小升初衔接数学讲义共13讲

第一讲 数系扩张--有理数（一）

一、【问题引入与归纳】

1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：

3、有理数的本质定义，能表成

m

n

（0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）；

② 四则运算的封闭性（0不作除数）；

③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：

① (0)

||(0)

a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥

③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：

若|||

|||

0,a b ab

ab a b ab

+-

则的值等于多少？

如果m 是大于1的有理数，那么

m 一定小于它的（ D ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方

已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062

()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。

如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，

如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）

A.2a

B.2a -

C.0

D.2b

已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）

1、绝对值的几何意义

①|||0|

a a

=-表示数a对应的点到原点的距离。

②||

a b

-表示数a、b对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：

（1）若20

a

-

≤≤，化简|2||2

|

a a ++-

（2）若0

x，化简

||

|2|

|3|||

x x

x x

-

--

解答：

设0

a，且

||

a

x

a

≤，试化简|1||2|

x x

+--

解答：

a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

（1）||||||;

a b a b

+=+（2）||||||;

ab a b

=

（3）||||;

a b b a

-=-（4）若||a b

=则a b

=

（5）若||||

a b，则a b（6）若a b，则||||

a b

解答：

若|5||2|7

x x

++-=，求x的取值范围。

解答：

不相等的有理数,,

a b c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果||||||

a b b c a c

-+-=-，那么B点在A、C的什么位置？

解答：

设a b c d，求||||||||

x a x b x c x d

-+-+-+-的最小值。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：

计算：3510.752(0.125)124478???

???+-+++-+- ? ? ????

???

解答：

计算：（1）、()()

560.94.48.11+-++-+

（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25 （3）、（-423）+111362324??????

-+++- ? ? ???????

解答：

计算：①()232321 1.75343??????

------+ ? ? ???????

②111142243??????-+--- ? ? ??????? 解答：

（1）711145438248????????

---+--+ ? ? ? ?????????

（2）35123.7540.1258623??

??????----+-+- ? ? ?????????

??

（3）()()340115477??

????+-----+--+- ? ????????

?

（4）235713346??????-?+÷- ? ? ???????

③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：

计算：23797

0.71 6.6 2.20.7 3.31173118

?-?-÷+?+÷ 解答：

计算：111111

111

1

(1)()(1)23

1996234

199723

1997

---

-?++++-----

1111

()234

1996

?++++

解答：

计算：①223

2(2)|3.14|| 3.14|(1)

π

π-+----

---

②{}235324[3(2)(4)(1)]7-?-+?-?---÷-- 解答：

化简：111

()(2)(3)(9)1223

89

x y x y x y x y +++

++++

???并求当2,x = 9y =时的值。

解答：

计算：22222

222213141

12131411

n n S n ++++=++++---- 解答：

比较123424816

2n n

n

S =+++++

与2的大小。 解答：

计算：

3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001

-?+----÷++- 解答：

已知a 、b 是有理数，且a b ，含23a b c +=

，23a c x +=，23

c

b

y +=，请将,,,

,a b c x y

按从

（4）甲数与乙数的差的平方。

（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比a 的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。

代数式的求值： （1）已知

25a b a b -=+，求代数式2(2)3()

2a b a b a b a b

-++

+-的值。 （2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。

（3）已知2a b =；5c a =，求

624a b c

a b c

+--+的值(0)c ≠

（4）已知113b a -=，求222a b ab

a b ab

---+的值。

（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式3Px qx ++

的值。

（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。 （7）已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。 （8）当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。

找规律：

Ⅰ.（1）22(12)14(11)+-=+； （2）22(22)24(21)+-=+ （3）22(32)34(31)+-=+ （4）22(42)44(41)+-=+ 第N 个式子呢？

Ⅱ.已知 2222233+

=?； 233

3388+=?； 244441515+=?； 若21010a a

b b

+=?

（a 、b 为正整数），求?a b +=

Ⅲ. 32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想：

若,,a b c 互异，且x y a b b c c a

Z

==

---，求x y Z ++的值。 解答：

已知210m m +-=，求3222005m m ++的值。 解答：

已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。 解答：

已知,a b 均为正整数，且1ab =，求11

a b

a b +

++的值。 解答：

求证20061

20062

1111222

2个个等于两个连续自然数的积。

解答：

已知1abc =，求111

a b c

ab a bc b ac c ++

++++++的值。 解答：

一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于

3个，问多少人分苹果？

解答：

三、【备用练习题】：

1、已知1ab =，比较M 、N 的大小。

11

11M a b

=

+++，

11a b N a b

=+++。

白两种颜色的正六边形地面砖（如

图所示）的规律，拼成若干个图案：（1

）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第

n 个图案中有白色地面砖多少块？

10

个图形中三角形的个数为多少？第n 个图形中三角形的个数为多少？

观察右图，回答下列问题：

（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？

（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n 层有多少个点？

（3）某一层上有77个点，这是第几层？

（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？

读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述

式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为100

1

n n =∑，这里“∑

是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为50

1

(21)

n n =-∑又如“3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

12345678910+++++++++”可表示为10

31

n n =∑，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：

A.333

B.334

C.335

D.336

5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：

6、给出下列算式：

4

87938572

835181322222222?=-?=-?=-?=-

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：

7、通过计算探索规律：

152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25

…………

752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952= 8、已知()()1216

1

3212222++=

++++n n n n ，计算： 112+122+132+…+192= ；

9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n 是自然

7、已知23x -，化简|2||3|x x +--

8、已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值等于2，P 是数轴上的表示原点的数，求

10002a b

P cd m abcd

+-+

+的值。

9、问□中应填入什么数时，才能使|20062006|2006?-=

10、,,a b c 在数轴上的位置如图所示， 化简：|||1||||1||23|a b b a c c b ++------- 11、若0,0a b ，求使||||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围。

12、计算：2481632

(21)(21)(21)(21)(21)

21

+++++-

13、已知200420042004200320032003a ?-=-

?+，200520052005

200420042004b ?-=-?+，

200620062006

200520052005

c ?-=-

?+，求abc 。

14、已知99

99909911,99

P q ==，求P 、q 的大小关系。

15、有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=。设|||||||

|a b c

x b c c a a b

=+++++，求代数式19992008x x -+

若5545410(31)x a x a x a x a +=++++。求543210a a a a a a -+-+-的值。

解答：

已知1x =是方程11

322

mx x =-的解，求代数式22007(79)m m -+的值。

解答：

关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数K 的值。 解答：

若方程732465x x x --=-与方程3551

2246

x x mx ---=-

同解，求m 的值。 解答：

关于x 的一元一次方程22(1)(1)80m x m x --++=求代数式200()(2)m x x m m +-+的值。 解答：

解方程

200612233420062007

x x x x

++++

=????

解答：

已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解。 解答：

a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=

，①有一解；②有无数解；③无解。 解答：

一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1

3

后，用水加满，第二次倒出它的

1

2

后用水加满

这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。

45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60

座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元

60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？

年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838

，问到2006年底张先生多大？

有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A

型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，

设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？

狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？

一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？

《中华人民共和国个人所得税》规定，公民每月薪金不超过80元不纳税，超过800元的按超过部分的多少分段交税，详细税率如下表：

（1）如果某人月收入1250元，每月纳税22.5元，则a值为多少？

（3）有两人抽签决定参加比赛，先抽签和后抽签的参加比赛的可能性。

（4）从街对面开过来一辆车，车牌号是奇数和数的可能性。

（5）现有标着1，2，3，4，，100的卡片，从中任意抽一张，号码是2的倍数与号码是的倍数的可能性。

【例5】转动如图所示的转盘，判断下列事件发生的可能性的大小。

（1）指针指到的数字是一个偶数；

（2）指针指到的数字不是3；

（3）指针指到的数字小于6；

【例6】甲乙两个同学玩掷硬币游戏，任意掷一枚硬币两次，如果两次朝上的面相同，那么甲获胜；如果两次朝上的面不同，那么乙获胜；这个游戏公平吗？为什么？

【例7】两枚硬币，在第一枚正反两面上分别写上1和2，在

第二枚正反两面上分别写上3和4，抛掷这两枚硬币，

出现数字之和为5的机会是多少？

【例8】抽屉里有尺码相同的4双黑袜子和1双白袜子混在一

起，随意取出2只。

（1）估计恰好是一双的可能性有多大？

（2）若用小球模拟实验，有一次摸出2个黑球，但忘

记放回，影响结果吗？为什么？

【例9】（1）设有12只形状相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取1只，是二等品的可能性等于（）

（A）1

12

；（B）

1

6

；（C）

1

4

；（D）

7

12

（2）在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余都相同的3个小球，其中一个红

球，两个黄球如果第一次先从袋中摸出一个球后不再放回，第二次再从袋中木摸出一个，那么两次都摸到黄秋的可能性是多少？

【例10】桌子上放着6张扑克牌全部正面朝下，你已被告知其中有两张老K 在那个位置，你随便取了两张并把他们翻开并把他们翻开，下面哪一种情况更

【思维延伸】：如图，已知A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°,试问:∠COD与∠DOE之间有怎样的关系？说明理由。

解答：

点到8点之间，（1）何时时针与分针垂直？（2

）何时时针与

分针重合？（3

）何时时分针成一条直线？

解答：

一副三角板由一个等腰三角形和一个含30°角的直角三角形组成，利用这副三角板构成15°解的方法很多，请你给出三种方法（写出算式即可）。

解答：

α

、

β

都是锐角，甲、乙、丙、丁计算

1

()

6

αβ

+的结果依次为50°, 26°，72°，90°，其中正确的结果是多少？

【思维延伸】：若β

∠与α

∠互补，γ

∠与α

∠互余，且β

∠与γ

∠

的和是

4

3

个平角，则β

∠是α

∠的多少倍？

解答：

现有一个19°的模板，请你设计一种办法，只用这个模板和铅

笔在纸上画出1°的角来。

解答：

第十讲几何初步（二）

一、能力训练点

1、平行与垂直的定义及有关性质。

在一副19×19的围棋

盘上共有361个

横线和竖线的交点，现有两人在每一个交

点处轮流依次放上黑白棋子，谁先放下一

枚棋子而使对方无处可放，谁就取胜，问题：先放者还是后放者更有

希望获胜？

解答：

用圆规和直尺作出右图所示的图，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 正好把圆

分成相等的6份。

（1）图中有互相平行或垂直的线段吗？如果有，请用符中与表示出

来；

（2）图中两个阴影部分面积相等吗？它们的和与长方形ABDE 面积有何关系？你能猜测出来吗？请试一试。

解答：

过点O 任意作

7条直线，求证：以

O 为顶点的角中，必有一个小于

26°

解答：

第十三讲 生活中的数据

一．能力训练点

1．科学记数法； 2．统记图表及有关计算；

二．典型例题解析．

【例1】2003年6月1日9时，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，首批机组率先发电，预计年内可发电5500 000 000度，这个数用科学记数法

【例10】如下图将一张正方形纸片剪成四个大小一样的小正方形，然后将其中一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，依此类推，

（1）填表；

（2）如果剪100次，可剪成多少个

正方形？如果剪n次，可剪成

多少个正方形？

解答：

【例11】每年6月5，日是“世界环境日”，下表是我国近几年来废气污染物排放量统，请认真阅读该表后回答问题。

（1）请用不同的虚实点虚线画出：二氧化硫排放量，烟尘排放量和工业粉尘排放量的折线走势图。

（2）2002年想对于1998年，全国二氧化硫排放量，烟尘排放量和工业粉尘排放量的增减率别为，和。（精确到一个百分点）

（3）简要评价这三种废气污染物排放量的走势。（简要说明：总趋势，增减的相对快慢）

第