中，/ C=90 ,AC=BC,D 是AB 的中点,E 是BC 上任一点,EP 丄CB,PFL AC,E 、 F 为垂足， 求证：△ DEF 是等腰直角三角形 K 模型图与全等 知识点 基本图形 本题8分)如图，在等腰 Rt △ ABC 中, / ACB 90°, D 为BC 的中点，DEL AB 垂足为E,过 点B 作 BF// AC 交DE 的延长线于点 F ,连接CF. (1) 求证：AD L CF ； (2) 连接AF,求证：AF = CF 22.边长为1的正方形 ABCD 中, E 是AB 中点，连CE 过 B 作 BFL CE 交 AC 于 F ,求 AF. 【例8】 C

【例4】如图，D 为线段AB 的中点，在AB 上取异于D 的点C,分别以AC BC 为斜边在AB 同侧作等腰直角三 角形 ACE 与BCF 连结DE DF EF ,求证：△ DEF 为等腰直角三 角形。 【例5】如图，分别以厶 ABC 的边AB AC 向外作等腰 Rt △ ABD 等腰Rt △ ACE 连接DE, AF 是厶ABC 的中线， FA 的延长线交 DE 于点H,求证：DE = 2AF 【例6】如图，在正方形 ABCD 中，点N 是BC 边上的点。连接 AN MNL AN 交/ DCB 的外角平 分线于点M 求证：AN= MN A CD B E

9、如图，直线AB交x轴正半轴于点A (a, 0),交y轴正半轴于点 B (0, b),且a、b 满足Ja 4 + |4 —b|=0 (1)求A B两点的坐标； (2)D为OA的中点，连接BD过点O作OEL BD于F,交AB于E, 求证/ BDO/ EDA

相似三角形模型讲解一线三等角问题

第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型： （六）双垂型：

二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形

第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A B P D E （第25题图） G M F E H D C A

【猿辅导几何模型】中考必会几何模型：三垂直全等模型

中考必考几何模型（猿辅导） 最 新 讲 义

三垂直全等模型 模型三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图①图② 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 图③图④ D E A B C 例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. D 证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°. ∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°. ∴∠BAE＝∠CED. 在△ABE和△ECD中， A

B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD . ∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC. 例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E D A B 解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中， E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△CEB ≌△ADC . ∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm . 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. x y 图①B A (0,3) C (-2,0) O 解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D . ∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°. 由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，

初二数学专题训练：一线三等角模型及应用A班 (答案与解析)

一线三等角模型及其应用A 班 （时间：60分钟 满分：100分） 姓名： 得分： 【知识点睛】 “一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧． 一、“一线三等角”的基本构图： 二、“一线三等角”的基本性质： 1.如果123∠=∠=∠，那么D CBE ∠=∠，ABD E ∠=∠. 2.如果图中ABD ?与CEB ?中有一组对应边相等，则有ABD CEB ???. 三、“一线三等角”的基本应用： 对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60?角和45?角及一般的角. 四、“一线三等角”的用法： 若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角. 五、“一线三等角”的三大模块 （1）直角型“一线三等角”——“三垂直” 直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种.认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊. （2）等边三角形中的“一线三等角” （3）等腰直角三角形中的“一线三等角” 3 2 1132 C E B D D C B E l l

1、（16分）如图，ABC ?中，AB AC =，D 、 E 、 F 分别为AB 、BC 、AC 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠． （1）求证：BDE CEF ∠=∠； （2）当60A ∠=?时，求证：DEF ?为等边三角形． 【解答】证明： （1）DEC ∠是BDE ?的一个外角， B BDE DEF CEF ∴∠+∠=∠+∠， DEF B ∠=∠， BDE CEF ∴∠=∠； （2）由（1）可知BDE CEF ∠=∠， AB AC =，60A ∠=? 60B C ∴∠=∠=?， 60DEF ∴∠=?， 在BDE ?和CEF ?中 B C BD CE BDE CEF ∠=∠?? =??∠=∠? ()BDE CEF ASA ∴???， DE EF ∴=， DEF ∴?为等边三角形

中考数学必考几何模型：三垂直全等模型

三垂直全等模型 模型三垂直全等模型 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC. 结论：Rt△BCD≌Rt△CAE. 模型分析 说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图. 图①图② 三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的. 图③图④ D E A B C 例1如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC. A

D 证明：∵AE ⊥DE ，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴∠AED ＝∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠A ＋∠AEB ＝∠AEB ＋∠CED ＝90°. ∴∠BAE ＝∠CED . 在△ABE 和△ECD 中， B C A CED AE ED ∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△ECD . ∴AB ＝EC ，BE ＝CD . ∴AB ＋CD ＝EC ＋BE ＝BC. 例2 如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD ＝2.5cm ，BE ＝0.8cm ，则DE 的长为多少？ E D A 解答：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ， ∴∠E ＝∠ADC ＝90°. ∴∠EBC ＋∠BCE ＝90°. ∵∠BCE ＋∠ACD ＝90°， ∴∠EBC ＝∠DCA . 在△CEB 和△ADC 中，

E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△CEB ≌△ADC . ∴BE ＝DC ＝0.8cm ，CE ＝AD ＝2.5cm . ∴DE ＝CE －CD ＝2.5－0.8＝1.7cm . 例3 如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △ABC 有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标. x y 图①B A (0,3) C (-2,0) O 解答：（1）如图③，过点B 作BD ⊥x 轴于点D . ∴∠BCD ＋∠DBC ＝90°. 由等腰Rt △ABC 可知，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＋∠ACO ＝90°. ∴∠DBC ＝∠ACO . 在△BCD 和△CAO 中， BDC AOC DBC ACO BC AC ∠=∠??∠=∠??=? ∴△BCD ≌△CAO . ∴CD ＝OA ，BD ＝OC . ∵OA ＝3，OC ＝2. ∴CD ＝3，BD ＝2. ∴OD ＝5. ∴B （－5，2）.